Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d

KL:
xy
330
+-=
và
xy
310
-+=Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:2 50
-+=
.
dxy
2
:3 6 –7 0
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.

tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos 45 3 8 3 0
3

1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:3 50
++=
, dxy
2
:3 10
++=
và điểm
I

í
-+=
î
uur uur·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=

Þ
AB = 4 (không thoả) .

·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1
31(33)32

ÞD++=
PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

=ị-=ị= =

xy
:7 90
ịD =Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1

MB b b
1
2
()
(;1 ) ( 1;1 )
()(22;)
(2 3; )
ỡ
ỡ ẻ
ùỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MB MA
3
=

ị

MB MA


(
)
A
dxy
B
0 ; 1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợCõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:3 50,: 40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MA MB
230
=
.

ã
Gi s
Aaad

ab
b
5
55
2 ( 1 ) 3 ( 1 )
( 1 ) ; , ( 2 ; 2 )
2
2(3 6) 3(3 )
22
2
ỡ
ổử
ùỡ
-=-
=
ị
ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra
dxy
:0
-=
.
+

+
nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụ si
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OA OB a b ab
332312
+=+=

ab
a
OA OB
b
ab

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OA OB
+
nh nht.

ã

xy
260
+-=Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OA OB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua
M
( 1 ; 2 )
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn
AaBb
(;0);(0;)
vi
ab


ab
22
949
10
+



OA OB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=


ab
20
10,

Gi
AaBbab
( ;0), (0; ) ( , 0)
ạ
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ



baab
ab
2

28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==-.
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=

+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)
MS
(8;6), 12
=
. S:

++=
ab
22
(0)
+ạ

Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5 ( )
a
-
==
+

7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

ị
(
D

Û

ax by a b
–(2 )0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450
=

Û


ab
1 , 5
==-

Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:2 20
=
và điểm
I
( 1 ; 1 )
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng
d
một góc bằng
0

=
+

ab
ba
3
3
é =
Û
ê
=-
ë·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác dI
(;)10
D

(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;
=

và
d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đ i qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại
B
,
C

(
B
và
C
khác
A
) sao cho
AB AC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA

D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
( 1 ; 2 )
-
, dxy
1
:3 50
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:
xy
:10
D
++=
.

Þ
b b
6
0 ;
5
==
Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38 6 8 4
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứCõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D :
xy
2340
++=
. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45

ị
AB u
1
cos( ; )
2
=
u u ur r

AB u
AB u
.1
.
2
=
u u ur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169 156 45 0
3
13
ộ
=
ờ


ã
Ta cú ON
( 3 ; 4 )
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
( 3 6 ; )
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
S dMON ON dMON
ON
2
1
(, ). (, ) 3
2
D
D
===
v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .

ã
Gi s
BbbCccd
(2 2; ), (2 2; )
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
AB u
.0
=
u u ur
r



cC
1(0;1)
747
;
555
ộ = ị
ờ
ổử
ờ = ị
ỗữ
ốứ
ởCõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im
A
( 1 ; 4 )
. Tỡm im
BdCd
12
,

ỡ
=
ớ
=
ợ
uuur uuur



bcbc
bbcc
2222
( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0
(1)(1)(1)(5)
ỡ- + -=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ
c
1
=
khụng l nghim ca (*) nờn PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6

(*)


bc
22
( 1) ( 1)
+=-



bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb
4 , 2
==

ị

BC
(2;1), (4;5)

2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PA PB
+
ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2 ) ( 1) 3 5
ỡ - + - = -
ớ
-+-=-+
ợ
.
Ta cú
mm

APB vuụng ti P
ị
P
n m trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PA PB PA PB AB
2222
()2()216
+Ê+==ị

PA PB
4
+Ê
. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB
P(2; 1) hoc P(0; 1)


m
1
=

. Tỡm im M
ẻ
(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt
(2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)
D
+ ẻị =+- =
uuur uuur

Ta cú:
AM BM t t f t
222
2 15 4 43 ( )
+=++=
ị
ftf
2
min ( )
15
ổử
=-
ỗữ
ốứ

-+-+=>

ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị

A
(3;2)
Â
-

ị
Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M
ẻ
d, ta cú:
MA MB MA MB A B
ÂÂ
+=+
.
M
MA MB

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20 50 0
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng
dxy
:380
=
. Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.

