Đ1 phơng trình lợng giác cơ bản
(1). Phơng trình lợng giác cơ bản có một trong các dạng dới đây:
(1). cos u = cos v



u = v + k2
u = v + k2
(2). sin u = sin v



u = v + k2
u = v + k2
(k Z)
(3). tan u = tan v





u = v + k
u =

2
+ m
(4). cot u = cot v





5
) = sin 3x
(3). sin(2x

4
) + sin x = 0 (4). cos 4x + sin x = 0
Bài giải:
Phơng trình thứ nhất có phơng trình dạng cos u = cos v nếu chuyển vế, do vậy ta giải nh sau
(1) cos(x

3
) = cos 2x cos(x

3
) = cos( 2x)




x

3
= 2x + k2
x

3
= + 2x + k2




3x + k2
x +

5
= 3x

2
+ k2




x =
3
40
+
k
2
x =
7
20
+ k
(k Z)
Phơng trình thứ ba có dạng sin u = sin v nếu chuyển vế, do vậy ta giải nh sau
1
(3) sin(2x

4
) = sin x sin(2x


(4) cos 4x = sin x cos 4x = cos(

2
+ x)




4x =

2
+ x + k2
4x =

2
x + k2




x =

6
+ k
2
3
x =

10
+ k

= 2x + k x =
4
9
+
k
3
(k Z)
Đối với các học sinh trung bình, yếu thì chúng ta có thể chấp nhận nghiệm của phơng trình đã
cho đợc ghi dới dạng x =
4
9
+
k
3
, x = m

2
với m, k Z. Còn với các học sinh khá giỏi hơn
chúng ta cần phải làm thêm một bớc sau gọi là "loại nghiệm" trong phơng trình lợng giác.
Xét phơng trình vô định nghiệm nguyên sau đây
4
9
+
k
3
= m

2
8 + 6k = 9m k = m 1 +
3m 2

điểm tối đa chắc chắn phải làm đợc bớc loại nghiệm.
Phơng trình thứ hai có dạng tan u = tan v, nếu chuyển vế do vậy chúng ta thực hiện các
bớc nh sau
Điều kiện để phơng trình có nghĩa x =

2
+ m, m Z(). Với điều kiện này
(2) tan 3x = tan x tan 3x = tan(x)
3x = x + k x = k

4
Xét phơng trình vô định nghiệm nguyên sau đây
k

4
=

2
+ m k = 4m + 2; m, k Z()
Ta thấy: Phơng trình () có nghiệm k = 4m + 2, m Z vậy trong họ nghiệm x = k

4
(k Z)
đã có những nghiệm "vi phạm" điều kiện nếu k = 4m + 2, m Z. Do vậy kết luận nghiệm của
phơng trình (2) là x = k

4
, k = 4m + 2; m, k Z.
Nhng đôi khi chúng ta thấy kết luận nh trên vẫn cha "rõ ràng" và cha thấy đợc việc giải
phơng trình vô định thực sự để làm gì vậy thì ta hãy tham khảo đề bài tập: Tính tổng các nghiệm

, x = 7

4
và có tổng S
1
= 5. Vậy tổng S =
2009.2010
2
5 +
2008.2009
2
6.
Phơng trình thứ ba: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là x = m, m Z() với điều kiện
này ta giải phơng trình nh sau
3
(3) tan(2x

4
) =
1
cot x
= tan x 2x

4
= x + k x =

4
+ k, (k Z)
Kiểm tra điều kiện ta thấy các nghiệm của họ này đều thỏa mãn, vậy nghiệm của phơng trình là
x =


8
+ k

4
, (k Z).
Kiểm tra điều kiện thấy rằng các nghiệm của họ nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy nghiệm của
phơng trình là x =

8
+ k

4
, (k Z).
(4). Phần bài tập tự giải:
Bài 3: Giải các phơng trình:
(1). cos 3x = cos 120
0
(2). cos
2
x =
1
4
(3). sin(x + 2) =
1
3
(4). cos(4x + 30
0
) =


