1
Thuviendientu.org
I- GIẢI TÍCH TỔ HP
1. Giai thừa : n! = 1.2 n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một
trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số
cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4. Hoán vò : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P
n
= n !.
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :
)!kn(!k
!n
C
k
n

6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :
k k k
n n n k
n!
A , A C .P
(n k)!


0
2
1
1
0
1
0
0
CCCCC
CCCC
CCC
CC
C

1
1

1
2
1
1
3
3
1

CCC
CC,1CC

8. Nhò thức Newton :
*
n0n
n
11n1
n
0n0
n
n
baC baCbaC)ba(

a = b = 1 :
0 1 n n
n n n
C C C 2

Với a, b { 1, 2, }, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :

n
n
1
n
0
n
C, ,C,C

*

* (a + b)
n
: a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :
k n k k m
n
C a b Kx

Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)
n
: a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.

mr
k n k k
pq
n
C a b Kc d

Giải hệ pt :
Zq/r
Zp/m
, tìm được k
* Giải pt , bpt chứa
C,A
k
n
k
n
: đặt điều kiện k, n N
*

b/ca
0b
0cb

a/b = c
0b
bca
;
1n2
1n2
baba2n
2n
2n 2n
ba
a b a b, a b
a0a
bbloga,
0a
ab
bab/ca
0b

ba,
ba
0b
ba

www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

3
Thuviendientu.org

2
ba
0b
0a
0b
ba)0b,anếu(b.a
)0b,anếu(b.a
ab

b.
.
: phá
.

x0 m/n m m n m n
n
m n m n m n m.n n n n
n n n m n
a 1; a 1/ a ; a .a a
a /a a ; (a ) a ; a / b (a/b)
a .b (ab) ; a a (m n,0 a 1) a = 1a
log
nm
a,
)1a0nếu(nm
)1anếu(nm
aa

d. log : y = log
a
x , x > 0 , 0 < a 1, y R
y nếu a > 1, y nếu 0 < a < 1, = log
a
a
log
a
(MN) = log
a

log
b
c = log
a
c/log
a
b,
Mlog
1
Mlog
a
a

log
a
(1/M) = – log
a
M, log
a
M = log
a
N M = N

aa
0 M N(nếua 1)
log M log N
M N 0(nếu0 a 1)

Khi làm toán log, nếu miền xác đònh nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác
đònh. Mất log phải có điều kiện.

2
+ bx + c = 0 (a 0)
* S = x
1
+ x
2
= – b/a ; P = x
1
x
2
= c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x
1
,x
2
) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :

21
21
x.xP
xxS
0g

Biết S, P thỏa S
2
– 4P 0, tìm x
1
, x
2
từ pt : X

< x
1
< x
2

2/S
0)(f.a
0
; x
1
< x
2
<
2/S
0)(f.a
0

< x
1
< < x
2

a.f( ) 0
a.f( ) 0
; x
1
< < x
2
<
0)(f.a

.x
3
= – d/a
Biết x
1
+ x
2
+ x
3
= A , x
1
x
2
+ x
1
x
3
+ x
2
x
3
= B , x
1
.x
2
.x
3
= C
thì x
1

Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C
m
) : y = f(x,
m) và (Ox) : y = 0
3 nghiệm
0y.y
0
CTCĐ
'ywww.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

5
Thuviendientu.org
2 nghiệm
0y.y
0
CTCĐ
'y 1 nghiệm
y'
0
0y.y

< x
2
< x
3

y'
CĐ CT
CĐ
0
y .y 0
y( ) 0
x

x
1
< < x
2
< x
3

CT
CTCĐ
'y
x
0)(y
0y.y
0

x
1

2
+ bx + c = 0 (a 0), x
2 nghiệm
0
0)(f
, 1 nghiệm
0)(f
0
0)(f
0

Vô nghiệm < 0
0)(f
0

Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :

x
1x
1

x
2

x
3

4
+ bx
2
+ c = 0 (a 0)
0)t(f
0xt
2

t = x
2
x =
t

4 nghiệm
0S
0P
0
; 3 nghiệm
0S
0P

2 nghiệm
02/S
0
0P
; 1 nghiệm
02/S
0
0S
0P

2
+ bx + a = 0. Đặt t = x +
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT :
2t

c. ax
4
+ bx
3
+ cx
2
– bx + a = 0. Đặt t = x –
x
1
. Tìm đk của t bằng BBT : t R.
d. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x
2
+ (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT.
e. (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Đặt :
2
ba
xt
, t R.


