BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRẦN LÊ NAM
MỘT SỐ TÍNH CHẤT
CỦA ĐƯỜNG VÀ MẶT TRONG
KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62. 46. 10. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGHỆ AN - 2015
0
Công trình được hoàn thành tại: Đại học Vinh
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS.TS Đoàn Thế Hiếu
2. TS Nguyễn Duy Bình
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp
tại vào hồi giờ 00 phút, ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Nguyễn Thúc Hào – Trường Đại học Vinh
2. Thư viện quốc gia Việt Nam
1
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Đa tạp với mật độ là một đa tạp Riemann (M
n
, g) với một hàm
trơn, dương, thường được dùng là e
−f

chất hình học của siêu mặt có f-độ cong trung bình hằng, đặc biệt các
siêu mặt f-cực tiểu là cần thiết. Bên cạnh đó, các nhà nghiên cứu cũng
chỉ ra một số kết quả về lý thuyết đường không còn đúng khi được gia
thêm mật độ. Qua đó, chúng ta thấy rằng có rất nhiều vấn đề về lý
thuyết đường trong không gian với mật độ cần được nghiên cứu như:
Định lý nào của hình học vi phân đặc trưng cho mặt phẳng Ơclit? Các
định lý nào có thể mở rộng lên mặt phẳng với mật độ? Phân loại các
đường có f-độ cong hằng trên các mặt phẳng với mật độ, khảo sát các
đường f-trắc địa trên đa tạp với mật độ.
2
Lý thuyết mặt trong không gian với mật độ cũng là một lĩnh vực
nghiên cứu đang rất thời sự. Những năm gần đây, I. Corwin, C. Ivan và
các cộng sự đã cho một số ví dụ và tính chất về các mặt có f-độ cong
trung bình hằng (xem [40]). D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại
các mặt mặt kẻ trụ f-cực tiểu, mặt tịnh tiến f-cực tiểu trong không
gian với mật độ log-tuyến tính (xem [32]). D. T. Hieu đã áp dụng
phương pháp dạng cỡ cho đa tạp với mật độ vào khảo sát tính f -ổn
định của một số lớp siêu mặt đặc biệt (xem [33]). T. H. Colding, W. P.
Minicozzi II và S. J. Kleene đã đưa ra một số tính chất hình học của
mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss (xem [18], [45]),. . . Một số định
lý cổ điển của hình học vi phân về siêu mặt cực tiểu cũng được chứng
minh trong không gian với mật độ cụ thể như: Định lý Bernstein, Định
lý Liouville, bất đẳng thức Simons (xem [8], [36], [57]),. . . Các kết quả
đó cho thấy lý thuyết mặt nói chung, lý thuyết mặt cực tiểu nói riêng
biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ. Do đó, việc khảo sát
các định lý của siêu mặt f -cực tiểu trong không gian với một số mật
độ quen thuộc là đáng quan tâm và cần thiết.
Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận
án là "Một số tính chất của đường và mặt trong không gian
với mật độ".

• Phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với
mật độ;
• Khảo sát tính chất hình học của các đường f-trắc địa cực tiểu;
• Siêu mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss và không gian với
mật độ tích;
• Các định lý kiểu Bernstein trong các không gian với mật độ
cụ thể.
4 Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong khi thực
hiện đề tài. Về mặt kỹ thuật, luận án sử dụng 4 phương pháp chính. Đó
là phương pháp giải phương trình vi phân để xác định tham số hóa của
các đường cong có f-độ cong hằng, các mặt f-cực tiểu; phương pháp
biến phân để xác định tham số của các đường f-trắc địa cực tiểu, xác
định các biến phân f-diện tích; phương pháp dùng dạng cỡ để chứng
minh các tính chất cực tiểu diện tích; phương pháp dùng các ước lượng
gradient, ma trận của dạng cơ bản thứ hai và dùng nguyên lý cực đại
để chứng minh các định lý kiểu Bernstein.
5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Như chúng ta đã thấy, đa tạp với mật độ là một lĩnh vực nghiên
cứu rất mới và hấp dẫn. Các kết quả mang tính thời sự, có nhiều ứng
dụng trong Toán học và Vật lý. Đặc biệt, các tính chất hình học của
đường và siêu mặt biến đổi rất đa dạng khi được gia thêm mật độ.
Do đó, việc nghiên cứu về lý thuyết đường và lý thuyết mặt trên các
không gian với mật độ là đáng quan tâm và cần thiết. Những kết quả
4
đạt được sẽ góp phần làm phong phú thêm sự hiểu biết về hình học vi
phân của đường và mặt trong không gian với mật độ.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Hình học - Tôpô.
6 Tổng quan và cấu trúc của luận án

