WWW.VNMATH.COM
1
TAM GIÁC TRONG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
DẠNG 1:
Ba điểm cực trị tạo thành tam giác.
Ví dụ 1. ( DB-2004 ). Cho hàm số
422
21
m
yx mx C (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1
2. Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Ta có :
32 22
22
0
'4 4 4 0 0(*)
x
yxmxxxm m
xm
222 22828
4BC AB AC m m m m m
24 4
210;11mm m m
Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
* Ta còn có cách khác
- Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI = IB , với
4
0;
I
m
428 222282
0; ; ;0
I
AmIAmIBm IBmIAIBmm
. Hay
4
11mm
- Hàm số có 3 cực trị
y’ đổi dấu 3 lần
phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân
biệt
m > 0
Khi m > 0 , đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị là
)1;0(,)1;(,)1;(
22
CmmBmmA
- Gọi I là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.
WWW.VNMATH.COM
2
Vì 2 điểm A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung.
Đặt I(0 ; y
0
). Ta có : IC = R
2
0
1)1(
0
0
2
2
51
1
0
021)1(
2422
m
m
m
m
mmmmm
So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m =
2
51
* Với I(0 ; 2)
IA = R
021)1(
2422
mmmmm
(*)
Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0
Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m =
2
51
BÀI TẬP
Câu1. Cho hàm số
(1) , với
m
là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
2m
.
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có góc bằng 120
0
.
Câu 4. Cho hàm số y = x
4
– 2m
2
x
2
+ 1, (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C và diện tích của tam giác
ABC bằng 32.
Câu 5. Cho hàm số y = x
4
– 2m
2
x
2
+ 1 (1)
1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị h/s (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu 9. Cho hàm số
mmmxxy
224
22
(1) với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2 Định m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác
vuông.
Câu 10. Cho hàm số
42 4
yx 2mx 2mm=- + +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m1=
2. Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực
tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều.
DẠNG 2 :
Hai điểm cực trị và một điểm khác tao thành một tam giác.
Ví dụ 1. Cho hàm số
32 2 2
33 1311yxx m xm
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu
xm
- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi
11 2 2
;; ;
A
xy Bxy
là hai điểm cực
đại ,cực tiểu của hàm số . Nếu A, B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OA
vuông góc với OB :
.0OAOB
- Do đó :
2
22 2 2 2 2 2
11 2 2 12 12 12
221;221.4 41 41ymx m ymx m yymxx m xx m
- Áp dụng Vi-ét cho (1)
12
2
12
2
.1
xx
x
xm
, thay vào :
224
2
42
1
1
10
134 4 0; *
3
6
4430
2
2
m
m
m
mmm
m
mm
m
0' 1 – (1 – m) > 0 m > 0 (*)
- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ, CT . Gọi
11 2 2
;; ;
A
xy Bxy
là hai điểm cực trị .
Với
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình
2
(21)
x
xm
= 0 (1) .
- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :
222'
3
m
h
-
|1|||
41
|22|
.41||
2
1
.
2
1
12
2
2
12
mxx
m
m
mxxhABS
- Theo giả thiết :
2
(1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị và các điểm cực trị đó với gốc tọa độ tạo thành một
tam giác vuông tại O
Câu 3. Cho hàm số
32
1
23
3
yxxx
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) .
2. Gọi
A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1). Tìm điểm M
thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2.
Câu 4. Cho hàm số
32 2 2
33 131yx x m xm
(1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1m
.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
+ 4 = kx + k
x
3
– 3x
2
– kx + 4 – k = 0 (x + 1)( x
2
– 4x + 4 – k ) = 0
044)(
1
2
kxxxg
x
có ba nghiệm phân biệt
g(x) = x
2
– 4x + 4 – k = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác - 1
(*)90
09
0
0)1(
0'
2
44 0xx k
.
Còn
11 2 2
;ykxkykxk
.
