PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lí do chon đề tài
Bài toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
đã được đưa nhiều vào trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Khi gặp
phải dạng toán này học sinh thường gặp khó khăn trong việc liên hệ các giả thiết
cùng tính chất trong từng trường hợp về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt
phẳng, đường thẳng với nhau để đưa ra lời giải. Hơn nữa, hệ thống bài tập về
phần này trong sách giáo khoa không nhiều.
Quá trình giảng dạy và nghiên cứu tôi đã hệ thống được một số bài toán
theo từng dạng giả thiết và yêu cầu để học sinh được rèn luyện nhiều hơn và có
hệ thống giúp các em có thể giải được một cách dễ dàng hơn khi gặp phải
những bài cùng chủng loại.
2. Các chữ viết tắt
Trong chuyên đề này, tôi sử dụng một số chữ viết tắt sau:
- VTCP: véc tơ chỉ phương
- VTPT: véc tơ pháp tuyến
- PTTS: phương trình tham số
- PTCT: phương trình chính tắc
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của chuyên đề là việc đổi mới phương pháp dạy
học phần các bài toán VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VỚI MẶT
PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN được áp dụng trong
giảng dạy đối với lớp 12A1 trường THPT xxx
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài có sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
- Nghiên cứu lí thuyết, tài liệu, văn bản;
3
- Sử dụng phiếu điều tra;
- Sử dụng toán thống kê.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu chỉ tiến hành trong giảng dạy môn Toán 12 đối với học sinh

0
0
0
x at x
y bt y t
z ct z
= +


= + ∈


= +

¡
Nếu
0abc ≠
thì
∆
có PTCT:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng.
Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R và mặt phẳng (P). Kí hiệu
( ,( ))d d I P=
. Khi đó ta có
- Nếu d>R thì (S) và (P) không có điểm chung. Ta nói mp(P) không cắt

(S)
- Nếu d=R thì
∆
và (S) có một điểm chung duy nhất. Ta nói đường thẳng
tiếp xúc với mặt cầu.
- Nếu d<R thì
∆
và (S) có hai điểm chung. Ta nói
∆
cắt mặt cầu.
Tính chất:
- Nếu
∆
tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A thì
IA ⊥ ∆
.
- Nếu
∆
cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B thì
2 2
2AB R d= −
- Nếu
∆
không cắt mặt cầu (S) thì với hai điểm
( ), ( )M S N∈ ∈ ∆
mà
MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu của I lên (
∆
)
và M là giao điểm của đoạn IN với (S).


= +


= +

Gọi I là tâm mặt cầu, do
I ∈∆
, gọi I(t; t+1; 2t+2).
Có mặt cầu tiếp xúc với (P) và có bán kính là 2

| 2 1 4 4 2|
( ,( )) 2 2 | 3 3| 6
3
1
3
t t t
d I P t
t
t
− − − − +
⇔ = ⇔ = ⇔ + =
=

⇔

= −

Với t=1, I(1; 2; 4), phương trình mặt cầu (S) là:
2 2 2

7
mc(S) có tâm I(1; 1; 0), bán kính
2R =
. Đường thẳng d có VTCP
( 2;1; 2)u = − −
r
Gọi H là hình chiếu của I lên d. H(-2t; t; -1-2t)
Ta có
(1 2 ;1 ;1 2 )HI t t t= + − +
uur
. Do H là hình chiếu của I lên d nên
HI u⊥ ⇔
uur r
-2(1+2t)+1-t-2(1+2t) = 0 <=>
1
3
t = −
2 1 1
( ; ; ) 2 ( )
3 3 3
H IH H S⇒ − − ⇒ = ⇒ ∈
, suy ra d là tiếp tuyến của (S)
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H.
Ta có d’ có VTCP
1 4 1
( ; ; )
3 3 3
HI =
uur
(1; 4;1)v⇒ =