với các tên gọi khác nhau như: đa tạp với trọng (weighted manifolds),
"không gian của các kiểu thuần nhất" (space of homogeneous type)
(xem [15]), "không gian mêtric-độ đo" (metric-measure space) (xem
[30]). Năm 2004, V. Bayle đã trình bày tổng quan về không gian mêtric-
độ đo và khảo sát biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích trong
luận án của ông (xem [4]). Một năm sau đó, F. Morgan đã gọi tên các
lớp đa tạp này là đa tạp với mật độ (manifolds with density) (xem
[49]). Trong bài báo đó, ông trình bày biến phân thứ nhất, thứ hai của
phiếm hàm f-diện tích, các mở rộng của ước lượng thể tích của Heintze
và Karcher, tổng quát bất đẳng thức đẳng chu của Levy và Gromov.
Ông cũng trình bày chi tiết hơn về đa tạp với mật độ, vai trò của mật
độ trong chứng minh giả thuyết Poincaré của Perelman ở cuốn sách Lý
thuyết độ đo hình học (p. 197-201, [51]).
5
Đa tạp với mật độ là một phạm trù tốt để mở rộng các bài toán về
biến phân trong hình học như: bài toán đẳng chu, siêu mặt f-cực tiểu,
f-ổn định. Sau đây là một số kết quả về bài toán đẳng chu trên đa tạp
với mật độ. Năm 1975, C. Borell đã chứng minh một bất đẳng thức
đẳng chu trong không gian Gauss. Ông đã chỉ ra miền đẳng chu trên
không gian này là nửa không gian (xem [7]). Một kết quả hết sức bất
ngờ. Tiếp theo, M. Gromov chứng minh được hình cầu tâm O là miền
đẳng chu trên không gian R
n
với mật độ e
a|x|
2
, a > 0, (xem [29]). S. G.
Bobkov và C. Houdré tìm ra nghiệm của bài toán đẳng chu trên đường
thẳng với mật độ giảm dần (xem [6]); E. A. Carlen và C. Kerce chứng
minh tính duy nhất nghiệm của bài toán đẳng chu trên nửa không gian

thêm mật độ. Chẳng hạn, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật
độ cầu là không đúng (xem [31]).
Ngoài các hướng nghiên cứu trên, việc nghiên cứu lý thuyết về siêu
mặt f-cực tiểu, siêu mặt có f-độ cong hằng, f-độ cong Gauss hằng
6
trong không gian và đa tạp với mật độ cũng nhận được nhiều sự quan
tâm. Các tác giả C. Ivan, H. Stephanie, Ă. Vojislav và Y. Xu đã chỉ
ra một số mặt có f -độ cong trung bình hằng trong không gian Gauss,
khảo sát một số chính chất hình học của các mặt có f -độ cong trung
bình hằng (xem [40]), J. M. Espinar và H. Rosenberg đã khảo sát tính
chất hình học của các mặt đầy đủ và có f -độ cong trung bình hằng
(xem [25]), D. T. Hieu và N. M. Hoang đã phân loại các mặt kẻ trụ
f-cực tiểu trong không gian R
3
với mật độ log-tuyến tính (xem [32]).
Tính chất cực tiểu f-diện tích của các siêu mặt f-cực tiểu cũng được
một số người làm hình học quan tâm. Chẳng hạn, D. T. Hieu đã áp
dụng phương pháp dạng cỡ với mật độ để chứng minh một số đa tạp
con là f-cực tiểu diện tích (xem [33]). Bên cạnh đó, các tính chất của
siêu mặt f-cực tiểu ổn định cũng được khảo sát bởi một số tác giả (xem
[13], [33], [47]).
Chúng ta có thể xem các nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong
trung bình là các trường hợp đặc biệt của các siêu mặt f-cực tiểu
trong các không gian với mật độ. Cho M là một đa tạp Riemann khả
vi n-chiều trong không gian R
n+1
. Một phép nhúng phụ thuộc thời gian
x
t
= x(., t) : M ×[0, T ) −→ R


