LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 1
5. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Bài 1 Giải hệ phương trình
2 2
2
3 3
3
x y x x y
x y x x
Đk
2
0;
x x y
Ta có y = 3 không t/m , nhân chia PT đầu với LLH, ta có
1 2
2 1
1 1 3 3 2
y x
x x y
y x x
Bài 3 Giải hệ phương trình :
2 2
8 2 2 3 2
x y
y x
x y y
với t
0.
2
2
'( ) 1 0 0
f t t
t
=> Hàm số đồng biến trên
D
;0 0;
.
Mà (*) ( ) ( )
f x f y x y
thế vào PT (2) ta có:
8 2 2 3 2
x x x
điều kiện
2
3
x
x x x
x x x x
2
2
2
2
2 3
3
1 ( )
2 18 20 0
10 ( )
x
x
x TM
x x
x L
2
3
3 4 3
2 2 3
y y x y
x y
.
ĐK x thuộc R và
2
y
Biến đổi (1) về pt
2
3 4 3 3 ; 1 2 2
y y x y y L y thay vao
3
Trừ theo vế hai phương trình của hệ và chuyển vế ta được:
2 2 2 2
21 1 21 1
x x x y y y
(*)
Ta có hàm số:
2 2
( ) 21 1
f t t t t
đồng biến trên
1;
nên
*
x y
Thay x=y vào một phương trình của hệ ta được:
2 2
21 1
x x x
0; 1
2
1 1
2 1 ( )
1 1
21 5
x
x
x
x VN
x
x
2 2
2 2
3
3 3
3
y x
y x y x x
x y x
, kết hợp pt (2) Ta có
2
3 3 1
x x x
là
nghiệm duy nhất vì f(x) = VT luôn đ/b trên (0;+
), thay vào hệ suy y = 8 t/m Hệ có 1 nghiệm
(1; 8)
Bài 7 Giải hệ phương trình sau:
TH 1: x=y thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta tìm được cặp nghiệm thỏa mãn là
(x;y)=(-2;-2), (1;1
TH 2: x
x
y
2
5
thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có 02565
236
xxx đồng thời từ
phương trình thứ hai ta suy ra
5
6
x
Xét hàm số 2565
23
xxy trên
5
6
; lập bảng biến thiên ta suy ra y>0
KL: Hệ có hai nghiệm (x;y)=(-2;-2), (1;1)
y y x
Thay vào (2).
3
2 1 3
x x
. VT là hàm đồng biến trên
1;
nên pt có nghiệm duy nhất x=3.
Với x=3 suy ra y = -2.
Vậy hệ đã cho có nghiệm (3;-2)
Bài 9 Giải hệ phương trình,:
6 3 2 2
9 30 28 1
2 3 2
x y x y y
x x y
t
tttf
013)(
2
Hàm số )(tf đồng biến
3)3()(
22
yxyfxf Thay vào (2):
332
2
xxx
966232
03
2234
2
xxxxxx
xx
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (3, 6) và )1;2(
Bài 10 Giải hệ phương trình,:
2 2
8 2 2 3 2
x y
y x
x y y
*
Điều kiện
8 0
2
3
x
y
.
Mà (*) ( ) ( )
f x f y x y
thế vào PT (2) ta có:
8 2 2 3 2
x x x
điều kiện
2
3
x
8 3 2 2 2
x x x
8 5 2 (3 2)(2 2)
x x x x
8 4 2 (3 2)(2 2)
x x x
4 2 (3 2)(2 2)
x x x
2
1 ( )
2 18 20 0
10 ( )
x
x
x TM
x x
x L
Vậy ta có :
1
1
x
y
Điều kiện
1
2
2
x va y
(2)
1 2 2 1 2 1 2 1
x x y y
Xét hàm số f(t) = (1 + t
2
)t = t
3
+ t
f’(t)= 3t
2
+ 1 > 0
x y
Bi 13 Gii h phng trỡnh vi ,x y
2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 2 0
1 2 2 1
x y x y y
y x y xy x x xy y y
T phng trỡnh (2) ta cú /k :
1
t
f t t
t
t
2
1 1
2 0 0
2
1
t t
t
t
Suy ra hm s nghch bin
0;
nờn
+ Đk:
1
2
x
y
+ Phơng trình (1)
3
3
3 1 3 1 ( ) 1
x x y y f x f y
Xét hàm số
3
( ) 3
f t t t
với
1
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 6
Bài 15 Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2
( )( 3) 3( ) 2
4 2 16 3 8
x y x xy y x y
x y x
,x y
ĐK:
16
2,
3
x y
3 3
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x)>0 nên hàm số đồng biến suy ra x=-1 là nghiệm duy nhất
của (*)
KL: HPT có 2 nghiệm (2;0),(-1;-3)
Bài 16(HK1_2013) Giải hệ phương trình
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
x y x y x x y
( ,x y
).
