NGUOIDIEN-ONTHI Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
_______________________________________________________________________________________

Viết PTTT tại điểm thuộc đồ thị
1. Cho hàm số
1
2
2 xy x
+
=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
.
2. Cho hàm số
1 1
3 2
3 2
y x x
= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
5
1;
6
B C

.
3. Cho hàm số
= +

3 2
2 3 12 1
y x x x
= +
, có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại đó đi qua
gốc toạ độ. (ĐH Công Đoàn 01)
8. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= +
. Viết PTTT tại giao điểm của (C) với trục hoành. (CĐ Y Tế Nam Định 01)
9. Cho
2
(3 )
y x x
=
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm uốn của nó và tìm toạ độ các giao điểm của
tiếp tuyến này với tiếp tuyến của (C) tại các điểm cực đại và điểm cực tiểu của nó. (ĐH Thăng Long D01)
10. Cho hàm số
4 2
2
y x x
= +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm
A( 2;0).
(ĐH Thái Nguyên D01)
11. Cho
=
4 2

1
x
=
. (CĐSP Cần Thơ A01)
15. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm
( )
5
1;
2
A C

.
16. Cho hàm số
2
2
1
x x

2
2
2
1
x
x x
y
x

+ +
=
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1. (ĐHTH83-84)
19. Cho hàm số
+
=
+
2
1
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng 1.
20. Cho hàm số
= +
3 2
1
y x mx m . Viết PTTT tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi
giá trị của m. (ĐH AN A00)
21. Cho hàm số

= + +
, có đồ thị
(
)
C
m
. Viết PTTT của
(
)
C
m
tại điểm uốn. Chứng minh rằng
tiếp tuyến đó đi qua điểm M(1; 0) khi và chỉ khi m = 4.
24. Cho hàm số
3 2
y ax bx cx d
= + + +
; giả sử rằng a > 0. Chứng minh rằng trong số các tiếp tuyến của đồ thị
hàm số trên thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
(Với trờng hợp a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn sẽ có hệ số góc lớn nhất).
25. Cho hàm số
1
3
1
3
y x x
= +
, có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị (C), hy tìm tiếp tuyến
có hệ số góc nhỏ nhất. (HV QHQT 0102)
26. Cho hàm số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.
b. Viết phơng trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn.
c. Chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
30. Cho hàm số
= +
3 2
2 3 1
y x x
, có đồ thị (C). Tìm trên (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá
trị nhỏ nhất. (ĐH Ngoại Ngữ CB00)
31. Cho hàm số
3 2
2 3 2 1
y x mx m
= + +
, trong đó m là tham số thực.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với giá trị m = 1.
b. Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó hệ số góc của tiếp tuyến đạt giá trị nhỏ nhất.
c. Với giá trị nào của m thì hàm số đ cho nghịch biến trên khoảng (1; 2). (ĐH Ngoại ngữ 0001)
32. Cho hàm số
1
3 2
2 3
3
y x x x
= +
, có đồ thị (C). viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm uốn
và chứng minh rằng (d) là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. (ĐH B04)
33. Cho hàm số
= +

+
, có đồ thị (C);
a. Giả sử A là điểm trên (C) có hoành độ a. Viết phơng trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm A.
b. Xác định a để (d) đi qua điểm M(1;0). Chứng tỏ rằng có hai giá trị của a thoả mn điều kiện của bài toán và
hai tiếp tuyến tơng ứng là vuông góc với nhau.
36. Cho hai hàm số
1
2
x
y = và
2
2
x
y = . Viết PTTT với các đồ thị của hai hàm số tại các giao điểm của
chúng. Tìm góc tạo thành giữa hai tiếp tuyến trên.

37. Cho
2 3
2
x
y
x

=

, có đồ thị (C). Tìm các điểm có toạ độ nguyên của (C) và viết PTTT tại các điểm đó.
(ĐH CSNDII 01)
NGUOIDIEN-ONTHI Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
_______________________________________________________________________________________
38. Cho

x x
y
x
, có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục tọa độ tại
hai điểm A, B và tam giác OAB vuông cân tại O.
41. Cho hàm số =
+
1
1
y x
x
, có đồ thị (C). Tìm tất cả các cặp điểm trên (C) mà các tiếp tuyến tại đó song
song với nhau. (ĐH Huế A00)
42. Cho hàm số = + +

1
1
1
y x
x
, có đồ thị (C). Tìm những điểm trên (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp
tuyến tại điểm đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất. (ĐH QGHNA00)
43. Cho hàm số
+
=