3 3 3
x t y t z t= − + = + = − +
Với
1 2 1 1
( ; ; )
3 3 3 3
t M H= − ⇒ − − ≡
(loại)
Ví dụ 3: ( Đề thi thử đại học trường ĐẶNG THỨC HỨA/ Nghệ An)
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 2
:
4 1 1
x y z+ −
∆ = =
−
và mặt phẳng (P):
2 2 6 0x y z− − − =
. Viết phương trình
8
mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng tại A(0; -1; 2) và tiếp xúc với mặt
phẳng (P) tại điểm B(1; 0; -2).
Phân tích: Nếu gọi I là tâm mặt cầu thì ta có

, //IA u IB n
IA IB

⊥



2 1; ; 2 2x t y t z t= + = − = − −
.
(S) tiếp xúc với (P) tại B suy ra I thuộc d. Gọi
(2 1; ; 2 2)I t t t+ − − −
.
Có
(2 1; 1; 2 4)AI t t t+ − + − −
uur
,
(2 ; ; 2 )BI t t t− −
uur
(S) tiếp xúc với
∆
tại A và tiếp xúc với (P) tại B, nên

2 2 2 2 2 2
4(2 1) 1 2 4 0
(2 1) ( 1) (2 4) (2 ) (2 )
1
1
1 4 4 4 1 4
t t t
AI u
t t t t t t
AI BI
t
t
+ − + + + =



2 2 1 0x y z+ − − =
.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cắt mặt cầu theo giao
tuyến là đường tròn có diện tích là
9
π
.
Phân tích: Mặt phẳng (Q) đã có VTPT nên để có phương trình (Q) cần tọa
độ một điểm hoặc hệ số D trong phương trình.
Do đường tròn giao tuyến có diện tích nên ta tính được khoảng
cách từ tâm mặt cầu đến (Q). Do vậy ta tìm được hệ số D trong phương trình
của (Q).
Giải:
Đường tròn có diện tích là
9
π
, suy ra bán kính đường tròn giao tuyến là r=3.
Mặt cầu (S) có tâm là
(1; 2;3)I −
, bán kính R=5.
Gọi mp(Q) là mặt phẳng cần tìm. Do (Q)//(P) nên mp(Q) có phương trình
dạng

2 2 0 ( 1)x y z m m+ − + = ≠ −
Gọi
( ,( )d d I Q=
, ta có
2 2
4d R r= − =
Theo công thức tính khoảng cách

2 2 4 19 0x y z x y z+ + − + − − =
, mặt phẳng (P):
2 2 1 0x y z− + + =
và điểm
10
A(5; 0; 1). Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm A, vuông góc với
mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi là
8
π
.
Phân tích :
- Mặt phẳng
( )
α
để có phương trình thì cần có VTPT.
- Giao tuyến có chu vi nên tính được khoảng cách từ tâm I của mặt
cầu tới
( )
α
- Dựa điều kiện vuông góc với (P) và khoảng cách từ I đến
( )
α
ta
tìm được VTPT của
( )
α
từ đó suy ra phương trình cần tìm.

là
2 2
3d R r= − =
(*)
mp
( )
α
qua A nên phương trình có dạng

( 5) ( 1) 0A x By C z− + + − =

2 2 2
2 2 2
4
(*) 3 4 3
A B C
A B C A B C
A B C
− − +
⇔ = ⇔ − − + = + +
+ +
(2)
Thế A từ (1) vào (2) ta biến đổi thành phương trình

2 2
2 5 2 0 2B BC C B C− + = ⇔ =
hoặc
1
2
B C=

Biết độ dài BC ta tính được bán kính theo công thức

2
2 2 2
2 2
BC BC
R d R d
 
− = ⇔ = +
 ÷
 

Giải:
Đường thẳng
∆
có VTCP là
(2;3;2)u =
r
và qua điểm M(-2; 2; -3).
Ta có
(2; 2;1)MA = −
uuur
,
, ( 7; 2;10)MA u
 
= − −
 
uuur r
.
Ta có khoảng cách từ A đến

Ví dụ 1: (Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT chuyên Lê Quí
Đôn_ Quảng Trị)
12
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0 và
mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 5 0x y z x y z+ + + − − + =
. Tìm những điểm
( ), ( )M S N P∈ ∈
sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.
Phân tích: Để tìm M, N ta dựa vào tính chất của mặt phẳng không cắt mặt
cầu.
Giải:
Ta có (S) có tâm I(-1; 2; 1) bán kính R=1.
( ,( )) 2 1d I P R= > =
, suy ra (P) và
(S) không có điểm chung.
Gọi
∆
là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(P).
∆
có VTCP là
(1; 2;2)u = −
r
.
Ta có PTTS của
∆
là
1
2 2

