Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
ÁP DỤNG PHÉP BIẾN HÌNH ĐỂ GIẢI TOÁN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở bậc trung
học cơ sở và trung học phổ thông có tác dụng phát triển tư duy hàm cho học sinh.
Đó là một phương thức tư duy đòi hỏi phải biết nhận thức các đối tượng toán học
trong sự chuyển động, thay đổi, phụ thuộc lẫn nhau và biết sự dụng các quan hệ
nhân quả ấy.
Hơn nữa, học sinh được học phép biến hình với những điểm, những hình,
liên hệ giữa ảnh và tạo ảnh, nghiên cứu các quan hệ biến thiên trong mối liên hệ
nhân quả, nghiên cứu hình học trong trạng thái động. Điều đó góp phần bồi dưỡng
quan điểm duy vật biện chứng cho học sinh.
Các phép biến hình còn mang lại một công cụ hiệu quả để giải quyết bài
toán, đặc biệt là loại toán dựng hình, tìm quỹ tích. Kiến thức về phép biến hình cần
thiết cho nhiều hoạt động thực tế cũng như cho một số ngành khoa học khác như
hội họa, kiến trúc và các ngành kĩ thuật.
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận:
Lịch sử hình thành khái niệm phép biến hình gắn liền với những giai đoạn khác
nhau của sự tiến triển trong quan niệm về các đối tượng hình học. Như chúng ta đã
biết, lí thuyết nhóm ra đời từ những nghiên cứu của Galois(1811-1832) về vấn đề
giải các phương trình đại số. Với khái niệm nhóm, Galois đã phân loại các phương
trình đại số và thiết lập nên những điều kiện để chúng có thể giải được bằng căn
thức. Chính từ công trình của Galois mà nhà toán Đức Felix Klein (1849-1925) đã
nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình. Trong tác phẩm
“chương trình Erlangen” xuất bản năm 1872 ông đã trình bày mỗi nhóm biến hình
trong hình học gắn liền với hình học của nhóm đó. Ở bậc trung học cơ sở học sinh
đã học các phép biến hình: đối xứng trục, đối xứng tâm, tuy nhiên chương trình
không giới thiệu các phép đối xứng trục, đối xứng tâm như các phép biến hình mà
chỉ được giới thiệu gắn với một số hình hình học: hình thang cân, hình bình hành,
hình chữ nhật, hình thoi, đường tròn, ở bậc trung học cơ sở biến hình không phải

đã biết (hoặc dễ tìm hơn). Tập hợp các điểm M sẽ là ảnh của tập hợp các điểm A
qua phép biến hình đã chọn.
2
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
- Để dựng hình H có thể dựng hình H’ thỏa mãn các điều kiện của bài toán,
trừ một điều kiện nào đó, rồi tìm phép biến hình biến hình H’ thành một hình H
thỏa mãn thêm điều kiện này.
Khi giải một bài toán bằng công cụ biến hình thì khâu khó nhất là lựa chọn
phép biến hình có thể sử dụng. Chính ở khâu này ta có thể rèn luyện tư duy logic
và tư duy hàm cho học sinh. Xuất phát từ giả thiết đã cho và yêu cầu của bài toán,
ta hướng dẫn học sinh tìm cách trả lời cho các câu hỏi: những yến tố nào có thể là
ảnh và tạo ảnh của nhau qua một phép biến hình nào đó, phép biến hình ấy có
những bất biến gì, trong bài toán cần giải các bất biến ấy được thể hiện ra sao,
chúng có quan hệ thế nào với điều cần giải quyết? Những câu hỏi đó sẽ giúp học
sinh tìm ra phép biến hình có thể sử dụng để giải toán.
2. Nội dung:
Ở dây ta chỉ xét những phép biến hình được nghiên cứu ở trường phổ thông:
phép dời hình và phép đồng dạng.
2.1. Định nghĩa phép dời hình
Quy tắc đặt tương ứng một điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì
2.2.Tính chất của phép dời hình
- Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm: AB=A’B’ với mọi điểm A,B (A’,B’
là ảnh của A,B)
- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến
đường thẳng d thành đường d’ song song hoặc trùng với nó.
- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=AB, biến tam giác
ABC thành tam giác A’B’C’:
' ' 'ABC A B C


b) Phép đối xứng tâm : Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành
chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của đoạn
thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu Đ
I
, I gọi là tâm đối xứng
- Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ O : Trong hệ tọa độ
Oxy cho M=(x ; y),
( ) ( ; )' ' '
O
M Đ M x y==
. Khi đó :
'
'
x x
y y
= −


