SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC: 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 12
Ngày thi: 01/4/2012
Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao ñề)

Câu 1: (5,0 ñiểm) Cho hàm số
3 2
1
( 1) (4 3) 3
3
y x m x m x m
= + + + + + −
(1) (
m
là tham số).
1. Tìm
m
ñể hàm số (1) ñồng biến trên
[
]
1;2
−
.
2. Tìm
m

m
ñể phương trình sau có nghiệm thực:

2
3 1 3 2 2 1.
x x x x m
+ + − − − − = −

Câu 3: (4,0 ñiểm)
1. Giải hệ phương trình:
( )
2
3
2 1 .2 2.
1
log ( 1) 1
y
x
x
x
y x

−
+ − =


+

+ + =


Tìm toạ ñộ của
các ñỉnh
A
và
,
B

biết ñường cao ñi qua ñỉnh
,
B
ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh
A
của
tam giác
ABC

lần lượt

có phương trình là
2 0
x y
− − =
và
2 4 0
x y
+ + =
.
2. Trong không gian với hệ toạ ñộ
Oxyz
, cho tứ diện

)
α
.
3. Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn
hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
3
.
8
a
V ≤

Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương
,
a b

và
c
. Chứng minh rằng:
2 .
a b b c c a a b c
c a b b c c a a b
 
+ + +
+ + ≥ + +
 
 
+ + +
 
TXĐ:
D
=
ℝ

2
' 2( 1) 4 3
y x m x m
= + + + +

Để y ñồng biến trên
[
]
1;2
−
thì
[
]
' 0, 1;2
y x≥ ∀ ∈ −

0.5
Với
[
]
1;2
x∀ ∈ −
ta có
2 0
x

x
g x x
∈ −
= − = − +

0.5
1.
(2.5
ñ
i
ể
m)

Khẳng ñịnh ñược
1 3
m ≥ −

KL
0.5
2
' 2( 1) 4 3
y x m x m
= + + + +

Để y có cực trị thì y’ phải có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu khi x ñi
qua hai nghiệm ñó.
Suy ra
' 0
∆ >



Kiểm tra ñiều kiện và kết luận
3 3
m = − ±
.
0.5
Câu 2

(4 ñiểm)
Điều kiện ñể phương trình có nghĩa là:

2
cos 0
cos 0
hay (*)
cos2 0
1 tan 0
x
x
x
x
≠
≠


 
≠
− ≠



HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
/>Trang 2/5 2
2
1
1 3 tan 2
cos 2
1 3 tan 2 1 tan 2
tan 2 0
tan 2 3
x
x
x x
x
x
⇒ + =
⇒ + = +
=

⇒

=


Vì
cos 0
x
≠

x k
π
π π
=


∈

= +

ℤ

0.5
Điều kiện ñể phương trình ñã cho có nghĩa là:

[
]
3; 1
x∈ −

Đặt

3 1
t x x
= + + −

0.5
Tìm ñược ñiều kiện của biến t là
2;2 2
t

thoả mãn bài toán.
0.5
Câu 3 (4 ñiểm)
( )
2
3
2 1 2 2 (2)
1
log ( 1) 1 (3)
y
x
x
x
y x

−
+ − =


+

+ + =


Điều kiện có nghĩa của hệ phương trình là
1 3
x
y
− < ≤


x x
+ = − +

Giải phương trình, tìm ñược x=2, thoả mãn ñiều kiện
0.5
1.
(2ñiểm)

Tìm ñược
2
1 log 3
y = −

Kết luận
0.5
2.
(2ñiểm)
1
1 ln
7 2 ln
e
x
I dx
x x
+
=
−
∫

0.5

x x
= − −

0.5
1 1 1 7 2
ln 7 2 ln ln 7 2ln1 ln
2 2 2 7
e
e e
−
= − − + − = −

Kết luận

0.5
Câu 4 (6 ñiểm)
Lập ñược phương trình ñường thẳng AC là x+y+1=0
0.5
Chỉ ra A là giao ñiểm của AC và ñường phân giác ñi qua ñỉnh A của tam
giác ABC, tìm ñược toạ ñộ A(-3; 2).
0.5
Tìm ñược toạ ñộ ñiểm
11 18
'( ; )
5 5
C − −
ñối xứng với ñiểm C qua ñường
phân giác ñi qua ñỉnh A của tam giác ABC.
0.5
1.

