1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NHƠN TRẠCH
o0o
Mã số :

Chuyên đề:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP
DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Người thực hện : Lê Bình Duy Điền
Lĩnh vực nghiên cứu :
Quản lý giáo dục :


Phương pháp dạy học bộ mơn :

Tốn 
Phương pháp giáo dục :


Lĩnh vực khác :


Sản phẩm đính kèm:
 Mơ hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học 2013 - 2014
SÕ YẾU LÝ LỊCH KHOA HỌC
_______________________
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN:
1. Họ và tên: Lê Bình Duy Điền
2. Ngày tháng năm sinh: 08 – 12 – 1977

bài giảng được logic và đạt hiệu quả cao hơn.
Qua chuyên đề này tôi cũng xin chân thành cảm ơn quí đồng nghiệp ở tổ toán
và BGH Trường THPT Nhơn Trạch đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
chuyên đề này.
3
Chuyên đề:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG
HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I. Lý do chọn đề tài:
1. Tính cấp thiết
Như ta đã biết, toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính
trừu tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất gần gủi trong mọi lĩnh vực của đời
sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học
đóng vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên nó lại là một môn
học khó, mang tính khô khan, trừu tượng cao và do đó đòi hỏi người học phải đam
mê, kiên trì trong việc giải những bài toán khó. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên
dạy toán việc tìm hiểu kiến thức của chương trình, vận dụng những kiến thức cơ bản
vào việc chinh phục những bài toán khó hết sức quan trọng.
Dạy học sinh học Toán không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học
sinh giải bài tập sách khoa, dạy học sinh học thuộc lòng công thức, mà quan trong là
hình thành cho học sinh phương pháp chung, để giải các dạng toán.
2. Tính mới của đề tài:
Đề tài “giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng
nhớ” có lẽ không mới so với chương trình toán phổ thông trong toàn tỉnh.
Và để giải quyết bài toán này cũng có nhiều cách giải. Chẳng hạn như : Dùng
phương pháp đặt ẩn phụ, dùng phương pháp đưa về hệ,… Nhưng ở đây tôi xin được
nêu lên một phương pháp nữa là ứng dụng hằng đẳng thức vào việc giải phương trình
vô tỉ.
II.Thực trạng trước khi chọn đề tài:
1. Thuận lợi:

= a
2
+ 2ab + b
2
ii) (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
iii) (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
iv) (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3

0
) (3)
0
i A B
A B
A B
ii A B
A
B
iii X Y
Y
X Y
=
=

⇔

= −

+ =
=

⇔

=

=
≥

⇔

2 3 9 1 3
9 ( 3 1)
3 3 1
3 3 1
3 3 1
3 3 1
: 3 3 1
3 3 1
1
3 1 0
3
3 (3 1)
9 7 4 0
1
3
1
1
2
9
: 3 3 1
3 3 1
3 1 0
3 (
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
TH x x

⇔ + = −

− ≥
≥


⇔ ⇔
 
+ = −


− − =


≥


⇔ ⇔ =
=




−


=


+ = − −

5 97
18
x
x
x
x
−

≤




− +
⇔ ⇔ ∈∅
=






− −
=




Vậy nghiệm của phương trình là
1x =

x x x
x x
x x
x x
x
x
x
⇔ + = + + + +
⇔ + + + − =
+ = = −
 
 
⇔ ⇔
 
+ − = + =
 
 
= −

⇔ ⇔ = −

+ =

Vậy nghiệm của phương trình là
3x = −
Bài 3.
2
2 1 3 1x x x
− = − +
(1)

 ÷
 
   
⇔ − = − +
 ÷  ÷
   
7
1 1
2 1
2 1 1
2 2
1 1
2 1
2 1
2 2
x x
x x
x x
x x

− = − +


− = −
⇔ ⇔


− = −



≥


⇔ ⇔
 
− + =
− = −



≥



⇔ ⇔ = +
= +



= −



2
2
0
0
* : 2 1
1
2 1 0


( )
( )
2 2 2
2
2
4 7996 1999 1 8000 2.2000. 1 8000 2000
2 1999 1 8000 2000
2 1999 1 8000 2000
2 1999 1 8000 2000
1 8000 2 1
1 8000 2 3999
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +

+ = + +
⇔

+ = − + −



+ = −
⇔

x
x

≥


⇔ ⇔ =

=



 =


2
2
2
: 1 800 2 3999
3999
2
1 8000 4 15996 15992001
3999
2
4 7996 15992000 0
TH x x
x
x x x
x
x

x x
+
+ =

Giải:
Nhân 2 vế phương trình với 28, ta được
( )
( )
2
2
2
2
2
(1) 196 196 28 4 9
196 196 2 28 63
196 224 64 (28 63) 2 28 63 1
14 8 28 63 1
14 8 28 63 1 14 7 28 63
14 8 28 63 1 14 9 28 63
x x x
x x x
x x x x
x x
x x x x
x x x x
⇔ + = +
⇔ + = +
⇔ + + = + + + +
⇔ + = + +
 


+ + = +

9
2
1
2
1
42 5 97
2
7
196 168 14 0
42 5 97
7
42 5 97
7
x
x
x
x x
x
x

≥ −



≥ −

− +

14
9
8 46
14
14
196 224 18 0
8 46
14
8 46
14
TH x x
x
x
x x
x x x
x
x
x
x x
x
x
+ = − +

+ ≥
≥ −


⇔ ⇔
 
+ = +

⇔ =
Vậ
y nghiệm của phương trình là
8 46 42 5 97
à
14 7
x v x
− + − +
= =
Bài 6.
4 3 10 3 2x x− − = −
(1)
Giải:
Điều kiện:
74 10
27 3
x≤ ≤
2
2
2 2
(1) 4 3 10 3 4 4
3 9 7 49
(10 3 ) 2 10 3 2
2 4 2 4
7 3
10 3
2 2
x x x
x x x x
x x


− = − −


1
2 2
2
2 2
: 10 3 2
2 2
10 3 4 4 6 0
2
3
3
2
: 10 3 5
5 5
10 3 10 25 7 15 0
5
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
TH x x
x x
x x x x x
x

⇔ ⇔ ∈∅

∈∅

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Bài 7.
( )
2 2
4 1 1 2 2 1x x x x− + = + +
(1)
Giải
Nhân 2 vế phương trình với 8, ta được
( )
(
)
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
1
(1) 8 4 1 1 16 16 8
(4 1) 2 4(4 1) 1 16( 1) 16 24 9
(4 1) 4 1 (4 3)
4 1 4 1 4 3
4 1 4 1 (4 3)

2
2
2 2
: 1 2 1
1
1
2
4
0
2
3
1 4 4 1
4
3
TH x x
x
x
x
x
x x x
x
+ = −

≥


≥


⇔ ⇔ ⇔ =

(1) 2 1 4 3 1 2 2 6x x x x x x⇔ − + + + = + +
(
)
( )
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 1 1 3 1 4 3 1 4 0
1 3 1 2 0
1
3 1 2
1 0 1
3 1 2 0 3 1 2
0
1 1
3 1 4
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x x x x x
x x
x
x x x x
x
⇔ − − + + − + + + − + + =

2 2 1 2x x x
− = −
Giải:
Điều kiện:
1
2
x ≥
( ) ( )
2
2 2 1 2 1 1 1x x x⇔ − = − − −
12
( )
2
2
2 1 1
2 1 1 2 1 1
2 1 1 2 1 1
x x
x x x x
x x x x
⇔ = − +
 
= − + − = −
⇔ ⇔
 
= − − − − = − −
 
 
( )
( )

x
x
x
x
x x
− = −
≥

≥


⇔ ⇔
 
− + =
− = −



≥



⇔ ⇔ = +
= +



= −



1 5
1
2 2
1 5
1
2 2
1 5
1
2 2
1 2
1 3
: 1 2
2 2
1 4 4 3 3 0
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
TH x x
x x
x
x x x x x
⇔ + + + + = + +
   
⇔ + + = +
 ÷  ÷
   


x
x x x x x
+ = − −
≤ − ≤ −
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
 
+ = + + + + =
 
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 11.