3
(5). tan(x 15
0
) tan(x + 15
0
) = 1 (6). sin x + tan x = 0
(7). cos 2x + sin x = 2 (8). cot(2x 1) + tan(2x 1) = 2
4
Đ2 phơng trình bậc cao đối với một hàm số lợng giác
Nhiệm vụ của mục này là giúp chúng ta đa một phơng trình lợng giác "phức tạp" về một
phơng trình bậc cao đại số bằng cách đặt ẩn phụ. Sau đó giải tiếp các phơng trình dạng cơ bản,
chú ý điều kiện của ẩn phụ. Cụ thể các phơng trình bậc cao đại số trong mục này là phơng trình
bậc hai, bậc ba, bậc bốn,
(1). Kiến thức bổ sung:
(1.1) Ta nhắc lại phơng trình at
2
+ bt + c = 0, a = 0 với biệt thức = b
2
4ac thì phơng
trình có hai nghiệm x
1,2
=
b


2a
với điều kiện 0.
(1.2) Chú ý hệ thức viet cho hai nghiệm của phơng trình trên là
x
1

=
b
a
; x
1
.x
2
+ x
2
.x
3
+ x
3
.x
1
=
c
a
; x
1
.x
2
.x
3
=
d
a
(1.4) Bây giờ ta xét phơng trình đa thức P
n
(x) = 0 bậc n ẩn x R


2
+ a
1
+ a
0
= 0
lúc đó ta nói đa thức P
n
(x) chia hết cho nhị thức x hay P
n
(x) = (x )P
n1
(x). Chúng ta
thờng hay sử dụng phơng pháp sau đây để xác định các hệ số của P
n1
(x) còn đợc gọi là lợc
đồ "Hoc-ne". Để đơn giản trong cách ghi chúng ta đặt
D
m
= a
n

m
+ a
n1

m1
+ + a
nm+2


2
+ a
2
+ a
1
5
D
n
= a
n

n
+ a
n1

n1
+ + a
2

2
+ a
1
+ a
0
Theo cách đạt nh thế chúng ta thấy D
0
= a
n
, D

x = D
0
D
1
D
n2
D
n1
D
n
HS P
n1
(x)
Hay ta có sự phân tích sau trong trờng hợp là nghiệm của P
n
(x)
P
n
(x) = (x )P
n1
(x) = (x )(D
0
x
n1
+ D
1
x
n2
+ + D
n2

(x)
Nghĩa là ta có sự phân tích 2x
2
5x + 2 = (x 2)(2x 1).
Ví dụ 2: P
3
(x) = 4x
3
2x
2
3x +1 Bây giờ cho dù bạn có náy tính bỏ túi nhng nếu không biết
thuật toán chia đa thức thì khó để đạt đợc mục đích. Không khó khăn gì để nhẫm đợc nghiệm
x = 1, lúc đó lợt đồ Hoc-ne nh sau
a
3
= 4 a
2
= 2 a
1
= 3 a
0
= 1 P
3
(x)
x = 1 D
0
= 4 D
1
= 2 D
2

sin 2x = 2 sin x. cos x tan 2x =
2 tan x
1 tan
2
x
cos 2x = cos
2
x sin
2
x = 2 cos
2
x 1 = 1 2 sin
2
x
2. Công thức nhân ba:
sin 3x = 3 sin x 4 sin
3
x cos 3x = 4 cos
3
x 3 cos x
3. Công thức hạ bậc:
sin
2
x =
1 cos 2x
2
cos
2
x =
1 + cos 2x

x
2
+ 2 = 0
(3). 8 cos
2
x + 2 sin x 7 = 0 (4). cot 4x 2 tan 4x + 1 = 0
Bài giải:
(1). Đặt t = cos x, |t| 1 lúc đó phơng trình (1) đợc viết lại 2t
2
3t + 1 = 0 t = 1 t =
1
2
+ Với t = 1 cos x = 1 x = k2, k Z.
+ Với t =
1
2
cos x =
1
2
x =

3
+ k2, k Z.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm x = k2, x =

3
+ k2, k Z.
(2). Ta có (2) 1 cos
2
x

Đặt t = sin x, |t| 1 lúc đó phơng trình đợc viết lại
8t
2
2t 1 = 0 t =
1
2
t =
1
4
+ Với t =
1
2
sin x =
1
2
x =