22
xyxy
91 91 416
0
333
+-++=Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:2 30
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v
tip xỳc vi d
2
v d
3
.



t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1)=-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1
:6100
=
, dxy
2
:3450
++=

v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm
Itt
(38;)ẻ

D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=

tt
tt
22
22
3 ( 3 8 ) 4 1 0
(382)(1)

':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.

ã
Gi
Iab
(;)
l tõm ca ng trũn (C).
C
()
tip xỳc vi
D
ti im

+
ỡ
=
ùù
-+=-=

ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=+=
ợợ
u u ur
raa
ab
a
ab
b
25 150 4 6 85
10; 6
54 3
190; 156
4
ỡ
-=-
ùộ
==

Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2; 1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222
222
()()()
()()()
ộ
-++=
ờ
-+-=
ờ
ở

a)
ị

aa
1 ; 5

=-==
.

ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
.

ã

m
4
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
( 4) ( 4) 16
-+-=
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):

2
ộ =
ờ
=
ờ
ởã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)
2
+ (y + 2)
2
= 25

ã
Vi a =
31
2

ị
I
31
;27
2
ổử

+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I
ẻ

d

ị
Iaa
(23;)
-+
. (C) tip xỳc vi
D
nờn:

dIR
(,)
D
=
a 2

8
(7)(2)
5
-++=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứã
(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M

ị
I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ

ị
(C

3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IH R AH
22
3
2
ỡ ẻ
ù
ớ
=-=
ù
ợ



xy
xy
22
34110
9
(1)(2)
4
ỡ - - =
ù
ớ

ỗữ
ốứ
hoc H
11 11
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã
Vi H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=

ị
PT (C
Â

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
( 3 ; 4 )
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm
I
( 1 ; 2 )
, bỏn kớnh
R
2
=
.
IAB
S
D
ln nht


D
IAB vuụng ti I

AB
22

22
2
(3 2) ( 2) 2 5
=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1
;0 , (2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.

ã
im D(d;0) d
1
2
4
ổử
<<
ỗữ

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43
+-
=+-=
-

Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l
b
1
-
v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:

(
)
bb
bbb

l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứCõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1
):
xy
43120
=
v (d
2
):
xy
43120
+-=
. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2

.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d :
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2
): xy
22
( 5) ( 4) 32
++-=
. Vit phng trỡnh
ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C
1
) v (C
2
).

ã
Gi I, I
1
, I

a = 0
ị
I(0; 1), R =
2ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip
DABC. Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 11 ·
y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
Cxyx
22
:20

-+=
hoặc xyb
2
:30
D
++=

+ xyb
1
:30
D
-+=
tiếp xúc (C)
dIR
1
(,)
D
Û=

b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+.
Kết luận: xy
1
():3230
D

+ +=
và
đường thẳng (d):
xy
330
+-=
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45
.

·
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5
. Giả sử (
D
):
ax by c c
0(0)
++=¹
.
Từ:
dI
d
(,)5
2
cos( , )
2
D

=
ê
+-=
ë
.
Câu 20. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn Cxy
22
( ) : ( 1) ( 1) 10
-+-=
và đường thẳng
dxy
:2 20
=
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
C
()
, biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng
d
một góc
0
45
.

·
(C) có tâm
I
( 1 ; 1 )

+

ab
ba
3
3
é =
Û
ê
=-
ë·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác
dIR
(;)
D

dIR
(;)
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;

2
) có tâm I
2
(4;1)
, bán kính R
2
= 1.
Ta có:
IIRR
1212
3
==+

Þ
(C
1
) và (C
2
) t i ếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

Þ
(C
1
) và (C
2
) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài:
y ax b ax y b
(): (): 0
DD

44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ=
ùùù
+

ớớớớ
=
+-
-+
ợ
ùùù
==
=
ùùù
ợợ
+
ợ

Vy, cú 3 tip tuyn chung: xyxyx
123
2472 2472

Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) t i p xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) t i p xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II
(1;1)
Â
=
u ur

