BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ
TOÀN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI
TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI
[1] Binh Ng. D, Cuong. D. V , Hieu. D. Th (2013), “Hyperplanarity of
surfaces in four dimensional spaces”, pre-print.
[2] Cuong. D. V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of
codimension two in
1

n

'', Vinh university Journal of science.,37 (2A),
11-20.
[3] Cuong. D. V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of
codimension two in
1

n

'', Vinh university Journal of science., 38 (3A),
5-14.
[4] Cuong. D. V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East-
West J. of Mathematics., 12 (2), 153-162.
[5] Cuong. D. V (2012), “
r
LS
-valued Gauss maps and pacelike
surfaces of revolution in
4
1

'', App. Math. Sci., 6 (77), 3845 - 3860.
[6] Cuong. D. V and Hieu. D. Th (2012), “

là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phơng của chúng.
Chẳng hạn, dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận đợc kết quả:
một mặt chính quy trong R
3
là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phần
của) một mặt cầu hoặc (một phần của) một mặt phẳng.
Đối với các tính chất toàn cục của mặt, một trong những công cụ để
tìm đợc mối liên hệ giữa tính chất địa phơng với tính chất toàn cục là
trờng Jacobi dọc theo một đờng trắc địa. Thông qua công cụ này một
số tính chất toàn cục của mặt trong R
3
đã đợc đa ra trong lý thuyết
hình học vi phân cổ điển. Chẳng hạn, một mặt chính quy trong R
3
có độ
cong Gauss đồng nhất bằng không khi và chỉ khi nó là mặt kẻ khả triển.
Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớp
mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski,
tơng tự nh trờng hợp của mặt trong R
3
, là một trong những vấn đề
đợc chúng tôi quan tâm.
1.2 Hình học của mặt trong R
4
đã đợc quan tâm nghiên cứu bởi một số
nhà toán học nh Romero Fuster, Izumiya, Pei, Little, Ganchev, Milou-
sheva, Weiner, . . . . Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả chính đã
đạt đợc trong lĩnh vực này nh sau. Vào năm 1969, Little đã xây dựng
các bất biến hình học, chẳng hạn nh elip độ cong, để nghiên cứu tính
kỳ dị của đa tạp con đối chiều hai trong không gian Ơ-clít. Cũng trong

trong R
4
lên đa tạp con đối chiều hai trong R
n+2
.
Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về mặt trong R
4
lên mặt kiểu
không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski cũng là
một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu.
1.3 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu không
gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski đã đợc công
bố. Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này nh sau.
Bằng cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trờng vectơ
pháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004
Izumiya và một số tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong một
giả cầu thì nó là mặt -rốn, trong đó là trờng vectơ vị trí của mặt. Với
chiều ngợc lại của mệnh đề này, các tác giả đã bổ sung thêm giả thiết
song song của để mặt -rốn chứa trong một giả cầu. Trong bài báo này
các tác giả cũng đã trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong
cho mặt kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski
số chiều lớn hơn 3 và chỉ ra mối liên hệ giữa mặt -rốn và mặt nửa rốn,
nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Xuất phát
từ tính chất mặt phẳng pháp của một mặt kiểu không gian đối chiều hai
là một 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng chỉ ra đợc rằng nó có một cơ
sở giả trực chuẩn với một vectơ kiểu không gian và một vectơ kiểu thời
gian. Bằng cách sử dụng tổng và hiệu của hai vectơ trong cơ sở này của
mặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya và một số tác giả khác đã xây
dựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng và nghiên cứu khái niệm dẹt
trên các mặt kiểu không gian đối chiều hai.

2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hình học
của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski với các mục
đích sau.
(1) Xây dựng một số công cụ hữu hiệu để có thể nghiên cứu các tính
chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai.
(2) Nghiên cứu các khái niệm rốn trên mặt kiểu không gian đối chiều
hai, đa ra một số kết quả phân loại mặt kiểu không gian -rốn
đối chiều hai và mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai.
(3) Nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng.
4
(4) Nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong
không gian R
4
sau đó mở rộng lên mặt kiểu không gian trong R
4
1
.
(5) Sử dụng các kết quả đạt đợc theo hớng nghiên cứu để ứng dụng
vào việc khảo sát tính chất hình học của một số lớp mặt kiểu không
gian đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski R
4
1
, đó là mặt
kẻ và mặt tròn xoay.
3. Đối tợng nghiên cứu
Đối tợng nghiên cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian
đối chiều hai; các công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều
hai; các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai trong
không gian Lorentz-Minkowski. Vậy nên, nếu không đợc nhắc lại, đối