0.5
Lý luận chỉ ra ñược ñể
4 4
MA MB MC MD MG MG
+ + + = =
    
ñạt giá trị
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng
(
)
α
.
0.5
Lập ñược phương trình ñường
( )
∆
thẳng ñi qua G và vuông góc với
mặt phẳng
(
)
α
là
1
2
2
x t
y t
z t
= +


M3.
(2ñiểm)
Không giảm tính tổng quát, ta giả sử AB>a, khi ñó
{
}
ax , , , ,
a m AC AD BC BD CD
≥

0.5
/>Trang 4/5

+ Vẽ các ñường cao BK, AE, AH lần lượt của các tam giác BCD, ACD
và của tứ diện ABCD.
+ Ta có
1
. .
6
V AH BK CD
=

+ Đặt CD=x và gọi M là trung ñiểm của CD, trong tam giác BCD có
2 2 2 2 2
2
2 2 4
4 4
BC BD CD a x

Từ (1) và (2) ta có
( )
2 2
1
4 (3)
24
V a x x≤ −

0.5
Xét hàm số
2 3
4
y a x x
= −
trên
(
]
0;
a
.
Có
2 2
' 4 3
y a x
= −
.
Dễ dàng thấy
' 0
y
>

+ ≤ +
(4) với x, y là
các số thực không âm.
+ Theo (4), ta có:
1
2
a b a b a b
c c c c c
 
+
= + ≥ +
 
 
 

Tương tự ta có
1
2
b c b c
a a a
 
+
≥ +
 
 
 
,
1
2
c a c a

     
= + + + + +
 
     
     
 

0.25
(1ñiểm)
+ Chứng minh ñược bất ñẳng thức
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
, (5) với x, y là các số
thực dương.
+ Theo (5), ta có
0.25
/>Trang 5/5

1 1 1 1 1 1 1
2
a b c
b c c a a b
 
     
+ + + + +
 
     
     

2 2( ) 2( ) 2( )
a b c
b c c a a b
 
     
≥ + +
 
     
     
+ + +
 
     
 

2
a b c
b c c a a b
 
= + +
 
 
+ + +
 
(Điều phải chứng minh).
0.25
Điểm toàn bài (20ñiểm)

Lưu ý khi chấm bài:
- Trên ñây là sơ lược các bước giải, lời giải của thí sinh yêu cầu phải chặt chẽ,
hợp logic.

1. Tìm x ñể phương trình sau luôn ñúng với mọi số thực a:
2
2 2
2
2
log ( 5 3 5 ) log (5 1)
a
a x ax x x
+
− + + − = − −

2. Giải và biện luận hệ phương trình sau:

2 2 2 2 2
x y x y m
x y x y m

+ − − =


+ − − =



Câu 3: (4,0 ñiểm)
1. Giải bất phương trình:
2
1 3 2( 3) 2 2
x x x x
− + − ≥ − + −

Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương
, ,
a b c

và thoả mãn
a b c 1
+ + ≥
. Chứng minh rằng:
5 5 5
4 4 4
1
a b c
b c a
+ + ≥
H
Ế
T
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
H
ọ
và tên thí sinh:

S
ố

1
( 1) (4 3) 3
3
y x m x m x m
= + + + + + −
(1) (
m
là tham số).
1. Tìm
m
ñể hàm số (1) ñồng biến trên
[
]
1;2
−
.
2. Tìm
m
ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại các ñiểm
1 2
,
x x

sao cho
1 2
2 1 .
x x m
+ = −

Câu 2: (4,0 ñiểm)

