TR N
   TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG


• ố f ñồ ế ⇔
yxD
0,
′
≥∀∈

y
0
′
=
ỉ ả ạ ộ ố ữ ạ ñ ể
ộ
• ố f ị ế ⇔
yxD
0,
′
≤∀∈

y
0
′
=
ỉ ả ạ ộ ố ữ ạ ñ ể
ộ
• ế yaxbxca
2
'(0)
=++≠
ì:


gx
()
luôn cùng dấu với a.
+ Nếu ∆ = 0 thì
gx
()
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
a
2
=− )
+ Nếu ∆ > 0 thì
gx
()
có hai nghiệm
x x
12
,
và trong khoảng hai nghiệm thì
gx
()
khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì
gx
()
cùng dấu với a.
• So sánh các nghiệm
x x
12

≥

<≤⇔>


>

+ xxP
12
00
<<⇔<

•
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)max()
≤∀∈⇔≤
;
ab
gxmxabgxm
(;)
(),(;)min()
≥∀∈⇔≥

ộ ố ạ ỏ ườ ặ
ñ ề ệ ố
yfx
()
=

thì:

a
yxR
0
'0,
0
∆

>
≥∀∈⇔

≤

+
a
yxR
0
'0,
0
∆

<
≤∀∈⇔

≤


ñ ề ệ ố
yfxaxbxcxd

fxhmgx
()0()()
′
≥⇔≥ (*)
thì f ñồng biến trên
(;)
⇔
hmgx
(;)
()max()
≥
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 2

• N u b t phương trình
fxhmgx
()0()()
′
≥⇔≤ (**)
thì f ñồng biến trên
(;)
αβ
⇔
hmgx
(;)
()min()
≤
αβ

S
P
0
00
00
0
∆
∆

>



>>
∨

≤>


≥



– Hàm số f ñồng biến trên khoảng
a
(;)
+∞
⇔
gtt
()0,0

⇔
yx
0,(;)
′
≥∀∈
αβ
và
y
0
′
=
chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn ñiểm thuộc
(;)
αβ
.
Trường hợp 1:
• Nếu bất phương trình
fxhmgx
()0()()
′
≤⇔≥ (*)
thì f nghịch biến trên
(;)
αβ
⇔
hmgx
(;)
()max()
≥

()32(3)32
ααα
′
==+++++
.
– Hàm số f nghịch biến trên khoảng
a
(;)
−∞
⇔
gtt
()0,0
≤∀<
⇔
a
a
S
P
0
00
00
0
∆
∆

<



<>




<>
∨

≤<


≥



ñ ề ệ ố
yfxaxbxcxd
32
()
==+++
ñơ ñ ệ ả ñộ
ằ k ướ .
• f ñơn ñiệu trên khoảng
xx
12
(;)
⇔
y
0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt

dxe
2
(2),(,0)
++
=≠
+

a) Đồng biến trên
(;)
α
−∞
.
b) Đồng biến trên
(;)
α
+∞
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 3

c) ng bi n trên
(;)
αβ
.
Tập xác ñịnh:
e
DR
d

(;)
α
−∞
.
b) Nghịch biến trên
(;)
α
+∞
.
c) Nghịch biến trên
(;)
αβ
.
Tập xác ñịnh:
e
DR
d
\

−
=


,
adxaexbedcfx
y
dxedxe
2
22
2()

22
()2()2
ααα
=+++++−
a) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
−∞e
d
gxhmx()(),
α
α

−

≥
⇔


≥∀<
e
d
hmgx
(;]



≥∀<
a
a
ii
S
P
0
00
()
00
0

>



>∆>
⇔∨

∆≤>


≥



+∞

−
≤

⇔

≤



b) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
+∞e
d
gttiii
()0,0()
α

−

≤
⇔


≥∀>

αβe
d
gxhmx
;
()(),(;)
αβ
αβ

−

∉
⇔


≥∀∈
e
d
hmgx
[;]
;
()min()
αβ
αβ

ườ ợ ườ ợ
N u
fxgxhmi
()0()()()
≤⇔≥
N u bpt:
fx
()0
≥
không ñưa ñược về dạng (i)
thì ta ñặt:
tx
α
=−
.
Khi ñó bpt:
fx
()0
≤
trở thành:
gt
()0
≤
, với:
gtadtadetadaebedc
22
()2()2
ααα

