Bài tập lượng giác
Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a)
1cossin
22
=+ xx
b)
x
x
x
cos
sin
tan =
c)
x
x
x
sin
cos
cot =
d)
x
x
2
2
cos
1
tan1 =+

xx
cot)cot(
tan)tan(
cos)cos(
sin)sin(
−=−
−=−
−=−
=−
π
π
π
π
xx
xx
xx
xx
cot)2cot(
tan)2tan(
cos)2cos(
sin)2sin(
=+
=+
=+
=+
π
π
π
π
d) Hai cung khác nhau

=






−=






−
=






−=






−

cos2
4
13
tan3
6
25
sin3
πππ
+−

c)
oooo
75sin55sin35sin15sin
2222
+++
d)
oooo
75cos55cos35cos15cos
2222
+++
e)
12
11
sin
12
9
sin
12
7
sin

ππππππ
+++++
g)






++−+






+−+ aaaa
2
3
tan)2cot(
2
cos)sin(
π
π
π
π
h)
aaaaA
2224
cos.sincossin ++=

342cot252tan
156cos530tan).260tan(696cos
22
22
+
−−+
=
k)
( )
2
2
7cot
4
13
cot
2
7
tan
4
17
tan






−++








−
+
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
cos1
cos1
cos1
cos1
sin1
sin1
sin1
sin1
m)
)tan1(cos)cot1(sin
33
aaaa +++

xxx
2
3
cot).cot(.
2
sin
)2sin().2cos().sin(
π
π
π
πππ
q)
22
)2cos(
2
3
cos)sin(
2
sin






−+





−++






+






+






− aaaaa
2
3
tan).tan(
3
5
cos.
3
2

cos
2
BA
sin
AC
=
+
=
+
d)
2
tan
2
BA
cot ;
2
cot
2
tan
CBCA
=
+
=
+
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
2cossin
cos2
−+
+
=

Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
bababa
abbaba
sinsincoscos)cos()2
cossincossin)sin()1
=±
±=±
ba
ba
ba
tantan1
tantan
)tan()3

±
=±
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
a)






+=



2. Rút gọn các biểu thức:
a)






++−






+−
aa
aa
4
sin2sin2
4
cos2cos2
π
π
b)
ooooo
79cos.69cos21cos.11cos10cos ++
c)
bababa tan.tan)cot().tan(tan −−−
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

2
cot
CBACBA
=++
4. a) Cho
4
π
=−ba
, chứng minh:
a
b
b
tan
tan1
tan1
=
−
+
và
b
a
a
tan
tan1
tan1
−=
+
−
.
b) Cho

3
tan =b

)10( va, b <<
. Tìm a + b.
e) Cho
2
1
tan −=a

)
2
(
π
π
<< a
và
3tan =b

)
2
0(
π
<< b
. Tìm a + b.
f) Cho
3
2
1tan =a
,

75
hoặc
12
5
π
.
6. Cho
γβα
, ,
thoả mãn điều kiện:
2
π
γβα
=++
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
αγγββα
tan.tan1tan.tan1tan.tan1 +++++=A
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC
cân:
a)
)cot(cot
2
1
sinsin
coscos
22
22
22
BA
BA

1 tan
sin 3 3sin 4sin ; cos3 4cos 3cos
a a a
a
a a a a a a
a
a a a a a a
=
= − = − = − =
−
= − = −
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
aaaa
aa
sin3coscos3sin
4
sin.
4
sin
−






+


2
sin4cos
222
aa
a −
g)
aa
22
cossin81−
h)
ooo
40cos20cos10cos8
i)
aaaa 3sincos43cossin4
33
+
j)
aa 2sin4sin4
24
+
k)
5
2
cos
5
cos
ππ
l)
oooo
80cos60cos40cos20cos




+






−
ππ
. Áp dụng với
9
π
=a
.
b)
118sin818sin8
23
=+
c)
32
cot
32
tan
16
tan2
8
tan48

. Tính:
18
7
cos
18
5
cos
18
cos
πππ
f)
a
aa
a
2
3
tan31
tantan3
3tan
−
−
=
g)
aaaa 3tan
3
tan
3
tantan =



