LỜI CẢM ƠN
Khóa luận được hoàn thành tại trường Đại học Hà Tĩnh, dưới sự hướng dẫn
tận tình của Th.S. Nguyễn Thị Thành. Trước hết, tôi xin được bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, người đã định hướng nghiên cứu, tận tình chỉ
bảo và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện nghiên cứu và hoàn thành khoá
luận.
Đồng thời qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các
thầy giáo, cô giáo trong khoa Sư phạm Tự nhiên, đặc biệt là các thầy cô trong tổ
Toán cũng như quý thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Hà Tĩnh đã tận
tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình học tập cũng
như thời gian làm đề tài.
Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót.
Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo để khóa luận
được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Tĩnh, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Đinh Thị Trình
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức là một lĩnh vực khó trong chương trình Toán học phổ thông,
nhưng lại một phần luôn có sức hấp dẫn, thu hút sự tìm tòi, óc sáng tạo của
những người yêu toán. Và cũng từ đó đã có nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với
tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng như BĐT Bunhiacopski, BĐT
Becnuli, BĐT Schur,… Trong đó nổi bật hơn cả mà ta không thể không nhắc
đến là bất đẳng thức Cauchy (bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân của các số). Đó là bất đẳng thức cơ bản, gần gũi nhưng lại là một bất đẳng
thức mạnh và có nhiều ứng dụng trong Toán học. Các bài toán sử dụng bất đẳng
thức Cauchy thường có mặt trong các kỳ thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi hay các
kỳ thi Olimpic và là một thử thách thực sự với các thí sinh. Để giải các bài toán
này đòi hỏi chúng ta phải có một kiến thức tổng hợp tương đối vững vàng.
Thực tiễn cho thấy: Mặc dù bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức cơ bản
nhưng trong quá trình vận dụng nó để giải toán một số học sinh còn bộc lộ các
hạn chế như nhìn các đối tượng toán học một cách rời rạc, chưa thấy được các
mối liên hệ giữa các yếu tố, quen với kiểu suy nghĩ rập khuôn, máy móc. Chưa
có tính độc đáo khi tìm lời giải bài toán. Từ đó dẫn đến nhiều học sinh gặp khó
đẳng thức Cauchy.
7. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu, phân tích và tổng hợp các tài liệu về các tạp chí, sách báo,
sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan
đến bất đẳng thức Cauchy.
- Hỏi ý kiến chuyên gia.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chương:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy giải một số bài toán
4
NỘI DUNG
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Bất đẳng thức Cauchy
1.1.1. Định lý
* Bất đẳng thức Cauchy tổng quát:
Cho
1 2 n
a , a , , a
là các số không âm. Khi đó:
1 2 n
n
1 2 n
a a a
a a a
2
2 2
a b 2ab 0 a b 0
hiển nhiên đúng.
Đẳng thức xảy ra
a b
.
+) Giả sử bất đẳng thức đúng với n số không âm. Xét 2n số không âm
1 2 n n 1 2n
a , a , , a , a , , a
, ta có:
1 2 n n 1 n 2 2n
1 2 2n
n n n n
1 2 n n 1 n 2 2n 1 2 n n 1 n 2 2n
2n
1 2 n n 1 n 2 2n
1 1 a a a a a a
a a a
2n 2 n n
1
a a a a a a a a a a a a
2
a a a a a a
n 1
số không âm
1 2 n 1
a , a , , a
.
Đặt:
1 2 n 1
n n
a a a
a a 0
n 1
.
5
Ta có:
1 2 n 1 1 2 n 1
n
1 2 n 1 1 2 n 1
1 a a a a a a
a a a a a a .
n n 1 n 1
Vì chỉ cần xét trường hợp
1 2 n 1
a a a 0
, nên suy ra:
n 1
1 2 n 1
1 2 n 1
a a a
a a a
n 1
* Bất đẳng thức Cauchy suy rộng
Với các số
1 2 n
a , a , , a
không âm và
1 2 n
, , ,
dương ta có:
1 2 n
1 2 n
1
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a a a a a a
.
Dấu bằng xảy ra khi
1 2 n
a a a
.
1.1.2. Một số bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức Cauchy
* Các bất đẳng thức dạng phân thức
1)
a, b 0
Chứng minh
1) Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
a b 2 ab
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b).
1 1 1
2
a b ab
(Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
a b
).
