I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Các bài toán về tiếp tuyến ý nghĩa bài toán tiếp tuyến:
- Bi vit đề cập đến các bài toán về tiếp tuyến của đờng cong
( )
y f x
=
. Và lời
giải cho các bài toán này đợc dựa trên ý nghĩa hình học của đạo hàm là:
- Đờng cong
( ) : ( )
C y f x
=
có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
0
x
khi và chỉ
khi hàm số
( )
y f x
=
khả vi tại
0
x
. Trong trờng hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có
hành độ x
0

0 0 0
'( )( - ) ( )
y f x x x f x
= +

Từ đó có:
* Hệ quả 1: Đờng cong y f(x) tiếp xúc với trục hoành tại x
0
khi và chỉ khi
0 0
( ) '( ) 0
f x f x
= =

* Chứng minh:
Trục hoành (y = 0) là đờng thẳng có hệ số góc bằng 0
0
'( ) 0
f x
=
. Mặt
khác, điểm trên trục hoành (tiếp điểm) có tung độ bằng 0
0
( ) 0
f x
=0 0
( ) '( ) 0

(Các bạn hãy thử liên hệ với nghiệm kép xem sao)?
x
0
đợc gọi là nghiệm bội d của đa thức P(x) nếu:

( ) ( ) ( )
( )


=




0
0
d nguyên dơng
0
d
P x x x g x
g x

- Nếu d = 1 x
0
: nghiệm đơn
- Nếu d = 2 x
0
: nghiệm kép
Nh vậy, đa thức P(x) nhận a làm nghiệm bội k nếu và chỉ nếu


tiếp xúc với trục hoành
tại
( ) '( )
x P x P x
= =
0 0 0
0
. Điều đó tơng đơng
x
0
là nghiệm bội lớn
hơn hoặc bằng 2 của đa thức
( )
P x
.
- Nh vậy chúng ta lập tức có hệ quả sau:
* Hệ quả 3: Với
( )
P x
là một đa thức bậc dơng thì đờng cong
y ( )
P x
=
0

tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi
( )
P x
có nghiệm bội lớn hơn hoặc
bằng 2.



3
[
x
x m
=
=

Thay x = 3 vào (1) m =
35
27

Thay x = m vào (1)
, - ,
m m m = = = +
1 4 2 6 4 2 6

Vậy các giá trị cần tìm của m là
; ; - ;
m

+35
1 4 2 6 4 2 6
27

2. Ví dụ 2:


y
=
0
có nghiệm
bội 2
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Điều này xảy ra
( )
f x

nhận -1 hoặc 3 làm nghiệm hoặc
( )
f x
có dạng tam thức
bậc hai và có nghiệp kép.
Từc là:
(- )
( )
' ( - ) -

f
f
m m
m


=


=




=





+


=




5 0
15 3 0
5 21
2
5 21
2m
=


3. Ví dụ 3:
Cho hàm số:
(
)
+ +
=
+
2
3 1
m x m m
y
x m
(C), m là tham số lấy mọi giá trị thực 0.
Với những giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành, tiếp
tuyến của đồ thị sẽ song song với đờng thẳng
10
y x
+ =
. Viết phơng trình
tiếp tuyến đó.
Giải
TXĐ: R-{-m}
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm của phơng trình:
2
(3 1)
0
m x m m
x m
+ +



+ = + =






(*)
Giải điều kiện x m có:
2
2 2
3 1
3
0
m m
m
m
m m m m
m


+
(luôn đúng)
( )
*

4 4
' '
( ) 3 1
3 1
m m m m
y y
x m m
m m
m
m

= =
+

+


Do tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Ox sẽ song song với
10
y x
+ =
nên có:
2
2

( , ); ( , )
A B
3
1 0 0
5

Phơng trình tiếp tuyến là:

y x
= +
1
(qua A)
3
5
y x
=
(qua B)