= −


c) Phép tịnh tiến :
- Trong mặt phẳng Oxy cho vectơ
v
r
. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho
'MM v=
uuuuur r

biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM’=OM và góc lượng giác
(OM; OM’) bằng
α
được gọi là phép quay tâm O góc
α
2.4.Khái niệm hai hình bằng nhau
Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành
hình kia.
2.5.Định nghĩa phép đồng dạng:
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu với hai điểm
M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có:M’N’=kMN
4
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi

2.6.Tính chất:
- Bảo toàn tỉ số khoảng cách giữa hai điểm.
- Bảo toàn tính thẳng hàng và thứ tự các điểm trên một đường thẳng. Biến
đường thẳng d thành đường thẳng d’ song song hoặc trùng với d.
- Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’, A’B’=kAB
- Biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’:
' ' 'ABC A B C
∆ ∆
∽
- Biến đường tròn (O, r) thành (O’, kr) với O’ là ảnh của O
- Biến hình H thành hình H’ ,H’∽H
-Biến góc thành góc bằng nó
2.7. Phép vị tự:
Cho điểm O và số
0k
≠

là ảnh của
∆
qua phép tịnh tiến vectơ
(3; 2)v = −
r
nên phương trình
'∆
có
dạng
2 0x y c+ + =
.Lấy
(1;1)M ∈∆
.Gọi M’(x;y) là ảnh của M qua
v
T
r
, khi đó
1 3 4
'
1 2 1
x x
MM v
y y
− = =
 
= ⇔ ⇔
 
− = = −
 
uuuuur r

(*)
vào phương trình của
∆
ta được
' 3 2( ' 2) 3 0 ' 2 ' 2 0x y x y− + + − = ⇔ + − =

Vậy phương trình đường thẳng
': 2 2 0∆ + − =x y

5
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Cách 3:Lấy hai điểm A, B phân biệt trên đường thẳng
∆
, ta tìm tọa độ các ảnh A’,
B’ tương ứng của chúng qua
v
T
r
, khi đó
'∆
là đường thẳng A’B’
b)
'∆
là ảnh của
∆
qua Đ
I
nên phương trình
'∆
có dạng


Vậy
'(3; 3)−M
.
' 'M ∈∆
nên
3 2( 3) 0 3c c+ − + = ⇔ =

Vậy phương trình
': 2 3 0x y∆ + + =

c) Ta có
∆
cắt d tại
(3;0)I
.Lấy
(1;1)M ∈∆
.Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
d ta có
: 0, 1 1 0 2⊥ ⇒ + + = ∈ ⇔ + + = ⇒ = −MH d MH x y c M MH c c

Vậy phương trình
: 2 0MH x y+ − =
. Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:
5
3 0
2
2 0 1
2
x

Đường thẳng
'∆
đi qua
(3;0)I
và
1
(4; 2)M −
có phương trình
2x 6 0y+ − =

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
( )C
có phương trình:
2 2
2x 2 2 0x y y+ − − − =
. Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua
phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay
45
0
và phép vị tự tâm O tỉ số
2k =

Giải:
Đường tròn (C) có tâm
(1;1)I
, bán kính
2R =

Gọi I
1

qua phép đồng dạng nói trên thì
( ')C
có tâm
'I
và bán kính
' 2 2R k R= =
. Vậy phương trình
2 2
( ') : ( 2) 8+ − =C x y

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình
5x 3 15 0y− + =
.Hãy
viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép quay tâm O, góc quay 90
0

Giải :
Cách 1: Phép quay tâm O, góc quay 90
0
biến đường thẳng d thành đường thẳng d’
có phương trình
3x 5 0y c+ + =
. Lấy
(0;5)M d∈
.Khi đó đường thẳng d’ đi qua ảnh
'( 5;0)M −
của M qua
0
( ;90 )O
Q