ị
PTTT:
xy
70
+-=Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1
():230
+ =
v

()
cú tõm I
2
(4;4)
, bỏn kớnh R
2
2
=
.
Ta cú:
II RR
12 12
54
=>=+

ị

CC
12
(),()
ngoi nhau. Xột hai trng hp:
+ Nu d // Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng:
xc
0
+=
.
Khi ú:
dIddIdcc
12
(,)(,)4




b
a
bab
aa
2
22
1
2
1
144
11
ỡ
-+
=
ù
ù
+
ớ
-+-+
ù
=
ù
++
ợ




hoc
dxy
:3460
=
hoc
dxy
: 7 24 74 0
+-=
.
Vy:
dx
:20
-=
;
dxy
:34140
-+=
;
dxy
:3460
=
;
dxy
: 7 24 74 0
+-=
.

Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1

;
C
2
()
cú tõm I
2
( 3 ; 4 )
-
, bỏn kớnh R
2
3
=
.
Gi s tip tuyn chung
D
ca
CC
12
(),()
cú phng trỡnh: ax by c a b
22
0( 0)
++=+ạ
.

D
l tip tuyn chung ca
CC
12
(),()

T (1) v (2) suy ra
ab
2
=
hoc
ab
c
32
2
-+
=.
+ TH1: Vi
ab
2
=
. Chn
b
1
=

ị
ac
2 , 2 3 5
==-
ị
xy
:2 2350
D
+-=


y
:20
D
+=
hoc
xy
:4390
D
=
.

Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy ct (C) ti im
A. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú bỏn kớnh RÂ = 2 sao cho (T) tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh
R
4
=
. Tia Oy ct (C) ti
A
(0;2)
. Gi J l tõm ca (T).

+=
v phng trỡnh:
xymxmy
22
2( 1) 4 5 0
+++=
(1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C
m
). Tỡm m (C
m
) tip xỳc vi (C).

ã
(C
m
) cú tõm
Imm
(1;2)
+-
, bỏn kớnh Rmm
22
'(1)45
=+++
,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI
mm
22
(1)4
=++, ta cú OI < R

. Vit phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi
C
1
()
v ct
C
2
()

ti hai im
MN
,
sao cho MN
22
= .

ã

C
1
()
cú tõm I
1
( 1 ; 0 )
, bỏn kớnh R
1
1
2
= ;
C

Ta cú:
dId
dId
1
2
1
(,)
2
(,)2
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ



acab
abcab
22
22
2
222
ỡ
ù
+=+
ớ
++=+

Trang 14 ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60 (1)
120 (2)
ộ
=
ờ
=
ờ
ở

Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB
nờn:
(1)
ã
AMI
= 30
0

+= Vụ nghim Vy c ú
hai im M
1
(0;
7
) v M
2
(0;
7
- )

Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22
():420;:2120
D
+ =+-=
. Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi
(C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60
0
.

ã
ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R
5
= .
Gi A, B l hai tip im . N u hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60
0

3
2 10 1 20 5 42 81 0
27
5
ộ =
ờ
-++-=-+=
=
ờ
ở

Vy cú hai im tha món bi l:
(
)
M
6 ; 3
hoc M
627
;
55
ổử
ỗữ
ốứCõu 30. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng

ở

Cõu hi tng t:
a) Cxydxym
22
():1,:0
+=-+=
S:
m
2
=
.

Cõu 31. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng
thng
dxym
:34 0
-+=
. Tỡm m trờn d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c
hai tip tuyn PA, PB ti ng trũn (C) (A, B l hai tip im) sao cho PAB l tam giỏc u.

ã
(C) cú tõm
I
( 1 ; 2 )
-

dId
m
11
19
(,)66
41
5
+
ộ =
= =
ờ
=-
ở
.

Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy
22
():186650
+ +=

v Cxy
22
():9
Â
+=
. T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ),
gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng
4 , 8
.


==
.
Gi s
Mxy
(;)
. Ta cú:
MCxyxy
OM
xy
22
22
()186650
5
25
ỡ
ùỡ
ẻ+ +=

ớớ
=
+=ợ
ù
ợ

xx
yy
45
30
ỡỡ
==

, T
2
l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng
TT
12
i qua im
A
( 1 ; 1 )
-
.