−∞

−
≥

⇔

≤



a) (2) ñồng biến trên khoảng
(;)
α
−∞e
d
gttii
()0,0()
α

−

≥
⇔


≤∀<

α
+∞e
d
gxhmx()(),
α
α

−

≤
⇔


≥∀>
e
d
hmgx
[;)
()min()
α
α
+∞

−

a
a
iii
S
P
0
00
()
00
0

<



<∆>
⇔∨

∆≤<


≥



c) (2) ñồng biến trong khoảng
(;)
αβ
⇔

≤


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 5

Cho hàm số
ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=−++− (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị (C) của hàm số (1) khi
m
2
=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số (1) ñồng biến trên tập xác ñịnh của nó.

•
Tập xác ñịnh: D = R. ymxmxm
2

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng
(;0)
−∞
.

•
Tập xác ñịnh: D = R.
yxxm
2
36
′
=+−
. y
′
có
m
3(3)
∆
′
=+
.

Nế
m
3
≤−

0
∆
′

y
0
′
=
2 nghiệm phân biệt
xxxx
1212
,()
< . Khi ñó hàm số
ñồng biến trên các khoảng xx
12
(;),(;)
−∞+∞
.
Do ñó hàm số ñồng biến trên khoảng
(;0)
−∞

⇔

xx
12
0
≤<

⇔
P
S
0
0

3
≤−
.

C
Cho hàm số
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1
=−++++
có ñồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng
(2;)
+∞•
Tập xác ñịnh: D = R. yxmxmm
2
'66(21)6(1)
=−+++
có mmm
22
(21)4()10
∆
=+−+=>


C Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+−+−++
.
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m ñể hàm ñồng biến trên khoảng
K
(0;)
=+∞
.

•
Hàm ñồng biến trên
(0;)
+∞
yxmxm
2
3(12)(22
)0
′
⇔ +
=−+−≥
với
x
0)
(
;
∀∈
+∞

1)1
1
2
()02
()
01;
2
41
′
=
+−
+−==−=⇔
=
+
⇔
Lập BBT của hàm
fx
()
trên
(0;)
+∞
ừ ñ ñ ñến kết luận:
fmm
15
24

≥⇔≥


.

≠−
K
(1;)
=+∞
. Đ
0
m
≥ymxmxmx
32
1
(1)(21)3(21)1
3
=+−−+−+

m
(1)
≠−
,
K
(1;1)
=−
. Đ m
1
2
≥

VINAMATH.COM

Đặt
tx
–2
=
ta ñược: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
′
==−++−++−
Hàm số (
nghịch biến trong khoảng
(;2)
−∞
gtt
()0,0
⇔≤∀<

T
:
a
0
0

<

∆≤


⇔





⇔

m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0
1

−<

−−>



+−≤

−−


2) Tìm m ñể hàm nghịch biến trên khoảng
K
(2;)
=+∞
.

•
Tập xác ñịnh: D = R ymxmx
22
(1)2(1)2
′
=−+−−
.
Đặt
tx
–2
=
ta ñược: ygtmtmmtmm
2222
()(1)(426)4410
′
==−++−++−
Hàm số ( nghịch biến trong khoảng
(2;)
+∞
gtt
()0,0
⇔≤∀>

T

0
0
0

<


∆>

<

≥



⇔

m
mm
mm
m
m
2
2
2
10
3210
44100
23
0

=+++
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi m = 3.
2) Tìm m ñể hàm số (1) nghịch biến trên ñoạn có ñộ dài b ng 1.

•
Ta có
yxxm
2
'36
=++
có
m
93
∆
′
=− .

Nế m ≥
yxR
0,
′
≥∀∈

⇒
m ố ñồng biến trên R
⇒
m ≥ hông thoả mãn.

Nế m

=

⇔
xx
12
1
−=

⇔
xxxx
2
1212
()41
+−=

⇔
m
9
4
=
.

C
Cho hàm số yxmx
32
231
=−+−
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m ñể hàm số (1) ñồng biến trong khoảng

VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 7

+ N u
m
0
≠
,
yxmkhim
0,(0;)0
′
≥∀∈>
ho c
yxmkhim
0,(;0)0
′
≥∀∈<
.
V
y hàm s ñồng biến trong khoảng
xx
12
(;)
với xx
21
1
−=
−=

.

Cho hàm số yxmxm
42
231
=−−+
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m ñể hàm số (1) ñồng biến trên khoảng (1; 2).