I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
4. Ví dụ 4:
Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ > 1 sao cho tiếp tuyến tại điểm dó
tạo với 2 đờng tiệm cận một có chu vi nhỏ nhất.
Với hàm số = + +

1
1
1
y x

= +
1
vì
lim( 1) 0
x
y x

=

- Toạ độ giao điểm hai đờng tiệm cận: I (1,2)
Xét
(
)
(
)
(
)
,
M a y a C với a>1. Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng.
( ) : - ( ) '( )( - )
d y y a y a x a
=
hay
( )
2 2
2
2
: ( )
( 1) 1
a a a

= +
=











2 2
2
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1

Toạ độ giao điểm B của (d) và tiệm cận xiên là nghiệm hệ.
( )
( )
y x

(
)
,
B a a

2 1 2

2 2
2
1 1
A I
a
AI x x
a a
= = =2 2 2 2
( ) ( ) (2 2) (2 2) 2 2 1
B I B I
BI x x y y a a a
= + = + =

I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
2 2 2 2 2
2 . cos - 2AI.BI
4
AB AI BI AI BI AI BI

4 2 4 2
AI BI a a
a
M
= = = +

+ + + Chú ý:
1. Mở rộng khái niệm nghiệm bội của đa thức, ngời ta đa ra khái niệm nghiệm
bội k của hàm f(x) nh sau:
Hàm f(x) nhận a làm nghiệm bội k nếu nh
(
)
( 1)
( ) '( ) 0
k
f a f a f a

= = = =

và
( )


A

d

2

1

2

3

4

x=1

I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Hay đờng cong y =
x
không tiếp xúc với trục hoành tại 0 tức phơng trình
x
= 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2, tuy nhiên phơng
trình tơng đơng của nó:
3
0
x
=

Các tiếp tuyến cần tìm:
'( )( - ) ( )
j j j j
D f t x t f t
= +
;
1,
j n
=

b. Ví dụ:
1. Ví dụ1: Hãy tìm các tiếp tuyến của đờng cong
2
3 1
5
x x
y
x
+
=

(C)
đi qua điểm I(1,1).
Giải:
TXĐ: R-{5};
Có
2
2
10 14
'

( 5)
t t t t
t
t
t
+ +
+ =



I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
2
1 33
8 0
2
5
1 33
2
t
t t
t
t

+
=


+ =

1
2 2
( 11 33) 11 33
y x
= + +
2. Ví dụ 2: Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3 2
2 1
y x x x
= +

qua điểm M(2,m).
Giải:
Số các tiếp tuyến qua M(2,m) chính là số nghiệm của phơng trình
2 3 2
3 2
2
'( )(2 ) ( )
(3 4 1)(2 ) 2 1
( ) 2 8 8 1


'( )
f t

- 0 + 0 -
( )
f t

+

-1

91
27

-
Số nghiệm của phơng trình f(t) = m chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số
y =f(t) và y = m
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Nh vậy:

1
*
91
27

có 3 tiếp tuyến qua M.
3. Ví dụ 3: Cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+
=


Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ A(3,0)
(Đề tuyển sinh năm 1996)
Giải
* TXĐ:
{
}
\ 1; 1
R


* Đờng thẳng x = 3 qua A không là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phơng trình tiếp tuyến qua A(3,0) có dạng
( ) : ( -3)
d y k x
=

(d) tiếp xúc với đồ thị hàm số




TH1: x 0, hệ có dạng :

2
2
2 2
( 3)
1
'
2 2
1
x x
k x
x
x x
k
x

+
=





+

=



+ +

=Với k =
1 17
8

(d
2
) y =
1 17
8

(x-3)
k =
1 17
8
+
(d
3
) y =

x
y
x x
+
= +
+ +
. Giả sử tiếp điểm là M (x
0
, y
0
). Khi đó phơng trình
tiếp tuyến có dạng
0 0 0
( ) : ( ) '( )( )
d y y x y x x x
=