- Ta có :
2
22
21 21 21 21
;11
B
C x xkx x BC x x k x x k
WWW.VNMATH.COM
6
- Khoảng cách từ O đến đường thẳng d :
2
1
k
h
k
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m = 1
2. Tìm m để đường thẳng d : 2x + 2y - 1= 0 cắt
m
H tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác OAB có diện tích bằng
8
3
.
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (H).
2. Đường thẳng d viết lại :
1
2
y
x. Để d cắt
m
H tại hai điểm phân biệt A, B thì
phương trình:
0222)()2(
2
1
2
16
17
024
0)22(81
0)2(
0
m
m
m
m
g
(*)
- Gọi
22
1 1 2 2 2112 21 21 21
11
;;; ; 2
22
Ax xBx x ABxxxx AB xx xx xx
- Khoảng cách từ O đến d là h , thì :
22
1
1
, thỏa mãn điều kiện (*) .
- Đáp số : m =
2
1
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
21
1
x
yC
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2.Tìm tham số m để đường thẳng d : y = - 2x + m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A,
B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 .
GIẢI
0)1(
0)1(8)4(
22
g
m
g
mm
2
80mmR
.
Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B
- Gọi :
11 2 2
;2 ; ;2
A
xxmBxxm
. Với :
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình (1)
- Ta có :
Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A, B thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 4 . Cho hàm số
32
234
m
yx mx m x C (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m = 2 .
2. Tìm m để đường thẳng d : y = x + 4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,
B, C sao cho tam giác MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B, C có hoành độ khác
không ; M(1;3) ).
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :
32 2
2
0
2344;220
220
x
xmxmx x xxmxm
xmxm
11 22 2121 21 21 21
;4; ;4 ; 2Bxx Cxx BC xxxx BC xx xx xx
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d . h là khoảng cách từ M đến d thì :
21 21
134
11
2. 2.2
22
2
hSBChxxxx
- Theo giả thiết : S = 4
22
21
4; 2 ' 4; 2 4 6 0xx mm mm
Kết luận : với m thỏa mãn :
23 3mmm
( chọn ).
Bài 5 . Cho hàm số
32
23(1)2yx mx m x
(1), m là tham số thực
() 2 3 2 0(2)
xy
gx x mx m
Đường thẳng
() cắt dồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;2), B, C
Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0.
11
2yx
và
12
2yx
Ta có
312
;( )
2
hdM
2
2.2 2
4
2
MBC
S
BC
h
Mà
222 2
21 21 21 12
()()2()4
xmx mx (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
0m
.
2.Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
:2yx
tại 3 điểm phân biệt
(0;2)A
;
B; C sao cho tam giác
M
BC có diện tích 22, với
(3;1).M
Bài 3. Cho hàm số y =
1
12
x
x
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2. Định k để đường thẳng d: y = kx + 3 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm M, N sao
cho tam giác OMN vuông góc tại O. ( O là gốc tọa độ)
Bài 4. Cho hàm số
2
32
34
có đồ thị là (C).
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
WWW.VNMATH.COM
9
2. Gọi
k
d là đường thẳng đi qua điểm
A
(1;0)
với hệ số góc
k
k()
¡ . Tìm
k
đểđường
thẳng
k
d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt A, B, C và 2 giao điểm B, C cùng với
gốc toạ độ
O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Câu 6 . Cho hàm số yx x
32
32
có đồ thị là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung
lần lượt tai hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O .