6
+ k2 x = 5

6
+ k2, k Z.
+ Với t =
1
4
= sin sin x = sin x = + k2 x = + k2, k Z.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm
x =

6

16
+ k

4
, x =

4
+ k

4
, k Z.
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
(1). cos 2x 2 cos x + 1 = 0 (2). sin 3x 2 sin x = 0
(3). tan 2x 3 tan x = 0 (4). cos 4x 4 cos 2x + cos x 6 = 0
Bài giải:
(1). Đặt t = cos x, |t| 1 lúc đó phơng trình (1) đợc viết lại
2t
2
1 2t + 1 = 0 t
2
t = 0 t = 1 t = 0
+ Với t = 1 cos x = 1 x = k2, k Z.
+ Với t = 0 cos x = 0 x =

2
+ k, k Z.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm x = k2, x =

2
+ k, k Z.

1
2
x =

6
+ k2 x = 5

6
+ k2, k Z.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm x = k, x =

6
+ k2, x =
5
6
+ k2, k Z.
(3). Ta có (3)
2 tan x
1 tan
2
x
3 tan x = 0 3 tan
3
x tan x = 0.
Đặt t = tan x, t R lúc đó phơng trình đợc viết lại
3t
3
t = 0 t = 0 t =
1


Vậy phơng trình có các họ nghiệm x = k, x =

6
+ k, x =

6
+ k, k Z.
(4). Ta có cos 2x = 2 cos
2
x 1
cos 4x = 2 cos
2
2x 1 = 2(2 cos
2
x 1)
2
1 = 8 cos
4
x 8 cos
2
x + 1
Do vậy, Đặt t = cos x, |t| 1 lúc đó phơng trình đợc viết lại
8t
4
8t
2
+ 1 4(2t
2
1) + 9t 6 = 0 8t
4

+ Với t =
3 +

13
4
= cos x = + k2, k Z.
+ Với t =
3

13
4
< 1, loại theo điều kiện.
(4). Phần bài tập tự giải:
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
(1). 2 sin
2
x 3 sin x + 1 = 0 (2). cos
2
x
2
2 sin
x
2
+ 2 = 0
(3). sin
2
x + 2 cos x 1 = 0 (4). 2 cot x + tan x + 1 = 0
Bài 4: Giải các phơng trình sau:
(1). cos 2x 2 sin x + 3 = 0 (2). cos 3x + 2 cos x = 0
(3). cot 2x 3 tan x = 0 (4). cos 3x cos 2x cos x + 1 = 0

sin x

Để ý rằng

p

p
2
+ q
2

2
+

q

p
2
+ q
2

2
= 1
nên nếu đặt
cos =
p

p
2
+ q

cos x + sin x =

2 cos(x

4
)
cos x sin x =

2 cos(x +

4
)
sin x cos x =

2 cos(x +

4
) =

2 sin(x

4
)
(2). Phơng trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng với pq = 0
p sin x + q cos x + m = 0
Theo biến đổi nh trên ta đa phơng trình về dạng

p
2
+ q


3 cos 2x + 2 = 0 (4). sin 2x +

3 cos 2x + 1 = 0
Bài giải:
(1). Ta có (1)

2
2
sin x +

2
2
cos x =

2
2
cos(x

4
) =

2
2
cos(x

4
) = cos

4

x =

6
+ k2, k Z
Vậy phơng trình (2) có họ nghiệm x =

6
+ k2, k Z.
(3). Ta có (3)

3 cos 2x sin 2x 2 = 0


3
2
cos 2x
1
2
sin 2x = 1
cos(2x +

6
) = 1
2x +

6
= k2
x =

12

) =

2
2
2x +

6
=

4
+ k2
x =

24
+ k x =
5
24
+ k, k Z
Vậy phơng trình có các họ nghiệm x =

24
+ k, x =
5
24
+ k, k Z
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
(1). 2 sin
2
x + sin x cos x 3 cos
2