λ(t), x

, N

λ(t), x

. (3)
7
Từ đó, chúng ta được
H(x
0
) = a x
0
, N(x
0
), (4)
với a = λλ

là một hằng số và λ =

λ
2
0
+ 2at.
Chúng ta xét 2 trường hợp sau:
.
(i) Nếu a < 0 thì λ → 0 khi t →
−λ
0

rút nếu a < 0, là các siêu mặt tự giãn nở nếu a > 0.
Hoàn toàn tương tự, các nghiệm tịnh tiến x
t
= x
0
+ at, ở đó a ∈
R
n+1
là một vectơ hằng, của dòng độ cong trung bình là các siêu mặt
f-cực tiểu trong không gian R
n+1
với mật độ log-tuyến tính e
ax
. Một
số tác giả còn mở rộng việc nghiên cứu nghiệm tịnh tiến của dòng mở
rộng với một lực tác động (with a forcing term) dạng
∂
∂t
x
t
= −(H + b).N, b ∈ R.
Khi đó, f-độ cong trung bình của x
t
trên R
n+1
với mật độ log-tuyến
tính là một hằng số (xem [19], [22], [24], [37], [53]).
Như vậy, các mặt f -cực tiểu trong không gian Gauss, không gian
R
n

Chương 1 được dành để giới thiệu các kiến thức cơ sở của luận án.
Mục 1.1 trình bày các khái niệm cơ bản trên đa tạp với mật độ. Mục
1.2 trình bày các định nghĩa và công thức tính độ cong trung bình của
mảnh tham số của siêu mặt trong không gian R
n
. Mục 1.3 trình bày
khái niệm và công thức tính độ cong trung bình và độ cong Ricci của
một đa tạp con định hướng được trong đa tạp Riemann. Mục 1.4 trình
bày 4 tích phân và 1 bất đẳng thức cần sử dụng trong luận án.
Chương 2 trình bày về lý thuyết đường trên mặt phẳng và đa tạp
với mật độ. Mục 2.1 trình bày về khái niệm f-độ cong của đường cong
phẳng, biến phân thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Mục 2.2 trình bày
về Định lý Gauss-Bonnet suy rộng. Mục 2.3 trình bày về định lý kiểu
Fenchel trên mặt phẳng với mật độ. Mục 2.4 trình bày về Định lý bốn
đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu. Mục 2.5 phân loại các đường cong
có f-độ cong hằng trên mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính. Mục 2.6
trình bày về đường f-trắc địa cực tiểu trong đa tạp với mật độ. Các kết
quả chính của Chương 2 là Định lý 2.3.2, Định lý 2.4.7, Hệ quả 2.4.10,
Hệ quả 2.4.11, Định lý 2.5.3, và Mệnh đề 2.6.6. Các nội dung chính của
Chương 2 được trình bày trong 4 bài báo [5], [31], [34] và [52].
9
Chương 3 trình bày về lý thuyết mặt trong không gian với mật độ.
Mục 3.1 trình bày về khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ
nhất và thứ hai của phiếm hàm f-diện tích, mối quan hệ giữa các f-độ
cong trung bình đối với các mật độ khác nhau. Mục 3.2 trình bày về
nguyên lý dạng cỡ trên đa tạp với mật độ, tính cực tiểu f-diện tích
của đồ thị của một hàm khả vi trong không gian với mật độ. Mục
3.3 trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss. Mục 3.4
trình bày về siêu mặt f-cực tiểu trong tích của không gian Gauss với
đường thẳng R. Mục 3.5 trình bày về mặt f-cực tiểu trong không gian

1.3 Độ cong trung bình và độ cong Ricci trên đa tạp
Trong mục này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm: dạng cơ bản thứ
hai, vectơ độ cong trung bình, độ cong Riemann, độ cong Ricci của
một đa tạp con k-chiều trong một đa tạp Riemann.
1.4 Bất đẳng thức và tích phân cần sử dụng trong
luận án
11
Chương 2
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA
ĐƯỜNG TRÊN MẶT PHẲNG VÀ TRÊN ĐA
TẠP VỚI MẬT ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi phát biểu và chứng minh
Định lý Fenchel, Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật
độ cầu, phân loại các đường cong có f-độ cong hằng trên
mặt phẳng với mật độ log-tuyến tính và thiết lập mối quan
hệ giữa các đường f-trắc địa cực tiểu với f-phiếm hàm năng
lượng. Các kết quả chính của Chương 2 được viết dựa trên
bốn bài báo [5], [31], [34] và [52].
2.1 f-độ cong của đường cong phẳng
2.1.1 Định nghĩa ([40]). Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f
cho
đường tham số α. Độ cong theo mật độ hay f-độ cong, ký hiệu k
f
, của
α được định nghĩa bởi công thức
k
f