α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan
.
b) Cho
2
1
2
cos
a
a
+
=
α
. Tìm
α
2sin
,
α
2cos
,
α
2tan




+=
4
sin
4
sin
ππ
xxy
b)
xxy
44
sincos −=
c)
xxy
22
cossin81−=
III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo
2
tan
a
t =
.
A. Lý thuyết cần nhớ
aa
aa
2
2
sin22cos1

−
=
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a)
2
tan
2sinsin2
2sinsin2
2
a
aa
aa
=
+
−
b)






−=
++
+−
a
aa
aa
4

24
cot
sin1
sin1
2
a
a
a
π
f)
( )( )
1223'307tan −−=
o
g)
2
cos2)cos(coscos)sin(sinsin
2
ba
baabaa
−
=+++
h)
2
sin4)cos(cos)sin(sin
222
ba
baba
−
=−+−
i)

π
<< a
2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
++
)0(
πα
≤<
b)
α
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
+−

2
tan1
2
tan
a
a
a
a
−
+
+
f)
2
tan1
1
2
tan1
1
aa
+
−
−
g)
αα
αα
sin2sin
2coscos1
−
+−
h)

15
2
2
tan =
a
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a)
xxy
2
sin2cos2 +=
b)
xxy 2cossin2
2
−=
c)
22
)cos(sin
4
sin xxxy −+






−=
π
IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng

sin2sinsin
baba
ba
baba
ba
baba
ba
baba
ba
−+
−=−
−+
=+
−+
=−
−+
=+
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
ba
sinsin

c)
aaa
aaa
3sin2sinsin
3cos2cos2cos
++
++
d)
a
aa
a
cos2
6
2cos
6
2cos
cos






+−







aaaa 2cos
2
1
4cos
4
1
cos2cos
2
−−
g)
2cos4cos1cos3cos
22
−+
h)
)158sin112(sin203sin291sin1sin
ooooo
+++
i)
)140sin130(sin185sin2125cos35cos
ooooo
+++
j)
oooo
80sin60sin40sin20sin
k)
oooo
80tan60tan40tan20tan
2. Chứng minh:
a)
16

2
)1(
cos
2
sin
cos 3cos2coscos
a
anna
naaaa
+
=++++
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a)
2
cos
2
cos
2
cos4sinsinsin
CBA
CBA =++
b)
2
sin
2
sin
2
sin41coscoscos
CBA
CBA +=++

CBACBA coscoscos412cos2cos2cos −−=++
i)
CBACBA cossinsin2sinsinsin
222
=−+
4. Chứng minh bất đẳng thức:
)sin(sin
2
1
2
sin yx
yx
+≥
+
với
π
<< yx,0
.
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
16
7
sin
16
5
sin
16
3
sin
16

Bài tập lượng giác
a)






−++
24
cos42sinsin4
224
x
xx
π
với
2
3
π
π
<< x
b)
xxxx 2coscos42coscos4
224
−+
c)





++ xxx
3
2
sin
3
2
sinsin
222
ππ
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:
BA
CB
A
coscos
sinsin
sin
+
+
=
8. Chứng minh nếu các góc của
ABC
∆
thoả mãn:
2
3
coscoscos =++ CBA
thì nó là tam giác đều.
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của
ABC
∆

+=
2. Phương trình:
⇔=
α
coscos x
πα
2kx +±=
2. Phương trình:
παα
kx
+⇔=
tantan
4. Phương trình:
παα
kx
+⇔=
cotcot
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)
2
3
6
3sin =







xx 3cos
3
2
sin =






+
π
i)
0
4
3cos
6
5
3sin =






++





4
sin
ππ
xx
m)
1
12
sin =






−
π
x
n)
2
1
6
12sin =






+
π

4
tan =






− x
π
t)
312
6
5
cot =






+ x
π
u)
3
3
5
7
12
cot =




− xx
6
5
cot
4
tan
ππ
z)
( )






+=− xx 7
12
7
tan3cot
π
π
II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:


2. Giải các phương trình lượng giác:
a)
1
5
cot3
2
=






+
π
x
b)
3
4
2tan
2
=






−

22
sin
ba
b
+
=
α
.
Đưa phương trình về dạng:
βαβαα
sin)sin(sincossinsincos =+⇔=+ xxx
. Giải ra tìm được x.
B. Bài tập
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a)
xxy 2cos2sin)32( +−=
b)
xxxxxy cossin32cos2)cos(sin
2
++−=
c)
1)cossin2)(cos2(sin −+−= xxxxy
d)
4sincos2
3sin2cos
+−
++
=
xx
xx

thoả mãn phương trình sau với mọi m:
xxxmxmxmxm sincoscoscossinsin
2222
−=+−−
4. Tìm các giá trị của
α
để phương trình:
a)
03cossin)2sin3cos3()3sin3(cos
2
=+−+−−+−+
αααααα
xx
có nghiệm x = 1.
b)
0sin)33(cos2)sin3()1cossin2(
222
=−−+−+−
ααααα
xx
có nghiệm x =
3
.
5. Giải phương trình:
a)
08
14sin5cos12
5
sin5cos12 =+
++

rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx:
0tantan)(
2
=−++− dcxbxda
.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a)
0cos3cossin2sin
22
=−− xxxx
b)
2coscossinsin6
22
=−+ xxxx
c)
xxx 2cos2sin22sin
2
=−
d)
22cos2cos2sin22sin2
22
=+− xxxx
e)
1)cos(
2
3
sin2cos)sin(4
2
cossin4 =+

=+
b)






++=+






+
22
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin3
22
3
cos
2

12sin2cotsin2 +=+ xxx
c)
1sincos
33
−=− xx
d)
12sin4|cossin| =+− xxx
e)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
f)
2)sin1)(cos1( =++ xx
VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
02
4
3
cos2cos =−+
x
x
b)
)cot(tan
2
1
2sin

f)
0
2
5
cos
2
tan
2
1
=+−
x
x
g)
0cos)34(cossin)2(2sin)12(3sin)64(
23
=−−−+−+− xmxxmxmxm
(Biện luận theo m).
h)
xxx 2tantan2tan1
2
=−
i)
1cos24sin
2
−= xx
j)
14coscos8
4
=− xx
k)

u)
xx 3sincos2
3
=
v)
x
x
x
sin1
cos1
tan
2
−
+
=
w)
)cos(sin
6
5
cossin
4466
xxxx +=+
x)
x
xx
xx
4cos
4
tan
4

−=






+






−
+
xx
xx
ππ
z)
01cos2sin2cos
2
=+++ xxx
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
x
x
x
2sin1
tan1

+=−
e)
1
sin5
5sin
=
x
x
f)
2
1
2
3
sin
2
sinsin
2
3
cos
2
coscos =−
xx
x
xx
x
g)
)105,10sin(6cos4sin
22
xxx +=−
π

cos
1
cossin3 =+
l)
1
2tan22tan2cot
+
+=
xxx
m)
xxxx sin28cos22310sin2cos2 +=+
n)
xxxx cos4sin12cos22sin −+=+
o)
3tan22sin =+ xx
p)
xxxx 4sin
2
1
2cos)coscos1( =+−
q)
1cot
)sin(cos2
2cottan
1
−
−
=
+ x
xx

xxxxxx 3cot2cottan3cot2cottan
2222
+−=
x)
0
tan1
cos
3
4
cos
2
2
=
−
−
x
x
x
y)






+=





=− xx
g)
xxxxx 2sinsin23cos2coscos31
+=++
h)
xxxx 2cos3sin2tantan
−=+
i)
x
x
x
cos
cos1
tan
2
+
=
j)
xxx 4sin
2
3
2cos2sin1
33
=++
k)
)2cos2(sin2cottan xxxx +=+
l)
xxxx 2cos3cos)cos(sin22 +=+
m)
8

2cos2sin2cossin
=++
xxxx
s)
16
1
8cos4cos2coscos =xxxx
t)
xxxx 4cos2cos3sinsin
2222
+=+
u)
0)3cos2sin1(3cos)3sin2(cos3sin =−++− xxxxxx
v)
0
24
cos8
cos
)sin1(3
tantan3
2
2
3
=











