1. TỌA ĐỘ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TỌA ĐỘ TRONG KHỒNG GIAN
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
I. LÝ THUYẾT
1. Tọa độ và biểu thức tọa độ của các phép toán véctơ
+ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(x; y; z) (hoặc
u
r
= (x; y; z)). Khi đó (x; y; z) gọi là tọa độ
của điểm M (hoặc
u
r
) với hoành độ là x, tung độ là y, cao độ là z.
+ Các biểu thức tọa độ cần nhớ:
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 a b a b ;a b ;a b
a b a b ;a b ;a b
k.a k.a ;k.a ;k.a k R
+ = + + +
− = − − −
= ∈
r r
r r
r
( ) ( )
( ) ( ) ( )
B A B A B A

a b
a và b b 0
=


= ⇔ =


=

≠
r r
r r r
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
4 a.b a .b a .b a .b
a a a a
a b a .b a .b a .b 0
= + +
= + +
⊥ ⇔ + + =
r r
r
r r
( )
( )
1 1 2 2 3 3

b
r
( )
a,b a . b .sin a,b
 
=
 
r r r r r r
, từ đó suy ra diện tích
∆
ABC là:
1
S AB, AC
2
 
=
 
uuur uuur

Điều kiện để 3 véctơ
a,b,c
r r r
đồng phẳng là:
a,b .c 0
 
=
 
r r r
Điều kiện để A, B, C, D không đồng phẳng là:
AB,AC .AD 0

cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho a
1
= kb
1
; a
2
= kb
2
; a
3
= kb
3

(G là trọng tâm tam giác ABC)
II. BÀI TẬP
Bài 1. Cho véctơ
a 3i 2 j 5k= − − +
r r r
r
, trong các véctơ sau đây véctơ nào cùng phương với
a
r
a)
u 6i 4 j 10k= + −
r r r
r
b)
4 10
v 2; ;
3 3

r
r
.
b) Tính:
u 5v 2w+ −
r r r
;
3i 7 j v− +
r r
r
.
Bài 3. Tìm x và y để 3 điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4), C(x ; y; 6) thẳng hàng.
Bài 4. Xét sự đồng phẳng của các véctơ sau
a)
u (1;2;3)=
r
,
v (3; 1;2)= −
r
,
w (2; 3; -1)=
uur
;
b)
u (9; 3;7)= −
r
,
v (1;8;8)=
r
,

b) Tính côsin các góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện.
c) Tính thể tích của tứ diện và chiều cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Tính góc tạo bởi AC’ và A’B.
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC và DD’. Chứng minh rằng AC’
(MNP)⊥
.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 2 -
Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi
M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho
1
SN SB
3
=
uuur uur
.
a) Tính độ dài MN.
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Bài 14. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = h.
a) Tính côsin góc tạo bởi AB’ và BC’.
b) Xác định tỉ số
h
a
để AB’
BC'⊥
.
Bài 15. Xác định tọa độ của tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau
a)
2 2 2
x y z 8x 2y 1 0+ + − + + =

gọi là véctơ pháp tuyến của (
α
) nếu giá của
n
r
vuông góc với (
α
). Khi đó véctơ k.
n
r
cũng
là một véctơ pháp tuyến của (
α
).
+ Mặt phẳng (
α
) đi qua
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và VTPT là
n
r
= (A ; B ; C) có phương trình là
( ) ( ) ( )
0 0 0
A. x x B. y y C. z z 0− + − + − =
+ Mỗi phương trình dạng
( )
2 2 2

+ Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi A : B : C
≠
A’ : B : C’.
+ Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi
A B C D
A ' B' C' D'
= = ≠
.
+ Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi
A B C D
A ' B' C' D'
= = =
.
3. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho
( )
0 0 0
M x ;y ;z
và (
α
):
Ax By Cz D 0+ + + =
, khoảng cách từ M đến (
α
) là:
( )
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d M,( )

β
:
x 2y z 10 0− + − =
.
Bài 4. Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1; 1; 1) và song song với các trục Ox và Oy.
Bài 5. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1; -1; 1) và B(2; 1; 1) và song song với trục Ox.
Bài 6. Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(2; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) có
phương trình x + 2y + 3z + 4 = 0.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 4 -
Bài 7. Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một
khoảng d = 5.
Bài 8. Cho A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ và
phương trình mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 9. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2; –1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt
phẳng (P) có phương trình 2x – y + 3z + 4 = 0.
Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Qua I(–1; –2; –5) và đồng thời vuông góc với hai mp(P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0.
b) Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho: OR = 2OP = 2OQ.
c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc với
mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0.
d) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song với
trục Oy.
f) Mặt phẳng (X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên mặt phẳng (X).
Bài 11. Cho mp(P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx - 6y - 6z + 2 = 0. Xác định giá trị của k và m để hai mặt
phẳng (P) và (Q) song song nhau, lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Bài 12. Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0.
a) Chứng minh (P) cắt (Q).
b) Viết phương trình mp(S) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1).
c) Viết phương trình mp(T) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) và song song với mp(R).
d) Viết phươngtrình mp(X) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R).