(d):
2
0
0 0 0 0
2
0 0
4 1
1 ( ) 4 2 1
4 2 1
x
y x x x x x
x x


+ Tìm
điều kiện b ta tìm miền giá trị y =
2
1
4 2 1
x
x x
+
+ +

* Miền xác định: R
* y =
2 3
3
( 4 2 1)
x
x x

+ +I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
x


0 +



Cho hai đờng cong (C): y = f(x) và (D): y = g(x)
Hãy tìm tất cả các tiếp tuyến chung của (C) và (D).
Giải
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của (C) và (D)
(T) tiếp xúc với (C) và (D) lần lợt tại các điểm có hoành độ u và v. Khi đó:
( ) : '( )( - ) ( )
T y f u x u f u
= +

Và
( ) : '( )( - ) ( )
T y g v x v g v
= +

Hệ
'( ) '( )
( ) '( ) ( ) - '( )
f u g v
f u uf u g v vg v
=


=


Giả sử
(
)
,
j j

2
1 1
2
y x x
y x
= + +
=

Giải:
Giả sử (T) là tiếp tuyến chung của hai đờng cong trên.
(T) Tiếp xúc với (1) tại điểm có hoành độ u
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
(T) Tiếp xúc với (2) tại điểm có hoành độ v
Khi đó:
3
2
( ) : '( )( - ) ( ) ( ) 1
( ) : '( )( - ) ( ) ( )
T y f u x u f u với f x x x
T y g v x v g v với g x x
= + = + +
= + =

Có hệ :
'( ) '( )
( ) . '( ) ( ) . '( )
f u g v
f u u f u g v v g v



+ =



Thế v =
2
3 1
2
u
+
từ (3) vào (4):
2
2
3
3 1
-2u +1=
2
u

+4 3 2
9 - 8 6 5 0 (*)
u u u

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952

( ) : '( )( - ) ( )
( ) : '( )( - )+ ( )
T y f u x u f u
T y g v x v g v
= +
=

Nh vậy
'( ) '( )
( ) . ( ) ( ) . '( )
f u g v
f u u f u g v v g u
=


=
2 2
2 1 2 1
(2 1) (2 1)
u mv
u u u u mv v m v mv
+ = +


+ + = + +

m 1 (3) có hai nghiệm phân biệt
(A), (B) có hai tiếp tuyến chung.
Kết luận:
m = 0
m = 1 Không có tiếp tuyến chung của (A) và (B)
m 0
m 1 Có 2 tiếp tuyến chung của (A) và (B)
Nhận xét:
Đối với dạng toán thứ 3 này, đôi khi hệ phơng trình cần giải khá phức tạp thậm
chí không giải đợc. Có lẽ đó là nguyên nhân khiến chúng ta ít gặp trong toán sơ cấp.
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
II. Các bài toán áp dụng:
Bài 1: Xác định a để đồ thị hàm số:
3 2 2
(2 7 7) 2( -1)(2 - 3) ( )
y x ax a a x a a C
= + +

Tiếp xúc với trục hoành.
Giải
Đặt
3 2 2
2
( ) (2 7 7) 2( -1)(2 - 3)
( ) ( 2)( ( - 2) ( 1)(2 3)) ( 2) ( )
f x x ax a a x a a
f x x x a x a a x g x
= + +



= + =

=



+ =


=


=



=


=


=



Vậy với a = -1 hoặc a =
5





( ) ( )
A Cm dI HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) là nghiệm phơng trình
3 2
3 2
2
2
1 1
0
( 1) 0
0
1 0
x mx x
x mx x
x x mx
x
x mx
+ + =
+ + =
+ + =
=

*
. 1
B C
B C
x x m
x x
+ =


=


Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C có hệ số góc lần lợt là:
f(x
B
) và f(x
C
)
Để hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau thì cần và đủ:
2 2
2
'( ). '( ) 1
(3 2 )(3 +2 ) 1
(3 2 )(3 2 ) 1
(9 6 ( ) 4 ) 1
B C
B B C C
B C B C
B C B C B C
f x f x

x m
+
=

Với những giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0
vuông góc với tiệm cận.
Giải- TXĐ: R \
4
m


