Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

Người soạn Vũ Văn Bắc
Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012

3 x 1 1 1
B :
x 1
x 1 x x
 

 
 
 

 
 
với
x 0 ; x 1
 

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để
2P x 3
 

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011)
Lời giải
a) Với điều kiện
x 0 ; x 1
 
ta có

 
3 x 1 x 1

P 2 x


b) Với điều kiện
x 0 ; x 1
 
và
P 2 x
 ta có

2P x 3 4 x x 3
    



x 4 x 3 0 x 1 x 3 0
       x 1 0 x 1 x 1
x 9
x 3 0 x 3
 
   

  
 


Bài toán 1.1. Cho biểu thức






6
5
3
2
aaa
a
P
a2
1

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a sao cho
1
P


c) Tìn a sao cho
2012
P 
Bài toán 1.2. Cho biểu thức P =



:
1
1
xx
x
x
x
x
x
x
x

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x sao cho
0
P


Bài toán 1.3. Cho biểu thức P =












a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
6
5
P


Bài toán 1.4. Cho biểu thức P =





















1























a
a
a
a
a
a
a
aa




















12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx






1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
0
P


Bài toán 1.8. Cho biểu thức P =








a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức 1
P a

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comTài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 1.9. Cho biểu thức
1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
 
   
 
  
 
 
 







a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a sao cho
7 4 3
P  
Bài toán 1.11. Cho biểu thức P =









x
x
x

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
2
P


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài toán 1.12. Cho biểu thức
P

















a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để
1
P


Bài toán 1.13. Cho biểu thức
P

3
32
1
23
32
1115








x
x
x
x
xx
x



trong đó
0
m


a) Rút gọn P
b) Tính x theo m sao cho
0
P


c) Xác định các giá trị của m sao cho x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện
1
x


Bài toán 1.15. Cho biểu thức
P

1
2
1
2





a



















1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab




















1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa











1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a sao cho
0
P


1
:
1
1
11
2 













 x
xxx
x
xx
x

a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng :
0
P



1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx

a) Rút gọn P
b) Tính P

khi
5 2 3
x  
Bài toán 1.22. Cho biểu thức
P



yx
xyyx
xy
yx
yx
yx






























 baba

1
















a
aa
aa
aaaa
a
aa

a) Rút gọn P
b) Cho
6
1 6
P 



3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx

a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì
1
P
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com





a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a sao cho P có giá trị nguyên
Bài toán 1.27. Cho biểu thức
P






















xyyx
yyxxyx
yx
yxyx






















a) Rút gọn P
b) Cho
16
xy

P
VẤN ĐỀ 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán
 Một số câu hỏi mang tính tương đối
 Tìm biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm : dùng Viet để giải
 Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức nào đó : dùng Viet để giải nhưng
chú ý về điều kiện

để phân tích biểu thức thành dạng tích cộng với một hằng số nào đó
hay là phân tích thành dạng bình phương cộng với một hằng số nào đó. Ví dụ như điều kiện
để phương trình có nghiệm là
1

x
thì ta phân tích về dạng
.( 1)

b x trong đó
1
 
b x
. Nếu
như
1
 
b x

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
chứng minh rằng





2
1 2
1 5
m x x m m
    

h) Tìm m khi ta có hệ thức sau
1 2
2 7
x x  trong đó
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình.

2
8 9 0
x x
  

Phương trình này có
' 16 9 7 0
    
khi đó thì phương trình có 2 nghiệm

1 2
4 7 ; 4 7
x x   

Vậy với
2
m

thì phương trình đã cho có tập nghiệm là



4 7 ; 4 7
S   
b) Để giải quyết được câu hỏi này thì ta chia làm hai trường hợp như sau
Trường hợp 1.
1
m

thì ta có

m
 
thì phương trình đã cho là có nghiệm.
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

1
1
' 0 3 1 0
3
m
m m




       



Khi đó theo hệ thức Viet thì ta có

1 2 1 2
4 4 1
;
1 1
m m
x x x x
m m

  