( )
2
3
2 1 .2 2.
1
log ( 1) 1
y
x
x
x
y x

−
+ − =


+

+ + =


( , ).
x y
∈
ℝ

2. Cho hàm số f(x) thoả mãn:
( ) ( ) ( 1) 2 1, ,f xy f x y f x y xy x x y
+ − + + + = + + ∀ ∈
ℝ


Tìm toạ ñộ của
các ñỉnh
A
và
,
B

biết ñường cao ñi qua ñỉnh
,
B
ñường phân giác trong ñi qua ñỉnh
A
của
tam giác
ABC

lần lượt

có phương trình là
2 0
x y
− − =
và
2 4 0
x y
+ + =
.
2. Trong không gian với hệ toạ ñộ
Oxyz

(
)
α
.
3. Cho tứ diện ABCD có một cạnh lớn hơn a và có các cạnh còn lại ñều không lớn
hơn a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
3
.
8
a
V ≤

Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho
0; 1,2, ,2012
i
x i≥ =
và thoả mãn hệ
2012
1 2
2 2 2
1 2 2012
3
1.
x x x
x x x
+ + + =



+ + + =

tên và ch
ữ
ký) Giám th
ị
2 (H
ọ
tên và ch
ữ
ký) ĐỀ CHÍNH THỨC
/>Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BẮC GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012
NGÀY THI 01/4/2012
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 - CHUYÊN
Bản hướng dẫn chấm có 05 trang

Câu 1 Hướng dẫn giải (5ñiểm)
TXĐ:
D
=

[ ]
3
2 , 1;2
2
m x x
x
≥ − − ∀ ∈ −
+

0.5
[ ]
1;2
3
2 max ( ), ( )
2
x
m g x g x x
x
∈ −
⇔ ≥ = − −
+

0.5
Tìm ñược
[ ]
1;2
max ( ) 2 2 3 khi 2 3
x
g x x
∈ −

Với
( ;1 3) (1 3; )
m
∈ −∞ − ∪ + + ∞
, áp dụng ñịnh lý Viét và kết hợp với
1 2
2 1 .
x x m
+ = −
Tìm ñược
1 2
3 5, 3.
x m x m
= − − = +

0.5
Tìm ñược
3 3
m = − ±

0.5
2.
(2.5ñiểm)
Kiểm tra ñiều kiện và kết luận
3 3
m = − ±

0.5
Câu 2


cos2
x x x
x
x x
x
x x
x
+ − =
⇒ − + =
⇒ + =

0.5
1.
(2ñiểm)

Với ñiều kiện (*) ta có
0.5
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC
/>Trang 2/5 2
2
1
1 3 tan 2
cos 2
1 3 tan 2 1 tan 2
tan 2 0
tan 2 3
x

=


⇔ ∈


= +
=


ℤ
(thoả
mãn)
Kết luận
0.5
(
)
( 1) 3 2 19 ( 1) 5 4 .
x x x m x x
+ + + + = − − + −

Điều kiện ñể phương trình có nghĩa là:

[
]
3;4 (2*)
x∈ −

0.5
Biến ñổi phương trình ñã cho trở thành

( 3) 1 (4)
h m h
− ≤ − ≤

hay
1 2 26 91 1 3 3 5 7
m+ − ≤ ≤ + +

0.5
Câu 3

(4ñiểm)
( )
2
3
2 1 2 2 (2)
1
log ( 1) 1 (3)
y
x
x
x
y x

−
+ − =


+


x
− +
−
+ − =
+

0.5
Biến ñổi phương trình về dạng
2 3 1
x x
+ = − +

Giải phương trình, tìm ñược x=2, thoả mãn ñiều kiện
0.5
1.
(2ñiểm)

Tìm ñược
2
1 log 3
y = −

Kết luận
0.5
2.
(2ñiểm)
Cho y=-1 ta có f(-x)+f(x+1)+f(x)=x+1
Cho y=0 ta có f(0)+f(x+1)+f(x)=2x+1
Suy ra f(-x)-f(0)=-x
0.5

x
P x =
+

0.5
Ta có x+y=1 thì
( ) ( )
2012 2012
P x P y
2012 2012 2012 2012
4024 2012(2012 2012 )
1
4024 2012(2012 2012 )
x y
x y
x y
x y
+ = +
+ +
+ +
= =
+ +