2
2 3
2
x x m

45. Cho hàm số
+
=

2
8
x mx
y
x m
. Xác định m để đồ thị hàm số cắt Ox tại 2 điểm phân biệt mà tiếp tuyến tại
hai điểm đó vuông góc với nhau. (ĐH CSND G00)
46. Cho hàm số
2
2 (6 )
2
x m x
y
mx
+
=
+
, có đồ thị (C). CMR tại mọi điểm của (C) tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm
cận một tam giác có diện tích không đổi. (HV QY-2001)
47. Cho hàm số
+
=
3
1
x
y

= +
3
3 1
y x x
. Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm
-2
A ;3 .
3
(ĐH SP Quy Nhơn-D99)
3. Cho
= +
3 2
2 3 1
y x x
, có đồ thị (C). Qua điểm A(0;-1) viết các PTTT với (C). (ĐH DL Đông Đô-A00)
4. Cho hàm số
3 2
y x x
= +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
(
)
2; 4
N

.
5. Cho hàm số

y x x x

= +
, có đồ thị (C). Tìm toạ độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C)
tại M đi qua gốc toạ độ. (ĐH Công Đoàn 01-02)

NGUOIDIEN-ONTHI Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
_______________________________________________________________________________________
10. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= +
. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(0;3)? Viết PTTT đó.
(ĐH DL Kĩ Thuật Công Nghệ-D2001)
11. Cho hàm số
3
3 2 (C)
y x x
= +
. Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm A(-2;0). (CĐSP Hà Nam-05)
12. Cho
3 2
2 3 5
y x x
= +
, có đồ thị (C). CMR từ điểm A(1;-4) có ba tiếp tuyến với (C). (PV BCTT-01)
13. Cho
3 2
3 4


có ba tiếp tuyến với (C).
17. Cho hàm số
1
4 2
2 1
2
y x x
= +
, có đồ thị (C). Chứng minh rằng qua điểm
(
)
0;1
M có ba tiếp tuyến của
đồ thị (C). Viết phơng trình các tiếp tuyến đó.
18. Cho hàm số
3 2
3
y x x
= , tìm trên đờng thẳng x = 2 những điểm từ đó có thể kẻ đúng ba tiếp tuyến đến
đồ thị (C) của hàm số.
19. Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= +
, có đồ thị (C). Tìm các điểm trên (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ một
tiếp tuyến với (C).
20. Cho hàm số
3 2

0;
T
. (ĐH CSND-A00).
22. Cho hàm số =
1 1
4 2
2 2
y x x
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) đi qua gốc tọa độ. (ĐH Kiến Trúc HN 99)
23. Cho hàm số
2 5
2
x
x
y


= , có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó đi qua điểm
(
)
2;0
Q .
24. Cho
+
=

2
2
x
y

2
x x
y
x
, có đồ thị (C). Viết (C) của (C) biết nó đi qua điểm A(1;1). (ĐH Đà Lạt
D99)
28. Cho hàm số
+ +
=
+
2
2 2
1
x x
y
x
, có đồ thị (C). CMR có hai tiếp tuyến của (C) đi qua A(1;0) và vuông góc với
nhau. (Dợc HN 99)
NGUOIDIEN-ONTHI Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
_______________________________________________________________________________________
29. Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ +
=
+

+ +
=
+
, có đồ thị (C). Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(-1;0) và tiếp xúc với (C).
33. Cho hàm số
1
y x
x
= +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết nó đi qua điểm M(-1;7)
34. Cho hàm số
1
2
1
y x
x
= + +
+
, có đồ thị (C).
a. CMR với mọi
2
a

và
1
a

từ điểm A(a;0) luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C).
b. Với giá trị nào của a thì hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau. (CĐSP Quảng Bình 05)
35. Cho hàm số

. Tìm các giá trị của m sao cho từ điểm M(2;-1) có thể kẻ
đến
(C )
m
hai tiếp tuyến khác nhau. (CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long-A,B05)

Viết PTTT biết hệ số góc
1. Cho hàm số
3 2

.
4. Cho hàm số
+
=
+
2 1
1
x
y
x
. Viết PTTT với (C), biết nó song song với đờng thẳng y=-x. (ĐH Đà Lạt-D00)
5. (HV CNBCVT-2000) Cho hàm số
2
1
1
x x
y
x

=
+
. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song
với đờng thẳng y=-x
6. Cho

=
+
2
1
1

.
9. Cho
= +
3
3 2
y x x . Viết PTTT của (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng
1
9
y x
= . (ĐH Cần Thơ-D00)
10. Cho hàm số
= +
3 2
3 2
y x x , có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng
thẳng 5y-3x+4=0. (ĐH Nông NghiệpI-B99)
11. Cho hàm số
1
3 2
2 3 1
3
y x x x
= + +
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó vuông góc với đờng thẳng
8 16 0
x y
+ =
.
12. Cho hàm số
1 2

.
g. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết nó vuông góc với
1 19
24 8
y x= +
.
14. Cho hàm số
= + + +
3
( 1) (2 1) 1
y m x m x m , có đồ thị
(C )
m
. (ĐH SP Vinh-A99)
a.CMR với mọi m đồ thị hàm số đ cho đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng
b.Với giá trị nào của m thì
(C )
m
có tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng đi qua 3 điểm cố định trên.