x
0 D
y
0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
( , ) là nghiệm thì ( , ) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất
= m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích
A.B = 0.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

abc
3
cba

Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)
2
(a
2
+ b
2
).(c
2
+ d
2
); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x I, lập BBT của f với x I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I :
Nếu tách được m, dùng đồ thò, lập BBT với x I.
f(x) m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt)
III- LƯNG GIÁC

1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại,
1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2 .
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của

2

0
+
2

0
20
A
x+k2
M
cos
chiếu
sin
M
cotg
chiếu xuyên tâm
tg
M
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

8
Thuviendientu.org

c
2

* Chia 2 vế cho
22
ba
, dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo
2
u
tgt
)
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
Đặt : t = sinu + cosu =
2
t1
2sin u , 2 t 2,sinu.cosu
42

8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
Đặt :
2
1
2 0 2
42
t
t sinu cosu sin u , t ,sinu.cosu

9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :

Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
* t = tg
2
x
: nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

9
Thuviendientu.org
14. Phương trình đặc biệt :
*
0v
0u
0vu
22

*
Cv
Cu
Cv
Cu
vu

b. Dạng 2 :
nyx
m)y(F).x(F
. Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +.
c. Dạng 3 :
nyx
m)y(F/)x(F
.
Dùng tỉ lệ thức :
db
ca
db
ca
d
c
b
a
biến đổi phương trình (1) rồi dùng
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C =
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2)
A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ;
A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng đònh lý hàm sin :
a = 2RsinA hay đònh lý hàm cos : a
2

a
=
cb
2
A
cosbc2

www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

10
Thuviendientu.org
IV- TÍCH PHÂN

1. Đònh nghóa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của
f

f
là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của
f
:

dx)x(f
= F(x) + C (C R)
*

f(x)dx F(x) F(b) F(a)

*
b
a
c
a
b
a
c
b
a
b
a
a
,;0b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
fkkf;gf)gf(


n2m2
: hạ bậc về bậc 1
b.
xcos/xtg
n2m2
: u = tgx (n 0)

xsin/xgcot
n2m2
: u = cotgx (n 0)
c. chứa a
2
– u
2
: u = asint
chứa u
2
– a
2
: u = a/cost
chứa a
2
+ u
2
: u = atgt
d.
)xcos,x(sinR
, R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx

nnqq/pnm
bxaxu:Z
q
p
n
1m
,)bxa(x

g.
u
1
khx:cbxax)khx/[(dx
2

h.
)dcx/()bax(,x(R
, R là hàm hữu tỷ :
)dcx/()bax(u

i. chứa (a + bx
k
)
m/n
: thử đặt u
n
= a + bx
k
.

4. Tích phân hàm số hữu tỷ :

cbxax
B
cbxax
)bax2(A
)0(cbxax
22
222
2

5. Tính diện tích hình phẳng :
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :
b
a
D
dx)x(fS

f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở . ; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của
đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) :
b
a
D
dx)x(g)x(fS

Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C
1
) : f
1

www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

12
Thuviendientu.org
Chọn tính theo dx hay dy để dễ tính toán hay D ít bò chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thò các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ,
hàm
.
.
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn hay
trái: x,phải: x,dưới: y,trên: y6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :

b
a
2
dx)x(fVb.
b
a

c
2
c
a
2
dy)y(fdy)y(gV
Chú ý : xoay quanh (Ox) : dx ; xoay quanh (Oy) : dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
1. Tìm lim dạng
0
0
, dạng 1