3 2 3
3 2
6 13 10
2 5 3 3 10 6
x x x y y
đồng biến trên
Do đó (*)
2
y x
.Thay
2
y x
vào (2) ta được :
3 2
3 3 5 2 3 10 26
x x x x x
3 2
3 3 3 1 5 2 3 10 24
x x x x x
5
1
2
x
thì
2
12 0
x x
. Vậy hệ có nghiệm duy nhất
2
0
x
y
Bài 17 Giải hệ phương trình
3 2 2
2 2 2
Xét hàm số
2
1
f t t t t
có
2
2
2
' 1 1 0
1
t
f t t
t
nên hàm số đồng biến. Vậy
1 1
1 2 2f y f y
x x
. Thay vào phương trình (1):
1 1 1
1 4 2 2
y
x
x y
x y
x y
. (với
;
x y R
)
đk:
0 ; 1
x y
pt(1)
1
1
1 1 1 1 (1 )
y
vì (*)
( ) (1 ) 1
f x f y x y
, thế vào pt(2) ta được :
2
1 5 2 2 6 2 2 5 6 8
x x x x x
2 2 2
1 1
5 6 1 5 6 ( 1)
2 2
x x x x x x x y
(tmđk)
vậy hệ pt có nghiệm là
1
2
1
2
x
y
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 8
Bài 20 Giải hệ phương trình :
3 2 2
3 2 3 2
1 1
9 6 3 15 3 6 2 2
x x y x x y
x y x y x
. (với Bài 21 Giải hệ phương trình
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
( , ).
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x y
Xét hàm số
3
12
f t t t
trên [-2;2]
2
' 3 12 0, 2; 2
f t t t
f t
nghịch biến trên [-2;2], kết hợp với (1) suy ra
2 2
x y y x
Thế y=x+2 vào (2) được
2 2
4 6 3 4
x x
(x;y) : x 0
thì: Pt
2
2
1 1 1
(2) 2y 2y 4y 1 1.
x x x
- Xét hàm số:
2
f t t t t 1
2
' 2
2
t
f t 1 t 1 0 t
t 1
f t
đồng biến. Do đó
x 1 a
1 x b
;
(a,b 0)
. Ta có:
2 2
3x x 1 2(1 x) 1 2a b 1
Phương trình trở thành:
2 2
2a b ab 4a 2b 0 (2a b)(a b 2) 0
- Với
2a b
ta có
2 x 1 1 x x 3 / 5 y 5 / 6
.
- Với
a b 2
ta có
x 1 1 x 2 x 0
(Loại).
với x; y
.
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 10
Bài 25.1 Giải hệ phương trình sau:
3
3
2y 2x 1 x 3 1 x y
x 3x 2y 40 0
với x; y
2 2
x 3x 9x 22 y 3y 9y
1
x y x y
2
với x; y
.
Bài 26 Giải hệ phương trình sau:
3 2
3 2 3
2x y 5 3 x y x 3x 10y 6
x 6x 13x y y 10
với x; y
3 3 2
2 2
3 6 3 4 (1)
6 10 5 4 (2)
x y x x y
x y x y y x y
Bài 29 Gi¶i hÖ pt:
2 2
2 2
2 5 3 4 (1)
3 3 1 0 (2)
x x x y y
x y x y
Bài 30 Gi¶i hÖ pt:
3 2
2 3 2 2
3 2 1 4 8
4 6 5 4
y x x y
y x y x y y
Bài 31.1 Gi¶i hÖ pt:
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 1 0
x y y x
x x y y
2
2 2 2
3 2 1
4 5 2 2 1 0
x x y y
x y x x x x y xy
Bài 33 Gi¶i hÖ pt:
2 3
2 3 2
4 8 4 12 5 4 13 18 9
4 8 4 2 1 2 7 2 0
x x y y y x
x x x y y y
4 4
x x y y
Xét
2
( ) 4
f t t t
f(t ) đồng biến trên R,suy ra x=y
Thay vào (1) được:
2
8 10 ( 2) 2 1
y y y y
2
( 2) ( 2) 2 1 6(2 1) 0
y y y y
( 2 3 2 1)( 2 2 2 1) 0
y y y y
2 3 2 1
y y
GPT được y=1,y=13 và kết luận hệ có hai
nghiệm(1;1),(13;13)
Bài 35 Giải hệ phương trình:
3
3 3 3 3 2 2 1
3 1 2 3 8 2 5 2
x y xy x y x y x y xy
x x y y
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 18
Bài 37 Giải hệ phương trình:
3 3 2
2 2
6 2 7 12 1
3 3 10 5 22 2Bài 39 Giải hệ phương trình:
3 2
3
85
8 3 4
2
16 24 18 21 6 1
y x
x y x x y
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 20 Bài 40 Giải hệ phương trình:
x y x y y x y y
x y x y
x y
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 21
Bài 42 Giải hệ phương trình:
2
2 2 2 2
7 2 1 10 8
4 5 1 1 4 5
x x y
x y y x y x y y
Bài 44 CMR, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
0; 0
x y
2 2
2 2
2014
1 1
2014
1 1
x y
x y
x y
x y
2 2
2 2
3 5 2 3 7 2 24 1
7 6 14 0 2
x x y y xy
x y xy x y
LTĐH : Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình đại số LH 0979791802 Binhgiang.edu.vn
Tài liệu ôn thi đại học môn Toán – Người soạn : Vũ Trung Thành -Trường THPT Bình Giang, Trang số 24 Bài 47 Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 1 1 1
3 2 4 2 5 2
x x y y
x x y y
Copyright: Tài liệu đại học ©