4
và
R
4
1
) chứa trong một siêu phẳng.
(6) Đa ra các định lí thể hiện tính chất hình học của một số mặt kiểu
không gian đặc biệt trong R
4
1
bao gồm: mặt kẻ cực đại; mặt tròn
xoay (kiểu hypecbolic và kiểu eliptic) cực đại; mặt tròn xoay (kiểu
hypecbolic và kiểu eliptic) rốn. Chỉ ra số lợng trờng trùng pháp
trên mặt kẻ, mặt tròn xoay (kiểu hypecbolic hoặc eliptic). Đa ra
các điều kiện tơng ứng với số lợng trờng trùng pháp trên mặt
tròn xoay với kinh tuyến phẳng. Xác định các trờng vectơ pháp
trên mặt kẻ và mặt tròn xoay để chúng là mặt -rốn.
6.2 Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, cho học viên
cao học và nghiên cứu sinh theo hớng nghiên cứu này.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Phần kiến thức cơ sở của luận án đợc giới thiệu trong chơng 1.
Đây là khối kiến thức rất căn bản nhng nó đợc sử dụng nhiều trong
luận án nên không thể bỏ qua. Đóng góp của luận án đợc trình bày
trong các chơng 2, 3 và 4. Trong chơng 2, chúng tôi đa ra hai phơng
pháp để xác định một cặp trờng vectơ pháp khả vi trên mặt, một cặp kiểu
không gian và một cặp kiểu ánh sáng, đồng thời ứng dụng các trờng
6
vectơ pháp này để nghiên cứu tính chất hình học của mặt -rốn, mặt rốn.
Chơng 3 đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp trên

một mặt tham số chúng ta sẽ xác định đợc trờng vectơ pháp cụ thể
trên mặt (kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng) từ đó ta tính đợc các độ
cong liên kết với nó để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt. Quá
trình này đợc tổng quan lại nh sau: Với mỗi điểm p M, mặt phẳng
pháp N
p
M của M tại p là một 2-phẳng kiểu thời gian, nó sẽ cắt n-không
gian hypebolic tâm v = (0, 0, . . . , 0, 1) bán kính R = 1 (t.. nón ánh
sáng) theo một hypebol (t.. hai tia). Với một số thực r > 0, siêu phẳng

x
n+1
= r

cắt hypebol (t.. hai tia) theo đúng hai vectơ, ký hiệu là n

r
(t.. l

r
). Chúng ta chứng minh đợc các trờng vectơ n

r
(t.. l

r
) là các
trờng vectơ kiểu không gian (t.. kiểu ánh sáng) khả vi (Định lí 3.1.3)
và vì vậy có thể tính toán các độ cong liên kết với chúng để tiến hành
nghiên cứu mặt n


r
-rốn thì nói chung (ngay cả khi M chứa trong
một giả cầu) hàm độ cong n

r
-chính không là hàm hằng. Định lí 2.1.14
cho chúng ta các tính chất hình học của mặt chứa trong giả cầu hypebolic
thỏa mãn điều kiện n

r
-rốn và n

r
-độ cong chính là hàm hằng. Với mặt
không giả thiết chứa trong giả cầu, điều kiện n

r
-rốn và n

r
song song
tơng đơng với điều kiện M chứa trong giao của một giả cầu hypebolic
với một siêu phẳng

x
n+1
= c

(Định lí 2.1.15). Chúng tôi cũng đa

mặt trong R
4
lên mặt trong R
4
1
, nghiên cứu các điều kiện đủ đểm mặt
trong R
4
chứa trong một siêu phẳng và phát triển lên mặt kiểu không
gian trong R
4
1
.
Trớc hết, sử dụng tích ngoài của 3 vectơ, chúng tôi đa ra một điều
kiện để kiểm tra một trờng vectơ pháp có phải là trờng trùng pháp
hay không (Mệnh đề 3.1.2). Về quan hệ bao hàm giữa mặt -rốn và
mặt -phẳng, Định lí 3.1.3 chỉ ra rằng trên mặt -rốn (không -dẹt) luôn
tồn tại ít nhất 1 và nhiều nhất 2 trờng trùng pháp, tức nó là một mặt
-phẳng. Hơn thế, chúng tôi cũng cho các ví dụ để chỉ ra sự tồn tại các
mặt -phẳng nhng trên nó không tồn tại bất kỳ trờng vectơ pháp
nào để nó là mặt -rốn. Điều này có nghĩa lớp mặt -rốn chứa trong lớp
mặt -phẳng, nhng chiều ngợc lại thì không đúng. Ngoài ra, Mệnh đề
3.1.10 cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để mặt hoàn toàn phẳng.
Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện đủ để một mặt trong
không gian bốn chiều chứa trong một siêu phẳng. Trớc hết, chúng tôi
8
có các ví dụ để chỉ ra rằng việc mở rộng các điều kiện đủ để đờng
cong trong R
3
chứa trong một siêu phẳng lên mặt trong trong không