:
a. Phân thức hữu tỷ :
1
1
ax
1
1
axax
Q
P
lim
)x(Q)ax(
)x(P)ax(
lim)0/0dạng(

0)
a
b
a
b
c
f(x)
-g(x)
b
c
f(y)
-g(y)
a
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

13
Thuviendientu.org
c. Hàm chứa căn :
)0/0dạng(
)x(g
)x(f
lim
ax
, dùng lượng liên hiệp :
a
2

o
mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :

.lim)x(f,lim)x(f
o
xx
o
/
o
xx
o
/
Nếu
)x(f)x(f
o
/
o
/
thì f có đạo hàm tại x
o
.
b. Ý nghóa hình học :
k = tg = f
/
(x
M
)

c. f
/

đổi dấu khi qua x
M
.
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C
/
= 0, (x )
/
= x
–1
, (lnx)
/
= 1/x ,
a
1
log x
xlna
, (e
x
)
/
= e
x

(a
x
)
/
= a
x
.lna, (sinx)

/
= (u
/
v – uv
/
)/v
2

* Hàm hợp : (g
o
f)
/
= g
/
[f(x)]

. f
/
(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]
g(x)
hay f(x) dạng tích, thương,
chứa
n

f. Vi phân : du = u
/
dx
3. Tiệm cận : y
b b
x
y

M

f(x)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

14
Thuviendientu.org
* Xét
)x(Q
)x(P
y

Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) 0
Có tcn khi bậc P bậc Q : với x , tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất
của Q.


a < 0 :

d/ y = ax
4
+ bx
2
+ c

a > 0

a < 0

e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c 0)

ad - bc > 0 ad - bc < 0

f/ y =
edx
cbxax
2
(ad 0)

ad > 0 ad < 0

> 0

y
= 0
x < a
x > a
a
x = a
y < b
y > b
b
y = b
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

15
Thuviendientu.org

(C
/
) : y =
)x(f
: giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox).
(C
/
) : y =
)x(f

o
= f(x
o
, m) VN m Am + B = 0 VN
m (hay Am
2
+ Bm + C = 0 VN m)
0B
0A
(hay
0
0A
0C
0B
0A
). Giải hệ , được M.
Chú ý :
C
B
A
VN B = 0
VNBCA
0B

c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(x
o
, y
o
) y
o

) + y
o
.
* Qua M (x
o
, y
o
): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x
o
) + y
o
. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k =
số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến).
* // ( ) : y = ax + b : (d) // ( ) (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
* ( ) : y = ax + b (a 0) : (d) ( ) (d) : y =
a
1
x + m. Tìm m nhờ đk tx.
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M (C
/
) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ),
M(x
o
,y
o
) (C
/
) g(x
o
,y

m
) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để
pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) :
y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (C
m
) và (C
/
m
) :
Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (C
m
) và (C
/
m
) = số điểm chung của (C)
và (d).
PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (x ) hay dạng bậc 3 : x = f(x) = 0 : lập ,
xét dấu , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bò bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trò f
/
đổi dấu n lần.
* f đạt cực đại tại x
o

0)x(f
0)x(f

= 0 có 2 nghiệm < x
1
< x
2
.
Bên trái (d) : x = y
/
= 0 có 2 nghiệm x
1
< x
2
< .
1 bên (Ox)
0
0
/
f
CD CT
y .y

2 bên (Ox)
0
0
/
f
CD CT
y .y

* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện y
CĐ

CĐ
.y
CT
=
)x(v).x(v
)x(u).x(u
CT
/
CĐ
/
CT
/
CĐ
/
, dùng Viète với pt y
/
= 0.
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
Hàm bậc 3 : y = Cx + D
Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u
/
/ v
/

* y = ax
4
+ bx
2
+ c có 1 cực trò ab 0, 3 cực trò ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :

+ hàm số tăng trên (x
2
, + )
+ hàm số giảm trên (x
1
, x
2
)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với x
1
< x
2
hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa điều kiện x
1
+ x
2
= 2x
0
(x
0
là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên ( , x

thỏa x
1
< x
2
và
12
xx
p
2m
.
iv) Nếu a.m < 0 và y
/
= 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thì hàm đạt cực tiểu tại x
1
và đạt cực đại tại x
2
thỏa x
1
< x
2
và
12
xx
p
2m
.