Do đó ta ngay hệ thức cần tìm như sau



1 2 1 2
5 4 20 16 4
x x x x
    

Vậy hệ thức cần tìm là


1 2 1 2
5 4 20 16 4
x x x x
    

d) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi
1 1
1 2
' 0
0
0
x x
x x

 





 




1 2
1
4
0 0
0
1
m
m
x x
m
m


    






Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi
1
1 0
3

4 1
0 0
1
1
4
m
m
x x
m
m




   


 




1 2
4
0 0 0 1
1
m
x x m
m
      

m

      


Vậy phương trình có hai nghiệm âm phân biệt trái dấu khi
1
1
3
m
  

g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta có
   
2 2
1 2 1 2 1 2
4
x x x x x x
   
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Áp dụng hệ thức Viet ta được
 


Mặt khác
      
2 2
1 2 1 2
1 1
m x x m x x
    

Vậy




2
1 2
1 5
m x x m m
    
dấu bằng có khi
2.
m


h) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm
1 2
,
x x
là
1

2 2
16 4( 1)(4 1) 28( 1)
m m m m
     2 2 2
16 4(4 3 1) 28( 2 1)
m m m m m
      2
28 56 28 12 4 0
m m m
     2
28 68 24 0
m m
   2
7 17 6 0
m m


   
1 2 2 1
2 2 0
x x x x

 
       
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 2 0 9 2 0
x x x x x x x x

Từ đây áp dụng hệ thức Viet ta được


      


2
2
2
9(4 1) 2.16
0 9( 1)(4 1) 32 0
1
( 1)

4 1 4( 1) 5 5 5
4 4
1 1 1 1
m m
x x x x
m m m m

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comTài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Khi đó ta có :

    
 
1 2
1 2
1 1 4
4
4 5 1
m
x x
x x m

Với
   
1 1 0
m m


0412
2
 mxmx
(x là ẩn số )
a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức
M





1221
11 xxxx  không phụ thuộc vào m
Bài toán 2.4. Tìm m để phương trình :
a)


012
2
 mxx có hai nghiệm dương phân biệt
b)
0124
2
 mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
2 2

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm
2
2
0
0
x bx c
x cx b

  


  



Bài toán 2.7. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung

2
2
2 (3 2) 12 0
4 (9 2) 36 0
x m
x m x

   


   



05212
2
 mxmx
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu khi đó hai nghiệm mang dấu gì.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 2.11. Cho phương trình


010212
2
 mxmx
(với m là tham số)
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là
1
x
và
2
x
hãy tìm một hệ thức liên hệ
giữa
1
x

0
2
5
1
2
2
1

x
x
x
x

Bài toán 2.13. Giả sử phương trình
0.
2
 cbxxa
có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

Đặt
nn
n
xxS
21
 với n nguyên dương. Chứng minh rằng : 0.

có hai
nghiệm lớn hơn 2
Bài toán 2.15. Cho phương trình


05412
22
 mmxmx
a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi
21
;xx là hai nghiệm nếu có của phương trình tính
2
2
2
1
xx 
theo m
Bài toán 2.16. Cho phương trình


0122  mxmx
x

a) Giải phương trình khi
1
2
m





Bài toán 2.18. Cho phương trình


05222
2
 kxkx (k là tham số)
a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21
;xx là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của k sao cho 18
2
2
2
1
 xx
Bài toán 2.19. Cho phương trình


04412
2
 mxxm (1)
a) Giải phương trình (1) khi
1
m



Bài toán 3.1. Tìm giá trị của m để hệ phương trình


 





21
11
ymx
myxm

có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện
x y

nhỏ nhất.
Bài toán 3.2. Giải hệ phương trình và minh hoạ bằng đồ thị
a)





xy
yx
52
1
b)