−f

, t −→ α(t) là một
đường tham số trơn. Đại lượng

b
a
|k
f
|dt được gọi là độ cong toàn
phần theo mật độ hay f-độ cong toàn phần của α.
Với khái niệm trên, chúng ta có định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng
với mật độ sau.
2.3.2 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
cho mật độ e
−f
với f là một hàm
điều hòa. Khi đó, f-độ cong toàn phần của một đường cong đơn, đóng,
lồi là lớn hơn hoặc bằng 2π.
2.4 Định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng với mật độ cầu
Trong mục này, chúng tôi ký hiệu r =

x
2
+ y
2
.
Chúng ta vẫn định nghĩa đỉnh của đường cong đơn, đóng và lồi
trên mặt phẳng với mật độ là điểm mà tại đó f-độ cong đạt cực trị địa

13
2.4.2 Bổ đề. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−f(r)
, phép quay tâm O,
góc quay bất kỳ không làm thay đổi hàm f -độ cong của một đường cong.
2.4.3 Định lý. Trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
Ar+B
, A, B ∈ R,
đường tròn α : [0, 2Rπ] −→ R
2
, α(t) =

R cos(t/R) + a, R sin(t/R) +
b

, a, b, R ∈ R, R > 0, hoặc có 2 đỉnh, hoặc có 4 đỉnh, hoặc có vô
số đỉnh.
Từ Định lý 2.4.1 và Định lý 2.4.3, hai câu hỏi tự nhiên được nảy sinh.
1. Lớp đường cong nào thỏa mãn định lý bốn đỉnh trên mặt phẳng
với mật độ cầu tổng quát?
2. Có tồn tại một mật độ cầu nào khác mật độ Ơclít sao cho định
lý bốn đỉnh đúng với mọi đường cong đơn đóng?
Đối với câu hỏi thứ nhất, chúng tôi đã chỉ ra được một số lớp đường
cong đơn giản sau.
2.4.4 Định lý. Trên mặt phẳng với mật độ e
−f(r)

, các đường có f-độ
cong hằng sai khác với các đường sau một phép tịnh tiến.
1. Một đường có f-độ cong bằng 0 hoặc là một đường thẳng song
song với trục Oy hoặc là đường Grim-Reaper được xác định bởi
tham số (xem Hình 2.5.4)

x(s) = 2 arctan(e
s
),
y(s) = ln(e
s
+ e
−s
),
s ∈ R. (2.5.23)
2. Một đường có f-độ cong |k
f
| < 1 hoặc là một đường thẳng hoặc
là được xác định bởi tham số (xem Hình 2.5.3, Hình 2.5.4)







x(s) = 2 arctan

e
√

y(s) = ln(1 + s
2
),
s ∈ R.
4. Một đường có f-độ cong |k
f
| > 1 được xác định bởi tham số (xem
Hình 2.5.1, Hình 2.5.6)
























√
c
2
− 1
2
s

+ 1
c −1
c + 1
tan
2

√
c
2
− 1
2
s

+ 1






,
s ∈

2. Việc nghiên cứu các bề mặt chuyển động của dòng các đường cong
với trường lực mở rộng trong trường hợp đơn giản ∇w = (c
1
, c
2
)
(xem [42]) dẫn đến phương trình
c =
ϕ

(x)
1 + ϕ

(x)
2
+ c
2
− c
1
ϕ

(x). (2.5.24)
Một kết quả chính trong [42] phát biểu rằng: nghiệm của phương
trình (2.5.24) với điều kiện ban đầu hoặc là một đường thẳng hoặc
là đường Grim-Reaper. Theo ngôn ngữ của mật độ, các nghiệm
của phương trình (2.5.24) chính là các đường có f-độ cong bằng
0 trên mặt phẳng R
2
với mật độ e
−c

f
= ±1.
Hình 2.5.3. Các đường cong có
k
f
∈ (−1, 0).
Hình 2.5.4. Đường cong có k
f
= 0
Hình 2.5.5. Các đường cong có
k
f
∈ (0, 1).
Hình 2.5.6. Các đường cong có k
f
> 1.
2.6 Đường f -trắc địa cực tiểu trên đa tạp với mật độ
2.6.1 Định nghĩa. Trên đa tạp Riemann (M, g) với mật độ e
−f
cho
hai điểm p và q. Khoảng cách theo mật độ hay f-khoảng cách giữa 2
điểm p và q là cận dưới của tập tất cả f-độ dài cung của các đường
cong trơn từng khúc trên M nối 2 điểm p và q.
17
Nếu tồn tại một đường cong trơn từng khúc α nối điểm p và q sao
cho f-độ dài của nó bằng f-khoảng cách giữa 2 điểm đó thì đường cong
α được gọi là một đường f-trắc địa cực tiểu.
2.6.4 Định nghĩa. Trên đa tạp Riemann M với mật độ e
−f
cho γ :