, y
o
) = 0; suy ra M (C) : F(x, y) = 0; giới
hạn quỹ tích : M tồn tại m ? x
o
? (hay y
o
?)
Nếu x
o
= a thì M (d) : x = a.
Nếu y
o
= b thì M (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + x
I
, y = Y + y
I
; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thò có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y
/
= 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm :
đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thò có trục đối xứng
là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :

M N I

có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e Z) : giải hệ
Zy,x
edx
c
baxy
MM
M
MM

Z
edx
c
,x
edx
c
baxy
M
M
M
MMccủasốướcedx,Zx
edx
c
baxy
MM
M
MM

18
Thuviendientu.org
k(a, b) = (ka, kb)
(a, b) = (a
/
, b
/
)
/
/
bb
aa

(a, b).(a
/
,b
/
) = aa
/
+ bb
/22
ba)b,a(/

xx
x
BA
M
BA
M

M : trọng tâm ABC
3
yyy
y
3
xxx
x
CBA
M
CBA
M

(tương tự cho vectơ 3 chiều).
* Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp :

)'c,'b,'a(v),c,b,a(v
///////
/
b
b

v.v

= 0 ;
//
v // v [v,v ]
= 0 ;
///
v,v,v

đồng phẳng

0v].v,v[
///
AC,AB
2
1
S
ABCAS.AC,AB
6
1
V
ABC.S

19
Thuviendientu.org
M là chân phân giác ngòai
A

MC
AC
AB
MB

I là tâm đường tròn ngoại tiếp IA = IB = IC.
I là tâm đường tròn nội tiếp I là chân phân giác trong
B
của ABM với M là chân phân giác trong
A
của
ABC.
2. Đường thẳng trong mp :
* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
,y
o
) và 1vtcp
v
= (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :
(d) :
b
yy
a

* (d) : Ax + By + C = 0 có
)B,A(n;)A,B(v

* (d) // ( ) : Ax + By + C = 0 (d) : Ax + By +
C
= 0
* (d) ( ) (d) : – Bx + Ay + C
/
= 0
* (d), (d
/
) tạo góc nhọn thì :
cos =
/
/
/
d
d
d
d
d
d
n .n
cos( n ,n )
n . n

* d(M,(d)) =
22
MM
BA

n.n
< 0 : phân giác góc tù – , nhọn +
* Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm.
3. Mặt phẳng trong không gian :
* Xác đònh bởi 1 điểm M(x
o
, y
o
, z
o
) và 1 pháp vectơ :
n
= (A, B, C) hay 2 vtcp
'v,v
.
(P) : A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

n
= [
'v,v
]
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 có
n
= (A, B, C).


4. Đường thẳng trong không gian :
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

20
Thuviendientu.org
* Xác đònh bởi 1 điểm M (x
o
, y
o
, z
o
) và 1 vtcp
v
= (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :
'n,n
:
(d) :
c
zz
b
yy
a
xx
:)d(,
ctzz


* là góc nhọn giữa (d), (d
/
) thì :
cos =
)v,vcos(
/
d
d

* là góc nhọn giữa (d), (P) thì :
sin =
)n,vcos(
pd

* (d) qua M, vtcp
v
, (P) có pvt
n
:
(d) cắt (P)
n.v
0
(d) // (P)
n.v
= 0 và M (P)
(d) (P)
n.v
= 0 và M (P)
* (d) qua A, vtcp