42
aybx
byx

a) Giải hệ phương trình khi
ba 

b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có vô số nghiệm.
Bài toán 3.4. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số





mmyx
mymx
64
2

Bài toán 3.5. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình





2·
1
yax
ayx





624
1332
22
22
yxyx
yxyx

Bài toán 3.9. Cho a và b thoả mãn hệ phương trình





02
0342
222
23
bbaa
bba

Tính giá trị của biểu thức
P

22
ba 
Bài toán 3.10. Cho hệ phương trình


a) Đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3 ; -4)
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
1 2

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
2 2


www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

c) Cắt đường thẳng
2 3 0
x y
  

d) Song song vối đường thẳng
3 2 1
x y
 

Bài toán 4.2. Cho hàm số (P) :
2
2xy 

a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ

 
. Tìm hoành độ của điểm
còn lại . Tìm toạ độ A và B
2. Trong trường hợp tổng quát giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N
Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài toán 4.4. Cho đường thẳng
( )
d
:
2)2()1(2




ymxm

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) :
2
xy  tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để
( )
d
cách gốc toạ độ một khoảng Max
d) Tìm điểm cố định mà
( )
d
đi qua khi m thay đổi
Bài toán 4.5. Cho (P) :
2

d
: 1 xy
a) Nhận xét dạng của đồ thị vẽ đồ thị
( )
d

b) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
mx 1

Bài toán 4.8. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
( )
d
:
2)1(



xmy
;
( ')
d
:
13


xy

a) Song song với nhau
b) Cắt nhau
c) Vuông góc với nhau


Bài toán 4.12. Cho hàm số 21  xxy
a) Vẽ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình mxx  21
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comTài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài toán 4.13. Cho
2
( ) :
P y x

và đường thẳng ( ): 2
d y x m
 

a) Vẽ
( )
P

b) Tìm m để
( )
P
tiếp xúc
( )
d


3 2

Bài toán 4.16. Cho điểm A(-2 ; 2) và đường thẳng
1
( ): 2( 1)
d y x
  

a) Điểm A có thuộc (
1
d ) không hãy giải thích.
b) Tìm a để hàm số
2
( ):
P y ax

đi qua A
c) Xác định phương trình đường thẳng (
2
d ) đi qua A và vuông góc với (
1
d )
d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d ) ; C là giao điểm của (
1
d ) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính diện tích tam giác ABC
Bài toán 4.17. Cho
2

d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
Tính S theo m và xác định m để


2 2
4 8 2
S m m m
   

Bài toán 4.19. Cho hàm số (P) :
2
xy 
a) Vẽ (P)
b) Gọi A, B là 2 điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường thẳng AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài toán 4.20. Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) :
2
4
1
xy 

và
( ): 2 1
d y mx m
  

a) Vẽ (P)
b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định


a) Vẽ (P) và viết phương trình (d)
b) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
c) Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài toán 4.23. Cho (P) :
4
2
x
y 
và đường thẳng (d) :
2
2

x
y

a) Vẽ (P) và (d)
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài toán 4.24. Cho (P) :
2
xy 

a) Vẽ (P)
b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình AB
c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài toán 4.25. Cho (P) :
2
2xy 
a) Vẽ (P)
b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ

VẤN ĐỀ 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Loại 1. Bài toán chuyển động
Bài toán 4.1. Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc , một ôtô đi từ A đến B và một xe
máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ô tô đi hết 2 giờ, còn từ C về A xe
máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận
tốc không đổi.
Bài toán 4.2. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất
cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng ,biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc
dòng nước là 4 km/h.
Bài toán 4.3. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về
A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B
biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h.
Bài toán 4.4. Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một
đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và
20 km/h. Biết rằng đoạn đường dốc ngắn hơn đoạn đường bằng là 110km và thời gian để người đó
đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã đi.
Bài toán 4.5. Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tải đi với vận tốc 30 km/h
xe con đi với vận tốc 45 km/h. Sau khi đi được
4
3