•
Ta có
yxmxxxm
32
'444()
=−=−

+
m
0
≤
, yx
0,(0;)
′
≥∀∈+∞

⇒


Với yxmxm
42
2(1)2
=−−+−
; y ñồng biến trên khoảng
(1;3)
. ĐS:
m
2
≤
.

C
Cho hàm số
mx
y
xm
4
+
=
+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và v ñồ thị của hàm số (1) khi
m
1
=−
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m ñể hàm số (1) nghịch biến trên khoảng
(;1)
−∞

(2
Kết hợp (1 và (2 ta ñược:
m
21
−<≤−
.

C Cho hàm số
xxm
y
x
2
23
(2).
1
−+
=
−

Tìm m ñể hàm số (2) ñồng biến trên khoảng
(;1)
−∞−
.

•
Tập xác ñịnh:
DR{
\1}
=
.

(;1]
'0,(;1)min()
−∞−
⇔≥∀∈−∞−⇔≤
Dựa vào BBT của hàm số
gxx
(),(;1]
∀∈−∞−
ta suy ra
m
9
≤
.
Vậy
m
9
≤
thì hàm số (2 ñồng biến trên
(;1)
−∞−C
Cho hàm số
xxm
y
x
2
23
(2).

()0243
≥⇔≤−+
. Đặt gxxx
2
()243
=−+

gxx
'()44
⇒=−

Hàm số (2 ñồng biến trên
(2;)
+∞

yxmgx
[2;)
'0,(2;)min()
+∞
⇔≥∀∈+∞⇔≤
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 8

Da vào BBT c a hàm số
gxx
(),(;1]
∀∈−∞−
ta suy ra

Tập xác ñịnh:
DR{
\1}
=
.
xxmfx
y
xx
2
22
243()
'.
(1)(1)
−+−
==
−−

Ta có: fxmxx
2
()0243
≥⇔≤−+
. Đặt gxxx
2
()243
=−+

gxx
'()44
⇒=−


23
(2).
2
−+
=
−

Tìm m ñể hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
(;1)
−∞
.

•
Tập xác ñịnh:
DR{m}
\2
=
.
xmxmfx
y
xmxm
22
22
4()
'.
(2)(2)
−+−
==
−−
Đặt

P
'0
'0
()
0
0

∆=


∆>

⇔

>



≥




m
m
m
mm
2
0
0

m
23
≥+ thì hàm số (2 nghịch biến trên
(;1)
−∞
.

Câu 15. Cho hàm số
xmxm
y
mx
22
23
(2).
2
−+
=
−

Tìm m ñể hàm số (2) nghịch biến trên khoảng
(1;)
+∞
.

•
Tập xác ñịnh:
DR{m}
\2
=
.

gttii
21
'0,(1;)
()0,0()

<
⇔≤∀∈+∞⇔

≤∀>


ii
S
P
'0
'0
()
0
0

∆=


∆>

⇔

<




m
23
⇔≤−
Vậy: Với
m
23
≤− thì hàm số (2 nghịch biến trên
(1;)
+∞VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang

HS : CỰC TRỊ CỦ H M SỐ

Dạng 1: Cực trị của h số bậc 3:
yfxaxbxcxd
32
()
==+++

. Kiến thức cơ bản
H số c ñạ ự ể ⇔ phương tr nh
y
0
′

dykxbdykxb
111222
=+=+
th
kk
kk
12
12
an
1
−
=
+
α

B. Một số dạng c hỏi thường gặp
ọi k à hệ số góc của ñường thẳng ñi qua các ñiểm cực ñại, cực tiểu.
1. ñiều kiện ñể ñường thẳng ñi qua c c ñiể cực ñại, cực tiểu ng ng (vu ng
c) với ñường thẳng
dy
=+
.
ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi a c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Giải ñi u kiện:
=
(hoặc k
1
=−
).