1
với mặt trong R
4
thể
hiện khi trờng vectơ pháp của mặt là trờng kiểu ánh sáng. Các Mệnh
đề 3.2.13 và 3.2.15 đa ra các điều kiện phẳng của mặt kiểu không gian
nhng nó chỉ đúng khi trờng vectơ pháp là trờng vectơ kiểu ánh sáng.
Chúng tôi cũng đa ra các ví dụ để chỉ ra các kết quả này không đúng
đối với mặt trong R
4
cũng nh đối với mặt kiểu không gian mà trờng
vectơ pháp không là trờng kiểu ánh sáng.
Phần cuối của Chơng 3 chúng tôi đa ra các ví dụ minh hoạ cho các
kết quả đạt đợc, các phản ví dụ cho các kết quả cũng nh khẳng định
tính tối u của các giả thiết đợc đa ra trong các mệnh đề và các định
lí.
7.1.3. Việc khảo sát các tính chất hình học cũng nh tìm kiếm các kết
quả có tính phân loại các lớp mặt cụ thể, chẳng hạn mặt kẻ hay mặt tròn
xoay, là một trong các vấn đề đợc các nhà hình học thực sự quan tâm.
Nh một ứng dụng của Chơng 2 và Chơng 3, trong Chơng 4 chúng
tôi tập trung khảo sát một số tính chất hình học của mặt kẻ và mặt tròn
xoay kiểu không gian trong R
4
1
. Tơng ứng với các điều kiện cụ thể,
Mệnh đề 4.1.3 xác định số lợng phơng trùng pháp tại mỗi điểm trên
mặt kẻ. Mệnh đề 4.1.5 chỉ ra rằng điều kiện cần và đủ để một mặt kẻ
cực đại là nó cực đại trong một siêu phẳng kiểu không gian, lớp mặt kẻ
kiểu không gian -rốn và rốn là trùng nhau. Với mặt tròn xoay trong
R

trờng trùng pháp trên mặt. Chúng tôi cũng cho các ví dụ chỉ ra sự tồn
tại của các lớp mặt tơng ứng với các điều kiện đợc đa ra.
7.2. Cấu trúc luận án
Nội dung của luận án đợc chia làm 4 chơng. Ngoài ra luận án còn
có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và
Kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan
đến luận án, Tài liệu tham khảo và chỉ mục.
Chơng 1 là chơng kiến thức cơ sở bao gồm 2 mục. Mục 1.1 trình
bày khối các kiến thức cơ bản về không gian Lorentz-Minkowski. Mục
1.2 giới thiệu một số công cụ nghiên cứu mặt đối chiều hai trong không
gian Lorentz-Minkowski mà luận án sử dụng, nó đợc chia thành 2 mục
nhỏ bao gồm: Mục a) trình bày các kiến thức về các độ cong liên kết
với một trờng vectơ pháp cũng nh các khái niệm mặt tơng ứng với
một số trờng hợp đặc biệt của các độ cong này; Mục b) giới thiệu khái
niệm elip độ cong của mặt trong không gian Lorentz-Minkowski.
Chơng 2 trình bày các nội dung nghiên cứu các khái niệm rốn (-
rốn) trên mặt đối chiều hai, bao gồm 3 mục. Mục 2.1 trình bày cách
xây dựng ánh xạ n

r
-Gauss và ứng dụng của nó để đa ra một số tính
chất hình học của mặt -rốn; Mục 2.2 trình bày cách xây dựng ánh xạ
l

r
-Gauss và ứng dụng của nó vào việc nghiên cứu mặt -rốn; Mục 2.3
trình bày phân loại mặt rốn. Nội dung trong chơng chủ yếu nghiên cứu
10
tính chất địa phơng trên mặt, riêng các tính chất n