I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952

y' =
2 2 2
2 2
(4 )( 6 ) 4( 3 4) 12 6 16
(4 ) (4 )
x m x m x mx x mx m
x m x m
+ + + + +
=
+ +

y(0) =

2
16
1
m
m

=

2
2
3 16
. 1 48 0
4
m
m
m
2

= + =
(vô nghiệm m)
Vậy tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc với tiệm cận đứng khi
m = 4.
Bi 4: Cho hàm số y =
2
2 1
1
x x
x
+


2 2
0
2
2 2 ( 2)
0
( 1) ( 1)
x
x
x x
x x
=


=


= = Tiệm cận đứng: x = 1
Tiệm cận xiên: y = 2x + 1
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Bảng biến thiên
x


0 1


0
( 45 ) 1
tg
=
)
Gọi M (x
0
, y
0
) là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 này với đồ thị. Ta có:
1 = y(x
0
) =
2
0
2
2
( 1)
x



0
0
1 2
2
1
3
x
x

0

-
1

1

2

1

3

7

y

y=2x+1

x=1

x

I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Cho A(0, a). Xác định a để từ A kể đợc 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp điểm
tơng ứng nằm về 2 phía i với 0x.
Giải
TXĐ : R-{1}

( )
1
' 0 2
' 3 2 0
1 1
a
a
a
a a


> >
= + >

Gọi x
1
, x
2
là hoành độ điểm tiếp xúc

4

1
a






=



( )
2
2
( 2)( 1) 3 ( 1)
1
( 1) 2( 2) 2 0 (3)
*
1
x x x a x
x
a x a x a
x

+ = +




+ + + =



+ =


=

Thay vào (5)

5 4
1
t
t
+
+
< 0
4

5
1
t
t

<


>


* t <
4
5

+

> 1
3
1
a

> 0 a > 1 (Thoả mãn a > -2 và a 1)
Vậy với
4

5
1
t
t

<


>

thì bài toán thoả mãn
Bi 6: : Trong không gian cho đờng thẳng (m)
2mx + (1 m
2
)y (1 + m
2
) = 0
z 0
Chứng minh rằng khi m thay đổi (m) luôn tiếp xúc với đờng tròn ( C ) c định

= 0; y
0
= 0; z
0
= 0
d(M
0
, m) = 1 m
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
m luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định (0; 1) trong Oxy vì M
0
luôn cách m
một khoảng không đổi là 1.
Bi 7: Cho hàm số y
2
2
1
x x
x
+
+
. Tìm những điểm trên đờng thẳng y= 1 mà từ
mỗi điểm ấy chỉ kẻ đợc đúng một tiếp tuyên đến đồ thị hàm số.
Giải
* TXĐ:
{
}
\ 1

+



2
1
2 1 ( 1) 1
1
1
2
( 1)
x k x k ka
x
x k







+ = + +
+

+ =

( ) ( )
2
2
1 4 ( 1)



+
=
+ = + + +
+
+ +

+
=
=
+

(*)
2 2
( ) ( 1) 4(2 1) 8 0
f k a k a k
= + + + =
(1)
+ a = - 1 k = - 2 thoả mãn A
1
(-1, 1)
+ a - 1. Từ A kẻ dc đúng 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm s khi (1) có nghiệm kép
khác
4
1
a
+
hoặc hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm là
4

