PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG
Hai biến số Ba biến số
1.
( )
2 2
a +b 2 ,ab a b R≥ ∀ ∈
1.
3
3a b c abc+ + ≥
2.
2a b ab+ ≥
( )
0, 0a b≥ ≥
2.
3 3 3
a +b 3c abc+ ≥

3.
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
, 0x y >
3.
1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥
+ +
, , 0z y z >
4.

a b c
abc
+ +
≤
7.
3
3 3
2 2
a b a b+ +
 
≥
 ÷
 
7.
3
3
a b c
abc
+ +
 
≤
 ÷
 
8.
( )
2 2
,
2
a b
ab a b R

b c c a a b
+ + ≥
+ + +
,a,b,c>0
2. Bất đẳng thức CAUCHY.(AM-GM)
Cho
1 2 n
1 2 1 2
a +a + +a
0, 0, , 0 .
n
≥ ≥ ≥ ⇒ ≥
n
n n
a a a a a a
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2
= = =
n
a a a
(Điểm rơi của BĐT)
3. Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI (3 dạng)
1.
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 1 2
.
n n n n

aaa
n
b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2
2
2
1
2
1

b.
2
1 21 2

7.
a b c ab bc ca
2 2 2
2( )+ + ≥ + −
3.
a b c a ab a c
4 4 2 2
1 2 ( 1)+ + + ≥ − + +
8.
a
b c ab ac bc
2
2 2
2
4
+ + ≥ − +
4.
a b c d e a b c d e
2 2 2 2 2
( )+ + + + ≥ + + +
9.
ab
a b
2 2
1 1 2
1
1 1
+ ≥
+
+ +

a b c abc
2 2 2
( 1)( 1)( 1) 8+ + + ≥
2.
a b c d abcd
2 2 2 2
( 4)( 4)( 4)( 4) 256+ + + + ≥
Bài tập 3.Cho a, b, c
∈
R. Chứng minh:
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +
(1). Áp dụng chứng minh
1.
a b c a b c
2 2 2 2
( ) 3( )+ + ≤ + +
4.
a b c a b c
2
2 2 2
3 3
 
+ + + +
≥
 ÷
 
2.
a b c ab bc ca

+ + ≤
+ + + + + +
; với a, b, c > 0.
2.
a b b c c a
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
3.
a b b c c a
1 1 1
1
1 1 1
+ + ≤
+ + + + + +
; với a, b, c > 0 và abc = 1.
4.
+ + + + + ≥ + +
3 3 3 3 3 3
3 3 3
4( ) 4( ) 4( ) 2( )a b b c c a a b c
với a, b, c
≥
0 .
5.
A B C

9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
b a c b a c
a b c
ab b bc c ca a
3 3 3 3 3 3
2 2 2
5 5 5
3 3 3
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
2
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
10.Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
− − −
+ + ≤ + +
+ + +
a b b c c a
a b c
ab a bc b ca c
3 3 3 3 3 3
2 2 2
41 41 41
5( )
7 7 7
11.Cho a,b,c>0. Chứng minh:
( )
3 3 3
3 3 3

4(x y ) 4(x z ) 4(z x ) 2
y z x

14.Cho a, b, c >0 CMR:
a b c a b c a b c
3 3 3 2 2 2
3( ) ( )( )+ + ≥ + + + +
15.Cho a, b, c >0 CMR:
a b c a b c
3 3 3 3
9( ) ( )+ + ≥ + +
Bài tập 5. Cho a, b, x, y
∈
R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):
a x b y a b x y
2 2 2 2 2 2
( ) ( )+ + + ≥ + + +
(1)Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
1. Cho a, b
≥
0 thoả
a b 1+ =
. Chứng minh:
a b
2 2
1 1 5+ + + ≥
.
2. Tìm GTNN của P =
a b
b a

1 1 1 1 1 1
2
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
; với a, b, c > 0.
2.
a b b c c a a b c a b c a b c
1 1 1 1 1 1
2
2 2 2
 
+ + ≥ + +
 ÷
+ + + + + + + + +
 
với a, b, c > 0.
3. Cho a, b, c > 0 thoả
a b c
1 1 1
4+ + =
. Chứng minh:
a b c a b c a b c
1 1 1
1
2 2 2
+ + ≤
+ + + + + +

x y z
+ + =
Tìm GTLN:
1 1 1
2 2 2x y z x y z x y z
+ +
+ + + + + +
ĐH07
Bài tập 8.Cho a, b, c > 0. Chứng minh
a b c a b c
1 1 1 9
+ + ≥
+ +
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
1.
a b c a b c
a b b c c a
2 2 2
1 1 1 3
( ) ( )
2
 