GIẢI
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại
00 0 0
2
0
1
;:
23
M
xy d y xx y
x
- d cắt trục Oy tại B :
00
0
2242
1
0
23 23
23
AA A
xxx
xx y xx x
xx
x
- Tam giác OAB cân
2
2
2
00
00
0
00
2
000 00
00
2
00
00
10
2
0
;3123;220;
31
3
20
(2 3) 2 3
x
xy
xxx xx
xx
xy
xx
y
C
x
WWW.VNMATH.COM
10
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox, Oy tại hai
điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
4
1
. GIẢI
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Gọi
0
00 0
0
2
;
1
x
Mxy C y
x
)2(
2
0
2
0
2
0000
0
0
0
2
0
xAxxxxxx
x
x
xx
x
AAA
- d cắt Oy tại điểm B :
22
00 0
x
x
h
4
0
4
0
xABVậy :
4
2
4
0
0
2
0
0
22
4
00
0
2
14
11 1
22 4
11
14
x
x
x
SABh x
Do đó có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :
12
1
1;1 ; ; 2
2
MM
Ví dụ 3: Cho hàm số
1
2
0
2
0
3
0
2
0
3
000
2
0
23
12
)1())(23(0
xx
xx
xxxxxxx
AA
xxyxxxxxy
BB
)12;0(
2
0
3
0
xxB
- Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB
12
23
12
2
0
3
0
0
2
0
2
0
3
0
xx
xx
)2(01
23
1
)12(
)1(01
23
1
)12(
12
23
12
12
0
0
2
0
2
0
3
0
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
(1)
3
1
1
3
1
,1
1
0123
012
0
0
00
0
0
2
0
2
0
23
3
. (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0
2. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox,
Oy lần lượt tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
3
.
GIẢI:
1. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
2. Với
21
00
myx M(1 ; m – 2)
- Tiếp tuyến tại M là d:
2))(63(
00
2
0
mxxxxy
d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox tại A:
||||
2
1
2
3
2
mm
m
OBOAOBOAS
OAB
5
1
32
32
m
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ
một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Câu 3. Cho hàm số
3
1
)2()12(
3
4
23
xmxmxy có đồ thị là (C
m
)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Gọi A là giao điểm của (C
m
) với trục tung. Tìm m sao cho tiếp tuyến của (C
m
) tại A
tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng
3
1
DẠNG 5 : Tiếp tuyến cùng với các tiệm cận tạo thành tam giác.
Ví dụ 1. Cho hàm số
dy xx
x
x
- d cắt tiệm cận đứng : x = -2 tại A
0
2
00
0
112
22 2
22
2
A
yx
xx
x
IxB
x
A
- Ta có :
00 0
000
11111
0; ; 2 4; 0 ; 2 4; ; . .2 2 1
22222
IA IB x AB x S IA IB x
xxx
Do :
4
0
x
x
x
xx
x
Dấu bằng xáy ra khi :
00
24
000
2
0
00
1
222
111
2
42 ; 2 ; 2
1
2
1
M ;
22;
2
1
2
2
M
Ví dụ 2.(DB-2007). Cho hàm số
1
1
11
x
yC
xx
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2. Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo
thành một tam giác cân .
00 0
00
2
00 0 0
0
11
11
11;
111 1
1
B
xx x
yxy B
xxx x
x
- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì :
221
1
1
221
1
1
1
1
1
)22(
0
0
0
0
0
0
2
0
0
2
0
02
)(022
00
00
0
2
0
0
2
0
yx
yx
xx
VNxx
Với x = 0 và y = 0 , ta có tiếp tuyến : y = x
Với x = -2 và y = 2/3 , ta có tiếp tuyến : y = x+8/3 .
WWW.VNMATH.COM
14
Ví dụ 3. Cho hàm số
2
32
x
x
2
0
0
2x
1
)x('y
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:
2x
3x2
)xx(
2x
1
y:
0
0
0
2
0
2x22
2
xx
,
M
0
0BA
y
2x
3x2
2
yy
suy ra M là trung điểm của AB.
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có diện tích
S =
)2x(IM
2
0
2
0
2
0
0
2
0
2
Dấu “=” xảy ra khi
3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
có đồ thị (C)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Gọi M là điểm bất kỳ trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của
(C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm tọa độ M sao cho
đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Copyright: Tài liệu đại học ©