quãng đường AB, xe con tăng vận tốc thêm 5
km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2 giờ
20 phút.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe
máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài toán 4.14. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một
lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc
dòng nước chảy và vận tốc riêng của ca nô.
Bài toán 4.15. Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính
vận tốc của tầu khi nước yên lặng biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h.
Bài toán 4.16. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô
chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của
thuyền biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h.
Bài toán 4.17. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 km
trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ
xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa quãng đường còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên
đường .
Bài toán 4.18. Một ôtô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau
khi đi được 1 giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận
tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài toán 4.19. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 km
người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng
vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã
đi lúc đầu.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Loại 2. Bài toán về năng xuất
Bài toán 4.20. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội

chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu.
Bài toán 4.29. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định
thì mỗi giờ phải bơm được 10 m
3
. Sau khi bơm được
3
1
thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với
công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m
3

. Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước
48 phút. Tính thể tích bể chứa.
Bài toán 4.30. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30
phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 20
phút thì sẽ được
5
1
bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Bài toán 4.31. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ
đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng
thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comTài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

b) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đường tròn bàng tiếp góc ADK của tam
giác ADK.
Bài 6. (HSG Bình Định năm 2003)
Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại điểm H. Gọi I là trung
điểm BC. Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BIE và tam giác CDI cắt nhau ở K.
a) Chứng minh rằng hai góc BDK và CEK bằng nhau
b) Gọi M là giao điểm của DE và BC. Chứng minh M, H, K thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tứ giác BKDM nội tiếp.
Bài 7. (HSG Ninh Bình năm 2003)
Cho đường tròn đường kính AB và một đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn vuông góc với
AB tại C. Cát tuyến bất kỳ CMN cắt đường tròn tại M, N. Gọi D và E lần lượt là giao điểm của
đường thẳng d với AM và AN.Chứng minh rằng : tứ giác DEMN nội tiếp một đường tròn.
Bài 8. (HSG Đà Nẵng năm 2003)
Cho tam giác ABC vuông ở A có A và B là cố định, C chuyển động theo chiều của tam giác ABC.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC, BC tại M và N tương ứng. Chứng minh rằng
đường thẳng MN đi qua điểm cố định.
Bài 9. (Vô địch Toán Hàn Quốc năm 2002)
Trên đường tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc
đường tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 10. (Vô địch Toán Hàn Quốc năm 2002)
Cho tam giác ABC có trung tuyến AD. Cho đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AD. Xét
điểm M nằm trên d. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MB, MC. Đường thẳng đi qua E và vuông

và A
c
. Qua G song song với AB cắt AC và BC lần lượt tại A
b
và B
a
. Các điểm I
a
; I
b
; I
c
theo thứ tự
là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác GB
a
C
a
; GC
b
A
b
; GA
c
B
c
. Chứng minh rằng : AI
a
; BI
b
; CI

S

không phụ thuộc vào vị trí của M và N.
Bài 19. (Vô địch Toán Địa Trung Hải năm 1997)
Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm các cạnh BC, CD, DA, AB của tứ giác ABCD. Chứng minh
rằng :
2 2 2 2 2 2 2 2
4(AP + BQ + CR + DS ) 5(AB + BC + CD + DA )

Bài 20. (HSG Nghệ An năm 2008)
Cho tam giác ABC thay đổi. Gọi H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định GTNN của hằng số k sao cho
OH
k
R

.

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comTài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 21. (HSG Đại Học Vinh năm 2008)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm chung. Gọi H là hình chiếu của O lên đường
thẳng d và M là một điểm trên d với M không trùng với H. Từ M kẻ các tiếp tuyến MA và MB với
(O). Gọi C va D lần lượt là hình chiếu của H lên MA và MB. Các đường thẳng AB và CD cắt OH
lần lượt tại K và I. Chứng minh rằng I là trung điểm của HK.
Bài 22. (HSG Cần Thơ năm 2008)

