Gii tớch 12NC Thy: Lờ Vn nh

1anh
leõ
vaờn

TCH PHN
A. NH NGHA V CC TNH CHT CA TCH PHN
1. nh ngha:
Cho hm s y=f(x) liờn tc trờn
[
]
;
a b
. Gi s F(x) l mt nguyờn hm ca hm s f(x) thỡ: [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= =

( Cụng thc NewTon - Leiptnitz)


;
a b
v
( ) 0
f x

thỡ
( ) 0
b
a
f x dx




Tớnh cht 5: Nu hai hm s f(x) v g(x) liờn tc trờn
[
]
;
a b
v
( ) ( ) , x a;b
f x g x

Thỡ
( ) ( )
b b

thỡ

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
=



Tớnh cht 8: Nu hm s f(x) liờn tc trờn
[
]
;
a b
v k l mt hng s thỡ

. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
=
Tớnh cht 9: Nu hm s f(x) liờn tc trờn
[
]
;
anh
leâ
vaên

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
:
1) DẠNG 1: Tính I =
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx
∫
bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1
:
[ ]
∫
=
∫
)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a

)(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới)

2) DẠNG 2
: Tính I =
b
a
f(x)dx
∫
bằng cách đặt x =
(t)
ϕ

Công thức đổi biến số dạng 2:

[ ]
∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI

∫
=
∫
=
β
α
ϕϕ
dtttfdxxfI
b
a
)(')()( (tiếp tục tính tích phân mới)

Chú ý:
Nếu f(x) có chứa
:
•

2 2 n
(a x )
−
thì đặt
x a .sin t
=
với t
∈
;
2 2
−π π
 
 


 
, hoặc
x a .cot t
=
với
(
)
t 0;
∈ π
.
•

(
)
n
2 2
x a
−
thì đặt
a
x
sin t
= hoặc
a
x
cos t
= .
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').(
Hay:
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduvuudv .

Cách thực hiện:Bước 1
:
Đặt
(?)'.
?
( ) ( 0)
( )
du dx
u
v còn lại thườngchọnC
dv cònlại

=

vu. và
∫
b
a
vdu

Chú ý:
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx
∫
ta thực hiện

Đặt
u f(x), dv g(x)dx
= =
(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm ngun hàm
v(x)
và vi phân
/
du u (x)dx
=

khơng q phức tạp. Hơn nữa, tích phân
b
a
vdu
∫
phải tính được.

∫
,
b
x
a
e .cosaxdx
α
∫
thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt
u LG
=
.

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

4
Giải
Đặt
t cos x dt sin xdx
= ⇒ = −

Đổi cận:
x 0 t 1, x t 0
2
π
= ⇒ = = ⇒ =

0
2
2 2 2 2
0 1
I cos x(1 cos x) sin xdx t (1 t )dt
π
⇒ = − = − −
∫ ∫
1
1
3 5
2 4
0
0
t t 2
(t t )dt
3 5 15
 


π
=
∫
.
Giải
Đặt
t sin x dt cos xdx
= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 t 0, x t 1
2
π
= ⇒ = = ⇒ =

2 2
5 2 2
0 0
I cos xdx (1 sin x) cos xdx
π π
⇒ = = −
∫ ∫
1
1
3 5
2 2
0
0
2t t 8
(1 t ) dt t

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

5anh
leâ
vaên

Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn).
Tính tích phân
2
4 2
0
I cos x sin xdx
π
=
∫
.
Giải
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
π π



= − + =




 
.
Ví dụ 4.
Tính tích phân
2
0
dx
I
cos x sin x 1
π
=
+ +
∫
.
Giải
Đặt:
(
)
2
2
x 1 x 2dt
t tg dt tg 1 dx dx
2 2 2

ln t 1 ln 2
t 1
= = + =
+
∫
.