,
AB]'v,v[
0
(d) (d
/
) [
'v,v
] =
0
, A (d
/
)
* (d) chéo (d
/
) : d(d, d
/
) =
]'v,v[
AB]'v,v[

* (d) chéo (d
/
) , tìm đường chung ( ) : tìm
]'v,v[n
; tìm (P) chứa (d), //
n
; tìm (P
/
) chứa (d
/

).
* Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, (d), H = (d) (P).
* Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, (P) : H = (d) (P).
* Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), (P);
(d
/
) = (P) (Q)
* Tìm hc song song của (d) theo phương ( ) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d)
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

21
Thuviendientu.org
// ( ); (d
/
) = (P) (Q).
5. Đường tròn :
* Đường tròn (C) xác đònh bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)
2
+ (y – b)
2
= R
2

* (C) : x
2
+ y

/(C) = F(x
M
, y
M
) =
MB.MA
= MT
2
= MI
2
– R
2
với MAB : cát
tuyến, MT : tiếp tuyến ; M (C) P
M
/(C) = 0 , M trong (C) P
M
/(C) < 0, ngoài > 0.
* Trục đẳng phương của (C) và (C
/
) :2(A – A
/
)x + 2(B – B
/
)y + (C – C
/
) = 0
* (C), (C
/
) ngoài nhau II

* (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =

DCBA
222

* (P) tx (S) d(I,(P)) = R, cắt < R, không cắt > R.
* Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S).
* Cho (S) : F(x, y, z) = 0. P
M
/(S) = F (x
M
, y
M
, z
M
); P
M
/(S) = 0 M (S), < 0
M trong (S), > 0 M ngoài (S).
* Mặt đẳng phương của (S) và (S
/
) :
2(A – A
/

2
= 2a.
* (E) :
2
2
2
2
b
y
a
x
= 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F
1
(–c,0), F
2
(c,0); đỉnh A
1
(–a,0); A
2
(a,0); B
1
(0,–b); B
2
(0,b); tiêu cự : F
1
F
2

= 2c, trục lớn A
1

2
+ c
2
.
* (E) :
1
a
y
b
x
2
2
2
2
(a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F
1
(0,–c), F
2
(0,c); đỉnh A
1
(0,–a), A
2
(0,a), B
1
(–b,0),
B
2
(b,0), tiêu cự : F
1
F

2
= b
2
+ c
2
(Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách
thay x bởi y, y bởi x).
8. Hypebol :
* Cho F
1
, F
2
, F
2
F
2
= 2c, cho 0 < a < c.
M (H)
21
MFMF
= 2a
(H) :
2
2
2
2
b
y
a
x

M
+ a , MF
2
= ex
M
– a , M
nhánh trái MF
1
= – ex
M
– a,
MF
2
= –ex
M
+ a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H);
www.luyenthi24h.com
www.luyenthi24h.com

22
Thuviendientu.org
(H) tx (d) : Ax + By + C = 0 a
2
A
2
– b
2

(0,c); đỉnh trục thực A
1
(0,–a), A
2
(0,a); đỉnh trục ảo B
1
(–b,0), B
2
(b,0); tiêu cự F
1
F
2
= 2c; độ dài
trục thực A
1
A
2
= 2a; độ dài trục ảo B
1
B
1
= 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = a/e; bán kính qua tiêu : M nhánh
trên MF
1
= ey
M
+ a, MF
2
= ey
M

(chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính
tắc bằng cách thay x bởi y, y bởi x).
9. Parabol : * Cho F, F ( )
M (P) MF = d(M,( ))
(P) : y
2
= 2px (p > 0) (phương trình chính tắc).
tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + x
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M :
phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 pB
2
= 2AC (p : hệ số của x trong (P) đi với B : hệ số của y trong (d));
tham số tiêu : p.
(P) : y
2
= – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – x
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M :
phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 pB
2
= – 2AC.
(P) : x
2
= 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc).
tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + y
M
; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) tại M :
phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = 0 pA