I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
3 2 3 2
1 1 1 2 2 2
2 2
1 2
(2 1) 1 (2 1) 1
( )( 2 1) 0 ( 1) 0 (1)
x m x m x m x m x m x m
m m x x x
+ + + = + + +
+ = =
III. mở rộng vấn đề:
- ở những phần trên chúng ta chỉ xét tiếp tuyến với đồ thị hàm số có dạng một
đờng thẳng. Nếu bây giờ thay đờng thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số cho trớc
là một đờng cong, thì bài toán về các đờng cong tiếp xúc nhau liệu có gì khác
những bài toán mà ta đang xét ở trên hay không?
- Cho 2 hàm số:
y = f(x
1
) có đồ thị (C
1
)
Và y = g(x) có đồ thị (C
2
)
Phơng trình hoành độ giao điểm
(C
1

có nghiệm

'( ) '( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm

* Dễ dàng thấy nếu (C
1
) tiếp xúc với (C
2
) thì chúng sẽ có tiếp tuyến chung
tại điểm tiếp xúc đó.
- Để thấy đợc ý nghĩa của bài toán tiếp xúc của 2 đờng cong chúng ta sẽ
có những bài toán nh: chứng minh họ đờng cong tiếp xúc nhau, chứng minh
một họ đờng cong cho trớc luôn có một đờng không đổi tiếp xúc với nó.
Dạng 1: Chứng minh (tìm) đờng thẳng, đờng cong luôn tiếp xúc với đồ
thị cho trớc với điều kiện ta đã biết dạng đờng cần tìm.
Bài 1: Chứng minh rằng họ đờng cong (Cm) của hàm số
(
)
3 2
(2 1) 1
y x mx m x m f x


+ + = + +


=

1 2 1 2
2
2( ) 2( ) 0
1
( 1) 0
m m x m m
x
x
=

=

=


Hệ phơng trình
1 2
1 2
'( ) '( )

( ) ( )

- 1, đồ thị hàm số (1) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng
cố định tại 1 điểm cố định.
Giải: Trớc hết ta phải tìm điểm cố định A (x
0
, y
0
) sao cho (1) qua A với

m

- 1. Khi đó:

2
0 0
0
0
2 (1 ) 1
1
x m x m
y m
x m
+ + +
=
2
0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0





Dễ thấy với

m

-1 thì (1) luôn qua (-1, -2).
Mặt khác:
2 2
2
2 4 2 1
'( )
( )
x mx m m
y x
x m
+
=



2
2
( 1)
'( 1) 1 1
( 1)
m
y m

luôn không tiếp xúc với đồ thị hàm số.
- Giả sử y = ax + b là đờng tiếp xúc với (cm)

m

0.
Khi đó hệ
2
( 1)
( )
( 1)
m m m
a
x m
m x m
ax b
x m







+
=
+
+ +
= +
+


( )
2 2 2
2 2
0
( 1) 2( 1)( 1) ( 1) 0 m
( 1) ( 1) ( 1) 0
a
a m a b m b
am a m b m m b



= + + =


+
2
2
2 2
0
( 1) 0
a=1
2( 1)( 1) 0
b=1
( 1) 0
2 0


0.
Vậy

m

0 đồ thị luôn tiếp xúc với đờng thẳng y = x + 1 cố định

Bài 4: Cho đồ thị (Cm) của hàm số,

2
( 2) ( 2 4)
m x m m
y
x m
+
=

(m: tham số).
Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn tiếp xúc với 2 đờng thẳng cố định.
Giải:
TXĐ: R\ m
I HC S PHM H NI

Gv: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952
Trớc hết là ta có nhận xét không có đờng thẳng nào song song với 2 trục là tiếp
tuyến của đồ thị (Cm)
Vì thế ta xét tiếp tuyến (Cm) có dạng: y = kx + b (k

0) (d)


m



2 2
+
( 2) ( 1) ( 2) 4 0
x m
kx b m k x m b m




+ + + + + =
có nghiệm kép.


kx
2
+
2
( 2) ( 1) ( 2) 4 0
b m k x m b m





=
+ + + + =


( )( )
( )
( )( )
2
0
1 0
1
1; 6

2 1 2 0
6 2 0
1; 2
2 16 0
k
k
k


Bài 5: cho hàm số

2 2
sin sin
: tham số

k , k Z
x cos x cos
y
x cos

+ + +
=
+