Những dạng bài tập Đại số cần nhớ trong Toán
nâng cao lớp 10
1.Sự biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a;b).
→
Hướng giải quyết:
•
∀
x
∈
(a;b) ; x
1
≠
x
2
. Tính f( x
2
) - f( x
1
) = ?
• Lập tỉ số :
2 1
2 1
( ) f(x )
x
f x
x
−
−
= k
• Nếu : + k
〉

)-f(x
1
) = x
2
2
+

2 x
2
– 2 – ( x
1
2
+ 2x
1
-2) =
( x
2
– x
1
)(x
2
+ x
1
+ 2)
Suy ra :
2 1
2 1
( ) f(x )
x
f x

2
+ x
1
+ 2
〈
0
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-
∞
;-1).
• Xét (-1; +
∞
): Tương tự
*******************************************
2. Vẽ Parabol y = ax
2

+ bx + c ( a
≠
0 )
→
Hướng giải quyết:
• Cho tập xác định D = R
• Tìm đỉnh của (P) : I
;
2 4
b
a a
∆
 
− −

Note : + Nếu a
〉
0 thì bề lõm quay lên trên; nếu a
〈
0 thì bề lõm quay
xuống dưới.
+ Hàm số này đồng biến trên khoảng
;
2
b
a
 
− +∞
 ÷
 
và nghịch biến
trên khoảng
;
2
b
a
 
−∞ −
 ÷
 

*
Example: Vẽ đồ thị của hàm số :
2
2 3.y x x= − −

0 ) thỏa mãn điều kiện cho trước.
→
Hướng giải quyết:
• Đỉnh của (P) : I
;
2 4
b
a a
∆
 
− −
 ÷
 

• Trục đối xứng của ( P) : x =
2
b
a
−

• Nếu a
〉
0 thì GTNN của hàm số là
4a
∆
−
khi x =
2
b
a

−
= -2;
4a
∆
−
= -2
⇒
b = 4a (1) ; b
2
– 4ac = 8a (2)
*
Thay c = 0 vào (2) ta được : b
2
= 8a (3)
Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
3
*
Thế b = 4a vào (3) ta được : a =0 (L) or a =
1
2
( Thỏa mãn ) .Với a =
1
2
⇒
b = 2.
Vậy đồ thị của hàm số này là :
*************************************
4.Giải và biện luận phương trình bậc hai : ax
2


∆
〉
0 thì pt trên có 2 nghiệm phân biệt x
1
= (-b+
∆
) : 2a và

x
2
= (-b-
∆
) : 2a.
*
Example: Giaỉ và biện luận phương trình sau: x
2
- 4x + m - 3
→
Bài giải:
• Cho tập xác định D = R
• Ta có:
∆
’ = 7- m
*
Nếu
∆
’

〈
0

Nếu
∆
’= 0
⇔
7- m = 0
⇒
m =7. Khi đó pt có 2 nghiệm kép: x
1
= x
2
= 2.
Kết luận: - m
〉
7: S =
φ
- m
〈
7: S =
{
2
}
- m = 0: S =
{
2+ (7-m); 2- (7-m)
}

******************************************

5. Cho phương trình: ax
2

=
c
a
(Hệ thức vi-ét)
• x
1
2
+

x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1.
x
2

•
(x
1
- x
2
)
2

1
x
2

]
2
- 2 x
1
2
x
2
•
x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
- x
2
)
3
- 3 x
1
x
2
(x
1

2
1 2
1 2
0
0
x x
x x
< <

⇔

< =


•
1 2
0
0
0
p
x x
s
=

< = ⇔

<


•

0
⇔
0
0
0
s
p
∆ >


<


>

( Hai nghiệm cùng âm phân biệt )
•
0
〈
x
1
≤

x
2
⇔
0
0
0
s

>


*
Note: + Phương trình có ít nhất một nghiệm dương
⇔
1 2
1 2
1 2
0
0
0
x x
x x
x x
< <


= <


< <


+ Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiện nhỏ
⇔
x
1
- x
2



>


2
( 3) 1( 2) 0
6
0
1
2 0
m
m

− − − >


⇔ >


− >



11
2
m
m
<


hợp
nghiệm của pt (2) và (3).
*
Example: Giải và biện luận pt sau : mx – x + 1 = x + 2 . (1)
→
Bài giải:
• D = R
• Phương trình (1)
⇔
mx – x + 1 =
2
( 2)
x
x
+


− +
⇔

( 2) 1(2)
3(3)
m x
mx
− =



→
Remart :
• Với m
≠
0, pt(3)
⇔
2x = -3
⇔
x =
3
2
−
Với m = 0, pt (2)
⇔
-2x =1
⇔
x=
1
2
−