2
2 2x x
− = +
(1)
Giải:

Điều kiện:
2
2
2
x
x
x

≥




x x
⇔ + + = + + + +
   
⇔ + = + +
 ÷  ÷
   

+ + = +

⇔


+ + = − −



+ =
⇔

+ = − −


1
2
: 2
2
0
2
1
2 0

1 5
1 5
2
1 0
2
1
TH x x
x
x
x
x x
x
x
+ = − −


− +
=




≤ −

− −

⇔ ⇔ ⇔ =

 
− −

2
(1) 2 1 1 12 1 36
1 1 6
x x x x
x x
⇔ + + = + − + +
⇔ + = + −
1
2 2
1 1 6
1 6 1
1 7
1 5
: 1 7
7 7
1 14 49 13 48 0
x x
x x
x x
x x
TH x x
x x
x
x x x x x

+ = + −
⇔

+ = − +


x
+ = −
≤ ≤
 
⇔ ⇔
 
+ = − + − + =
 
≤


⇔ ⇔ =
=




=


Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
Bài 13.
2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
(1)
Giải:
Điều kiện:
1
4
x

15
1
2 2
4 1 2 1
4 1 2 3
: 4 1 2 1
1 1
2 2
0
4 1 4 4 1 4 0
x x
x x
TH x x
x x
x
x x x x

+ = +
⇔

+ = − −


+ = +
− −
 
≥ ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 

Điều kiện:
2
3
x
≥ −

2
2 2
81 1
(1) 4 18 3 2 3 2
4 4
9 1
2 3 2
2 2
9 1
2 3 2
3 2 2 4
2 2
9 1
3 2 5 2
2 3 2
2 2
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
⇔ − + = + − + +
   

4 19 14 0
19 137
8
TH x x
x x
x x x x x
x
x
x
x
x x
x
+ = −
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
+ = − + = − +
 
≥



+

≥

+

=

 
 
+ = − + − + =
 
5
2
23 161
23 161
8
8
23 161
8
x
x
x
x

≤



−
+
⇔ ⇔ =
=






1 1
(1) 3 3
4 4
1 1
3
2 2
1 1
3
3 1
2 2
1 1
3
3
2 2
3 2 1
2 0
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
2
2
⇔ + − + + = + +
   
⇔ + − = +
 ÷  ÷

= −

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 và x = -1
Bài 16.
2
1 1 x x
+ + =
(1)
Giải:
17
2
2 2
1 1
(1) 1 (1 )
4 4
1 1
1
2 2
x x x x
x x
⇔ + + + + = + +
   
⇔ + + = +
 ÷  ÷
   
1 1
1
1
2 2
1 1

2
2
1 5
2
TH x x
x x
x x x x
x
x
x
x
+ =
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
+ = − − =
 
≥



+

+

=

⇔ ⇔ =


x
+ = − −
≤ − ≤ −
 
⇔ ⇔
 
+ = − − + = + +
 
≥

≥


⇔ ⇔ ⇔ =
=

 
+ =



= −


Vậy nghiệm của phương trình là
1 5
0 à
2
x v x
+

2 2
: 1 3
3 3
1 6 9 7 10 0
TH x x
x x
x x x x x
− = −
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− = − + − + =
 
3
5
5
2
x
x
x
x
≥


⇔ ⇔ =
=




⇔ ⇔ =
=




=


Vậy nghiệm của phương trình là x = 5 và x = 1.
Bài 18.
2
3
2 4
2
x
x x
+
+ =
(1)
Giải:
Điều kiện:
3x ≥ −2
(1) 4 8 2 6x x x⇔ + = +
( )
2
2 2