26
cos 2x
1

26
sin 2x =
1

26
cos cos 2x + sin sin 2x = sin (Đặt cos =
5

26
; sin =
1

26
)
cos(2x ) = cos(

2
)
2x =

2
+ k2 2x =

2
+ k2
x =

5
cos 2x
2

5
sin 2x =
2

5
cos cos 2x + sin sin 2x = sin (Đặt cos =
1

5
; sin =
2

5
)
cos(2x ) = cos(

2
)
2x =

2
+ k2 2x =

2
+ k2
x =

3 sin 2x = 1

1
2
cos 2x

3
2
sin 2x =
1
2
cos(2x +

3
) = cos
2
3
2x +

3
=
2
3
+ k2 2x +

3
=

3
+ k2

2
+ 2 = 0
(3). sin
x
2
+
√
3 cos
x
2
+ 2 = 0 (4). 3 sin 2x + 4 cos 2x − 5 = 0
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
(1). 2 cos
2
x + sin x cos x − 3 sin
2
x = 0 (2). 4 sin x cos x + 5 sin
2
x −
9
2
= 0
(3). 2 cos
2
x − 3
√
3 sin 2x − 4 = 0 (4).
√
3 cos
2

= (a + b)
4
4ab(a
2
+ b
2
) 6a
2
b
2
= S
4
4P S
2
+ 2P
2
(1.2) Trong các đẳng thức trên nêu chúng ta thế a = sin x, b = cos x và đặt t = sin x + cos x
đồng thời để ý rằng sin
2
x + cos
2
x = 1 chúng ta sẽ có các đẳng thức dới đây
(1). sin x cos x =
t
2
1
2
(2). sin
2
x cos

Đặt t = sin x + cos x điều kiện

2 t

2 lúc đó phơng trình đợc viết lại dới dạng
at + b
t
2
1
2
+ c = 0 bt
2
+ 2at + (2c b) = 0
Giải phơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phơng trình cơ bản đã biết.
(2.2) Phơng trình dạng a(sin x cos x) + b sin x cos x + c = 0
Đặt t = sin x cos x điều kiện

2 t

2 lúc đó phơng trình đợc viết lại dới dạng
at + b
1 t
2
2
+ c = 0 bt
2
2at (2c + b) = 0
Giải phơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phơng trình cơ bản đã biết.
(2.3) Phơng trình dạng a(sin
3

Đặt t = sin x + cos x điều kiện

2 t

2 lúc đó phơng trình đợc viết lại dới dạng
a
t
4
+ 2t
2
+ 1
2
+ b
t
2
1
2
+ c = 0 at
4
(2a + b)t
2
+ b a 2c = 0
Giải phơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phơng trình cơ bản đã biết.
(2.5) Phơng trình dạng
a(sin
4
x + cos
4
x) + b(sin
3

(2a + d)t
2
(3b + 2c)t (a d + 2e) = 0
Giải phơng trình này với điều kiện của t ở trên, rồi giải các phơng trình cơ bản đã biết.
Trong tài liệu nhỏ này chúng ta chỉ thực sự quan tâm đến nhiều về các phơng trình dạng 2.1 và
2.2 còn các dạng khác chỉ mang tính chất tham khảo và dành cho các học sinh khá giỏi.
(3). Phần giải bài tập:
Bài 1: Giải các phơng trình sau:
(1). sin x + cos x sin x cos x 1 = 0 (2). sin 2x 2(sin x + cos x) + 1 = 0
(3). 12(sin x cos x) 2 sin x. cos x = 12 (4).
(4). (2 +

2)(sin x + cos x) 2 sin x. cos x = 2

2 + 1
Bài giải:
(1). Đặt t = sin x + cos x điều kiện

2 t

2 lúc đó phơng trình đợc viết lại dới dạng
t
t
2
1
2
1 = 0 t
2
2t + 1 = 0 t = 1
Với t = 1 ta có phơng trình

4
) = 0 x

4
=

2
+ k2 x =
3
4
+ k2
15
Vậy phơng trình đã cho có một họ nghiệm x =
3
4
+ k2, k Z.
(3). Đặt t = sin x cos x điều kiện

2 t

2 lúc đó phơng trình đợc viết lại dới dạng
12t + t
2
1 = 12 t
2
+ 12t 13 = 0 t = 1 t = 13
Với t = 13 loại theo điều kiện.
Với t = 1 ta có phơng trình