• Nếu
3 1
2m m
− =
−

⇔
m =
3

 

Nếu m = 0
⇒
S =
3
m
 
−
 
 

Nếu m =
3
2
⇒
S = { -2 }.
****************************************
7. Giải và biện luận phương trình : (ax + b) : ( cx + d ) = e
→
Hướng giải quyết:
• Đưa pt trên về dạng : ax = b
• Từ đó giải và biện luận phương trình này để suy ra nghiệm của pt
trên.
*
Example: Giải và biện luận pt sau:
2 1
2
1
a

−
−

≠
1
⇔
a
≠
1
2

*
Nếu a = 2 : Pt (2) vô nghiệm. Do đó, pt (1) vô nghiệm.

Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
7
Kết luận :
*
a
≠
2 và a
≠
1
2
thì : S =
3 3
2
a
a
−

• Thế (*) vào pt trên để ta được một pt mới toàn ẩn t. Giaỉ và biện
luận pt new này để tìm được t, sau đó thế t vào để tìm được được x,
giải quyết các vấn đề mà bài toán đặt ra.
*
Example: Giải pt sau : 4x
2
- 12x – 5[ ( 4x
2
– 12x + 11 ) ] + 15 = 0 (1)
→
Bài giải:
•
Đặt t = ( 4x
2
– 12x + 11 ) ( Điều kiện t
≥
0 )

⇒
t
2
= 4x
2
– 12x + 11 nên t
2
– 11 = 4x
2
– 12x (*)
•
Thế (*) vào pt (1), ta được : t

C
(1)
→
Hướng giải quyết:
•
Điều kiện : Đồng thời cả A, B, C đều
≥
0
•
Đưa pt (1) về dạng :
A
=
B
+
C
(2)
•
Giải pt (2) bằng cách bình phương cả hai vế của pt : (
A
)
2
= (
B
)
2

+ (
C
)
2

≠
3
• Pt (1)
⇔

2 2
2 4 0
3 (2 4)
x
x x x
+ ≥


− = +


2
2
3 19 16 0
x
x x
≥ −

⇔

+ + =


2
1

• Điều kiện:
2 1 0
6 0
1 0
x
x
x
− ≥


− ≥


− ≥


1
2
6
1
x
x
x

≥


⇔ ≤



x Loai
≥


− ≥ ≥
 
 =

⇔ − − = − ⇔ ⇔ ⇔
  

− − = − − + =
 


=



Vậy : Nghiệm của pt là:
3x
≥
và
5x
=

10. Giải hệ pt gồm 1 pt bậc nhất hai ẩn và 1 pt bậc 2 hai ẩn.
→
Hướng giải quyết: Sử dụng phương pháp thế
*

x y
= − ⇒ = −

⇔

= ⇒ =

Vậy hệ pt có nghiệm:
8
10
x
y
= −


=

;
10
8
x
y
=


=

.
******************************************
11. Hệ pt đối xứng hai ẩn x và y

3 3 3
( ) 3x ( )x y x y y x y+ = + − +

*

2 2 2
( ) 2xx y x y y+ = + = −

• Example: Giải hệ pt sau:
2 2
8
5
x y x y
xy x y

+ + + =

+ + =

(1)
→
Bài giải:
Hệ pt (1)
2
( ) 2 8
5
x y xy x y
xy x y

+ − + + =

3
s
s s
s
= −

⇔ + − = ⇔

=


• Với s = 3 suy ra p = 2
3
2
x y
xy
+ =

⇒

=


Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
10
Suy ra x và y là nghiệm của pt:
2
1
3 2 0
2


• Với s = - 6 suy ra p = 11. Ta có: s
2
– 4p = 36-44 < 0 (Loại)
Kết luận : Vậy hệ pt có nghiệm
1
2
x
y
=


=

và
2
1
x
y
=


=


******************************************
12. Bất phương trình – Xét dấu của f(x) = ax+b (a
≠
0).
→


−∞

1
4

+∞

-4x+1 + 0
−

Kết luận:
*

( )f x
> 0
1
( ; )
4
x∀ ∈ −∞

*
( )f x
< 0
1
( ; )
4
x∀ ∈ +∞
.
Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong

2 3
+∞
VT
−
KXĐ + 0
−
0 +
Kết luận: Vậy S =
]
( ; 1) 2;3

−∞ − ∪

.
3. Giải bất pt sau:
2
(2 1)( 30) 0x x x+ + − ≥

→
Bài giải:
•
D = R
•
Ta có:
*
1
2 1 0
2
x x
−

−
0 +
Kết luận: Vậy S =
[
)
1
6; 5;
2
 
− − ∪ +∞
 
 
.
**************************************
13. Tìm tham số m để f(x) = ax
2
+ bx + c luôn
0; 0; 0; 0> ≥ < ≤

x R
∀ ∈

→
Hướng giải quyết:
• Xét a = 0
• Ta có:
Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
12
+ f(x)
0