MA + MH = AH + BC
2

Bài 26. (HSG Đồng Tháp năm 2008)
Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn (C) tiếp xúc với các đường thẳng AB và AC lần lượt tại B
và C. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đường tròn (C). Gọi m, n, k theo thứ tự là khoảng cách từ M
đến các đường thẳng AB, AC và BC. Chứng minh rằng : m.n = k
2

Bài 27. (HSG Bình Phước năm 2008)
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của BA và CA lần lượt lấy các điểm E và F. Gọi M là giao điểm
của BF và CE. Chứng minh rằng :
MB MC AB.AC
MF ME AE.AF
 
Bài 28. (HSG Bình Định năm 2008)
Cho hai đường tròn (O
1
; R
1
) và (O
2
; R
2
) cắt nhau tại hai điểm A và B. Từ điểm C trên tia đối của tia
AB kẻ các tiếp tuyến CD và CE với (O
1
; R
1
) ; D và E là các tiếp điểm E nằm trong đường tròn (O

Bài 31. (HSG Quảng Bình năm 2008)
Tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có A và B là các điểm cố định ; AC và BD là hai đường
thẳng cố định vuông góc với nhau.
Chứng minh rằng trung điểm của CD luôn thuộc một đường cố định.
Bài 32. Cho một đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi M là điểm di
động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E. Chứng minh rằng : tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác
OME luôn thuộc đoạn thẳng cố định.
Bài 33. Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, BC. Các
đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.
Chứng minh ba điểm E, F, P thẳng hàng.
Bài 34. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) ; H là trực tâm của tam giác
ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC.
a) Chứng minh : E thuộc đường tròn (O).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối xứng của I qua
BC. Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O).
Bài 35. Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với đường tròn bên trong tại P cắt
đường tròn bên ngoài tại Q và R.
Chứng minh rằng : góc QMP bằng góc PMR.
Bài 36. Hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại M, N. Vẽ tiếp tuyến chung PQ gần N hơn của hai
đường tròn ; P  (O
1
) và Q thuộc O
2
. Đường thẳng PN cắt đường tròn (O
2
) tại R. Chứng minh rằng :


= QAR 2
XAY

Bài 42. Cho tam giác đều ABC và điểm D trên cạnh BC. Một đường tròn tiếp xúc với BC tại D,
cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q.
Chứng minh rằng : BD + AM + AN = CD + AP + AQ.
Bài 43. Cho tam giác ABC có AD và BE là hai đường cao. Đường thẳng AD cắt nửa đường tròn
đường kính BC tại P. Đường thẳng BE cắt nửa đường tròn đường kính AC tại Q.
Chứng minh rằng : CP = CQ.
Bài 44. Cho hai tam giác ABC và DEF có hai đáy AB và DE cùng nằm trên một đường thẳng. DF
song song với AC và EF song song với BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC và đường tròn
ngoại tiếp tam giác CBD cắt nhau tại C và G. Chứng minh rằng : C, G, F thẳng hàng.
Bài 45. Cho tam giác ABC có số đo của góc A bằng 120
0
. Gọi

AD, BE và CF là ba đường phân
giác trong của tam giác ABC. Chứng minh đường tròn đường kính EF đi qua D.
Bài 46. Tam giác ABC với D, E, F theo thứ tự là trung điểm của ba cạnh BC, AC, AB. Chứng
minh rằng :




CAD ABE AFC ADP
= = 

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com


Bài 49. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ; DA và CB cắt nhau tại P. Gọi Q là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Giả sử CD = CP = CQ. Chứng minh rằng : góc

CAD
60
 

Bài 50. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) và đường cao AD. Hạ DE và DF thẳng góc
với hai cạnh AB và AC. Tính độ dài EF theo R và các tỉ số lượng giác các góc của tam giác ABC.
Bài 51. Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A. Lấy điểm E trên AD. Chứng minh
rằng : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB.
Bài 52. Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC và góc BAC bằng 60