- Trình bày khái niệm f-độ cong của đường cong trên mặt phẳng
với mật độ. Biến phân thứ nhất của phiếm hàm f-độ dài. Định
lý Gauss-Bonnet suy rộng trên mặt với mật độ.
- Phát biểu và chứng minh định lý kiểu Fenchel trên mặt phẳng
với mật độ e
−f
, trong đó f là một hàm điều hòa.
- Chứng minh rằng Định lý bốn đỉnh trong mặt phẳng với mật độ
cầu đúng khi và chỉ khi hàm mật độ là một hàm hằng. Tức là,
Định lý bốn đỉnh có thể dùng đặc trưng cho mật độ Ơclít trong
lớp các mật độ cầu.
- Phân loại triệt để các đường cong có f-độ cong hằng trên mặt
phẳng với mật độ log-tuyến tính. Từ đó, luận án rút ra một số
hệ quả quan trọng như: tính không tồn tại nghiệm của bài toán
đẳng chu trên mặt phẳng với mật độ e
x
, phân loại các nghiệm
tịnh tiến với trường lực mở rộng.
- Chứng minh rằng một đường cong là điểm cực tiểu của f-phiếm
hàm năng lượng khi và chỉ khi nó có f-vận tốc hằng và f-trắc
địa cực tiểu.
18
Chương 3
MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA MẶT
TRONG KHÔNG GIAN VỚI MẬT ĐỘ
Trong chương này, chúng tôi đưa ra tham số hóa của một
số mặt f-cực tiểu trong không gian Gauss G
3
và không gian
tích G

phân chuẩn tắc uN của Σ. Khi đó, biến phân thứ nhất δ
1
(u) của phiếm
hàm f-diện tích thỏa
δ
1
(u) = −

(n −1)H
f
uds
f
, (3.1.5)
ở đó ds
f
là vi phân theo mật độ của phần tử diện tích.
3.1.4 Định nghĩa ([40]). Trên đa tạp Riemann M với mật độ e
−f
,
siêu mặt Σ được gọi là f-cực tiểu nếu f-độ cong trung bình của nó
bằng 0.
19
3.1.9 Định nghĩa ([33]). Cho Σ là một siêu mặt f-cực tiểu trong đa
tạp Riemann M với mật độ e
−f
, Σ được gọi là f-cực tiểu ổn định hay
f-ổn định nếu biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích là không
âm với mọi biến phân chuẩn tắc có giá compact.
3.2 Hình học định cỡ trên đa tạp với mật độ
3.2.1 f-vi phân ngoài của dạng vi phân


i
β
i
, β
i
đơn

, (3.2.3)
ω = sup {ω
x
(ξ
x
) : x ∈ M, ξ
x
đơn, ξ = 1}. (3.2.4)
2. Dạng vi phân d
f
-đóng ω được gọi là một f-dạng cỡ nếu chuẩn
comass của nó bằng 1.
3. Cho ω là một f-dạng cỡ trên đa tạp M với mật độ e
−f
. Ta nói
đa tạp con N của M được định cỡ bởi ω nếu ω đạt giá trị lớn
nhất trên các không gian tiếp xúc của N hầu khắp nơi.
3.2.6 Định lý ([33]). Cho Σ là đồ thị của hàm khả vi cấp hai u :
R
n
−→ R. Nếu Σ là f-cực tiểu trong R
n+1