0
0
a <

⇔

∆ <


+ f(x)
0
≤
x R
∀ ∈

0
0
a <

⇔

∆ ≤


*
Example: Tìm m để f(x) = (m - 4)x
2
+ (m + 1)x + 2m-1 luôn không âm.
→

− + ≥
4
3
7
5
m
m
m
>




⇔
≤





≥



5m⇒ ≥

Kết luận: Vậy

(Tùy vào tình hình thực tế để giải
quyết)
Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
13
*
Example: Giải và biện luận bất pt sau:
( 1) 3 4 1m x m x+ + + ≥ +

→
Bài giải:
• D = R
• Bất pt (1)
( 3) 2m x m⇔ − ≥ − −

+ Nếu m – 3
0
>
suy ra m > 3. Khi đó bất pt (2)
2
3
m
x
m
− −
⇔ ≥
−

+ Nếu m – 3 < 0 suy ra m < 3. Khi đó bất pt (2)
2
3

3
m
m
− −
 
−∞


−
 

+ m = 3: S = R
********************************************
15. Tìm m để bất pt có nghiệm
→
Hướng giải quyết: Áp dụng
*
Example: Tìm m để bất pt sau có nghiệm:
2
5 6 0(1)
4 0(2)
x x
mx

− + <

+ <


→

;S
M
 
= −∞ −
 ÷
  Hệ bất pt có nghiệm
1 2
S S
φ
⇔ ∪ ≠

0
4
2
m
m
>


⇔

− >



0
2

S S
φ
⇔ ∪ ≠

0
4
3
m
m
<


⇔

− <



0
4
3
m
m
<


⇔

< −


g x
f x g x
≥

⇔

>


•
( ) ( )f x g x≤

2 2
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
≥

⇔

≤


• Hai cái còn lại ngược lại tương ứng
*
Example: Giải bất pt sau;
2
1 2 5x x x− + − ≤ +
(1)

2 2
5
2
( 3 4)( 6) 0(2)
x
x x x x

≥ −

⇔


− + + − − − ≤

Giải bất pt (2):
Ta có:
•
2
1
3 4 0
4
x
x x
x
= −

− + + = ⇒

=



1 4x⇒ − ≤ ≤

Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt này là:
Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
4
3
m < −
1 4x
− ≤ ≤
15
* Note:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤

( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
≤

⇔

≥ −

(Áp dụng với cả
các dấu còn lại)
*
Example: Giải bất pt sau:
2 2
4 5 4x x x− ≥ − +




≥
− ≥ − +




≥



0x
⇒ ≥ Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt này là:
**********************************************
17. Giải bất pt dạng:
( ) ( ); (x) ( )f x g x f g x< ≤

→
Hướng giải quyết:
•
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x

(1)
→
Bài giải:
Bất pt (1)
2 2
2 2
3
4
12 0 12 0
3
7 0 7 0 7
61
4
13 61 0 61
13
12 (7 )
13
x
x
x x x x
x
x x x
x
x
x x x
x

≤ −




3x ≤ −
hoặc
61
4
13
x≤ ≤

16
18. Giải bất pt dạng:
;A B A B> ≥

→
Hướng giải quyết:
•
2
0
0
0
A
B
A B
B
A B

≥



<


≥ ⇔

≥




≥



*
Example: Giải bất pt sau:
2
3 10 2x x x− − ≥ −

→
Bài giải:
Bất pt (1)
2
2 2
3 10 0
(1)
2 0
2 0
(2)
3 10 ( 2)
x x
x


≤ −



⇔ ⇒ ≤ −
≥



<


Giải hệ bất pt (2)
2
14
14
x
x
x
≥

⇔ ⇒ ≥

≥


Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt là:
19. Giải bất pt bằng cách đặt ẩn phụ
→

2 2
3t x x⇒ = +

Bất pt (1)
2
6t t⇔ ≤ −

2
6 0 3 2t t t⇔ + − ≤ ⇒ − ≤ ≤

Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
2x ≤ −
hoặc
14x ≥

17
Kết hợp với điều kiện:
3 2
0
t
t
− ≤ ≤


≥


0 2t
⇒ ≤ ≤
hay



4 3
0 1
x
x
− ≤ ≤ −

⇒

≤ ≤


Kết luận: Vậy nghiệm của bất pt là:
Văn Hội – THPT Lê Hồng Phong
4 3x
≤ ≤ −
hoặc
0 1x
≤ ≤
18