1
là ảnh của d qua
( ; 2)I
V
−
nên phương trình đường thẳng d
1
có dạng
2x 0y c+ + =
.
Lấy
A(0;4) d∈
. Gọi
( ; 2)
'( '; ') ( )
−
=
I
A x y V A
ta có :
' 3
' 2
' 2
x
IA IA
y
= −

= − ⇔


x x
IM IM
y y y
y
+

= −

+ = − +


= − ⇔ ⇔
 
− = − − −


= −


uuuur uuur

Điểm M thuộc d nên
' 3 ' 6
2 4 0 2x ' ' 8 0
2 2
x y
y
+ −
 
− − − = ⇔ + + =

trên nửa đường tròn. Dựng về phía ngoài đường tròn (O, R) hình vuông BCDE.
Tìm quỹ tích điểm E
Giải
Vì BCDE là hình vuông nên BC=BE,
µ
0
90B =

Xét phép quay
0
( ; 90 )B
Q
−
:
B BaC Ea
Mà
»
C AB∈
do đó
¼
'E A B∈
là ảnh
của
»
AB
qua
0

(O) vuông góc với AR(ta kí hiệu các điểm P,Q sao cho (AR,AP)=45
0
). Khi đó ta
thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích điểm B là đường tròn
đường kính AP. Tương tự ta có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ.
Bài 3: Cho hai đường tròn (O,R) và (O’, R’) (R>R’) tiếp xúc trong tại A.
Đường kính AB của (O) cắt (O’) tại điểm C khác A. Đường thẳng d di động qua A
cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N. Tìm tập hợp các giao điểm I của CM và BN
Giải
8
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Ta có
·
·
0
90ANC AMB= =
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên CN//MB
' '
'
IC NC AC R CI R
k
IM MB AB R CM R R
⇒ = = = ⇒ = =
+
(không đổi)
Vì
,CM CI
uuuur uur
cùng hướng nên
CI kCM=

b/ O thuộc một đường thẳng cố định
Giải
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC
Ta có
MN AB MB BN AM MB BN AM v= ⇒ + = + ⇒ = =
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur r

Xét phép tịnh tiến
v
T
r
, ta có:
:
v
T A M
r
aB Na

Mà AH//MD, BH//NE nên
v
T
r
biến đường
thẳng AH thành MD, biến BH thành NE.
Do đó
v
T

ur
Bài 5: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định. Tìm tập hợp trực tâm H của
tam giác khi đỉnh A di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những câu hỏi như: H thuộc ba đường cao
của tam giác vậy H có quan hệ gì với các đỉnh của tam giác ABC? B,C cố định
nên vị trí của H phụ thuộc vào vị trí của A. Quỹ tích của điểm A đã biết(là đường
tròn tâm O). Vậy để giải bài toán cần phải tìm mối liên hệ ảnh-tạo ảnh giữa H và
A. H và A có thể liên hệ với nhau qua phép biến hình nào?
Đối với bài tập này, ta có các cách giải sau
- Sử dụng phép đối xứng trục
Gọi H’ là giao điểm của AH với đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆

Ta có
µ
µ
1 1
A C=
(cùng phụ với góc B)
µ
¶
1 2
A C=
(cùng chắn cung
¼
'BH
)
⇒
µ

uur
biến A thành H. Như thế đã có thể giải bài toán bằng hai cách nữa:
- Sử dụng phép đối xứng tâm
Kẻ đường kính AA’. Dễ thấy A’B//HC, BH//A’C nên tứ giác A’BHC là hình bình
hành, suy ra H và A’ đối xứng với nhau qua trung điểm I của đoạn thẳng BC. Khi
A di chuyển trên đường tròn (O) thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn (O) và do
đó H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng
tâm I.
- Sử dụng phép tịnh tiến
Kẻ đường kính AA’, gọi I là trung điểm đoạn thẳng BC.
Tứ giác A’BHC là hình bình hành nên I là
trung điểm đoạn A’H.
Trong
∆
AHA’ thì OI là đường trung bình nên OI//AH
và
1
2
OI AH=
hay
2AH OI=
uuur uur
. Chứng tỏ H là ảnh của A
qua phép tịnh tiến theo vectơ
2OI
uur
. Vậy khi A di
chuyển trên đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC thì H di chuyển

Giải
∆
ABC đều nên
BA BC
=
và
·
0
60ABC =
, xét phép quay
( )
0
; 60B
Q
−
:
'M Ma