+ + + + ≥ + +
 ÷
+ + +
 
Với a, b, c > 0
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
3
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

2 cos2 2 cos2 2 cos2 5
+ + ≥
+ + −
.
6. Cho x, y, z d¬ng vµ x+y+z = 1.T×m min cña
1 1 1
1 1 1
P
x y z
= + +
+ + +

7. Cho a, b, c >0 ;thoả mãn a + b + c ≤ 3. CMR
ab bc ca
a b c
2 2 2
1 2009
670+ ≥
+ +
+ +
8. Cho x, y, z >0 thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2
≤ 3. Tìm GTNN:
1 1 1
1 1 1
P

≥
0
d)
2
2
2
2
1
a
a R
a
+
≥ ∀ ∈
+
e)
( )
1
3 0a a b
b a b
+ ≥ ∀ > >
−
f)
( )
( )
2
4
3 0
1
a a b
a b b

0
k)
ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ +
+ + ≤
+ + +
; với a, b, c > 0.
l)
3
1 1 1
1 1 1 2 1
a b c
a b c
abc
+ +
 
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
với a, b, c > 0.
m)
a b c
b c c a a b
3
2
+ + ≥




+






+
c
a
ba
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
4
PHN LOI BI TP BT NG THC
2. Tỡm GTNN ca cỏc biu thc sau:
a)
x
y x
x
18
; 0
2
= + >
b)
x
y x
x

= + >

f)
x
y x
x
3
2
1
; 0
+
= >
g)
x x
y x
x
2
4 4
; 0
+ +
= >
h)
y x x
x
2
3
2
; 0= + >
3. Cho x, y, z >0 tho món xyz = 1. CMR:
+ + + +

ữ ữ ữ

x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3
H 05
7. Cho x, y, z>0
2 2 2
3
x y z
4
+ + Ê
. Tỡm GTNN:
3 3 3
1 1 1 1
P 4(x y)(y z)(z x)
2
x y z
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
= + + + + + +
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ

a)
y x x x( 3)(5 ); 3 5= +
b)
y x x x(6 ); 0 6=
c)
y x x x
5
( 3)(5 2 ); 3
2
= +
d)
y x x x
5
(2 5)(5 ); 5
2
= +
e)
y x x x
1 5
(6 3)(5 2 );
2 2
= +
f)
x
y x
x
2
; 0
2
= >


7. Bit x,y,z,u
0
v 2x+xy+z+yzu=1, Tỡm GTLN ca P =
2 2 2
x y z u
(HSG QB 09). minP =
1
512
8. Cho
, ,a b c
>0 thỏa mãn
3a b c
+ + =
. CMR:
3 3 3
1 1 1 5a b b c c a+ + + + +

9. Cho a,b,c >0 v (a+b)(b+c)(c+a)>0. CMR
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( )
4
b bc c c ca a a ab b ab bc ca
a bc b ca c ab a b c
+ + + + +
+ + +
+ + + + +
T Toỏn tin - THPT NINHCHAU
5

2 2 2 2 2 2
1
( )
5
3 8 14 3 8 14 3 8 14
2. Cho a, b, c>0 thoả mãn:
ab bc ca 1
+ + =
. CMR:
a b c
a b c
2 2 2
3
2
1 1 1
+ + ≤
+ + +
3. Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz . Tìm GTLN.
2 2 2
1 1 1
2 2 2
P
x yz y zx z xy
= + +
+ + +

4. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn:
2 2 2
a b c 3
+ + =

+
++
+
++
=
accbba
P
7. Cho a,b,c
0≥
CMR:
1
)()()(
33
3
33
3
33
3
≥
++
+
++
+
++ abc
c
cab
b
cba
a
(HSG QB 2010

15
222
+






++=






++
cabcab
cba
.
TÌM GTLN
222222
225
1
225
1
225
1
acaccbcbbaba
P

+ +
+ + − + + − + + −
.
14. Cho các số thực a,b,c>0. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )
3 2.
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
bc b c ca c a ab a b
+ + +
+ + ≥
+ + +
Tổ Tốn – tin - THPT NINHCHAU
6
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
DẠNG 4. KỶ THUẬT GHÉP THÊM
1.
0,, >∀ cba
th×
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
222
2.