15. Cho hàm số
= + +
4 2
( 1)
y x mx m , có đồ thị
(C )
m
.
a. Tìm các điểm cố định của
(C )

= + + +
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
c. Xác định k để trên (C) có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng
.
y kx
=

18. Cho hàm số
2
2
x
y
x

=
+
, có đồ thị (C). Lập PTTT với (C) biết nó song song với phân giác của góc phần t
thứ nhất tạo bởi các trục toạ độ.
19. Cho hàm số
2
3 1
2
x x
y
x
+
=


y x x
=
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết các tiếp tuyến
đó song song với đờng thẳng y=9x+1
22. (CĐ MGTWI-2000) Cho hàm số
3
2
1
y
x
= +

. Viết phơng trình các tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết các
tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-3x+1
23. (ĐH DL Hải Phòng-A2000) Cho hàm số
3 2
3 2
y x x
= +
. Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm
số, biết các tiếp tuyến ấy vuông góc với đờng thẳng
3
x
y
=

24. (ĐH Ngoại Ngữ-2001) Cho hàm số
3
1 2
(C)

=

. Tìm trên đồ thị (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị
tại A vuông góc với đờng thẳng đi qua A và qua tâm đối xứng của đồ thị
27. (ĐH AN-D2001) Cho hàm số
3 2
3
y x x
=
. Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số trên, biết
rằng tiếp tuyến ấy vuông góc với đờng thẳng
1
3
y x
=
28. (ĐH Đà Lạt-AB2001) Cho hàm số
2
2 3
(C)
1
x x
y
x
+
=

. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-x
NGUOIDIEN-ONTHI Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
_______________________________________________________________________________________

32. (CĐ SP Hải Phòng-2004) Cho hàm số
3
3
y x x
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết
tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y=-9x
33. (CĐ Công Nghiệp HN-2004)
3 2
3 2
y x x
= +
. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp
tuyến đó song song với đờng thẳng y=-9x
34. (CĐ Kinh Tế Kế Hoạch Đà Nẵng-2004) Cho hàm số
2
1
(C)
1
x x
y
x
+
=

. Viết phơng trình các tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (C) vuông góc với tiệm cận xiên
35. (CĐ-AB2005) Cho hàm số
2
2 2

+ =

37. (ĐH AN-A99) Cho hàm số
2
9
(C)
1
x x
y
x
+
=

. Viết phơng trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số (C) và tiếp xúc với đờng thẳng 2x-y-10=0
38. (ĐH AN-DG99) Cho hàm số
3 2
3 4
y x x
= +
. Viết phơng trình parabol đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số và tiếp xúc với đờng thẳng y=-2x+2
39. (ĐH Tây Nguyên-D2000) Cho hàm số
3 2
3 1
y x x
= + +
. Đờng thẳng (d) có phơng trình y=5 tiếp xúc với
đồ thị tại điểm A và cắt tại điểm B. Tính tọa độ điểm B
40. (ĐH DL Đông Đô-A2001) Cho hàm số

2
( 1)( )
y x x mx m
= + +
. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số
tiếp xúc với Ox. Xác định toạ độ của tiếp điểm trong mỗi trờng hợp của m
44. (CĐ SPHN-D
1
2001) Cho hàm số
3 2
m
3 1 (C )
y x x m
= +
. Tìm k để đờng thẳng (d): y=k(x-2)+m-5 là
tiếp tuyến của đồ thị (C
m
)
45. (ĐH CĐ-D2002) Cho hàm số
2
(2 1)
(C)
1
m x m
y
x

=

. Tìm m để đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với đờng

+
. CMR
1
m

các đờng (C
m
)
tiếp xúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định. Xác định đờng thẳng cố định đó
49. (ĐH Thái Nguyên-D2000) Cho hàm số
3 2
m
3 3 3 4 (C )
y x x mx m= + + +
. Với giá trị nào của m thì đờng
NGUOIDIEN-ONTHI TiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè
_______________________________________________________________________________________
cong (C
m
) tiÕp xóc víi Ox