A Ca
11
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Do đó MA=M’C, BM=BM’
⇒
BM=MM’ . Vì
2 2 2 2 2
' 'M M M C MB MA MC+ = + =
nên
∆
MM’C vuông tại M’.
Từ đó suy ra

thành cung
¼
'CM B
có số đo 150
0
. Vì tam giác BMM’ đều, do đó
·
0 0 0
' 150 60 90MM C = − =
. Tam giác MM’C vuông tại M’, do đó
2 2 2
' 'M M M C MC+ =
. Do MA=M’C, MM’=MB nên
2 2 2
MA MB MC
+ =

3.3. Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình
Giả sử trong một bài toán dựng hình cần dựng một điểm M nào đó. Trong
bước phân tích ta xem xét M là ảnh của một điểm N qua một phép biến hình , do
đó việc dựng điểm M đưa về dựng ảnh của điểm N trong phép biến hình đó. Cách
thứ hai xác định điểm M thuộc một đường (C ) và thỏa mãn một tính chất T nào
đó. Khi đó ta cần dựa vào tính chất T để thấy rằng M sẽ là ảnh của một điểm N
nào đó qua một phép biến hình
f
hoàn toàn xác định, trong khi đó N thuộc một
đường (H) hoàn toàn xác định. Vậy điểm M thuộc đường (H ‘ ) là ảnh của (H )
qua
f
, do đó M là giao điểm của (H ’ ) và (C )

O V O=
• Vẽ (O’; 2r)
• Dựng
( ) ( )
; ';2= ID O R O r

• Dựng đường thẳng xy qua A, D. Ta có đường thẳng xy cần dựng.
- Chứng minh: Gọi
( ; )B O r xy= I
,
( ; ) ( )C O R xy C D= ≠I
. Chứng minh
AC=AB=BD
Thật vậy, xét phép vị tự
( ;2)
:
A
V B Da
, suy ra AD=2AB nên
AB+BD=AD=2AB
AB BD⇒ =

Kẻ
,( ).⊥ ∈ ∆OH xy H xy OAB
cân tại O
HA HB
⇒ =
tương tự HC=HD
⇒
HC-HA=HD-HB

thuộc (O). Tứ giác ABCD có hai đường
chéo bằng nhau và vuông góc với nhau tại trung
điểm mỗi đường, do đó ABCD là hình vuông.
- Biện luận: số nghiệm hình bằng số giao điểm
của đường tròn (O’) và (O’’). Nếu hai đường tròn đó trùng nhau
thì bài toán có vô số nghiệm
Bài 3: Cho ba đường thẳng song song a,b,c. Hãy dựng một tam giác đều
ABC có đỉnh A thuộc a, đỉnh B thuộc b và đỉnh C thuộc c
Giải
- Giả sử a, b, c song song với nhau (b ở giữa a và c) và ta dựng được tam
giác đều ABC như hình bên. Ta có phép quay tâm A, góc 60
0
biến B
thành C, nên C là giao điểm của c với b’ là ảnh của b qua phép quay
( )
0
;60A
Q

- Cách dựng:
• Dựng điểm A thuộc a
• Dựng
( )
0
;60
' ( )
A
b Q b=

• Dựng giao điểm C của c và b’

thì tứ giác NMKC là hình bình hành nên
MK=CN=AM
AMK⇒ ∆
cân tại M
·
·
MAK MKA⇒ =
. Mặt khác:
·
·
·
·
MKA KAC MAK KAC AK= ⇒ = ⇒
là tia phân giác của góc BAC.Vì
MN//BC nên K nằm trên BC. Vậy K là chân đường phân giác trong của
góc BAC.
- Cách dựng:
• Dựng đường phân giác Ax của góc BAC
• Dựng giao điểm K của BC và Ax
• Dựng M trên AB sao cho MK//AC
• Dựng N thuộc cạnh AC sao cho MN//BC
Khi đó đường thẳng d qua M, N là đường thẳng cần dựng.
- Chứng minh: Ta có d//BC
Theo cách dựng thì
·
·
MAK KAC=
, mà
·
·