y1
x
222
≥
+
+
+
+
+

5. Cho ba số thực a, b, c dương . Chứng minh :
( )
3 3 3
2 2 2
1
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
+ + ≥ + +
+ + +

6. Cho x, y, z là ba số thực dương.Chứng minh rằng:
3 3 3
x y z
x y z
yz zx xy
+ + ≥ + +
7. Cho a,b,c >0 và abc=1. CM:
3 3 3

x y z
x y z y z x z x y

≥
+ +
5 5 5
4
x y z

10. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 3 3
(a b c) (b c a) (c a b)
P
3c 3a 3b
+ - + - + -
= + +
.
11. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.CMR:
3 3 3
2 2 2
3
3 3 3 4
a b c
b c a
+ + ≥
+ + +
.
12. Với a; b; c>0 thoả mãn a + b + c = 1. Tìm GTNN:
3 3 3

c)(b
3
a
++≥
+
+
+
+
+
15. Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc =1. Tìm GTNN của:
bcac
ab
abcb
ca
caba
bc
T
222222
+
+
+
+
+
=
16. Cho a,b,c >0 tho¶ a.b.c =1.T×m GTNN F=
23
5
cb
a
+

+ + +
18. Cho a,b,c>0 , a
2
+b
2
+c
2
=3. Tìm GTNN
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
= + +
+ + +
19. Cho a, b, c >0thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm GTNN:
2 2 2
b b c c a a
P
a b c b c a c a b
= + +
+ + + + + +
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
7
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
20. Cho x, y, z >0 thoả mãn
x y z 3+ + =
. CMR:
x y z

= + +
+ + +

23. Cho 3 số dương a, b, c thoả abc = 1. Tìm Min của P =
6
a
b c+
+
6
b
c a+
+
6
c
a b+
P=
3
2
24. Cho x,y,z>0 vµ x+y+z = 6. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
3 3 3
x y z
A
y z z x x y
= + +
+ + +

DẠNG 5. GHÉP ĐỐI XỨNG
1. Chứng minh :
ab bc ac
a b c

1
abc
8

6. Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz.Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).A
max
=
1 3
8 2
x y z⇔ = = =
7. Cho a,b,c > 0thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng
2 2 2
ab bc ca a b c+ + ≥ + +
8. Cho các số thực x, y, z thoả mãn
1 1
, , 1
3 2
x y z> > >
và
3 2 1
2
3 2 2 1x y z
+ + ≥
+ +
.Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
(3 1)(2 1)( 1)A x y z= − − −
.
DẠNG 6. KỶ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG AM-GM

=+
.Tìm giá trò nhỏ nhất
33
yxA +=
5. Cho
0,, >zyx
và
3zyx
222
=++
Tìm giá trò nhỏ nhất
444
zyxA ++=
6. Cho a ; b ; c >0 :
2
3
≤++ cba
T×m GTNN cđa:
.
111
cba
cba +++++
7. Cho x ; y lµ hai sè d¬ng tho¶ m·n : x + y = 1 . T×m GTNN cđa:
)
1
)(
1
(
2
2

= + +
+ + +
P
a b b c c a
.
10. Cho a, b, c, d > 0. CMR:
a
b
b
c
c
d
d
a a b c d
2
5
2
5
2
5
2
5 3 3 3 3
1 1 1 1
+ + + ≥ + + +

11. XÐt ba sè a, b, c >0 tháa m·n a
2009
+ b
2009
+ c

     
15. (ĐH-B-2007)Cho x>0,y>0,z>0 . Tìm GTNN của:P=
x 1
x
2 yz
 
+
 ÷
 
+
y 1
y
2 xz
 
+
 ÷
 
+
z 1
z
2 xy
 
+
 ÷
 
.
16. Cho ba sè a, b, c sao cho




18. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
2012 2012 2012
3
4
1006
P a b c abc
= + + +