. Gọi O là tâm đường
ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC và OH cắt cạnh AB tại P và AC tại Q.
Chứng minh rằng : PO = HQ.
Bài 53. Tam giác ABC có góc A tù nội tiếp trong vòng tròn. Lấy điểm Q trên cung BC có chứa
điểm A. Kẻ đường kính QP.Từ Q hạ các đường thẳng góc xuống AC và AB theo thứ tự tại các điểm
V và W. Chứng minh hai tam giác PBC và AWV đồng dạng.
Bài 54. Cho tam giác ABC nội tiếp trong vòng tròn. Phân giác của A, B, C cắt đường tròn tại A', B',
C'. Đường thẳng A'B' cắt BC tại N và đường thẳng C'B' cắt AB tại M. Chứng minh : MN đi qua O
của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 55. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên BC lấy điểm D sao cho góc ADB bằng hai lần lượt
góc BAD. Chứng minh rằng :
2 1 1
AD BD CD
 
Bài 56. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC thẳng góc BC.
Chứng minh rằng : góc AED bằng góc BEC.

2

Bài 61. (Tạp chí toán học và tuổi trẻ)
Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến PA và PB của đường tròn với A và B
là các tiếp điểm. Gọi M là giao điểm của OP và AB. Kẻ dây cung CD đi qua M với CD không đi
qua O. Hai tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau tại Q. Tính độ lớn góc OPQ.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.comBài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc

Bài 62. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)
Cho tam giác ABC với I là tâm nội tiếp và O là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác. AI cắt O tại
điểm thứ hai là D. Gọi E là một điểm trên cung BDC và F nằm trên đoạn BC sao cho hai góc BAF
và CAE bằng nhau và nhỏ hơn nửa góc BAC. Gọi G là trung điểm của IF. Chứng minh giao điểm
của EI và DG nằm trên (O).
Bài 62. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)
Giả sử P là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng AP, BP, CP cắt lại đường tròn ngoại
tiếp tam giác tại K, L, M tương ứng. Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại C cắt
đường thẳng AB tại S. Chứng minh rằng nếu SC = SP thì MK = ML.
Bài 63. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)
Cho ABC là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp O. Các điểm P và Q nằm trên các cạnh AC
và AB tương ứng. Gọi K, L, M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BP, CQ và PQ. Chứng
minh rằng nếu PQ là tiếp tuyến của đường tr
òn (KML) thì OP = OQ.
Bài 64. (Vô địch toán quốc tế năm 2010)

Cho ABC là một tam giác cân tại A ; AD và BE là các phân giác trong của nó. Gọi K là tâm đường
tròn nội tiếp của tam giác ACD. Biết góc

diện tích tam giác KMH.
Bài 68. (Vô địch toán nước Mỹ năm 2010)
Cho đường tròn (O) và A nằm ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (O) ; P
thuộc tia đối của tia BA ; Q thuộc tia đối của tia CA sao cho PQ tiếp xúc với (O). Qua P kẻ đường
thằng song song với AC cắt BC tại E. Qua Q
kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại F.
a) Chứng minh rằng QE và BF đi qua điểm cố định lần lượt là M và N.
b) Chứng minh rằng tích PM.QN không đổi.
Bài 69. Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C nào đó chuyển động trên đường tròn
ấy. Dựng tam giác đều BCD sao cho D nằm ngoài đường tròn (O). Gọi E là hình chiếu của điểm C
trên đường thẳng AE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, OA, OE, DE.
a) Chứng minh rằng : tứ giác MNPQ là hình thoi.
b) Tìm vị trí điểm A trên đường tròn (O) để S
MNPQ
đạt giá trị lớn nhất.