ã
(C) cú tõm
I
( 1 ; 2 )
-
, bỏn kớnh
R
2
=
. Gi s
Mxxd
00
(;1)
+ẻ
.

IM x x x R
222
000

22
22
0000
11(1)(3)
():
224
ổửổử+ ++
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ

T M k c 2 tip tuyn MT
1
, MT
2
n (C)
ị

ã
ã
IT M IT M T T T
0
1212
90 , ( )
==ịẻ

TTCT
12
{,}()()
ị=ầ


To cỏc im
TT
12
,
tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh
TT
12
l xxyxx
000
( 1 ) ( 3 ) 3 0
+ =
.

A
( 1 ; 1 )
-
nm trờn
TT
12
nờn xxx
000
1(3)30
-++ =


x
0
1

.333
==ị=ị=
uuur uuur
IH R BH d M d
22
4[,()]
ị=-== PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 16

Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).

a
ab
dMd
ab
ab
22
0
64
[,()]44
12
5
é =

l
8
=
nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.

( )
abab
dId abab
ab
22
22
22
,333

==Û-=+
+

a
aab
ab
2
0
860
3
4
é =
ê
Û+=Û
=-

dy
:0
=
.
b) d đi qua
Q
(5; 2)
, Cxyxy
22
():4850
+ =
, l
52
= .
ĐS:
dxy
:30
=
;
dxy
:17 7 71 0
=
.
c) d đi qua
A
(9; 6)
, Cxy xy
22
():820
+ =

(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng
D
có dạng:
xyc c
30,2
++= ¹
.
Vì
D
cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

()
c
c
dI
c
2
34
4101
,4
4101
31
D
-++é
=-
Þ==Û
ê
=
ë
+

D
=
.

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
( ) :( 4) ( 3) 25
++-=
và
đường thẳng
xy
:34100
D
-+=
. Lập phương trình đường thẳng d biết
d
()
D
^
và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.

·
(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do
d
D
^
nên
PT của d có dạng:
xym

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 17

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là:
xy
43270
++=
và
xy
43130
+-=
.

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
2230
+ =
và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.

·
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R =
5
. IM =
25
<

, M(–1; 0). ĐS:
dxy
:5250
++=Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.

·
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Û

D
OAB vuông cân tại O. Khi đó dOd
52
(,)
2
= .
Giả sử phương trình đường thẳng d: AxByAB
22
( 2) ( 6) 0 ( 0)
-+-=+¹

dOd
52
(,)
2
=

-+ê
=
ê
ë

+ Với
BA
24 5 55
47

=: chọn A = 47
Þ
B =
24 5 55Þ
d:
(
)
xy
47( 2) 24 5 55 ( 6) 0
+-=

+ Với
BA
24 5 55
47
-+
=: chọn A = 47

6260
+-+-=
và điểm
A
( 3 ; 3 )
. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
g iữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).
PT đường thẳng d có dạng: axbyab
22
( 3) ( 3) 0, 0
-+-=+¹

Û

ax by a b
330
+ =
.
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B
Þ
AB = 4
2
. Gọi I là tâm hình vuông.
Ta có:
d I d AD AB

0
-=
.

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
): xy
22
13
+=
và (C
2
) :
xy
22
( 6) 25
-+=
. Gọi A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.



Û
dd
22
21
12
-=

Û

aabab
ab ab
22
22 22
(623)(23)
12

-=
++Û
bab
2
30
+=

Û

b

+=
, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240
+ +-=
có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.

·
(C) có tâm
Im
( 1 ; )
, bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.

mmm
IH d I
mm
22
45
(,)
16 16
+
=D==
++
;
m
AH IA IH
m
m

=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ëCâu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1
+=
, đường thẳng
dxym
():0
++=
. Tìm m để
C
()
cắt
d
()
tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

·
(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B
dOd
(;)1
Û<


m
1
Û=±
.

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
d
()
: xmy
2120
++-=
và
đường tròn có phương trình Cxyxy
22
():2440
+-+-=
. Gọi I là tâm đường tròn
C
()
. Tìm
m sao cho
d
()
cắt
C
()
tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
g iác I A B l ớn nhất và tính giá trị đó.

