Tìm cực trị của hàm số nhiều biến bằng cách
khảo sát lần lượt từng biến
Để tìm cực trị hàm số ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến
nghĩa là: tìm GTLN,(GTNN) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại
coi là tham số, tìm GTLN,(GTNN) vủa hàm số với biến thứ hai rồi ứng với giá
trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại là tham số…
Ta cùng xét các ví dụ :
Bài toán 1:
Xét hàm số f(x,y) = (1 – x)(2 – y)(4x – 2y)
trên D = { (x,y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 }
Tìm GTNN của f trên D.
Giải:
Biến đổi hàm số đã cho thành:
f(x,y) = 2(1 – x)(2 – y)[ (2 – y) – 2(1 – x) ]
Đặt
1
2
v x
u y
= −


= −

ta chuyển về tìm GTNN của hàm số :
F(u,v) = –2uv
2
+ u
2
v trên E = { (u,v) | 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 2 }
Nghĩa là

min ( , ) min ( 2 ) 1
u v E u
F u v u u
∈ ≤ ≤
= − = −
tương ứng với u = v = 1
Từ đó min f(x,y) = 2min F(u,v) = –2 khi x = 0, y = 1.
Cách giải này có thể áp dụng vào các bài toán mà các biến phụ thuộc với nhau
theo một đẳng thức (BT2) , một bất đẳng thức (BT3) hoặc một hệ phương trình
(BT4) cho trước.
Bài toán 2:
Xét a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện abc + a + c = b.
Tìm GTLN của biểu thức:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P
a b c
= − +
+ + +
Biến đổi giải thiết thành a+c = b(1 – ac) > 0 →
1
(1)
1
a
c
a c
b
ac


x x c
+
= +
+ + +
với
1
0 x
c
< <
và coi c là tham số dương.
→
2
2 2 2
2 ( 2 1)
'( )
(1 ) (1 )
c x cx
f x
x c
− + −
=
+ +
Trên
1
0,
c
 
 ÷
 
thì f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất là

1 1
1
c c
P f x g c
c c
c
= − + ≤ + =
+ +
+
Xét hàm số g(c) với c > 0
g’(c) =
2
2 2 2
2(1 8 )
( 1) (3 1)
c
c c c
−
+ + +
Với c > 0 thì g’(c) = 0 tại c
0
=
1
8
. Qua c
0
thì g’(c) đổi dấu từ (+)→(–) nên g(c
0
) là
giá trị cực đại của hàm g(c).

≥
−
với
7
4
x
y
>
(1)
→
2 8
( , , ) 2
4 7
x y
P x y z x y
xy
+
≥ + +
−
(2)
Xét hàm số
2
2 8 4 5 8 7
( )
4 7 4 7 4
x y x y x y
f x x x
xy xy y
 
+ − +

y
x
y y
+
= +
và qua x
0

thì ƒ’(x) đổi dấu từ (−) → (+) nên ƒ(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
Từ đó
0 0
5
( ) ( ) 2
4
f x f x x
y
≥ = −
→ P(x,y,z) ≥ ƒ(x) + 2y ≥ ƒ(x
0
) + 2y = g(y) (3)
Xét hàm số
2
9 1
( ) 2 32 14
4 2
g y y y
y y
= + + +

1 4 3
, ,
3 5 2
a b c= = =
Vậy
15
min
2
P =
.
Bài toán 4:
Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn hệ








≥≥
≤≤
)3(
5
4
),2(
15
4
)1(},min{
5

2
≥
z
Xảy ra 2 trường hợp :
+)Nếu
5
2
≥
z
thì
z
zx
15
4
≥≥
theo (4) nên
f(x)
15
211
≤=+≤
zzz
(5)
+) Nếu
15
2
5
2
≤≤
z
theo (1) thì

z
khi
15
2
<
z
Từ đó g(z) là hàm giảm và f(x)
≤
g(x)
≤
g






5
2
=4 (6)
So sánh (5) & (6) rút ra
4
11
≤+
zx
đồng thời
4
11
=+
zx

z
z
5
1
,
(8)
Lập luận như câu a) ta được
+) Nếu z
5
1
≥
thì h(y)
52
≤
(9)
+)
5
1
5
2
≤≤
z
→
h(y)
2
9
≤
(10)
So sánh (9)& (10)
→



+
zy
11
=13
Dấu “=” xảy ra
5
2
,
2
1
,
3
2
===⇔
zyx
→
maxP ( x, y ,z ) = 13
***Sau đây là một số bài tập áp dụng phương pháp trên:
1) Cho x,y,z dương thỏa mãn :
1 1
min{ 2, 3}
2
2
3 6
3 10 2 5
z x y
x z
y z


< ≤ ≤ ≤


+ ≥



+ + ≥


Tìm GTLN của
3 3
1 80 18
z
2 27 8
F xy x y= + +