2 sin(x

2 = 0 t = 2 t =

2
Với t = 2 loại theo điều kiện.
Với t =

2 ta có phơng trình

2 cos(x

4
) =

2 x

4
= k2 x =

4
+ k2
Vậy phơng trình đã cho có một họ nghiệm.
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
(1). sin
3
x + cos
3
x =
1

2

3t +

2 = 0 (t

2)(t
2
+

2t 1) = 0
t =

2 t =


2

6
2
t =


2 +

6
2
Với t =

2 cos(x

4

loại theo điều kiện.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm trên.
(2). Đặt t = sin x + cos x điều kiện

2 t

2 lúc đó phơng trình đợc viết lại dới dạng
t
4
+ 2t
2
+ 1
2
2(t
2
1) 1 = 0 t
4
+ 2t
2
3 = 0
t
2
= 1 t
2
= 3
16
Với t
2
= 1 sin x cos x = 0 x = k


2)(t
3
+

2t
2
4

2) = 0
(t

2)(t

2)(t
2
+ 2

2t + 4) = 0
Với t =

2 cos(x

4
) = 1 x =

4
+ k2, k Z
(4). Ta có sin
3
x + cos

2(sin x cos x) 1 = 0
sin x cos x = 1

2
sin x cos x = 1

2 sin(x

4
) =
1

2

2
= sin
x =

4
+ + k2 x =
3
4
+ k2, k Z
Vậy phơng trình đã cho có các họ nghiệm trên.
(4). Phần bài tập tự giải:
Bài 3: Giải các phơng trình sau:
(1). sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0 (2). 2 sin 2x + (sin x + cos x) 1 = 0
(3).
1
2

= 0
(5). sin
4
x + cos
4
x + sin
3
x + cos
3
x (sin x + cos x) + (1 +

2) sin x cos x = 1
17
Đ5 phơng trình đẳng cấp đối với sin và cos
(1.1) Phơng trình đẳng cấp bậc 2:
Phơng trình đẳng cấp bậc hai có dạng:
a cos
2
x + b sin x cos x + c sin
2
x = 0
Để giải phơng trình này chúng ta có thể vận dụng cách giải của phơng trình bậc nhất đối với
sin cos tuy nhiên cách giải sau đây vẫn thờng hay đợc áp dụng, đặc biệt trong các bài toán
biện luận nghiệm có chứa tham số.
Trớc hết ta có nhận xét nếu một trong ba hệ số a, b, c bằng không thì phơng trình trở nên đơn
giản vì vậy ta có thể giả sử cả ba hệ số đều khác không, lúc đó chia cả hai vế phơng trình cho
sin
2
x hoặc cos
2

x ta sẽ đợc phơng
trình bậc ba theo ẩn cot x hoặc tan x.
Đặt t = cot x, t R phơng trình đã cho trở thành
at
3
+ bt
2
+ ct + d = 0
Bằng cách tơng tự chúng ta sẽ có cách giải của phơng trình đẳng cấp bậc bốn hoặc cao hơn
nữa, các bạn hãy tự viết lấy cho mình.
(2). Phần giải bài tập:
Bài 1: Giải các phơng trình:
18
(1). cos
2
x + sin x cos x 2 sin
2
x = 0 (2). 4 cos
2
x + sin x cos x + sin
2
x 3 = 0
(3). 4

3 sin x cos x + 4 cos
2
x = 2 sin
2
x +
5

+ t 2 = 0 t = 1 t = 2
+ Với t = 1 cot x = 1 x =

4
+ k, k Z.
+ Với t = 2 cot x = cot x = + k, k Z.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm x =

4
+ k, x = + k, k Z.
(2). Ta có (2) 4 cos
2
x + sin x cos x + sin
2
x 3 sin
2
x 3 cos
2
x = 0.
cos
2
x + sin x cos x 2 sin
2
x = 0
Giải nh trên có các họ nghiệm x =

4
+ k, x = + k, k Z.
(3). Ta thấy cos x = 0 phơng trình không thỏa, với cos x = 0 chia hai vế của phơng trình cho
cos