= (a; b; c) có:
+ Phương trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

+ Phương trình chính tắc là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
(với a.b.c
≠
0)
Chú ý: Để viết phương trình đường thẳng cần xác định 1 điểm thuộc đường thẳng và 1 VTCP hoặc xác định
2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đường thẳng đó.
Khi biết phương trình đường thẳng ta xác định được điểm thuộc đường thẳng và VTCP của nó
2. Vị trí tương tối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d:

uuuuur
không đồng phẳng, khi đó d và d’ chéo nhau.
+ Nếu
[u, u'].MM' 0=
r uur uuuuur
và
u
r
,
u '
uur
không cùng phương thì d và d’ cắt nhau.
+ Nếu
u
r
,
u '
uur
cùng phương và M
∉
d’ thì d và d’ song song.
+ Nếu
u
r
,
u '
uur
cùng phương và M
∈
d’ thì d và d’ trùng nhau.

n là 1 VTPT
 ∈




r
+ Nếu
u
r
.
n
r
≠
0 thì d cắt (P).
+ Nếu
u
r
.
n
r
= 0 và M
∉
(P) thì d và (P) song song.
+ Nếu
u
r
.
n
r

và
∆
’:
có M' d'
u ' là 1 VTCP
∈





uur
+ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng:
( )
AM,u
d A;
u
 
 
∆ =
uuuur r
r
+ Nếu
∆
và
∆
’ song song:
( ) ( )
d , ' d M, '∆ ∆ = ∆
.



1 5
2 2
1
b) Song song với các trục Ox.
c) Vuông góc với mặt phẳng (P): 2x + y – z + 3 = 0.
Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d:
a) Đi qua hai điểm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0).
b) Đi qua điểm M(2; 3;–5) và song song với đường thẳng d’ là giao tuyến của 2 mặt phẳng có phương trình
lần lượt là 3x – y + 2z – 7 = 0 và x + 3y – 2z + 3 = 0.
Bài 3. Cho 3 điểm A(–1; –2; 0), B(2; 1; –1), C(0; 0; 1).
a) Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b) Tính đường cao CH của ∆ABC và tính diện tích ∆ABC.
c) Tính thể tích hình tứ diện OABC.
Bài 4. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
1 2 3
2 3 1
x y z− + −
= =
a) Trên mặt phẳng (Oxy).
b) Trên mặt phẳng (Oxz).
Bài 5. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng lần lượt có
phương trình 2x – y + z + 5 = 0 và 2x – z + 3 = 0 trên mặt phẳng x + y + z – 7 = 0.
Bài 6. Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) và D(–5; –4; 8). Viết phương trình của:
a) Đường thẳng BM, với M là trọng tâm của ∆ACD.
b) Đường cao AH của tứ diện ABCD.
Bài 7. Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P): x + 3y – z + 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng
d:
x 3 y z

:
1 2
3 4 1
x y z− +
= =
và cắt
đường thẳng d
2
:
x 1
y t
z 1 t
= −


=


= +

.
Bài 11. Cho đường thẳng d:
1 1 2
2 1 3
x y z+ − −
= =
và mp(P): x – y – z – 1 = 0.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 7 -
b) Gọi N = d ∩ (P). Tìm điểm K trên d sao cho KM = KN.

;
2
4 2
1
x t
y t
z
= −


= +


=

.
Bài 17. Cho hai đường thẳng d:
1 1 2
2 3 1
x y z+ − −
= =
; d’:
2 2
1 5 2
x y z− +
= =
−
.
a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau. Tính khoảng cách giữa d và d’.
b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.

z t
= +


= − −


= +

.
Bài 19. Cho hai điểm M(1; 1; 1), N(3; –2; 5) và mp(P): x + y – 2z – 6 = 0.
a) Tính khoảng cách từ N đến mp(P).
b) Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng MN trên mp(P).
Bài 20. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d:
2 2 1
3 4 1
x y z− + −
= =
trên mặt phẳng (P)
có phương trình là: x + 2y + 3z + 4 = 0.
Bài 21. Cho hai đường thẳng d:
4
6 2
x t
y t
z t
=





=


= − −

.
Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 8 -
Bài 23. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (P): 2x – y + 4z + 5 = 0 và (Q): 3x + 5y – z – 1 = 0.
Bài 24. Trên trục Oz tìm điểm M cách đều điểm A(2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.
Bài 25. Trên trục Oy tìm điểm N cách đều hai mp(P): x + y – z + 1 = 0 và (Q): x – y + z – 5 = 0.
Bài 26. Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng sau:
1 3 4
2 1 2
x y z− + −
= =
−
;
2 2 1
4 2 4
x y z+ + +
= =
− −
.
Bài 27. Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0.
a) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
b) Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất.
Bài 28. Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình:
1 2 2



= − +


= +

Bài 30. Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết d:
2 1 3
4 1 2
x y z+ − −
= =
−
và (P): x + y – z + 2 = 0.
Bài 31. Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0).
Bài 32. Cho mặt cầu (S): (x + 2)
2
+ (y – 1)
2
+ (z + 5)
2
= 49 và d:
5 3
11 5

a) Lập phương trình đường thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P).
b) Chứng minh rằng mp(P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là 1 đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường
tròn đó.

Kiến thức cơ bản – Hình học giải tích trong không gian - 9 -