1 2011
( ) ( ) 1
2012 2012
A P P
⇒ = + =

0.5





= −



Chỉ ra ñỉnh B là giao ñiểm của ñường thẳng AC’ và ñường cao ñi qua
ñỉnh B của tam giác ABC, tìm ñược toạ ñộ ñỉnh
17 33
( ; )
8 8
B
− −
.
0.5
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD và tìm ñược toạ ñộ
G(1; 0; 2).
0.5
Lý luận chỉ ra ñược ñể
4 4
MA MB MC MD MG MG
+ + + = =
    
ñạt giá trị
nhỏ nhất khi M là hình chiếu của G lên mặt phẳng
(
)
α

( )
∆
và và mặt phẳng
(
)
α
, tìm
ñược toạ ñộ ñiểm M(2; -2; 1).
0.5
/>Trang 4/5

Tìm ñược giá trị nhỏ nhất của biểu thức ñã cho
4 6
khi M(2; -2; 1).
A
B
C
D
H
E
K
MKhông giảm tính tổng quát, ta giả sử AB>a, khi ñó
{
}
ax , , , ,
a m AC AD BC BD CD
≥

Tương tự, trong tam giác ACD ta cũng có:
2 2
1
4
2
AE a x
≤ −

mà
2 2
1
4 (2)
2
AH AE AH a x≤
⇒
≤ −

Từ (1) và (2) ta có
( )
2 2
1
4 (3)
24
V a x x≤ −

0.5
3.
(2ñiểm)
Xét hàm số
2 3

0;
ax 3
x a
m y a
∈
=
xảy ra khi x=a.
Vậy
3
.
8
a
V ≤

0.5
Câu 5

(1ñiểm)

2012
1 2
2 2 2
1 2 2012
3 (3)
1 (4)
x x x
x x x
+ + + =



x x x x x x x x
+ + ≥ + + − −
(5)
0.25
/>Trang 5/5

Từ (3), ta có

2012
1 2 3 4
3
x x x x x
− − = + + +

Kết hợp với (5), ta có
( )
2012
2 2
1 2 3 1 2 3 3 4
2 2 2 2 2
1 2 3 4 2012
( )
6
x x x x x x x x x
x x x x x
+ + ≥ + + + + +
≥ + + + + +

(vì
{

Thời gian làm bài: 180 phút
(không kể thời gian giao ñề)

Câu 1: (5,0 ñiểm) Cho hàm số
4 2
2( 2) 2 3
y x m x m
= − + + − −
(1) (
m
là tham số).
1. Tìm
m
ñể ñồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 ñiểm có hoành ñộ lập thành cấp
số cộng.
2. Tìm
m
ñể hàm số (1) có cực ñại, không có cực tiểu.
Câu 2: (4,0 ñiểm)
1. Tìm x ñể phương trình sau luôn ñúng với mọi a:
2
2 2
2
2
log ( 5 3 5 ) log (5 1)
a
a x ax x x
+
− + + − = − −


và
( ) ( ) ( )
f x f y f x y
= +
với
,x y
∀ ∈
ℝ
. Hãy xác ñịnh hàm số
( )
f x
.
Câu 4: (6,0 ñiểm)
1. Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P)
2
y 64x
=
và (d)
4x 3y 46 0
− + =
. Viết
phương trình ñường tròn có tâm thuộc ñường thẳng (d), tiếp xúc với (P) và có bán kính nhỏ
nhất.
2. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt
ñáy, SA=AB=a.
a. Tính diện tích tam giác SBD theo a.
b. Chứng minh rằng: BD vuông góc với SC.
c. Tính góc giữa SC và (SBD).
Câu 5: (1,0 ñiểm) Cho số thực dương p nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng:
1