·

119
.sin.
222
=£=

Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi
·
AIB
0
90
=
Û
AB = R
232
=
Û
dId
32
(,)
2
=

Û
mm
32

22
():4690
++-+=
và
đ i ể m
M
( 1 ; 8 )
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

·
(C) có tâm
I
(2;3)
-
, bán kính
R
2
=
.
PT đường thẳng d qua
M
( 1 ; 8 )
-
có dạng:
d ax by a b
:80
+-+=
( ab

==

Û

ba
ab
22
11 3
2
-
=
+

Û
aabb
22
7 66 118 0
-+=

Û

ab
ab
7
717
é =
ê
=
ë
.

++=
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DI A B l ớn nhất.

·
(C) có tâm là I (–2; –2); R =
2
. Giả sử
D
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của
D
IAB, ta có: S
D
ABC
=
·
IAB
S IA IB AIB
1
sin
2
= =
·
AIB
sin
Do đó
IAB
S
lớn nhất

15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15

Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440
+-+-=
, xmy
:2120
D
++-=
. ĐS:
m
4
=-
.
b) Với Cxyxy
22
():2450
+ =
,
xmy
:20
D

yx
xy
22
0 ; 2
2480
1 ; 3
520
ỡ
ỡ==
++ =

ớớ
=- =-
=
ợ
ợ
. Vỡ
A
x
0
>
nờn ta c A(2;0), B(3;1).
Vỡ
ã
ABC
0
90
= nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).


dIR
9
(,)
13
D
=<

ị
ng thng (
D
) c t (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM
SABdM
1
.(,)
2
D
D
= . Trong ú
AB khụng i nờn
ABM
S
D
ln nht


dM
(,)
D


ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy
dM
(,)
D
ln nht

M trựng vi Q.
Vy ta im M(3; 5).

Cõu 49. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2450
+ =
v A(0;
1) ẻ (C). Tỡm to cỏc im B, C thuc ng trũn (C) sao cho DABC u.

ã

xyxyxyxy
xyxy
22 22
2450 2450
3120123
ỡỡ
+ = + =

ớớ
+-==-
ợợ

Gii h PT trờn ta c: BC
7 33 33 7 33 33
;;;
22 22
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc ngc li.

Cõu 50. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(3)(4)35
-+-=
v im
A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã

ị
VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi
ua
( 1 ; )
=
r
l VTCP ca d. Ta cú: Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 21 ( )
aa
IA u
aa
222
222
cos ,
2
12151
++
===
+++
u ur
r




ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
9 13 7 3 13 9 13 7 3 13
;,;
2222
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ

+ Vi a =
1
3
-
, thỡ u
1
1 ;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r

ị

ỗữỗữ
ốứốứ

v
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
;,;
2222
ổửổử
-+
ỗữỗữ
ốứốứCõu 51. Trong mt phng to
Oxy
,
cho ng trũn (C): xy
22
4
+=
v cỏc im A
8
1 ;
3
ổử
-
ỗữ
ốứ
,
B

===
ờ
=
ở

+
xy
MM
xy
22
4380
14 48
(2;0);;
25 75
4
ỡ
ổử
-+=
ị
ỗữ
ớ
+=
ốứ
ợ
+
xy
xy
22
43320
4


ị

dIdR
(,)2
=>

ị

dC
()
ầ=ặ
.
Gi
D
l ng thng qua I v vuụng gúc vi d
ị

xy
():4350
D
+-=
.
Gi NdN
00
17
;
55
D
ổử

211
;()
55
ổử
-ẻ
ỗữ
ốứ
,
Nd
17
;
55
ổử
ẻ
ỗữ
ốứ
. PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 22

TP 03: CC NG CễNIC

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22


12
AF AF BF BF a
12
420
+++==

M
1
AF BF
2
8
+=

ị

2
AF BF
1
12
+=Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im
FF
12
( 1;1), (5;1)
- v tõm sai
e
0 , 6
Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1
41
+=
. Tỡm to
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam
giỏc ABC l tam giỏc u.

ã
AB
243243
;,;
7777
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứCõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
100 25
+=
. Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao

22
=- =+ .