- Cách dựng:
• Dựng a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay -45
0
.
• Dựng a’’ là ảnh của a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số
2
.
15
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
B là giao điểm của a’’và b
• Dựng B’ là ảnh của B qua phép quay
tâm C, góc quay 45
0
.
• Dựng A là ảnh của B’ qua phép
vị tự tâm C, tỉ số
1
2

Theo cách dựng trên cặp điểm A,B là duy nhất.
3.4. Sử dụng phép biến hình giải bài toán cực trị
Bài 1 :Cho tam giác ABC. Tìm trên mặt phẳng chứa tam giác điểm M trong
tam giác sao cho tổng MA+MB+MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
- Xét phép quay
( )
0
;60B
Q
. Gọi

khi A,M,M’,C’ thẳng hàng.
Vậy min(MA+MB+MC)=AC’
- Ta xác định vị trí điểm M: Giả sử M là
điểm thỏa AM+MM’+M’C’=AC’
(hình 2). Do
α
=60
0
nên góc giữa hai đường thẳng MC và M’C’ bằng 60
0
hay
·
0
' 60CMC =

'BMM∆
đều nên
·
·
0 0
' 60 120BMB BMC= ⇒ =
, mặt khác
·
·
0 0
180 ' 120AMB BMM= − =
, do đó
·
0
120AMC =

Trong lịch sử toán học, bài toán này do nhà toán học người Pháp Pierre
Fermat (1601-1665)đưa ra cho các nhà toán học đương thời. Cách xác định điểm
M đơn giản là dựng về phía ngoài tam giác ABC, ba tam giác đều ABC’, ACB’,
BCA’ . Ba đường thẳng AA’,BB’, CC’ đồng quy tại điểm M cần tìm.Cách giải đơn
giản này lần đầu tiên do Evanglista Torricelli (1608- 1647), nhà vật lí, nhà toán
học Italia, giáo sư trường Đại học Florence tìm ra nhưng mãi đến năm 1659, sau
khi ông mất, một học trò của ông là Vivianni mới công bố.
·
·
·
AMB BMC CMA= =
nghĩa là M nhìn các đoạn thẳng AB, BC, CA dưới các
góc bằng nhau và bằng 120
0
và điểm M được gọi là tâm đẳng giác của tam giác
ABC. Ta có thể dựng điểm M bằng cách lấy giao điểm của ba cung chứa góc
120
0
dựng trên các cạnh AB, BC, CA.
Bài 2 : Cho trước một điểm A và đường thẳng d không đi qua A. Trên d ta
đặt một đoạn thẳng BC
a=
(a là độ dài cho trước). Tìm vị trí của đoạn BC để
AB+AC nhỏ nhất
Giải
Thực hiện phép tịnh tiến
u
T
r
, phương của

r

Bài 3 : Hai làng nằm ở vị trí A và B cách nhau một con sông( xem hai bờ
con sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một cái cầu MN
bắc qua sông (cố nhiên cầu phải bắc vuông góc với bờ sông) và đắp hai đoạn
17
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
đường thẳng từ A đến M và từ B đến N. Hãy xác định vị trí cây cầu MN sao cho
khoảng cách AM+BN ngắn nhất.
Giải
Kí hiệu a, b là hai bờ sông
- Trường hợp 1 : Coi con sông rất hẹp.
Bài toán trở thành :
Cho hai điểm A,B nằm ở hai phía khác nhau so với
đường thẳng a. Tìm vị trí M trên a để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M
là giao điểm của AB với a
- Trường hợp 2 : a//b
Nhận xét : a,b cố định
MN⇒
uuuur
cố định.
( )
' '
MN
T A A A N AM= ⇒ =
uuuur
. Ta có
AM+BN=A’N+NB=A’B
Dựng
( )

T F C
uuur
a

H Ea

'A Aa

Suy ra AH=A’E. Tứ giác AA’CF là hình chữ nhật nên AC=A’F=a.
∆
A’EF vuông
tại E (vì AH//A’E,
AH EF⊥
), ta có
2 2 2 2
' 'A E A F EF a b= − = −
. Vậy
2 2
'AH A E a b= = −

18
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Bài 2 : Cho hai phép vị tự V
1
có tâm O
1
, tỉ số k
1
và V
2

