ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN DUY TÂN VỀ SỐ HỌC VÀ ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU GALOIS
CỦA NHÓM LŨY ĐƠN
TRÊN TRƯỜNG HÀM ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số : 62.46.05.01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2007
Công trình được hoàn thành tại:
Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

unipotent algebraic groups over non-perfect fields”, Proc. Japan Acad.
81(6), Ser. A, pp. 121-123.
3. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures,
Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic
groups”, Proc. Japan Acad. 83(7), Ser. A, pp. 93-98.
4. N. Q. Thang, N. D. Tan (2008), “On the Galois and flat cohomology of
unipotent algebraic groups over local and global function fields, I",
Journal of Algebra 319(10), pp. 4288-4324.
5. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On the Galois and flat cohomology of
unipotent algebraic groups over local and global function fields, II”,
preprint.
6. N. Q. Thang, N. D. Tan (2007), “On an analog of Serre's conjectures,
Galois cohomology and defining equation of unipotent algebraic
groups”, preprint.

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo và
thảo luận tại:
-Hôi nghị Đại số-Hình học-Tôpô, Đà Lạt (2003).
-Hội nghị quốc tế về Lý thuyết số và các vấn đề liên quan, Hà Nội (2006).
-Seminar Lý thuyết số, Viện Toán học.
-Seminar Esnault-Viehweg, Đại học Essen, Đức (2006).
-Colloquium Đại học Eichstatt, Đức (2006).
G k
G
k G
k
k G
k G
G =
G

k p > 0 < p − 1
k
p − 1
p p
k
k G
a
k k
G
2
a
p
F (x, y) := y
p
n
− (x + a
1
x
p
+ · · · + a
r
x
p
r
),
a
i
∈ k
p
n

1
(Gal(k

s
/k

), G(k

s
))
G ϕ
v
: H
1
(k, G) → H
1
(k
v
, G)
ϕ
S
:=

v∈S
ϕ
v
ϕ
S
: H
1

s
) c = (c
s
)
s∈Γ
(G/K)(k
s
)
b
K K b L/k
H
2
(L,
b
K) = 0
b
K
c
(G/K) G
k
k p
H
1
(k, G) H
1
(k
v
, G) v
k
k = F

v
, H) H
S H/G S
k k
G
G
G
ϕ
S
: H
1
fl
(k, G) →

v∈S
H
1
fl
(k
v
, G)
k = F
q
(t) q = p
n
k
v
= F
q
((t)) k v

(k, G) → H
1
fl
(k, G/U)
G k S
k
ϕ
S
: H
1
fl
(k, G) →

v∈S
H
1
fl
(k
v
, G)
≤ 1
p
≤ 1
p > 0
x
p
0
+ tx
p
1

2
| H
1
(k
v
, G)| = 2
k t k \ k
2
G G
2
a
v
k k
v
k v
| H
1
(k
v
, G)| = 2 H
1
(k, G)
p > 2
k = F
q
(t) v t
k
v
= F
q

a
v k H
1
(k
v
, G) = {1} H
1
(k, G)
k
v
= F
q
((t)) q = p
n
, p > 2 G F
p
(t) G
p
a
x
p
0
+ tx
p
1
+ · · · + t
p−1
x
p
p−1

ch
P P
ch
=

1≤i≤r
c
im
i
T
p
m
i
i
.
k p v
k P p r
k P
ch
=
r

i=1
c
i
T
p
m
i
i

i
)
i
k p v
k G
p P r
P
ch
=
r

i=1
c
i
T
p
m
i
i
c
i
∈ k
∗
m = min{m
1
, . . . , m
r
}
v(c
1

p
)
r
H
1
fl
(k, G)
G k G = (1)
H
1
fl
(k, G)
k p
G k
G
◦
G k
G
a
k
p = 2 G
◦
k
G
a
H
1
fl
(k, G)
k

1
, , x
n−1
, y]
{1, a
1
, , a
n−1
} k k
p
, P : G
p
a
→ G
a
G p − 1
p = 2 dim(G) = 1 [k : k
p
] = p
k ≥ 1
k G
(G
a
)
p−1
G
G

F
q

1
+ tx
3
2
+ t
−1
x
3
3
+ x
3
= 0}.
H
1
(k
v
, G

) = 0
b)
k p > 2 a
k 1, a, a
2
k
p
Γ = {(c
1
, c
2
) ∈ G

3
a
|x
p
1
+ ax
p
2
+ a
−1
x
p
3
+ x
3
= 0}.
γ = (c
1
, c
2
) ∈ Γ
ϕ
γ
(x, y) = ϕ
(c
1
,c
2
)
(x, y) = (c

) = (γ + γ

, g
1
+ g

1
, g
2
+ g

2
+ ϕ
γ
(g

1
)).
G
G
2
G 1 → G
2
→ G →
G/G
2
→ 1
H
1
(k, G

)
p > 2 H
1
(k, G)
< p − 1
G
a
G
m
k G
k
k G
a
G
m
H
1
(k, G) := H
1
(Gal(k
s
/k), G(k
s
))
p > 0 p − 1
G
H
1
(k, G)
G k

K H
1
(K, G)
G
K p > 0 < p − 1 G
K H
1
(K, G)
¨u K = F
q
((t)) q = p
l
P = f
1
(T
1
)+
· · · + f
r
(T
r
) p r T
1
, . . . , T
r
K
r
\ {0} S = im P = f
1
(K) + · · · + f

K p > 0
G K
p P r
P
ch
=
r

i=1
c
i
T
p
m
i
i
K
r
\ {0} r < p
m
m = min
i
m
i
H
1
(K, G)
K G K
p
K = F

(K
v
, G)
v K
F K F K
v
v
K F
F
K F
p F a ∈ K
F (T
1
, . . . , T
n
) = a K
n
v
v K
K
p
p > 0
G
k
H
1
(k, G) := H
1
(Gal(k
s

k
k
p
p k
k G n
k G
n
= G ⊃ G
n−1
⊃ · · · ⊃ G
1
dim G
i
= i
k
G k
≥ k G

G G
G

G k n
k G =
G
n
⊃ G
n−1
⊃ · · · ⊃ G
1
dim G

p
(k) :=
cd
p
(Gal(k
s
/k)) p k
cd
p
(k) = 0 H
1
(k, G) = 0 k
G
k cd
p
(k) = 0 H
1
fl
(k, G) = 0
k G
k
k k G H
1
(k, G) = 0
k p > 0
k p
k p
k p
k p
k p

x
p
+ · · · + a
r
x
p
r
, ∃i, a
i
∈ k
p
},
{(x, y) ∈ G
2
a
|y
p
n
= x + b
1
x
p
+ · · · + b
s
x
p
s
, ∃j, b
j
∈ k