=
.
4. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B ch I B c diện t ch S
ch trước (với I l ñiể ch trước).
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi ua c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Giải ñi u kiện
IAB
SS
∆
=
.
5. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B ñối xứng qua ñường thẳng d
ch trước.
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
– Viết phương tr nh ñường thẳng ñi ua c c ñiểm cực ñại, cực tiểu.
– Gọi I l trung ñiểm của AB.
– Giải ñi u kiện:
d
Id
∆


∈

.
5. ñiều kiện ñể ñồ thị h số c hai ñiể cực trị , B c ch ñều ñường thẳng d ch
trước.
– T ñ ệ ñể ố c c ñạ ực ểu.
VINAMATH.COM

yfxaxbxc
2
'()32
==++
.
Đặt
tx
=−
α
. Khi ñ :
ygtatabtabc
22
'()32(3)32
ααα
==+++++ 9. ñiều kiện ñể h số c hai cực trị
xx
12
,
t ả:
a)
xx
12
α
<<
b) xx
12
α

H
số c c ị ộc K
1
(;)
α
=−∞ ố c c ị ộc K
2
(;)
α
=+∞

ố c c ị ả g
(;)
α
−∞

fx
()0
⇔=
c g ệ
(;)
α
−∞
.
gt
()0
⇔=
c g ệ t < 0
P
S

⇔=
c g ệ
(;)
α
+∞
.
gt
()0
⇔=
c g ệ t > 0
P
S
P
0
'0
0
0

<


∆≥

⇔

>



≥

⇔<

b) ố c a c c ị
xx
12
,
ả xx
12
α
<<

gt
()0
⇔=
c a g ệ
tt
12
,
ả tt
12
0
<<
S
P
'0
0
0

∆>


P
'0
0
0

∆>

⇔>


>
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 11

Cho h số
yxmxmxmm
32232
33(1)=−++−+− (1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
1
=
.
2) Vi t ph ng tr nh ng thẳng ua hai ñiểm cực trị của thị h số (1).
•


′
=−+−+



Khi ñó:
yxmm
2
11
2
=−+
;
yxmm
2
22
2
=−+

T ñường thẳ i ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1 là
yxmm
2
2
=−+
.

C Cho h số yxxmxm
32
32
=+++−

⇔
PT (1 có 3 nghiệm phân biệt

⇔
(2 có 2 nghiệm phân biệt khác –1
⇔

m
gm
30
(1)30
∆

′
=−>

−=−≠


⇔

m
3
<C
Cho h số yxmxmmx
322
(21)(32)4

−+<

⇔

m
12
<<
.

C
Cho h số yxmxmx
32
1
(21)3
3
=−+−−
(m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 2.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ ực ể c g a ớ ục g.

•
TXĐ: D = R ; yxmxm
2
221
′
=−+−

2

≠

⇔

>


.

C
Cho h số yxxmx
32
32
=−−+
(m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 1.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể g ẳ g
yx
1
=−
.

•
Ta có:


Thực hiện phép chia y cho y
′
ta ñược:
mm
yxyx
112
'22
3333

=−+−++

⇒

mmmm
xxyyxyyx
121122
22
22;22
333
))
3
((

−++−++



=−m
m
29
21
32
−=⇔=
⇔ (không thỏa (
TH2: Trung ñiểm của B nằm trên ñường thẳng
yx
1
=−II
x
mm
xxxx
m
y
m
y
y
m
x
x
2
1212

=
.

Cho h số
yxmxm
323
34
=−+ (m l tham số) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số khi m = 1.
2) ñị m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể g a a g ẳ g y = x.

•
Ta có:
yxmx
2
36
′
=− ;
x
y
xm
0
0
2

=


mm
mm
3
3
240
2


−=

=


⇔

m
2
2
=±C
Cho h số yxmxm
32
331
=−+−−
.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) Với gi trị n của m th ị ố c ể cực ñạ ñ ể cực ể ớ

Khi ñó 2 ñiểm cực trị là: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)
−−−−

⇒

ABmm
3
(2;4)

Trung ñiểm
củ có toạ ñộ: Immm
3
(;231)
−−

Đường thẳng d:
xy
40
+−=
có một VTCP u
( ;1)
=−
.
A và B ñối xứng với nhau qua d
⇔

Id
ABd

322
15
3
22
=−++=−
. ĐS:
m
0
=
.

C
Cho h số
yxxmx
32
3=−+ (1).
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 13

1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 0.
2) Với gi trị n của m th ị ố (1) c ể cực ñạ ñ ể cực ể g
ớ a a ñườ g ẳ g d
xy
250
−−=
.