X(u, v) = α(u) + va, (3.4.1)
ở đó α là đường chuẩn và a là một vectơ hằng.
3.4.3 Định lý. Trong không gian G
2
× R cho Σ là một mặt kẻ trụ
có tham số dạng (3.4.1). Khi đó, Σ là f-cực tiểu khi và chỉ khi α là
một đường trắc địa trên mặt phẳng G
2
hoặc Σ có tham số hóa địa
phương dạng
X(u, v) =


v, u, ±

u
u
0

c
1
e
t
2
1 −c
1
e
t
2
dt + c

. Một
điểm trong G
n
× (R, e
−h
) có thể viết dưới dạng (x, x
n+1
), ở đó x =
21
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
. Phương trình của một siêu phẳng không song
Ox
n+1
trong không gian tích G
n
× (R, e
−h
) có dạng
n

i=1
a
i

(−c) = 0.
2. Một siêu phẳng là f-cực tiểu và không song song với siêu phẳng
x
n+1
= 0 khi và chỉ khi h(x
n+1
) = x
2
n+1
/2+ cx
n+1
+b, ở đó b ∈ R
là một hằng số.
Nếu siêu mặt Σ là f-cực tiểu trong không gian G
n+1
thì ảnh của Σ
qua phép tịnh tiến theo vectơ v(0, . . . , 0, −c/2) là một siêu mặt f-cực
tiểu trong không gian G
n
×(R, e
−h
) với h(x
n+1
) = x
2
n+1
/2 + cx
n+1
+ b.
Trong trường hợp này, định lý kiểu Bernstein đã được chứng minh. Ví

1
(1 + 4z)
3/2
−
2z + h

(z)
2
√
1 + 4z
= 0.
Hơn nữa, chúng ta kiểm tra được mặt phẳng z = (1 +
√
17)/8 cũng
f-cực tiểu.
Chúng ta xét trường hợp h

(c) = 0 với mọi c ∈ R. Khi đó, h là một
hàm hằng. Trong trường hợp này, sử dụng nguyên lý dạng cỡ theo mật
độ, chúng tôi thu được một ước lượng cho f-diện tích của một đồ thị
toàn phần. Từ đó, chúng tôi đưa ra một chứng minh đơn giản cho định
lý kiểu Bernstein mà nó không dùng đến đạo hàm cấp 2.
22
3.4.5 Định lý kiểu Bernstein trong không gian G
n
× R
Với mỗi điểm p ∈ R
n+1
và số thực dương R, chúng ta ký hiệu
B

+ n(2π)
−n/2
e
−R
2
C
n
R
n
,
(3.4.4)
ở đó C
n
= Vol B
n
(O, 1).
Lấy giới hạn cả 2 vế của bất đẳng thức (3.4.4) khi R dần ra vô
cùng, chúng ta được hệ quả sau.
3.4.5.2 Hệ quả.
Vol
f
(Σ) ≤ 1. (3.4.8)
3.4.5.3 Định lý (Định lý kiểu Bernstein). Đồ thị Σ của một hàm
khả vi u(x
1
, . . . , x
n
) = x
n+1
trên G

1 + |∇u|
2
dV ≥

G
n
e
−f
dV = Vol
f
(G
n
) = 1.
Đẳng thức trên là thỏa mãn khi và chi khi ∇u = (0, . . . , 0), nghĩa là u
là một hàm hằng. 
3.5 Mặt 2-chiều trong không gian với mật độ
3.5.3 Định nghĩa. Cho X : D ⊆ R
2
−→ (R
n
, e
−f
), n ≥ 3, là một
tham số hóa chính qui của Σ. f-vectơ độ cong trung bình của Σ được
23
định nghĩa bởi

H
f
=

, cho Σ là một mặt f-cực tiểu, được xác định bởi
tham số
X(x
1
, x
2
) =

x
1
, x
2
, u
3
(x
1
, x
2
), . . . , u
n
(x
1
, x
2
)

, (x
1
, x
2

Trong Chương 3, luận án đã giải quyết được các vấn đề sau:
.
- Trình bày khái niệm f -độ cong trung bình, biến phân thứ nhất
và biến phân thứ hai của phiếm hàm f-diện tích.
- Chứng minh rằng một đa tạp con được định cỡ bởi một f-dạng
cỡ là cực tiểu f-diện tích trong lớp đồng điều của nó.
- Xây dựng một chứng minh ngắn gọn cho định lý kiểu Bernstein
trong không gian Gauss.
- Đưa ra tham số của mặt kẻ trụ đứng f-cực tiểu trong không gian
tích G
2
× R.
- Sử dụng nguyên lý dạng cỡ chứng minh định lý kiểu Bernstein
trên không gian G
n
× R mà nó không sử dụng đến đạo hàm
cấp hai.
- Xây dựng khái niệm f-cực tiểu cho mặt 2-chiều trong không gian
với mật độ. Chứng minh một định lý kiểu Bernstein đơn giản
trong không gian G
2
× R
n−2
, với n ≥ 3.