4. Dạng liên kết
Ví dụ 5.
Tính tích phân
0
xdx
I
sin x 1
π
=
+
∫
.
Giải
Đặt
x t dx dt
= π − ⇒ = −

Đổi cận:
x 0 t , x t 0
= ⇒ = π = π ⇒ =

(
)

dt dt
t
t t2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
π π
π π
= =
π
−
+
∫ ∫
(
)
(
)
( )
2
0
0
t
d
t
2 4
tg
t
2 2 2 4
cos


Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

6anh
leâ
vaên

Ví dụ 6.
Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
π
=
+
∫
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
π
= − ⇒ = −

2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
π
= =
+
∫
(1).
Mặt khác
2
0
I J dx
2
π
π
+ = =
∫
(2). Từ (1) và (2) suy ra I
4
π
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n

sin x 3 cos x
π
=
+
∫
.
Giải
•

( )
6 6
2 2
6
0
0 0
sin x 3 cos x
I 3J dx (sin x 3 cos x)dx cos x 3 sin x 1 3 (1)
sin x 3 cos x
π π
π
−
− = = − = − − = −
+
∫ ∫

•

(
)
6 6

π π
π π
⇒ + = =
∫ ∫
( )
2 2
2
3 3
d(cos t)
1 1 1 1
d(cos t)
2 4 cos t 1 cos t 1
cos t 1
π π
π π
= = −
− +
−
∫ ∫2
3
1 cos t 1 1
ln ln 3
4 cos t 1 4
π
π
−
= =

 
= −
 



.
Vậy
3 1 3 1 1 3
I ln 3 , J ln 3
16 4 16 4
− −
= + = −
.

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

7anh
leâ
vaên

Ví dụ 8.
Tính tích phân
1
2
0
ln(1 x)

⇒ = + = +
+
∫ ∫
.
Đặt
t u dt du
4
π
= − ⇒ = −

Đổi cận:
t 0 u , t u 0
4 4
π π
= ⇒ = = ⇒ =( )
0
4
0
4
I ln(1 tgt)dt ln 1 tg u du
4
π
π
π
 
⇒ = + = − + −
 

.
Vậy
I ln 2
8
π
=
.
Ví dụ 9.
Tính tích phân
4
x
4
cos x
I dx
2007 1
π
π
−
=
+
∫
.
Giải
Đặt
x t dx dt
= − ⇒ = −

Đổi cận:
x t , x t
4 4 4 4

cos tdt 1 cos tdt
1 2007 2007 1
π π
π π
− −
+ −
= = −
+ +
∫ ∫4 4 4
0
4 4
1 2
cos tdt I I cos tdt cos tdt
2 2
π π π
π π
− −
= − ⇒ = = =
∫ ∫ ∫
.

Tổng quát:

Với
a > 0
,
0

vaên

Ví dụ 10.
Cho hàm số f(x) liên tục trên
»
và thỏa
f( x) 2f(x) cos x
− + =
.
Tính tích phân
2
2
I f(x)dx
π
π
−
=
∫
.
Giải
Đặt
2
2
J f( x)dx
π
π
−
= −
∫
,

Vậy
2
I
3
=
.
* Chú ý:

Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần
.
Ví dụ 4.
Tính tích phân
2
4
0
I cos xdx
π
=
∫
.
Giải
Đặt
2
t x x t dx 2tdt
= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
2
x 0 t 0, x t
4 2

t ln x x e dx e dt
= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 1 t 0, x e t 1
= ⇒ = = ⇒ =( )
1
1
t
t
0
0
sin t cos t e (sin1 cos1)e 1
I e sin tdt
2 2
− − +
⇒ = = =
∫
.
Vậy
(sin1 cos1)e 1
I
2
− +
=
.



a

1
x

2
x

b

f(x)+

0

−

0

+Bước 2.
Tính
1 2
1 2
b x x b
+

0

−

0

( ) ( )
1 2
2 2
3 1
59
I x 3x 2 dx x 3x 2 dx
2
−
= − + − − + =
∫ ∫
.
Ví dụ 2.
Tính tích phân
2
2
0
I 5 4 cos x 4 sin xdx
π
= − −
∫


