Trường Quốc Học Quy Nhơn

Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán
Đề tài: Ứng dụng các phép biến hình vào
giải Toán hình họcGVTH: Trần Lê Thanh
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

3
MỤC LỤC
Kiến thức
Trang
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài 4
Mục đích nghiên cứu 5
Đối tượng ngiên cứu 5
Giới hạn của đề tài 5
Nhiệm vụ của đề tài
5
Phương pháp nghiên cứu 5
Thời gian nghiên cứu
5
NỘI DUNG

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

4
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những
cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với
yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng
là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với
ph
ương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh
hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học
sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ
luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường
phổ
thông.
Thực tế trong nhà trường THPT ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng
học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương
trình phân hoá học sinh. Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi,
học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học
sinh hổng kiến thức từ lớ
p dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy
học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học
sinh vùng sâu vùng xa.

Rút ra kết lu
ận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối
tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi
đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp
điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông
qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian và địa điểm nghiên cứu:
Năm học 2010 -2011.
Tại trường THPT số 2 Phù Mỹ - Lớp 11TN
1
- 11TN
2

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

6

NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lí luận:
1 Cơ sở triết học:

Giáo viên: Trần Lê Thanh

7

3.Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần
cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát
triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng
đối tượng học sinh.

Chương II: Thực trạng của đề tài:

1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2010-2011.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến
thức và rèn luyện kĩ
năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận
thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến
hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều họ
c sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó

1.1: Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định
duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng:
1.2.1: Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: Trong m
ặt phẳng cho vectơ
v
r
≠
0
r
, phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M’ sao cho
'
M
M
uuuuur
= v
r
, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v
r
.
Kí hiệu:
v
T
r
.
Vậy:
v

'
M
MMM=−
uuuuuur uuuuuur
(M
0
là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’).
1.2.3: Phép đối xứng tâm:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M
khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối
xứng tâm I.
Kí hiệu: Đ
I
.
Vậy: Đ
I
(M) = M’ ⇔ 'IM IM
=
−
uuuur uuur
.
1.2.4: Phép quay:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác
α
, phép biến
hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho
OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) =
α
gọi là phép quay tâm O, góc quay
α

u
uuuuruuuur
, gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V
(O,k)
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

10
Vậy: V
(O,k)
(M)=M’
⇔ 'OM kOM=
uuuuuruuuur
1.2.7: Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm
bất kì gọi là phép dời hình.

1.2.8: Phép đồng dạng:
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu
với 2 điểm M, N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN.

2: Một số tính chất của phép biến hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự giữa ba điểm đó.

+) Đ
Ox
(M) = M’ thì
'
'
x
x
yy
=
⎧
⎨
=
−
⎩

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

11
+) Đ
Oy
(M) = M’ thì
'
'
x
x
yy
=

-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ
(2;3)v −
r
, đường thẳng d có
phương trình: 3x-5y+3=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
tịnh tiến theo vectơ
v
r
.
Cách 1: Chọn M(-1;0) thuộc d, M’=T
v
r
(M) =(-3;3). M’ thuộc d’.Vì d’//d nên
d’ có phương trình 3x-5y+C=0. M’ thuộc d’ÙC=24.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T
v
r

'2 '2
'3 '3
xx xx
yy yy
=
−=+
⎧⎧
⇔

Ta có M’ (1;-5).
(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=Đ
Ox
(I)=(1;2) và
bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)
2
+(y-2)
2
=9.
Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có
''
''
x
xxx
yy yy
==
⎧⎧
⇔
⎨⎨
=− =−
⎩⎩
. Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0.
Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0.
b)Đường thẳng d
1
đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0.
Gọi M
0
là giao điểm của d và d
1

ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 90
0
.
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

13
Giải:

Bài 4:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương
trình:3x+2y-6=0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép
vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Giải:
Cách 1: V
(O,k)
(d)=d’ =>d’//d => d’ có phương trình:3x+2y+C=0. Lấy M(0;3) thuộc
d.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có
'2OM OM=−
u
uuuuruuuur
'0
'6
x
y
=
⎧
⇔
⎨

=−
⎪
⎩

Điểm M thuộc d
3
'6 0 3'2'12 0
2
xy x y⇔− − − = ⇔ + + =
.
Vậy phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách 3:
Lấy M,N bất kì trên d, tìm ảnh M’,N’ của M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Khi đó d’ là đường thẳng M’N’.

Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:
Gọi B(3;0), C(0;4) lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A lên các trục Ox,Oy.
Phép Q
(O,90
0
)
biến hình chữ nhật OBAC thành
hình chữ nhật OB’A’C’. Ta thấy B’(0;3),
C’(-4;0)
=>A’(-4;3)

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học
=> d
1
có phương trình: x+y=0.
Q
(O,-45
0
)
(d
1
) = Oy. Vậy phương trình d’ là: x=0.
Dạng 2:
Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình:
Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường
đã biết qua một phép biến hình.

Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3). Tìm toạ
độ
điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
Giả sử điểm D(x;y). Ta có
()
BA
TD C
=
uuur
, mà (4;2)BA
=
−−


Trưòng hợp 2: a//b
Nhận xét: a,b cố định =>
M
N
uuuur
cố định.
T
M
N
uuuur
(A) =A’ =>A’N = AM.
Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B
Cách dựng: Dựng A’=
T
M
N
uuuur
(A). Nối A’ với B
cắt b tại N. Từ N hạ đường thẳng vuông góc với
a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu. Bài 3: Cho hai điểm A,B nằm về một phía của đường thẳng d. Hãy xác định điểm
M trên d sao cho AM+MB bé nhất.
Giải:
Nhận xét: Gọi A’= Đ
d
(A) =>AM=AM’
Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B

Ox
(A)
A”=Đ
Oy
(A)
Nối A’ với A”, AA” cắt Ox và Oy lần lượt
tại B và C. Khi đó chu vi tam giác ABC
nhỏ nhất.

Bài 5: Cho góc nhọn

x
Oy , điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một
đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của
MN.
Giải:
Giả sử đã dựng được hai điểm M,N thoả mãn
yêu cầu của bài toán. Khi đó N=Đ
A
(M). Gọi
O’x’ = Đ
A
(Ox), ta có N là giao điểm của O’x
vàOy. Từ đó ta có cách dựng:
Dựng O’x’ = Đ
A
(Ox), gọi N là giao điểm của
O’x và Oy, M=Đ
A
(N).Khi đó M,N là hai điểm

(M). Gọi đường tròn
(O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R)
qua phép đối xứng tâm A. Ta có M
1

là giao điểm của (O’;R) với đường
tròn (O
1
,R
1
).
Cách dựng:
Dựng đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm
A.Gọi M
1
là giao điểm của (O’;R) với đường tròn (O
1
,R
1
) không trùng với A,
M=Đ
A
(M
1
). đường thẳng d là đường thẳng MM
1
.
Theo cách dựng trên có một đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề bài.

Bài 7:Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b, một điểm C. Tìm trên a và b các điểm

B là giao điểm của b và a”
Cách dựng:
Dựng a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay -45
0
.
Dựng a” là ảnh của a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số
2 .
B là giao điểm của a” và b
Dựng B’ là ảnh của B qua phép quay tâm C, góc quay 45
0
.
Dựng A là ảnh của B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số (
2
)
-1
.
Theo cách dựng trên cặp điểm A,B là duy nhất

Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh
A,B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C,D nằm trên đường tròn.
Giải:
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

19
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD
thoả mãn điều kiện của bài toán. Gọi I là
trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là


Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm.
Phương pháp:
Chứng minh tậ
p hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến
hình.

Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường
tròn(O). Gọi M
1
là điểm đối xứng của M qua A, M
2
là điểm đối xứng của M
1
qua
B, M
3
là điểm đối xứng của M
2
qua C. Tìm quỹ tích của điểm M
3
.
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

20
Giải:
Gọi D là trung điểm của MM

điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D
. Ta có

B
CD=90
0
nên DC//AH, AD//CH => tứ
giác ADCH là hình bình hành =>
2
A
HDC OM==
uuur uuur uuuur
.
Vì
OM
uuuur
không đổi => T
2
OM
uuuur
(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H
di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O)
qua phép tịnh tiến theo 2
OM
uuuur

H
M
O

Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng
chạy trên đường tròn (O) => khi A di động
trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động
trên một đường tròn là ảnh của (O) qua phép
đối xứng trục BC.
H'
I
H
O
B
C
A
DCách 3:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm
của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần lượt tại M và
D. Theo chứng minh trong cách 1ta có
2
A
HDC OI==
uuur uuur uur
.
Trong tam giác AHM có OI//AH và OI =
1
2
AH
=> OI là đường trung bình của tam giác AHM =>
I là trung điểm của HM => H và M đối xứng nhau

NI OI
=
hay
IM IN OM
IN OI
−
=
vì (O), I cố định
nên
OM
OI
=k( k là hằng số, k
≠
0)
1
1
1
1
IM IN
kIN IM
IN k
IN IM
k
−
⇒=⇔=
+
⇒=
+
uur uuur

Giáo viên: Trần Lê Thanh

23Bài 4: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên
đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Giải:
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho
AM=AB=AD.
Khi đó, ta có:
2
2
AM AB
AC AC
==
.
Ngoài ra; (AM,AB)=45
0
và (AM,AD)=-45
0
.
Suy ra, phép vị tự V tâm A, tỉ số k=
2
2
biến
điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A
góc quay 45

uuuuruuuruuur
.
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

24
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB thì
2
P
APB
PI
+
=
uuuruuur
uur
.
Bởi vậy
P
MPAPB=+
uuuuruuuruuur
= 2
P
I
uur
.
Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k=2 thì
V biến điểm I thành điểm M.

Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

25

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1.Kết quả
Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 11 tôi đã thu được kết quả như sau
Kết thúc học kì I năm học 2008-2009.Trên trung bình: 60%
Kết thúc học kì I năm học 2009-2010.Trên trung bình: 70%
Quan trọng hơn học sinh đã cảm thấy hứng thú hơn với môn hình học, không bị áp
lực phải ngồi học trong các giờ hình học, tạo được niềm tin và sự hứng thú trong
học tập .

Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học Giáo viên: Trần Lê Thanh

26
Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc.

3. Khuyến nghị:
Nên có các chuyên đề tự chọn để giáo viên và học sinh có thể trao đổi thẳng
thắn với nhau về các vấn đề, từ đó có thể rút ra các phương pháp phù hợp với từng
đối tượng học sinh.

Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề
tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của
các
đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.