•


⇒
ñường thẳng
∆
ñi a các ñiểm cực trị có phương trình
ymxm
21
2
33

=−+



nên
∆
có hệ số góc km
1
2
2
3
=−
.
d:
xy
250
−−=
yx
15
22

d, do ñó hai ñiểm cực trị ñối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0

Cho h số yxmxxm
32
3(1)92
=−+++−
(1) c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) Với gi trị n của m th ị ố c ể cực ñạ ñ ể cực ể ớ
a a ñườ g ẳ g d
yx
1
2
= .

•
yxmx
2
'36(1)9
=−++

Hàm số có CĐ, CT
⇔
m
2
'9(1)3.90
∆

2
22
2(22)41
=−+−++

và:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3

+=+

=


Vậy ñường thẳng ñi
i ñiểm cực ñại và cực tiểu là ymmxm
2
2(22)41
=−+−++

A, B ñối xứng qua (d
yx
1
2
=
⇔

m
ñể ố c ñạ cực ị ạ
xx
12
,
a c xx
12
2
−≤
.

•
Ta có yxmx
2
'36(1)9.
=−++

+ Hàm số ñạt cực ñại, cực tiểu tại
xx
12
,

⇔
PT
y
'0
=
có hai nghiệm phân biệt
xx
12


<−−


(1)

+ Th
o ñịnh Vi t ta có xxmxx
1212
2(1);3.
+=+=
Khi ñó:

xxxxxxm
22
121212
24441124
−≤⇔+−≤⇔+−≤
mm
2
(1)431
⇔+≤⇔−≤≤
(2
+ Từ (1 và (2 suy ra giá trị của m cần tìm là m
313
−≤<−− và m
131.
−+<≤
)()
=−+−
+
Hàm số có CĐ, CT
y
'0
⇔=
có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
(giả sử
xx
12
<

m
mmmm
m
22
5
'(12)3(2)450
4
1
∆

>

⇔=−−−=−−>⇔


−>

mmmmmm
22
329329
4(12)4(2)1161250
+−
⇔−−−>⇔−−>⇔>∨<

Kết hợp (
, ta suy ra
mm
329
1
+
>∨<−C
Cho h số
yxmxmx
32
1
1
3
=−+−
, với
m
l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số cho ng với

(giả sử
xx
12
<

⇔
mm
2
0
∆
′
=−>

⇔

m
m
0
1

<

>

(
. Khi ñó:
xxmxxm
1212
2,
+==


+

≥


(thoả (

C
Cho h số yxmxmx
32
11
(1)3(2)
33
=−−+−+
, với
m
l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số cho ng với
m
2
=
.
2) ñị
m
ñể ố c ñạ cực ị ạ
xx
12
,
a c xx

′
>⇔−+>
(luôn ñúng với
∀
m
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 15

Khi ñó ta có:
xxm
xxm
12
12
2(1)
3(2)

+=−

=−


⇔

xm
xxm
2
22
32

ỏa
xx
12
4
=− .

•
yxmx
2
1223
′
=+−
. Ta có:
mm
2
360,
∆
′
=+>∀

⇒
hàm số luôn có 2 cực trị
xx
12
,
.
Khi ñó:
m
xxxxxx
121212

Câu 15. Cho h số yxaxax
32
1
34
3
=−−+
(1) (a l tham số).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi a = 1.
2) T a ñể ố (1) ñạt cực trị tại
x
1
,
x
2
ph n biệt v thoả m n ñi u kiện:

xaxa
a
axaxa
2
2
12
22
21
29
2
29
++
+=
++

a
3
0

<−

>

(
. Khi ñó
xxa
12
2
+=,
xxa
12
3
=−
.
Ta có:
xaxaaxxaaa
22
1212
292124120
++=++=+>

Tương tự: xaxaaa
22
21
294120

⇔=−Câu 16. Cho h số
yxmxmx
322
29121
=+++
(m l tham số).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị (C) của h số khi m = –1.
2) T g ị của m ñể ố c c ñạ ạ x
CĐ
, cực tiểu tại x
CT
thỏa m n:
CÑCT
xx
2
= .

•
Ta có:
yxmxmxmxm
2222
61 126(32)
′
=++=++
Hàm số có CĐ và CT
⇔
y

CÑCT
xxxx
12
,
==

Do ñó:
CÑCT
xx
2
=
⇔

mmmm
2
33
22

−−−+
=



⇔

m
2
=−
.


mmm
P
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031
0032
0
3(2)
202
3
0
2
∆
∆

=+≠

=−+>


=−−+>−<<


⇔⇔<⇔<⇔−<<−
=>

v
xx
22
12
5
2
+=
.