( ) ( )
6 2
0
6
I 2 sin x 1 dx 2 sin x 1 dx 2 3 2
6
π π
π
π
= − − + − = − −
∫ ∫
.
2. Dạng 2
Giả sử cần tính tích phân
[ ]
b
a
I f(x) g(x) dx
= ±
∫
, ta thực hiện
Cách 1.
Tách
[ ]
b b b
a a a
I f(x) g(x) dx f(x) dx g(x) dx
= ± = ±
∫ ∫ ∫

2 2 2
1 1 1
I x x 1 dx x dx x 1 dx
− − −
= − − = − −
∫ ∫ ∫

0 2 1 2
1 0 1 1
xdx xdx (x 1)dx (x 1)dx
− −
= − + + − − −
∫ ∫ ∫ ∫

0 2 1 2
2 2 2 2
1 0 1 1
x x x x
x x 0
2 2 2 2
− −
   
 
 
= − + + − − − =
 
 
 
 
   

Để tính các tích phân
{ }
b
a
I max f(x), g(x) dx
=
∫
và
{ }
b
a
J min f(x), g(x) dx
=
∫
, ta thực hiện các bước
sau:
Bước 1.
Lập bảng xét dấu hàm số
h(x) f(x) g(x)
= −
trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu
h(x) 0
>
thì
{
}
max f(x), g(x) f(x)
=

.
Giải
Đặt
(
)
(
)
2 2
h(x) x 1 4x 2 x 4x 3
= + − − = − +
.
Bảng xét dấu
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
( )
( )
( )
1 3 4
2 2
0 1 3
80
I x 1 dx 4x 2 dx x 1 dx
3
= + + − + + =
∫ ∫ ∫
.
Vậy
80
I
3

= − − = + −
.
Bảng xét dấu
x 0 1 2
h(x) – 0 +
( )
1 2
2
1
x 2
x
0
1
0 1
3 x 2 5
I 3 dx 4 x dx 4x
ln 3 2 ln 3 2
 


= + − = + − = +




 
∫ ∫
.
Vậy
2 5

π π


∈ −




 
;
2 2
(hoặc u
∈
(
)
π
0;
).
b)
22
ta −
Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u
 
π π
 
∈ −
 
 
;
2 2

(hoặc u
 
π π
 
∈ −
 
 
;
2 2
-
{
}
0
)
Chú ý công thức:∫
+ ax
dx
2
=
axx ++
2
ln +C (C là hằng số tuỳ ý)
Chứng minh:
Đặt t = x +
ax +
2


∫
+ ax
dx
2
=
∫
+++=+=
CaxxCt
t
dt
2
lnln (ĐPCM)
Với hàm hợp:
∫
+++=
+
Cauu
au
du
2
2
ln
(*)Trong đó u = u(x).
Ví dụ 1:
Tính I =
∫
−
2
3
1

6
và
.
dx cost dt
=

vậy I =
∫ ∫
Π Π
Π
==
−
6
0
6
0
0
2
6
sin1
cos
tdt
t
tdt
=
π
6Ví dụ 2:

−+
3
2
2
3)12( x
dx

=
∫
−+
+
3
2
2
4)12(
)12(
2
1
x
xd
=
3
2
2
34412ln
2
1
−+++ xxx
=


+−
2
21
2
1
2
2)12( x
dx

Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:
K =
∫
+
+−
2
21
2
1
2
2)12( x
dx
=
2
21
2
1
2
34412ln
2
1

− −
−
−−=
−
−
−=
−
0
2
0
2
0
2
21ln
2
1
21
)21(
2
1
21
x
x
xd
x
dx
= -
5ln
2
1

+
++
+
dx
cbxax
bax
2
2
∫
++ cbxax
dxM
2
.