1 1 1 1
O M k O M=
uuuuur uuuur
và
2 2 2 2 1
O M k O M=
uuuuuur uuuuur
. Khi đó, phép hợp thành F biến M thành M
2
. Gọi I
là ảnh của O
1
qua phép vị tự V
2
, tức là
2 2 2 1
O I k O O=
uuur uuuuur
. Khi đó
2 2 1 1 1 2 1
IM k O M k k O M= =
uuuur uuuuur uuuur

Nếu k
1
.k
2
≠
1ta chọn điểm O
3

1 2 2 2 1 1 2 1 3
1O O k O O k k O O+ = −
uuuuur uuuuur uuuur
. Do
đó
2
1 3 1 2
1 2
1
1
k
O O O O
k k
−
=
−
uuuur uuuuur
(Tâm của ba phép vị tự V
1
, V
2
và F là ba điểm thẳng hàng O
1
,
O
2
, O
3
)
Áp dụng : Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có
C Pa

( )
;2
:
S
V N JaP Ka
19
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
Ta thấy
1 2
1
.2 1 1
2
k k
−
= = − ≠
nên nếu gọi F là hợp thành của hai
phép vị tự
1
;
2
G
V
−


DC DB CB
k
DA DC CA
⇒ = = =

Phép vị tự
( )
1
;
:
D k
V A Aa1
C Ca

Suy ra
1 1
,DA DC DC DB= =

Xét phép quay
0
( ;90 )D
Q
:
1
A Ca


Qua khảo sát với hai bài tập trên nhìn chung các em biết vận dụng khá linh
hoạt, biết nhận biết vấn đề và đặc biệt đã bắt đầu làm quen với kiểu tư duy mới,
20
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
công cụ mới có hiệu quả để giải quyết bài toán, đặc biệt là loại toán dựng hình, tìm
quỹ tích. Tôi thực hiện khảo sát trên hai lớp 11A3, 11A7. Kết quả khảo sát qua hai
bài tập như sau:
Kết quả :
Bài Số HS làm bài Số HS đạt yêu cầu Đạt tỷ lệ %
1 86 71 82,5
2 87 68 78,2
III. Kết luận
Khái niệm hàm phản ánh thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể.
Nghiên cứu các quan hệ hàm là một trong những trọng tâm của môn toán ở trường
trung học phổ thông. Trong hình học, quan điểm hàm thể hiện tường minh qua chủ
đề “ phép biến hình ”. Với các phép biến hình, học sinh được biết một quan hệ
hàm không phải là hàm số. Đây cũng là một cơ hội cho học sinh thấy tính thống
nhất của toán học. Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình toán ở
bậc trung học cơ sở và trung học phổ thông không những chỉ nhằm cung cấp cho
học sinh những công cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với
các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng
xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu,
tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong
tương lai. Môn toán ở trường phổ thông vừa có tính trừu tượng, vừa có tính thực
tiễn. Môn toán vừa là môn học cơ bản, vừa là môn học công cụ nhằm cung cấp
những tri thức và kĩ năng toán học, những phương pháp, phương thức tư duy và
hoạt động cần thiết để học tập các môn học khác. Môn toán góp phần phát triển
năng lực trí tuệ, rèn luyện phẩm chất của người lao động bao gồm những kĩ năng
sống cơ bản : Tính kiên trì, cẩn thận, chính xác, tinh thần vượt khó, thói quen tự
kiểm tra. Vì thế, trước hết cần bồi dưỡng cho học sinh về mục đích, động cơ học

3.1.Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình 5
Bài toán 1 5
Bài toán 2 6
Bài toán 3 6
Bài toán 4 7
3.2.Sử dụng phép biến hình để giải các bài toán quỹ tích 7
Bài toán 1 8
Bài toán 2 8
Bài toán 3 9
Bài toán 4 9
Bài toán 5 10
Bài toán 6 11
3.3. Sử dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình 12
Bài toán 1 12
Bài toán 2 13
Bài toán 3 14
Bài toán 4 15
Bài toán 5 15
3.4.Sử dụng phép biến hình giải bài toán cực trị 16
Bài toán 1 16
Bài toán 2 17
Bài toán 3 18
3.5.Sử dụng phép biến hình để giải các dạng toán khác 18
Bài toán 1 18
Bài toán 2 19
Bài toán 3 20
4. Bài tập áp dụng 20
23
Áp dụng phép biến hình để giải toán Nguyễn Thị Hương Thi
III. Kết luận 21