19
2 2 2 6
2 3 2 6
x x
x x

+ = +
⇔

+ = − +


1
2
: 2 2 2 6
1
3 17
1
3 17
4
4
2 3 1 0
3 17
4
TH x x
x
x
x
x
x x

: 2 6 2 3
3
2
3
5 13
5 13
2
4
4
4 10 3 0
5 13
4
TH x x
x
x
x
x
x x
x
+ = − −

≤ −



≤ −

− +
 
− +

2
0
x
x
≥


≤

(
)
( )
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
(1) 2 2 2 2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2 1
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x

1 1
2 2
2 4 4 1 3 2 1 0
TH x x
x x x x
x
x
TH x x x
x x
x
x x x x x x
− =
⇔ − = ⇔ − − =

= +
⇔

= −


− = −
 
≥ ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅
 
 
− = − + − + =
 
Vậy nghiệm của phương trình là

6 9 2 3 8 48 8 48 1 0
3 8 48 1
3 8 48 1 2 8 48
3 8 48 1 4 8 48
x x x x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x x x x
⇔ − − + − − + =
⇔ + + − + − − + + − − + − =
⇔ + − − − + =
 
+ − − − + = + = − − +
 
⇔ ⇔
 
+ − − − + = − + = − − +
 
2
1
: 2 8 48TH x x x+ = − − +
( )
( )
2
2
2
2
2
2

≥ −


⇔ ⇔
 
+ − =
+ = − − +



≥ −



⇔ ⇔ = −
= −



= − −



+ = − − +
≥ −

≥ −


⇔ ⇔


( )
2 2
3 1 3 1x x x x
+ + = + +
(1)
Giải:
( ) ( )
( )
(
)
2
2 2
2
2
3 2 3 1 1 8
3 1 8
x x x x
x x
⇔ + − + + + + =
⇔ + − + =
22
2
2
2
2
3 1 2 2
3 1 2 2
1 3 2 2
1 3 2 2

2 2
2 2
x
x x x
x
x
x

≥ −

⇔

+ = + − + −



≥ −

⇔ ⇔ =

=



TH
2
:
2
1 3 2 2x x+ = + +


2 2 à 2 2x v x= = −
Bài 22.

( )
2 2
1 3 3 2 3x x x x x
+ − + = − +
(1)
Giải:
( ) ( )
( )
(
)
( )
2
2 2 2
2
2
2
(1) 1 4 1 3 3 4 3 3 2 1
1 2 3 3 1
x x x x x x x x
x x x x
⇔ + − + − + + − + = − +
⇔ + − − + = −

2
2
2
2

⇔ − + =
23
2
2
3 2 0
1
x
x x
x
=

⇔ − + = ⇔

=

2
2
2 2
: 3 3
0
0
1
1
3 3
TH x x x
x
x
x
x
x x x

2 2 2 8
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
⇔ + − + − + + − + =
⇔ + − − + =

+ − − + =

⇔

+ − − + = −

2
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
x x x
x x x

− + = + −

⇔

− + = + +

TH

= +


TH
2
:
2
2 2 2 2 2x x x
− + = + +
( )
2 2
2 2 2
2 2 4 4 2 12 8 2
x
x x x x

≥ − −

⇔

− + = + + + +


2 2 2
1 2 2
1 2 2
x
x
x


1 2 3 2
1 2 3 2
1 2 3 2
2 3 1 2
1 2 3 1 2
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
⇔ + − + − + + − + =
⇔ + − − + =

+ − − + =

⇔

+ − − + = −


− + = + −

⇔

+ − − + = + +

( )
2
1

2
2
2 2
: 2 3 1 2
1 2
2 3 2 2 2 3 2 2 0
1 2
1 2
1 2
TH x x x
x
x x x x
x
x
x
− + = + +

≥ − −

⇔

− + = + + + + =



≥ − −

⇔ ⇔ = −

= −