Ví dụ 1:
Tính I =
∫
−+
+
32
)4(
2
xx
dxx

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

13
6
32
)22(
2
1
22
xx
dx
xx
dxx
=
=
321ln332
22
−++++−+
xxxxx
C
+

Ví dụ 2:
Tính J =
∫
−
++
+
0
1
2
22
)2(

x

=
2
1
∫
−
++
+
0
1
2
22
)22(
xx
dxx
+
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx

=
0
1
22

x
1
=+
βα
chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).
Ví dụ 1:
Tính I =
∫
+++
1
0
2
22)1( xxx
dx

Đặt 1
+
x =
t
1
. Đổi cận: x = 0
⇒
t = 1 ; x = 1
⇒
t =
2
1
và dx = -
2
t

+−
3
2
2
1)1( xx
dx

Đặt x -1 =
t
1

⇔
x =
t
t 1
+

Đổi cận: x = 2 thì t = 1 , x = 3 thì t =
2
1
và dx = -
2
t
dt

Tích phân cần tính là: I =
∫
+



dt

=
∫
+






+






+
1
2
1
2
4
1
2
1
2
1
2

ln
2
1

Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

14anh
leâ
vaên

Ví dụ 3:
Tính K =
∫
+−+
2ln
0
2
1)1(
xxx
x
eee
dxe

Đặt t = e

−=

⇒

2
u
du
dt
−=
và 1
1
−=
u
t
Vậy K =
∫
+






−







1
+






−+−
uu
=
3ln
6
3

Ví dụ 4:
Tính N =
∫
Π
Π
+
2
6
2
2
cot
xSin
gxdx

Ta có : N =

2
2tt
dt
Lại đặt u =
t
1
thì N =
∫
+
2
1
2
2
12
1
u
du
=
=
2
1
2
1
2
2
1
ln
++
uu
=

++ cbxax
dxxf
2
)(
= g(x).
cbxax ++
2
+
∫
++ cbxax
dx
2
λ

Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).
Tìm các hệ số của g(x) và số
λ
bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 1:
Tính M =
∫
32
)1(
2
2
++
+
xx
dxx


xx
x

32.
2
++ xxA
+
32
)1)((
2
++
+
+
xx
xBAx
+
32
2
++ xx
λ

Đồng nhất hệ số ta có :
1;
2
3
;
2
1
=−==
λ


15anh
leâ
vaên

Ví dụ 2:
Tính N =
∫
++
+−
dx
xx
xx
22
1
2
3

Ta có :
∫
++
+−
dx
xx
xx
22
1

1
6
2 1
5
2
A
A
B
A B
A B C
C
B C D
D

=



=
−


=

+ =

⇔
 
+ + = −
 

22152
6
1
22
+++−
xxxx + Cxxx
+++++
221ln
2
5
2

Ví dụ 3:
Tính P =
(
)
∫
−
++
+−
0
1
2
22
)1(1
dx
xx
xxx

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:

−
++
+−
0
1
2
3
22
1
dx
xx
xx
-
∫
−
++
0
1
2
22xx
dx

= N -
∫
−
++
0
1
2
22xx

:
∫
−
++
n
mnm
dcxbax
dx
2
)()(
với 0.,,
*
≠∈
caNnm
Cách làm:Đặt
n
m
dcx
bax
t






+
+
=
ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.

45
13






+
+
=⇒
x
x
t

2
2
)45(
7
.
45
13
.32
+







1
=⇒=
tx
Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

16anh
leâ
vaên

Vậy : I =
∫
++
1
0
3
)45()13( xx
dx
=
( )
∫






+

8
1
21
2
−
∫
=
27
8
8
1
3
7
2
t
−
=
7
1

6. Tích phân dạng:

∫
+
+
dx
dcx
bax
Với
(

−=
3
x
dx
dt
−
−=⇒
32

dt
x
dx
2
3
−=
−
⇒

Khi đó
22
413 txtx −=+⇒+−=

Vậy J =
∫
−
+
1
0
3
1

Vậy : J =
4
2
3
2 4 4 .2
sin y cosydy
π
π
− −
∫
=
3 3
2
4 4
1 2
4. 2 8
2
cos y
cos ydy dy
π π
π π
+
=
∫ ∫