•
yxmxm
22
3
′
=−+−
; yxmxm
22
030
′
=⇔−+−=
(2
YCBT
⇔

P
S
xx
22
12
0

⇔=

=±


.

Câu 19. Cho h
số yxmxmxm
32
(12)(2)2
=+−+−++
(m l tham số) (1).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị h số (1) khi m = 2.
2) T g ị của m ñể ị ố (1) c ể cực ñạ ñ ể cực ể g ờ
ñộ của ñ ể cực ể ỏ ơn 1.

•

yxmxmgx
2
32(12)2()
′
=+−+−=
YCBT
⇔
phương trình y
0
′
=


=<



⇔
m
45
<<
.

Câu 20. Cho h
số
m
yxmxmx
32
(2)(1)2
3
=+−+−+
(Cm).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ố c c ñạ ạ x ực ể ạ x ỏa xx
12
1
<<
.
• Ta có: ymxmxm
2
2(2)1
′

++−++−=
mtmtm
2
4(1)450
⇔+−+−=

(1
có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1
⇔
(2 có 2 nghiệm âm phân biệt
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 17 m
P
S
0
0
0
0
∆

>

′

>

=+−+−
;
y
0
′
=⇔
xmxm
2
32(12)20
+−+−=
(
Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc
(2;0)
−

⇔
( có 2 nghiệm phân biệt
xx
12
,
và có ít nhất 1
nghiệm thuộc
(2;0)
−
xx
xx
xx
12
12
12

21
20
3
10
20
(1)1
(21)2
2
40
220
33
0
0
3
4
2
∆

−−>
 
=−−>
−


−<<
+
 

−<<
⇔⇔⇔−<<−

450
'450
2
020
21
(2)2
2
220
3
421
2
220
40
33
∆

−−>


=−−>
≥


=−≤

−
⇔⇔⇔≥
>−

+++>

(3)1
0
3
0
3
2
0
0
3
∆

−−>


=−−>
+≥


−=+≤

−
⇔⇔⇔−≤<−

<
+<

−

>


ị ỏ ấ .

•
Các ñiểm cực trị là: (0; 2 , B(2; –2 .

t biểu thức
gxyxy
(,)32
=−−
ta có:

AAAABBBB
gxyxygxyxy
(,)3240;(,)3260
=−−=−<=−−=>⇒
2 ñiểm cực ñại và cực tiểu nằm về hai phía của ñường thẳng d:
yx
32
=−
.
Do ñó MA + B nhỏ nhất
⇔
3 ñiểm , B thẳng hàng
⇔
M là giao ñiểm của d và AB.
Phương trình ñường thẳng AB:
yx


VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Kh o sát hàm s Trần Sĩ Tùng
Trang 18

âu 23. Cho h số
yxmxmxmm
3223
33(1)
=−+−−+
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 1.
2) T m ñể ố (1) c c c trị ng thời khoảng c t iểm cực ñại của thị h số
n gốc tọa ñộ b ng
2
l n kho ng t i m c c ti u c a th h số n gốc tọa
ñộ .

•
Ta có yxmxm
22
363(1)
′
=−+−
. Hàm số (1 có cực trị
⇔
PT y
0
′


=−+
=⇔++=⇔

=−−

.

Câu 24. Cho h
số yxxmx
32
32
=−−+
c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể (C
m
) c ñ ể cực ñạ cực ể ñườ g ẳ g ñ a c c ñ ể cực ị
g ớ ñườ g ẳ g d
yx
43
=−+
.
• Ta có:
yxxm
2
'36
=−−

=−−++−

⇒

mmmm
yyxxyxxy
122112
22
22;22
3333

−++−−++==== −

⇒
ương trình ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị là :
mm
yx
2
22
33

=−++−





(thỏa mãn (
Câu hỏi tương tự:
a
yxmxmx
32
1
(54)2
3
=−+−+
,
dxy
390
++=
ĐS:
mm
0;5
==
.

Câu 25. Cho h số yxmxx
32
=+++
c ị (C
m
).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 5.
2) T m ñể (C
m

12
;;;

Thực hiện phép chia y cho y
′
ta ñược:
m
yxymx
2
11
'(21)3
3999

=++−+−

⇒

m
yyxmx
2
111
()(21)3
99

==−+−



=−+
⇔

m
m
2
21
2
(21).31
9

>


−=−



⇔

m
310
2
=±
.

