Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a)
1
.16 2
8
n n
=
; => 2
4n-3
= 2
n
=> 4n – 3 = n => n = 1
b) 27 < 3
n
< 243 => 3
3
< 3
n
< 3
5
=> n = 4
Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm)

1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
+ + + +
=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)
( ).

3
Thì
2x3x2 +=+
=> - 2x - 3 = x + 2 => x = -
3
5
(Thoả mãn)
+ Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =
x20072006x −+−
Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006
≤
x
≤
2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1.
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006
≤
x
≤
2007
Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đường thẳng. (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên
một đường thẳng, ta có:
x – y =

(giờ)
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một
đường thẳng là
11
4
giờ
Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia
MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I
vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4
điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI tại F

∆
ABM =
∆
DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt),

·
AMB
= DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => ID
⊥
AC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) =>
∆
CAI =
∆

6 3
12 6 12 5 9 3 9 3 3
9 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5
9 3 3
10 3
12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7
2 .3 . 3 1
5 .7 . 1 2
5 .7 . 6
2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
− − − −
= − = −
+ +
+
+
− −
= −

n
)
Vậy
2 2
3 2 3 2
n n n n+ +
− + −
M
10 với mọi n là số nguyên dương.
a) (2 điểm)
( )
1
2
3
1
2
3
1 7
2
3 3
1 5
2
3 3
1 4 2 1 4 16 2
3, 2
3 5 5 3 5 5 5
1 4 14
3 5 5
1
2

( ) ( )
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
x x
x
x x
x x
+ +
+
− − − =
 
⇔ − − − =
 

( )
( )
( )
1 10
1
10
7 0
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1 8
7 1 7 0
10
x
x

Theo đề bài ta có: a : b : c =
2 3 1
: :
5 4 6
(1)
và a
2
+b
2
+c
2
= 24309 (2)
Từ (1)
⇒
2 3 1
5 4 6
a b c
= =
= k
⇒
2 3
; ;
5 4 6
k
a k b k c= = =
Do đó (2)
⇔
2
4 9 1
( ) 24309

2
.c a b=
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a a b
b c b a b
+ +
=
+ +

=
( )
( )
a a b a
b a b b
+
=
+
a/ (1điểm) Xét
AMC∆
và
EMB∆
có :
AM = EM (gt )
·
AMC
=

(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE . 0,5 điểm
b/ (1 điểm )
Xét
AMI∆
và
EMK∆
có :
AM = EM (gt )
·
MAI
=
·
MEK
( vì
AMC EMB
∆ = ∆
)
AI = EK (gt )
Nên
AMI EMK∆ = ∆
( c.g.c )
Suy ra
·
AMI
=
·
EMK

Mà

o
·
HBE⇒
= 90
o
-
·
HBE
= 90
o
- 50
o
=40
o

·
HEM⇒
=
·
HEB
-
·
MEB
= 40
o
- 25
o
= 15
o


Do đó
·
0 0
20 : 2 10DAB = =
b)
∆
ABC cân tại A, mà
µ
0
20A =
(gt) nên
·
0 0 0
(180 20 ): 2 80ABC = − =
∆
ABC đều nên
·
0
60DBC =
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra
·
0 0 0
80 60 20ABD = − =
.
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết
a 4≤
0
≤

a 4≤

9
11
−
Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
9 7 9
10 11x
− −
< <
=>
63 63 63
70 9 77x
< <
− −
=> -77 < 9x < -70. Vì 9x
M
9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là
7
8
−
Câu 3. Cho 2 đa thức
P
( )
x
= x
2
+ 2mx + m
2

Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
=
x y
a / ; xy=84
3 7
=>
2 2
84
4
9 49 3.7 21
x y xy
= = = =
=> x
2
= 4.49 = 196 => x =
±
14
=> y
2
= 4.4 = 16 => x =
±
4
Do x,y cùng dấu nên:
• x = 6; y = 14
• x = -6; y = -14
= =
1+3y 1+5y 1+7y
b/
12 5x 4x
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
• A =
1+x
+5
Ta có :
1+x

≥
0. Dấu = xảy ra
⇔
x= -1.

⇒
A
≥
5.Dấu = xảy ra
⇔
x= -1.
Vậy: Min A = 5
⇔
x= -1.
• B =
3
15
2
2
+
+
x
x

3
12
2
+x

≤

3
12

⇒

3
12
2
+x

≤
4
⇒
1+
3
12
2
+x

≤
1+ 4
⇒
B

0
=> DC
⊥
BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
=> D
1
= MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D
1
= MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180
0
( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 180
0
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3). Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H. Từ E hạ EP
⊥
MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 90
0

3
2
+
++
a
aa
là số nguyên khi
1
3
+a
là số nguyên hay
a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
a+1 -3 -1 1 3
a -4 -2 0 2
Vậy với a
{ }
2,0,2,4 −−∈
thì
1
3
2
+
++
a
aa
là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25




=−
−=−
1
1
112
121
y
x
x
y
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra
d
c
b
a
=
( ĐPCM
0,5
0,5
3.b
Giả sử số có 3 chữ số là

0,25
0,5
4
B C
D
H
A
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =60
0
do đó CDH = 30
0
Nên CH =
2
CD

⇒
CH = BC
Tam giác BCH cân tại C
⇒
CBH = 30
0

⇒
ABH = 15
0
Mà BAH = 15
0
nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45
0

1/ a)
41
1
2
41
1
11
41
1
)
35
4
5
2
7
5
()
6
1
3
1
2
1
( =++=+++++
b) A= 2009 -
)
2010.2009
1
2009.2008
1

= 2009 -
2010
2009
2009)
2010
1
1( =
2/
2
x
+ 2
x+3
= 144 => 2
x
(1+2
3
) = 144=> 2
x
= 16
2
x
= 2
2
=> x = 4
b)
120102009 =+ xx
=>
120102009 =+ xx
Ta lại có
12010200920102009 =++ xxxx

c
a
c
a
d
b
c
a
===>=
Hay
cd
ab
d
c
b
a
==
2
2
2
2

Ta lại có
22
2
2
2
2
2
2

=
+
+
====
Hay
22
2
2
2
811
37
811
37
dc
cdc
bca
aba

+
=

+
b) Gọi các phan số cần tiìm là
f
e
d
c
b
a
;;

24
295
12
59
24
7
12
=====>
==>==>=++
f
e
d
c
b
a
p
k
p
k
f
e
d
c
b
a
Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng
24
7
12
4/ Ta có 2

0
=> BIC = 120
0
c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB đều nên IB = BJ (1)
Xét tám giác IAB và tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt)
B
1
= B
2
( B
1
+ B
3
= B
2
+ B
3
= 60
0
) Vậy tam giác
IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2)
Từ (1) và (2) => IA + IB = ID
d) J nằm giữa I và D, IAB = JBD => AIB + DJB = 120
0
D
K
J
C
I
E