của mặt kẻ kiểu không gian trong R
4
1
. Mục 4.2 trình bày một số tính chất
hình học của mặt tròn xoay trong R
4
1
, bao gồm: Mục a) trình bày các
kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu hypebolic, Mục b) trình bày
các kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu eliptic và Mục c) trình bày
một số tính chất của mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng trong R
4
1
.
Chơng 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Không gian Lorentz-Minkowski
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Lorentz-Minkowski (n+1)-chiều, ký hiệu
R
n+1
1
, là không gian vectơ R
n+1
đợc trang bị một dạng song tuyến tính
đối xứng và không suy biến, xác định bởi
g(x, y) := x, y =
n

i=1
x

đợc gọi là
1. kiểu không gian (spacelike) nếu x, x > 0 hoặc x = 0,
2. kiểu thời gian (timelike) nếu x, x < 0,
11
3. kiểu ánh sáng (lightlike) nếu x, x = 0 và x = 0.
Khái niệm mặt kiểu không gian đối chiều hai M ở trong luận án
này đợc hiểu là đa tạp (n 1)-chiều đợc nhúng chính quy vào R
n+1
1
thoả mãn tại mỗi điểm p M không gian tiếp xúc T
p
M là không gian
kiểu không gian. Về mặt địa phơng M đợc xác định thông qua phép
nhúng X : U R
n+1
1
, trong đó U R
n1
là một tập mở. Chúng ta
luôn giả thiết mặt đã cho là liên thông và đồng nhất M = X(U), một
cách địa phơng, với U thông qua X.
1.2 Các độ cong của mặt đối chiều hai trong R
n+1
1
a) Độ cong liên kết với một trờng vectơ pháp
Trong mục này chúng tôi giới thiệu cách xây dựng các khái niệm độ
cong liên kết với một trờng pháp vecttơ , từ đó đa ra các khái niệm:
mặt -dẹt; mặt -rốn; mặt -phẳng; mặt rốn; mặt hoàn toàn phẳng;
trờng trùng pháp; trờng tiệm cận; siêu phẳng mật tiếp;. . . . Đây là các
đối tợng hình học đợc sử dụng và đợc nghiên cứu trong toàn bộ luận

r
-rốn
a) ánh xạ n

r
-Gauss
Bổ đề 2.1.1 ([5],[9]). Cho là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa
12
độ. Khi đó, với mỗi r > 0 cho trớc, tập hợp {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n+1
)
H
n
+
(v, 1) | x
n+1
= r} chứa đúng hai vectơ.
Từ Bổ để 2.1.1 ta có khái niệm ánh xạ n

r
-Gauss.
Định nghĩa 2.1.2 ([5],[9]). Cho M là một mặt đối chiều hai trong R
n+1
1
,
ánh xạ

r
.
b) Mặt n

r
- dẹt đối chiều hai
Định lí 2.1.5 ([9]). Các phát biểu sau là tơng đơng.
1. Tồn tại số thực r > 0, sao cho M là mặt n

r
-dẹt;
2. Tồn tại một số thực r > 0, sao cho n

r
là một trờng vectơ hằng;
3. Tồn tại một vectơ kiểu không gian a = (a
1
, a
2
, . . . , a
n
, a
n+1
), a
n+1
=
0 và một số thực c sao cho M HP
a
(c).
c) Mặt n

3. Tồn tại hai trờng vectơ pháp khả vi song song n

r
1
, n

r
2
, (có nghĩa
r
1
= r
2
hoặc n

r
1
= n
+
r
, n

r
2
= n

r
với một số cố định r > 0);
13
4. Tồn tại r > 0, sao cho A

j



u
i
n

r

T

=

u
i



u
j
n

r

T

(0.1)
thì A
n

và mặt l

r
-rốn
a) ánh xạ l

r
-Gauss
Đặt LS
r
= LC

HP (v, 0) với v = (0, 0, . . . , 0, r). Để xây dựng
ánh xạ l

r
-Gauss ta cần chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.1 ([6]). Cho là 2-phẳng kiểu thời gian đi qua gốc tọa độ.
Khi đó tập hợp
LS
r
chứa đúng hai vectơ.
Vì mặt phẳng pháp của M tại mọi điểm là 2-phẳng kiểu thời gian nên ta
có định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.2.2 ([6]). Các ánh xạ
l

r
: M LS
r

gian de Sitter tâm a và bán kính bằng R, S
n
1
(a, R). Khi đó ta có các
phát biểu sau tơng đơng.
(1) M là mặt l