(Dẫn theo đề thi HSG lớp 9 bảng B thành phố Hải Phòng năm 2005)
Bài 70. Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF giao nhau tại điểm M. Gọi N là trung điểm
của đoạn thẳng BC. Chứng minh rằng : A, M, N thẳng hàng.
(Đề thi tuyển sinh vào trường Chuyên Trần Phú Hải Phòng năm 2006)
Bài 71. (Đề thi vô địch toán quốc tế năm
2006)
Cho hình bình hành ABCD trong đó AB = BC. Dựng điểm M sao cho


=BAM
BCM
. Chứng minh
rằng :


Bài 75. (Đề thi HSG Quốc gia THPT bảng B năm 2005)
Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn. Giả sử một điểm M di động trên đường thẳng CD sao
cho M không trùng với C và với D. Giả sử N là giao điểm thứ hai khác M của hai đường tròn
(BCM) và (DAM). Chứng minh rằng :
a) Điểm N di động trên một đường tròn cố định.
b) Đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 76. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đường thẳng BC lấy hai điểm D và E sao cho B là
trung điểm của DE. Gọi F là điểm đối xứng của A qua B, M và N theo thứ tự là giao điểm của FD,
FE với đường tròn đường kính AF. Chứng minh rằng : C, M, N thẳng hàng.
Bài 77. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R). Đường tròn (O) là cố định điểm A cố định,
số đo cung BC không đổi. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác.
Bài 78. (Đề thi HSG Quốc gia THPT bảng A năm 2003)
Trong mặt phẳng cho tam giác ABC, CD là đường phân giác trong góc ACB. Xét một đường tròn
(O) thay đổi luôn luôn đi qua hai điểm C và D, nó cắt các cạnh CB và CA theo thứ tự tại M và N.
a) Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn (S) tiếp xúc với hai đường thẳng DN và DM theo thứ tự
tại N và M.
b) Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của CB, CA với đường tròn (S). Chứng minh rằng độ dài hai đoạn
MP và NQ không đổi khi đường tròn (O) thay đổi.
Bài 79. Cho tam giác ABC nhọn cân tại A. Gọi M là hình chiếu của A trên BC ; N là hình chiếu của
M trên AC ; P là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng : AP = BN.
Bài 80. Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các hình
vuông ABEF, ACMN có tâm tương ứng là P và Q. Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
tam giác HPQ vuông cân.
Bài 81. Cho tam giác ABC nhọn cân tại A, đường phân giác BD (D thuộc AC). Gọi M là chân
đường phân giác trong góc D của tam giác BD. Gọi N là giao điểm của phân giác góc ADB và
đường thẳng BC. Chứng minh rằng MN = 2BD.
Bài 82. Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định. Gọi MN là một đường kính thay đổi của
đường tròn (O). Gọi C là một điểm cố định nằm trên đường thẳng AB. Các đường thẳng CN và AM
cắt nhau tại D. Tìm quỹ của điểm D khi đường kính MN thay đổi.

Chứng minh rằng : AD
2
= AB.BE
Bài 92. Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song. Đường vuông góc với AB kẻ
từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P. Đường vuông góc với AB kẻ
từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng các đường
thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy.
Bài 93. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Đồng Tháp)
Cho đường tròn (O, R) và một đường kính PQ cố định của đường tròn. Trên tia PQ ta lấy một điểm
S cố định khác P và Q. Với mỗi điểm A thuộc đường tròn ta dựng tia Px vuông góc với tia PA và
nằm cùng phía với nó đối với đường thẳng PQ. Gọi B là giao điểm của Px và SA. Tìm tập hợp điểm
B, khi điểm A di động trên đường tròn (O, R).
Bài 94. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Đồng Tháp)
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a và (d) là đường thẳng tùy ý cắt các đường thẳng BC, CA,
AB. Gọi x, y, z tương ứng là các góc giữa đường thẳng (d) và các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng
minh rằng :
2 2 2 2 2 2
1
sin x.sin y.sin z + cos x.cos y.cos z
16


Bài 95. (Đề thi HSG đồng bằng sông Cửu Long, tỉnh Hậu Giang)
Cho tam giác ABC. Gọi
A', B', C'
là các điểm bất ký trên cạch BC, AC và AB sao cho các đường
thẳng
AA', BB', CC'
đồng quy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
T AB'.CA'.BC'

, ,
a b c
bác bỏ hoặc chứng minh mệnh đề sau
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
www.MATHVN.com