âu 26. Cho h số yxxmx
32
32
=−−+
mm
'9303
∆
⇔=+>⇔>−
(
Gọi hai ñiểm cực trị là AxBx
yy
12
12
;;;

Thực hiện phép chia y cho y
′
ta ñược:
mm
yxyx
112
'22
3333

=−−++−

⇒

mmmm

3

=−+


. Đường thẳng d:
xy
450
+−=
có hệ số góc bằng
1
4
−
.
Ta có:
k
k
mkk
kkk
m
k
1
3
39
11
1
4
5
10
44

 


Kết hợp ñiều kiện (
, suy ra giá trị m cần tìm là: m
1
2
=−
.
Câu hỏi tương tự
:
a
yxmxmmxmm
322
3(1)(232)(1)
=−−+−+−−
, dyx
1
4
−
=+
,
0
45
=
α
. ĐS:
m
315
2

5
.
tiếp xúc với (S
⇔

mm212
5
5
++−
=
m
315
⇔−=
mm
4
2;
3
−
⇔==.

Câu 28. Cho h
số
m
yxmxC
3
32()
=−+ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi
m
1


Vì yxymx
1
.22
3
′
=−+
nên ñường thẳng
∆
ñi qua các ñiểm CĐ, CT của ñồ thị hàm số có
phương trình là:
ymx
22
=−+

Ta có
m
dIR
m
2
21
,1
41
∆
−
=<=
+
(vì m

⇒

=
hay AIB vuông cân tại I
R
IH
1
22
⇔==
m
m
m
2
21
123
2
2
41
−
±
⇔=⇔=
+
(H là trung ñiểm của AB)

âu 29. Cho h số
yxmxxm
32
692
=+++ (1), với m l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 1.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực trị sao cho khoảng t gốc toạ ñộ ñến
ñường thẳng ñi a hai ñiểm cực trị b ng

2
−
<
(*)
Khi ñó ta có:
xm
yymxm
2
2
.(6 )4
33

′
=++−−

⇒
ñường thẳng ñi qua 2 ñiểm cực trị của ñồ thị hàm số (1) có PT là:
ymxm
2
(6 )4
∆
=−−

m
dOmm
m
42

Câu 30. Cho h
số yxxmxm
32
3(6)2
=−+−+−
(1), với m l tham số th c.
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 2.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực trị sao cho khoảng c c t iểm
A
(1;4)
−
ñến
ñường thẳng ñi a hai ñiểm cực trị b ng
12
265
.

•
Ta có: yxxm
2
366
′
=−+−
. Hàm số có 2 ñiểm cực trị
⇔
PT
y
0
′
=

⇒

m
dA
mm
2
61 12
(,)
265
4 2333
∆
−
==
−+

⇔

m
m
1
1053
249

=

=


′
=−+
. Hàm số có 2 ñi m cực trị
⇔
PT
y
0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt

⇔

m
03
∆
′
>⇔<
.
Ta có:
xmm
yyx
12
21
3333

′
=−+−++





.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên
.
Ta có
dIIHIA
(,)
∆
=≤
. Dấu xảy ra
⇔

IA
∆

⇔

m
m
23
12.01
34

+−=⇔=


.
Vậy
dI

y
xm
2
0

=−−
′
=⇔

=−

.
Đồ thị (Cm
có ñiểm cực ñại
Am
(2;4)
−−
và ñiểm cực tiểu
Bm
(;0)
−

⇒
AB
25
= .

Câu 33. Cho h số
yxmxmxm
223

+− .

AB
2
=
⇔
mmmm
223
(1)(331)2
−+−−+=
⇔

mm
0;2
==
(thoả ñiều kiện .

Câu 34. Cho h số yxmxmxmm
3223
33(1)41
=−+−−+−
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
1
=−
.
2) T m ñể ị của ố (1) c a ể cực ị A B a c AB g ạ .