r
rốn.
(2) M là mặt rốn.
(3) M chứa trong một siêu phẳng.
Định lí 2.2.8 ([6]). Cho M là một mặt đối chiều hai chứa trong S
n
1
(a, R).
Khi đó các phát biểu sau là tơng đơng.
1. M chứa trong một siêu phẳng

x
n+1
= c

;
2. l

r
là trờng vectơ pháp song song, với mọi r > 0;
3. Tồn tại hai trờng vectơ pháp khả vi song song l

r

n+1
= c

.
2.3 Mặt rốn đối chiều hai
Hệ quả 2.3.1. Nếu M rốn thì với mọi p M tồn tại một lân cận U
p
M
của p và hai trờng vectơ pháp song song u, v trên U
p
.
Định lí 2.3.2 ([6]). Cho M là một mặt rốn đối chiều hai. Khi đó:
1. Nếu u là vectơ kiểu không gian hoặc đồng thời u và v là trờng
vectơ kiểu ánh sáng trên U
p
, thì U
p
chứa trong giao của một giả
cầu hypebolic với một siêu phẳng.
15
2. Nếu u là một trờng vectơ kiểu thời gian trên U
p
thì U
p
chứa trong
giao của một giả cầu de Sitter với một siêu phẳng.
Kết luận Chơng 2
Trong Chơng 2 chúng tôi giải quyết đợc các vấn đề sau.
(1) Đa ra một phơng pháp để xác định đợc cặp trờng vectơ pháp
kiểu không gian khả vi, n


v
= 0 hoặc
0 =
u

v
song song với T
p
M.
Tồn tại những mặt -phẳng nhng không -rốn, điều này đợc chỉ ra
trong các ví dụ ở cuối chơng. Tuy nhiên Định lí sau chỉ ra rằng lớp các
mặt -rốn chứa trong lớp các mặt -phẳng.
Định lí 3.1.3 ([2]). Nếu M là một mặt -rốn (không -dẹt) thì trên M
tồn tại ít nhất một trờng trùng pháp và nhiều nhất hai trờng trùng
pháp. Khi đó, M có duy nhất một trờng trùng pháp khi và chỉ khi M
là mặt rốn.
Mệnh đề 3.1.10 ([2]). M là mặt hoàn toàn phẳng khi và chỉ khi trên
M tồn tại hai trờng vectơ pháp độc lập tuyến tính
1
,
2
sao cho M là
16
mặt đồng thời
1
-dẹt và
2
-phẳng.
3.2 Tính phẳng của mặt trong không gian 4-chiều

4
có trờng trùng pháp
nói chung là không còn đúng nữa. Điều kiện (P): các siêu phẳng -mật
tiếp của mặt trong R
4
song song với một mặt phẳng cố định nhng các
mặt phẳng tiếp xúc không song song với mặt phẳng này" không suy ra
đợc mặt chứa trong một siêu phẳng. Điều này đợc thể hiện trong các
ví dụ sau.
Ví dụ 3.2.1. Xét xuyến Clifford trong R
4
, đợc cho bởi tham số hoá
X(u, v) = (cos u, sin u, cos v, sin v) , 0 < u, v < 2.
17
Ví dụ 3.2.2. Xét mặt M đợc cho bởi tham số hoá
















1. Các siêu phẳng -pháp của M song song với một mặt phẳng cố
định Q;
2. Các siêu phẳng -pháp của M chứa hai điểm cố định A, B mà
A, B / M.
Mệnh đề sau cho chúng ta một số điều kiện đủ để một mặt trong R
4
chứa trong một siêu phẳng.
Mệnh đề 3.2.7 ([2]). Mỗi phát biểu sau là một điều kiện đủ để M chứa
trong một siêu phẳng.
1. M là mặt -rốn và các siêu phẳng -pháp song song với một mặt
phẳng cố định Q mà các mặt phẳng tiếp xúc không song song với
Q;
2. M là mặt -rốn và các siêu phẳng -pháp chứa hai điểm cố định
A, B mà các mặt phẳng tiếp xúc không đi qua chúng;
18
3. M là mặt -dẹt và các siêu phẳng -pháp song song với một đờng
thẳng cố định d mà các mặt phẳng tiếp xúc không song song với
d;
4. M là mặt -dẹt và các siêu phẳng -pháp chứa một điểm cố định
A mà các mặt phẳng tiếp xúc không đi qua A.
b) Tính phẳng của mặt kiểu không gian trong R
4
1
Cho M là một mặt kiểu không gian trong R
4
1
. Cũng giống trờng
hợp mặt trong R
4
, điều kiện (P) không là một điều kiện đủ để mặt kiểu