Do đó:
1 1 1
a b 2 ab.2 4
a b ab
1 1 4
a b a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
3
1 1 1 1
a b c 3 abc.3 9
a b c abc
.
Hay
1 1 1 9
a b c a b c
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
a b c
1 1 1
a b c
2
2 2 2
3 x y z x y z
3)
2
x y z 3 xy yz zx
Dấu bằng xảy ra khi
x y z
.
7
Chứng minh
1) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 2
x y 2xy
(Dấu bằng xảy ra khi
x y
);
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
3 x y z x y z 2 x y z
x y z 2 xy yz zx x y z
Dấu bằng xảy ra khi
x y z
.
3) Từ
2 2 2
x y z xy yz zx
, ta có:
2
2 2 2
vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 2:
1 2 n
a a a P const
thì
n
1 2 n
min S a a a n P
khi
n
1 2 n
a a a P
.
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình
vuông có chu vi nhỏ nhất.
1.1.4. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy
* Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì các số phải là những số không âm.
* BĐT Cauchy thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng
minh có tổng và tích.
* Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau.
8
1.2. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
Nói chung, ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà
thường biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức
Cauchy. Khi biến đổi, ta nên lưu ý một số kỹ thuật biến đổi sau:
1.2.1. Kỹ thuật thêm, tách, ghép bộ số
Trong mục này chúng ta đưa ra một số dạng bất đẳng thức lấy từ các kỳ thi
3
2
a
ab 2a
b
.
Tương tự như vậy ta có lời giải sau:
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
2
a
ab 2a
b
,
3 3
2 2
b c
bc 2b , ca 2c
c a
.
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
2 2 2
a b c
ab bc ca 2 a b c
b c a
(1)
.
Lại có,
2 2 2
a b c ab bc ca
(2)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
.
Từ (1) và (2) suy ra:
3 3 3
a b c
ab bc ca 2 ab bc ca
b c a
b c 3a
bc
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
a
b c 3a
bc
,
3 3
b c
c a 3b, a b 3c
ca ab
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
3 3 3
a b c
2 a b c 3 a b c
bc ca ab
a b c
a b c
bc ca ab
Ví dụ 3: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
4 a b c 3abc
,
chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1 3
a b c 8
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Phân tích bài toán: Biến đổi điều kiện, ta được:
1 1 1 3
ab bc ca 4
.
Cho
a b c
thay vào điều kiện ta tính được
a b c 2
.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với
n 3
cùng với số hạng hằng số, số hạng
chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh.
Chẳng hạn, với số hạng
1
1 1 1 3 1
.
b c 8 2 bc
1 1 1 3 1
.
c a 8 2 ca
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 3 3 1 1 1 9 1 1 1 3
2
a b c 8 2 ab bc ca 8 a b c 8
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
11
1 1 1 1
a b c 2
a b c 2
1 1 1 3
ab bc ca 4
cùng với số hạng hằng
số, số hạng chứa biến thích hợp để mô tả điều kiện và bất đẳng thức cần chứng
minh. Chẳng hạn, với số hạng ab trong điều kiện xác định, ta sử dụng các số
hạng
3 3
1
a , b ,
3 3
, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số này ta có:
3 3 3 3
3
1 1
a b 3 a b ab 3
3 3 3 3
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3 3 3 3 3 3
1 1 1
a b ab 3, b c bc 3, c a ca 3
3 3 3 3 3 3
.
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
3 3 3 3 3 3
1
12
* Ghép đối xứng: kỹ thuật này thường được sử dụng để hạ bậc từng vế của
bất đẳng thức.
- Phép cộng:
2 x y z x y y z z x
x y y z z x
x y z
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c b c a
b c a a b c
.
Giải
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c 1 a b 1 b c 1 c a
b c a 2 b c 2 c a 2 a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b b c c a b c a b c a
. .
b c c a a b a b c a b c
.
Ví dụ 6: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
abc 1
. Chứng minh rằng:
b c c a a b
Vậy
b c c a a b
a b c 3
a b c
.
13
* Tách nghịch đảo: Tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang
trung bình nhân thì các phần tử chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng:
2
4
a 3 , a b 0
a b b 1
.