3
9
= tan cot x = cot x = + k, k Z.
Vậy phơng trình có các họ nghiệm x =

3
+ k, x = + k, k Z.
(4). Điều kiện để phơng trình có nghĩa sin x cos x = 0, với điều kiện này ta có
(4) 2 sin
2
x cos x + 2

3 cos
2
x sin x =

3 sin x + cos x
2 tan
2
x + 2

3 tan x =

3 tan x(1 + tan
2
x) + 1 + tan
2
x
Đặt t = tan x, t R phơng trình trở thành

2
)
3
(sin x + cos x)
3
=

2 sin x (sin x + cos x)
3
= 4 sin x
Chia cả hai vế phơng trình cho cos
3
x = 0 và đặt t = tan x, t R ta đợc phơng trình sau
(1 + t)
3
= 4t(t
2
+ 1) 3t
3
3t
2
+ t 1 = 0 (t 1)(3t
2
+ 1) = 0 t = 1
Giải phơng trình tan x = 1 ta đợc nghiệm của phơng trình là x =

4
+ k, k Z.
(6). Kiểm tra sin x = 0 không thỏa phơng trình, chia hai vế của phơng trình cho sin
3

(3). Phần bài tập tự giải:
(1). cos
2
x + sin x cos x 2 sin
2
x = 0 (2). 4 cos
2
x + sin x cos x + sin
2
x 3 = 0
(3). 4

3 sin x cos x + 4 cos
2
x = 2 sin
2
x +
5
2
(4). 2 sin x + 2

3 cos x =

3
cos x
+
1
sin x
(5). sin
3

2
4x = sin
2
5x cos
2
6x
6.2. Năm 2003
Khối A: Giải phơng trình:
cot x 1 =
cos 2x
1 + tan x
+ sin
2
x
1
2
sin 2x
Khối B: Giải phơng trình:
cot x tan x + 4 sin 2x =
2
sin 2x
Khối D: Giải phơng trình:
sin
2

x
2


4

x + cos(x −
π
4
) sin(3x −
π
4
) −
3
2
= 0
6.5. N¨m 2006
Khèi A: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2(sin
6
x + cos
6
x) − sin x cos x
√
2 − 2 sin x
= 0
Khèi B: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
cot x + sin x(1 + tan x tan
x
2
) = 4
Khèi D: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0
6.6. N¨m 2007
Khèi A: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
(1 + sin

)
= 4 sin(
7π
4
− x )
Khèi B: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
sin 3x − 3 cos 3x = sin x cos 2x − 3 sin 2x cos x
Khèi D: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2 sin x (1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x
22
6.8. Năm 2009
Khối A: Giải phơng trình:
(1 2 sin x) cos x
(1 + 2 sin x)(1 sin x)
=

3
Khối B: Giải phơng trình:
sin x + cos x sin 2x +

3 cos 3x = 2(cos 4x + sin
3
x)
Khối D: Giải phơng trình:

3 cos 5x 2 cos 2x sin 3x sin x = 0
TAM THứC BậC HAI Và ứNG DụNG I. Phng pháp. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+bx+ c, (a =
0).









a.f() < 0













> 0
S
2
> 0
f() = 0
3*). x
1
< x

< 0
f() = 0
4*). x
1
x
2








a.f() < 0





f() = 0
0
5*). x
1
< x
2
<







0
S
2
< 0
a.f() > 0
23
7*). x
1
< x
2
 α ⇔













∆ > 0
S
2














∆ > 0
S
2
− α > 0
a.f(α) > 0
10*). α < x
1
 x
2
⇔








S
2
− α > 0
a.f(α)  0
12*). α  x
1
 x
2
⇔













∆  0
S
2
− α  0
a.f(α)  0
13*). x
1
< α < β < x


a.f(α) < 0
a.f(β)  0
16*). x
1
 α < β  x
2
⇔





a.f(α)  0
a.f(β)  0
24
17*). α < x
1
< β < x
2
⇔





a.f(α) > 0
a.f(β) < 0
18*). α  x
1










a.f(α) > 0
a.f(β) < 0



























a.f(α) > 0
a.f(β) < 0






















23*). x
1
< α  x
2
< β ⇔
























a.f(α) < 0