1
mà
không phụ thuộc vào thuộc tính của trờng vectơ pháp. Với các chứng
minh tơng tự, chúng ta cũng nhận đợc các kết quả đợc phát biểu nh
trong các Mệnh đề 3.2.5, 3.2.6 và 3.2.7 đối với mặt kiểu không gian trong
R
4
1
. Việc chứng minh của các mệnh đề tơng tự các Mệnh đề 3.2.5 và
3.2.6 cho mặt kiểu không gian không liên quan đến thuộc tính của trờng
vectơ pháp . Chứng minh mệnh đề tơng tự Mệnh đề 3.2.7 cho mặt kiểu
không gian có liên quan đến thuộc tính của nhng trong trờng hợp
19
này, với giả thiết M liên thông, chúng ta chỉ ra đợc rằng thuộc tính của
không đổi. Thật vậy, ngoại trừ trờng hợp là kiểu ánh sáng, nếu
là kiểu không gian (t.. thời gian) tại p thì tồn tại một lân cận V của p
để là trờng vectơ kiểu không gian (t.. thời gian) trên V. Trên V ta
giả sử có độ dài hằng 1 (t.. 1) và chứng minh đợc hằng trên V.
Vì liên tục và M liên thông nên không tồn tại điểm khác trên M để
tại đó kiểu thời gian (t.. không gian) hoặc kiểu ánh sáng.
Tính phẳng của mặt kiểu không gian trong R
4
1
thực sự khác biệt so với
mặt trong R
4
khi là trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng. Thông thờng sự
xuất hiện trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng sẽ dẫn đến những khác biệt.
Kết quả sau là một điều kiện đủ khác để M chứa trong một siêu
phẳng, trong kết quả này chỉ cần giả thiết là trờng vectơ pháp liên

(3) Đa ra đợc một số điều kiện đủ để một mặt trong không gian
4-chiều chứa trong một siêu phẳng. Đây là các kết quả thể hiện
tính chất toàn cục trên mặt trong R
4
và trong R
4
1
.
(4) Đa ra đợc các ví dụ để minh hoạ và làm rõ các kết quả đạt đợc
trong chơng. Các kết quả của chơng này đợc viết trong các bài
báo [2] và [8].
Chơng 4
Mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian
trong R
4
1
4.1 Mặt kẻ
Nếu M là một mặt kẻ thì nó có một tham số hoá địa phơng đợc
cho dới dạng
X(u, t) = (u) + tW (u), (0.2)
với |W| = 1, là đờng cong kiểu không gian tham số hoá độ dài cung
và

, W = 0.
Mệnh đề 4.1.3 ([8]). Cho M là một mặt kẻ đợc xác định bởi (0.2).
(1) Tại những điểm hệ {

, W, W

} phụ thuộc tuyến tính mọi vectơ



C(u C
1
)

+ m,
g(u) =
C
2

C
sinh


C(u C
1
)

+ k,
(u) =
1

C
cosh


C(u C
1
)


C
3
(u C
1
)
2
,
trong đó C
1
, C
2
, C
3
> 0, k là các hằng số sao cho các công thức xác
định.
Mệnh đề 4.2.8 ([8]). Với giả thiết f

g

f

g

= 0, ta có:
1. Trên [RH] tồn tại đúng hai trờng trùng pháp B
1
và B
2
thỏa mãn

, X
v
,
công thức độ cong Gauss của mặt [RH] và [RE] đợc xác định nh sau
K =
1
eg


1

g
u
e

u
+
2

e
v
g

v

,
trong đó e = |E|
1/2
, g = |G|
1/2

u + C
2
, nếu C = 0,
trong đó C
1
, C
2
là các hằng số và là dấu của E.
c) Mặt tròn xoay với kinh tuyến nằm trên một 2-phẳng
Trong mục này chúng tôi xác định đợc các điều kiện của các kinh
tuyến của mặt tròn xoay với kinh tuyến nằm trên một 2-phẳng tơng ứng
với số lợng trờng trùng pháp trên mặt.
Kết luận Chơng 4
Trong chơng này, chúng tôi giải quyết đợc những vấn đề sau:
(1) Giới thiệu khái niệm mặt kẻ kiểu không gian và mặt kẻ kiểu không
gian khả triển, xác định đợc số lợng trờng trùng pháp cũng nh trờng