Phân tích: Để sử dụng được bất đẳng thức Cauchy ta cần biến đổi tổng này
về dạng tổng mới; các số hạng trong tổng mới là dương, tích các số hạng trong
tổng mới không đổi, khi cho các số hạng trong tổng mới bằng nhau thì hệ
phương trình tương ứng phải có nghiệm. Muốn vậy phải chú ý: trong bài toán
trên mẫu số là tích các luỹ thừa cơ số là
a b, b 1
2 2
a b b 1
a b
2 2
b 1 b 1
1
4. a b . . . 1 3
b 1 b 1
2 2
a b
2 2
* Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau:
Với
n N
và
1 2 n
x ,x , ,x 0
a b c b c a c a b
3
a b c
1 1 1
a b c 3 9 3 6
a b c
14
Ví dụ 9: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa
a b c 1
. Chứng minh bất
đẳng thức sau:
2 2 2
1 1 1
9
a 2bc b 2ca c 2ab
2 2 2
2 2 2
1 1 1
a 2bc b 2ac c 2ab 9
a 2bc b 2ca c 2ab
1.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với một số bất đẳng thức phụ
Sử dụng các bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức Cauchy và một số bất
đẳng thức quen thuộc khác.
Ví dụ 1: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:
5 5 5
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
.
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
5 5
2 2 2
2
c
b ca 3c
ab
(Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được:
5 5 5
2 2 2 2 2 2
2 2 2
5 5 5
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b c
a b c ab bc ca 3 a b c
bc ca ab
a b c
a b c a b c ab bc ca
bc ca ab
15
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
.
Giải
Bất đẳng thức phụ 1: với các số dương a, b, c, d, ta có:
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d
Thật vậy, ta có:
2 2
2 2 2 2
a b c d a c b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c d 2 a b c d a b c d 2ac 2bd
Bất đẳng thức phụ 2: Với các số dương x, y, z ta có:
1 1 1 9
x y z x y z
2
2 2
2
1 1 1 81
x y z x y z 2
x y z
x y z
2 2
2 2 2
81 1 80
x y z x y z
x y z x y z x y z
2 80 82 3
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.
1.2.3. Kỹ thuật đánh giá mẫu số
Như ta đã biết khi giải bất đẳng thức thì ta nhìn rồi phân tích, nhận xét trên
nhiều khía cạnh để đi đến lời giải. Trong đó kỹ thuật nhìn và đánh giá mẫu số là
một kỹ thuật tương đối quan trọng và thường gặp.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
, a, b, c 0
a b abc b c abc c a abc abc
Phân tích bài toán: Biểu thức cần chứng minh vai trò a, b, c giống nhau
nên điểm rơi là
a b c
. Đồng thời mỗi số phức tạp do đó ta chọn phương án
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc
Ví dụ 2: Cho
a, b, c 0; abc 1
. Chứng minh rằng:
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
.
Phân tích bài toán: Với điều kiện đã cho và biểu thức dưới mẫu số của bất
đẳng thức cần chứng minh gợi ý cho ta nên thay thế mẫu số và đánh giá mẫu. Nếu
học sinh không có kinh nghiệm thì không nhìn thấy điều này. Cụ thể như sau:
17
a b c
Tương tự ta có:
3
3 3 3
1 a
b c 1
a b c
,
3
3 3 3
1 b
c a 1
a b c
Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
1 a (b c) 3a
Tương tự ta có:
2
1 1
(2),
1 b (c a) 3b
2
1 1
(3).
1 c (a b) 3c
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
( )
1 a (b c) 1 b (c a) 1 c (a b) 3 c b c
ab bc ca 1
3abc abc
thoả
mãn điều kiện
2 2 2
a b c 1
, vậy ta có thể suy ra
0 a b c 1
hay không?.
Như vậy điều kiện a, b, c không chính xác vì dấu bằng chỉ xảy ra khi:
2 2 2
0 a b c
1
a, b, c 0;
a b c 1
3
.
Ta thấy mối liên hệ gì của bài toán? Từ giả thiết
2 2 2
1 a 1 b 1 c 2
và cần chứng minh:
2
2
2
2
2
2
a 3 3
a
1 a 2
b 3 3
b
1 b 2
c 3 3
c
1 c 2
2 2
2 2 2 2
4 8
a 1 a 2a 1 a
27 27
19
Thật vậy, dễ thấy:
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2a 1 a 2a 1 a 1 a
2a 1 a 1 a 2
2b 1 b
27
,
2
2 2
8
2c 1 c
27
.
Hay
2 2
2 2
2 2
b 3 3 c 3 3
b ; c
2 2
b 1 b c 1 c
.
Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế ta được:
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
b c c a a b 2
.