, ta có N
0
là hình chiếu của N lên
∆
và gọi M’ là hình
chiếu của M lên
∆
.
Ta có M’ nằm trên đoạn M
1
M
2
. Ta có
0
'N M
là đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng NN
0
và MM’. Suy ra
0 1 0
'MN M N M N≥ ≥
. Vậy điểm
( ), ( )M S N P∈ ∈
sao cho MN có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi
0 1
;N N M M≡ ≡
.
Gọi N
0
( t-1; -2t+2; 2t+1).

1 2
2 4 5 4 8 1
; ; ; ; ;
3 3 3 3 3 3
M M
   
− −
 ÷  ÷
   
Có
1 0
1M N =
;
2 0
3M N =
suy ra M
1

nằm giữa N
0
và M
2
. Vậy hai điểm M, N
cần tìm là
1 2 7
; ;
3 3 3
N
 
−

Ta có
(1 2 ;4 ;1 2 )HI t t t= + − +
uur
. Do H là hình chiếu của I lên d nên
HI u⊥ ⇔
uur r
-2(1+2t)+4-t-2(1+2t) = 0 <=>
0t =
(0; 3; 1) 3 2H IH R⇒ − − ⇒ = >
,
suy ra d và (S) không có điểm chung.
Gọi d’ là đường thẳng qua I và H.
Ta có d’ có VTCP
(1;4;1)HI =
uur
(1; 4;1)v⇒ =
r
cũng là VTCP của d’.
PTTS của d’ là x=t+1; y=4t+1; z=t.
Gọi M là giao điểm của d’ và (S). M(t+1; 4t+1; t)
14
Do M thuộc (S) ta có
2
1 1
18 2 ;
3 3
t t t= ⇔ = − =
Suy ra
1 2
( ) ' {M ;M }S d∩ =

1
M
2
.
Ta có HM’ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng HN và MM’. Suy
ra
2
' 2 2MN M H HM≥ ≥ =
. Suy ra N, M thỏa mãn để độ dài đoạn NM nhỏ
nhất là
2
,N H M M≡ ≡
.
Vậy tọa độ hai điểm M, N cần tìm là:
2 1 1
( ; ; )
3 3 3
M − −
,
(0; 3; 1)N − −
Bài tập tự luyện
Bài số 1.( Đề thi thử đại học năm học 2010 trường THPT Lương Thế Vinh_ Hà
Nội)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
1
1 1 1
:
2 1 2
x y z− + −
∆ = =

1
): x-2y+2z-3=0, (P
2
): 2x+y-2z-4=0 và đường thẳng
2 4
:
1 2 3
x y z
d
+ −
= =
− −
.
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d và cùng tiếp xúc với hai mặt
phẳng (P
1
) và (P
2
).
Bài số 5.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
2 1
:
1 1 2
x y z
d
− −
= =
−

-3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0), B
1
(4; 0; 4). Viết phương trình mặt cầu tâm A và
tiếp xúc với mặt phẳng (BCC
1
B
1
).
Bài số 7. (Đề thi đại học khối B năm 2007)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2z-14=0 và mặt
cầu (S) :
2 2 2
2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − =
. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S)
sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là nhỏ nhất.
Bài số 8. (Đề thi đại học khối A năm 2009)
16
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt
cầu (S):
2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − =
. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
PHẦN III. KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN
Tài liệu phần nào đã hệ thống được phương pháp giải quyết một số bài
toán về vị trí tương đối giữa mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng. Sau khi
biên soạn xong tôi đã thực nghiệm giảng dạy cho 1 lớp 12 với thời lượng là 4
tiết và có kiểm tra. Kết quả tốt hơn nhiều so với lớp học sinh không được học.
2. KIẾN NGHỊ