−+−−
x
xxxx
b)
)1(sin5)2cos3(sin4 −=− xxx
c)
)cos(sin2cossincossin2cos2
22
xxxxxxx +=++
d)
)cossin2(cos3sin2sintan
22
xxxxxx +=−
e)
xxxx
2
cos4)2tan(cot2sin =+
Bai tap luong giac - 9 -
Bài tập lượng giác
f)
0)cot2cot1(
sin
2
cos
1
48

xx
cos
1
7cos82cos2 =+−
o)
4
1
4cossin3sincos3cos
333
+=− xxxxx
p)
82cos2sin3cos6sin9 =+−+ xxxx
q)
xxxxx 4sin3sincos3cossin
333
=+
r)
xxxxxxxx
432432
coscoscoscossinsinsinsin +++=+++
s)
1coscossinsin2
22
−=−− xxxx
t)
0
cossin
12cos2sin
42
=

)cos(sin2cossin
5533
xxxx +=+
c)
xxx 3cos2cossin
222
+=
d)
xx 3cos
3
cos8
3
=






+
π
e)
2|cossin||cossin| =++− xxxx
f)
12sin2cotsin2
+=+
xxx
g)
xxx 2cos
8

m)
xx sin2
4
sin
3
=






+
π
n)
5
5sin
3
3sin xx
=
VII. Hệ phương trình lượng giác
1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:
a)
3
3
1
tantan
π
=+
=

yxx
sinsincos
coscossin
2
2
=
=
f)
12cos32cos
1tantantantan
−=+
=−−
xy
yxxy
g)






−=+






+=+
4

xxxxy sincoscossin +=
.
3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn:
mCBA =++
222
sinsinsin
. Nếu m = 2 thì tam giác
ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn:
2
sin2
2
sin
2
sin2sinsinsin
CBA
CBA =−++
. Chứng minh rằng số
đo của góc C là 120
o
.
Bai tap luong giac - 10 -
Bài tập lượng giác
5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:
1
2
tan
2
A
tan =+

)sin()()sin()(
2222
BCbcBCcb +−=−+
thì tam giác đó vuông hoặc
cân.
10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
xxy 5coscos5 −=
trên






−
4
;
4
ππ
.
11. Cho phương trình:
xm
xm
xm
xm
sin2
2cos
cos2
2sin
−

. Chứng minh rằng:
)(23 bac +=
.
14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
5cossin4sin2)(
2
++= xxxxf
.
15. Tìm các giá trị
)2,0(
π
∈x
sao cho
02cossincos >−− xxx
.
16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm
],0[
π
∈x
:
t
x
x
=
+
+
2sin
1sin2
.
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh:

++
cba
CcBbAa
. Chứng minh tam giác ABC đều.
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
)8cos4(cos
2
1
)4cos2sin1(2 xxxxy −−+=
.
21. Giải phương trình sau:
0239
cotcot
=−+
xx
.
22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
CB
a
C
c
B
b
sinsincoscos
=+
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có:
1coscoscos
>++
CBA

sin3
1
+
+=
.
29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
1
1
4
cos
1
2
sin
22
+
+
+
+
=
x
x
x
x
y
.
Bai tap luong giac - 11 -
Bài tập lượng giác
30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong






∈∀
2
;0
π
x
.
34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn:
0
2
5
)2cos2(cos32cos =+++ CBA
.
35. Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
BA
b)tan(abtanBAtan
+
+=+a
. Chứng minh tam giác ABC cân.
36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi
1coscoscos
222
>++ CBA
.
37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn
a
cb

;0(
π
∈∀x
ta có:
6
cos
1
sin
1
cottansincos >+++++
xx
xxxx
42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
xxy
2020
cossin +=
.
43. Chứng minh rằng nếu
2
cot,
2
cot,
2
cot
CBA
theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì
3
2
cot.
2

thì nó cân.
46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x:
xxmxxxf cossin2cossin)(
44
−+=
.
Bai tap luong giac - 12 -