Ví dụ 2: Với
1
27a
a 1 2a
. Thật vậy: từ
3 3 2 2
1 1
a a a a 1 2a
27 27
hay
1
27a
a 1 2a
(1).
Tương tự ta cũng có:
1
27b
b 1 2b
(2);
Giải
Phân tích bài toán: Bài này yêu cầu tìm GTNN nên chúng ta cần đánh giá
P m
để làm được điều này chúng ta cần dùng Cauchy đánh giá từ trung bình
cộng sang trung bình nhân. Nhưng nếu không có kinh nghiệm thì học sinh có thể
giải như sau:
Cauchy
x x x 1
3 4 2 3.4 2 3
Cauchy
y y y 1
3 4 2 3.4 2 3
Cauchy
z z z 1
3 4 2 3.4 2 3
Cộng vế theo vế:
Cauchy
3 3
x 1 y 1 z 1 x y z 3
P 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 24 3
Kết luận GTNN của P là
z
z z z4
8
3 4 1 1 1 4 4 4 2.4
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên và Cauchy thêm một lần nữa, ta
được:
x y z
x y z
8 8 8
x y z x y z
Cauchy
33
8 8 8 8
3 4 3 4 3 4 2.4 2.4 2.4
2.3. 4 .4 .4 6 4
Vậy GTNN
P 6 x y z 0
.
Ví dụ 2: Cho
3
x 0, y 0, z 0, x y z
4
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
Cauchy
3
Cauchy
3
x 3y 1 1
x 3y .1.1
3
y 3z 1 1
y 3z .1.1
3
z 3x 1 1
z 3x .1.1
3
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
1
P 3 MaxP 3 x y z
4
.
1.2.6. Kỹ thuật đổi biến
Một số bài toán bất đẳng thức mà biểu thức cần chứng minh phức tạp hoặc
có thể đưa về các bất đẳng thức đơn giản hơn bằng cách đặt biến mới, thì ta
chọn ngay cách đổi biến để giải, lớp bài toán này rất thường gặp trong các kỳ thi
qua một phép biến đổi.
Do đó để giải được nhanh gọn bài toán trên ta phải thực hiện phép đổi biến
để đưa về bất đẳng thức nguồn ban đầu.
Giải
Đặt
1 1 1
x ,y ,z xyz 1
a b c
, bây giờ ta cần chứng minh bất đẳng
thức:
3 3 3 2 2 2
x yz y zx z xy 3 x y z 3
P
y z z x x y 2 y z z x x y 2
.
Để giải được tiếp tục nhận xét điểm rơi ở bài này là
x y z 1
.
Từ đó ta giải được như sau:
2 2 2
x y z y z x z x y
x; y; z
y z 4 z x 4 x y 4
a b a b
2 ab 2 ab
.
Ví dụ 1: Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
23
yz xy
xz
P
x 2 yz y 2 xz z 2 xy
.
Giải
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương y, z, ta có:
2 yz y z
2 yz
x x
1 1
x y z
x 2 yz x 2 yz
Tương tự ta cũng có được:
2 2 2
1 1 1
a b c b a c c a b 2 9
1 a 1 b 1 c
.
Giải
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 a b c
1 1 1
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c
a b c
3
1 a 1 b 1 c
a b c 1 b a c 1 c a b 1 3 *
24
Thật vậy, do
a, b, c 1 b c 1 1 a b c 1 1
. Từ đó nhận
thấy bất đẳng thức (*) đúng và suy được bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi
a b c 1
.
1.2.8. Kỹ thuật cân bằng hệ số
Đây là một kỹ thuật cần thiết và thường được sử dụng mặc dù đôi lúc phải
giải quyết nhiều hệ phương trình khá phức tạp. Nhưng đối với các bài toán
không ở dạng chuẩn tức là không đối xứng, không hoán vị, các biểu thức lệch
nhau thì công việc này dường như là bắt buộc. Bằng cách chuyển bài toán về
nên không thể sử dụng BĐT Cauchy cho 2 số a và
1
a
vì dấu “=” không xảy ra. Vậy phải sử dụng BĐT Cauchy cho 2 số
a
và
1
a
.
Vấn đề đặt ra là chọn
như thế nào cho hợp lí? Theo dự đoán trên, dấu “=” xảy
ra khi
a 4
nên ta có:
1
a
a
a 4
1
.
Copyright: Tài liệu đại học ©