ã
F F MF MF MF MF F MF
222
12121212
2 cos=+-



()
xxxx
22
2
33331
10 3 10 10 2 10 10
22222
ổửổửổửổử
ổử
=-++ +-
ỗữỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứốứốứốứốứ
x = 0 (y=

5). Vy cú 2 im tho YCBT: M

11
4
+=ị+=
, ab
22
3
=+
ị
xy
22
1
41
+=

ị
MMMMM
P a ex a ex x y a e x
2222222
()()2()() 1
=+++-=

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 23

Cõu 6. Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): xy
22
4 16 64

2
-
=-=,

x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44
-ÊÊ
)
ị

MF
dM
2
3
(,)2
D
= (khụng i).

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy

D
MAB: S AB d M AB x y
00
1
(;)23
2
==

p d n g b t ng th c Bunhiacpxki cho 2 cp s
xy
00
11
;,(5;4)
2
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
cú:

()
xyxy
2
22
0000
11119
. 5 .4 5 16 .80 36
25420
5

239
ỡ
=
ù
ỡ=-
ù
ị - +=
-
ớớ
-=
ợ
ù
ù - + =
ợ
x
y
0
0
8
3
5
3
ỡ
=
ù

ớ
ù
=-
ợ

ẻ
(E), vi
xy
0 , 0
>>

ị

xy
22
1
94
+=
.

ABC
xy
S AB d C AB x y
18585
.(,)233.
21332
213
==+=+

xy
22
85 170
323
13 9 4 13
ổử

ợ
ù
ợ
. Vy C
32
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
. PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 24

Cõu 9. Trong mt phng ta
Oxy
, cho elip
xy
E
22
():1
25 9
+=
v im
M
( 1 ; 1 )
. Vit phng
trỡnh ng thng i qua

v
E
()
l nghim ca h:
xy
ykx
22
1(1)
25 9
(1)1(2)
ỡ
ù
+=
ớ
ù
=-+
ợị
kxkkxkk
222
(25 9) 50 ( 1) 25( 2 9) 0
+ + =
(3)
PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
vi mi

+
.
Vy PT ng thng
D
:
xy
925340
+-=
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xy
E
22
():1
94
+=
,
M
( 1 ; 1 )
S:
xy
:49130
D
+-=Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22

1
82
+=

ị
y
2
0
2
Ê

ị
y
0
02
ÊÊ
ị

y x loaùi
yx
00
00
022()
12
ộ
=ị=
ờ
=ị=
ờ
ở

1
82
+=
. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:

xy
xy
22
2
( ) (8 2) 10
82
ổử
+Ê++=
ỗữ
ốứ

ị
xy
10 10
-Ê+Ê.
+ xy
10
+Ê. Du "=" xy ra


xy
xy
82
10
ỡ



M
4 10 10
;
55
ổử

ỗữ
ốứ

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25

Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
93
+=
v im
A
( 3 ; 0 )
. Tỡm trờn
(E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u.

ã


dABCx
0
(,())3=-
Do
AOx
ẻ
, B v C i xng qua Ox nờn
D
ABC cõn tõ A
Suy ra:
D
ABC u


d A BC BC
3
(,())
2
=


xy
00
33
-=

yx
22
00

3
=
ị
BC
(0; 3), (0; 3)
- . + Vi x
0
3
=

ị
y
0
0
=
(loi).
Vy: BC
(0; 3), (0; 3)
- .

Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
94
+=
v cỏc ng thng
dmxny
1
:0

ymt
1
1
1
:
ỡ =
ớ
=
ợ
,
xmt
d
ynt
2
2
2
:
ỡ = -
ớ
=
ợ
.
+ M, N l cỏc giao im ca
d
1
v (E)

ị

nm nm

ỗữỗữ
++++
ốứốứ

+ Ta cú: MN
^
PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.

MPNQ
SSMNPQOMOP
1
.2.
2
====
MMPP
mn
xyxy
mnmn
22
2222
2222
72( )
2.
(9 4)(4 9)
+
++=
++

p dng BT Cụ-si:
mnmn

+=+=

Vy: S
144
min
13
= khi
mn
=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
xy
22
1
16 9
-=
.