DẠNG 7. CAUCHY NGƯỢC DẤU
1. Cho
0,, >cba
và
3cba =++
Tìm giá trò nhỏ nhất
222
a1
c
c1
b
b1
a
A
+
+
+
+
+
=
2

d
2
dcba
ad
d
dc
c
cb
b
ba
a
22
3
22
3
22
3
22
3
+++
≥
+
+
+
+
+
+
+
4. CM
∀

a b b c c a
+ + + + + ≥ + +
+ + +
6. Cho
, , 0 ,xyz=1.x y z >
4 4 4
2 2 2
3
CMR:
2
1 1 1
x y y z z x
x y z
+ + ≥
+ + +
7. Cho a, b, c, d>0 thoả mãn a + b + c + d = 4. CM:
a b c d
b c c d d a a b
2 2 2 2
2
1 1 1 1
+ + + ≥
+ + + +
8. Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
y z x y z x
+ + ≥ + +
9. Cho a, b, c là 3 số dương và . Chứng minh

n
và b
1
, b
2
, b
n
tùy ý 3.
n
bbb
n
aaa
n
b
n
a
b
a
b
a
+++
+++
≥+++

21
2
)
21
(
2

2. Cho a,b,>0:
2 2 2
1.a b c+ + ≥
CM
3 3 3
1
2
a b c
b c a c b a
+ + ≥
+ + +
3. Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức:
4 4 4
.S x y z xyz= + + −
4. Cho x,y,z>0 Tìm GTNN của biểuthức:
2 2 2
2 2 2
.
2 2 2
x y z
S
x yz y yx z yx
= + +
+ + +
5. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức:
.ab bc ca abc+ + =
Chứng minh BĐT:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3


2 2

9. Với giả thiết các số thực dương a,b,c. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1
2 2 2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
b)
1
2 2 2
a b c
a bc b ca c ab
+ + ≥
+ + +
c)
3 3 3 2 2 2
2 2 2 3
a b c a b c
a b b c c a
+ +
+ + ≥
+ + +
d)
3 2 3 2 3 2
1
a b c

a b c
a b a c b c b a c a c b
+ + ≤
+ + + + + +
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
10
PHN LOI BI TP BT NG THC
10. Cho tam giỏc ABC. im M nm trong tam giỏc. Ln lt gi x, y, z l di ng cao tng ng
h t M xung cỏc cnh BC, AC, AB.Chng minh rng:
R
cba
zyx
2
222
++
++
11. Cho
, ,x y z
>0 v
1x y z+ +
, CM
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
+ + + + +
(H 2003)
12. Cho cỏc s thc x; y khụng õm x + y = 1.Tỡm GTNN P =
22


5. Cho a, b, c>0 tho abc = 1. CMR:
2 2 2
1
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1) 3
a b c
ab ab bc bc ac ac
+ +
+ + + + + +
6. Cho ba số a, b, c sao cho



=
>
1
0,,
abc
cba
. Tìm GTNN =
( )
+
+ cba
3
1
( )
+
+ cab
3
1

b c a
a b b c c a
1
2 2 2
+ +
+ + +
11. Cho a, b, c>0 tho món abc = 1. Chng minh rng:
a b c
2 2 2
1 1 1 3
2
1 1 1
+ +
+ + +
12. Cho x, y, z >0
( )
3x x y z yz+ + =
.CM:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 5x z x y x y x z y z y z+ + + + + + + Ê +
13. Cho x,y,z >0 xyz=1. CM:
4 4 4 4 4 4
5 5 4 4 5 5 4 4 5 5 4 4
x y y z z x
1
x y x y y z y z z x z x
+ +
+ + + + + +
14. A-7).Cho x,y,z >0 vaứ thoỷa maừn xyz=1. TỡmGTNN

T Toỏn tin - THPT NINHCHAU
11
PHÂN LOẠI BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
16. Cho a, b, c, d>0. CMR:
3
2
c3b2a
d
b3a2d
c
a3d2c
b
d3c2b
a
≥
++
+
++
+
++
+
++
17. Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác .Chứng minh rằng
4 9 16
26
a b c
b c a c a b b a c
+ + ³
+ - + - + -
18. Cho

5 4 4 4 2 6
a b c c a
c a a b c a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + +

21. Cho
, ,a b c
>0 thỏa
2 2 2 3 3 3
a b c a b c+ + = + +
. CM
1 1 1
1
8 1 8 1 8 1
a b c
+ + ≥
+ + +
.
Tổ Toán – tin - THPT NINHCHAU
12