•


⇒
OAmm
(1;3)
=+−
, OBmm
(1;1)
=−+
.

vuông tại O
⇔
OAOB
.0
=

⇔

m
mm
m
2
1
2240
2

=−
−−=⇔

=

. Hàm số có CĐ, CT
⇔

y
0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
⇔

m
1
≠
.
Khi ñó các ñiểm cực trị là
AmmBmm
32
(1;31),(;3)
+− .
ABC vuông tại C
⇔
ACBC
.0
=

⇔
mmmmmm
222
(1)(1)3540


yxx
2
36
′
=+;
xym
y
x ym
24
0
0

=−⇒=+
′
=⇔

=⇒=


Vậy hàm số có hai ñiểm cực trị A(
; m và B(
−
2 ; m + 4
OAm OBm
(0;),(2;4)
==−+
. Để AOB
0
120
= thì AOB

m
m
m
40
1223
1223
3
3

−<<
−+

⇔⇔=

−±
=

Câu 37. Cho h
số yxxmm
322
31
=−+−+
(1)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 1.
2) T m ñể ị ố (1) c hai iểm cực ñại, cực tiểu l A v B sao cho diện c a
g c ABC b ng 7, v i i m C(–2; ).


−−+−
=
−

⇔
xymm
2
210
+−+−=ABC
mm
SdCABABmm
2
2
111
(,) 2517
22
5
∆
−+
===−+=

m
m
3
2

=


ậ a g ậ gốc ọa ñộ ọ g .
• Ta có
yxmxm
2
'33(1)12
=−++ . Hàm số có hai cực trị
⇔

y
0
′
=
có hai nghiệm phân biệt
⇔
mm
2
(1)01
∆=−>⇔≠
( . Khi ñó hai cực trị là AmBmmmm
32
(2;9),(2;41234)
−+−+
.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
Trần Sĩ Tùng Kh o sát hàm số
Trang 23

ABC nhận O làm trọng tâm

1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số khi m = 2.
2) m ñể
m
C
()
c a ñ ể cực ị
MM
12
,
a c ñ ể
MM
12
,
B(0; –1) thẳng
h .
• yxm
2
66(3)
′
=+−
.
y
0
′
=

⇔

x
xm

′
=+−−+−

⇒
phương trình ñường thẳng M
1
M
2
là:
ymxm
2
(3)113
=−−+−

MMB
12
,,
thẳng hàng
⇔

BMM
12
∈
⇔

m
4

xm
y
xm
1
0
1

=+
′
=⇔

=−

.

CÑCT
yy
2
+>

⇔

m
mm
m
3
10
2222
1


x
y
xm
0
0
2(1)

=
′
=⇔

=+

. Hàm số có cực trị
⇔

m
1
≠−
(1
Gọi hai ñiểm cực trị của ñồ thị là:
Am
3
4
0;(1)
3

+



Kết hợp (1 , (2 , ta suy ra: m
11
22
−<<
.

Câu 42. Cho h
số
yxmxmxm
3223
33(1)
=−+−−
(C
m
)
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi
m
2
=−
.
2) Ch ng minh r ng (C
m
) l c c c c c ạ
ñườ g ẳ g cố ñịnh.

•
yxmxm
22
363(1)
′


=−+

=−


Điểm cực tiểu
Nmm
(1;2)
+−−
chạy trên ñường thẳng cố ñịnh:
xt
yt
1
23

=+

=−−
âu 43. Cho h số
m
yxmxxmC
32
1
1()
3
=−−++ .

1122
(;),(;)
.
Ta có:
yxmymxm
2
122
().(1)1
333
′
=−−+++⇒
ymxm
2
11
22
(1)1
33
=−+++
; ymxm
2
22
22
(1)1
33
=−+++

Do ñó:

=
khi
m
0
=
.

Câu 44. Cho h số yxxmx
32
32(1)
=−−+ .
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 0.
2) T m ñể ố (1) c 2 c c trị v ñườ g ẳ g ñ a ñ ể cực ị của ị ố
ạ ớ a ục ạ ñộ ộ a g n.

•

yxxm
2
36
′
=−−
. Hàm số có 2 cực trị
⇔

y
0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt

.

cắt x, y tại
m
A
m
6
;0
2(3)

−

+

,
m
B
6
0;
3

−


(m 0 .
Tam giác OAB cân
⇔
OA OB
⇔


(1).
1) Khảo s sự biến thi v vẽ thị của h số (1) khi m = 1.
2) T m ñể ố c c ị g ả g
(;1)
−∞
.

•
Tập xác ñịnh D R. yxmxmm
22
21
′
=−+−+
.
Đặt
txxt
11
=−⇒=+
ta ñược : ygttmtmm
22
'()2132
==+−+−+

Hàm số(1
có cực trị trong khoảng
(;1)
−∞
fx
()0
⇔=