=
( )
3
4
4 2 2

1
3
11
11
dx
x
x

Đặt
6
1
+=
xt dxdtttxt
=⇒≥+=⇒
56
6)0(1

I =
∫
−
++
+−
0
1
3
11
11
dx
x
x

22
2346
1
6
1
6
666666 dt
tt
t
ttttt

Tích phân này dễ dàng tính được.
Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

17anh
leâ
vaên

Ví dụ 2 :
Tính J =
∫
++++
−+
3

4
)2(2
tt
tdtt
=
∫
+
−
2
1
3
1
42
dt
t
t
=
∫






+−
+
+
+
2
1

dt
tt
t
=
∫ ∫
+−






−
−
+−
+−
+
2
1
2
1
22
2
1
2
1
1
)1(
3
2

:
∫
+
dxbxax
qpr
)( (p,q,r là các phân số)
a)Nếu q nguyên đặt x= t
s
với s là BCNN của mẫu số r và p.
b)Nếu
p
r 1
+
nguyên đặt
sp
tbxa
=+
với s là mẫu của phân số q.
c) Nếu
p
r 1
+
+q nguyên đặt
sp
tbax
=+
−
với s là mẫu số của phân số q.
Ví dụ1 :
Tính I =


+−
∫

Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t
4
ta có dx=4t
3
dt
I =
∫
−
32
3
)1(
4
tt
dtt
=
4
∫
−
3
)1(
t
tdt
=
∫



−−
−
+
−
− 1ln
1
1
)1(2
1
4
2

.
Ví dụ 2 :
Tính J =
∫
−−
22
5
)( xaxa
dxx

(
)
0>a

Ta có: J =
dxxax
∫
−

−
−
3
2
2
t
tdtta
= -
dt
t
aatt
∫
+−
3
224
2
=
C
t
a
att
+++−
2
3
2
3
1
.
Ví dụ 3 :
Tính N =

vì 1
1
=+
+
q
p
r
nguyên nên ta đặt
32
1
tax
=−
−
hay
Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

18anh
leâ
vaên23
2
2
3
23
2

∫






+
− dt
t
at
t
23
2
)1(
3
2
1
=
∫
+
−
23
3
)1(
2
3
t
dtta
=

9.Các phép thế Euler:
a) Đặt
cbxax ++
2
= ±
xa
.
t
+
Nếu
a
>0
b) Đặt
cbxax ++
2
=
t
x
.
±
c
Nêú c>0
c) Đặt
cbxax ++
2
= )(
0
xxt
−
Nếu x

Suy ra:
dt
t
tt
dx
2
2
)62(
)56(2
−
−+−
=6
2
56
56
2
2
+−
−+−
=++
t
tt
xx

Với 50
=⇒=
tx

−
232
53
ln3ln
132
5
t

Ví dụ 2 :
Tính P =
∫
−
−
+++
++−
2
5
2
2
23
23
dx
xxx
xxx

Tam thức bậc hai x
2
+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt

)1(23

dx

Khi đó: P =
∫
−
−
+++
++−
2
5
2
2
23
23
dx
xxx
xxx
=
∫
−
+−−
−−
0
2
3
3
2
)1)(1)(2(
42
dt

108
17
∫
−
+
0
2
3
1
dt
t
dt
+
4
3
∫
−
−
0
2
3
1
dt
t
dt
-
27
16
∫
−





−+−−++
+
+
+
ttt
t
t
.
Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

19anh
leâ
vaên

Ví dụ 3 :
Tính L =
∫
−
−
+−−

=
∫
−
−
−
3
8
1 xx
dx
Đặt
xt
−=
1
Ví dụ 2:
Tính I
2
=
∫
+
1
0
3
1dxxx
Đặt
3
1
+=
xt

Ví dụ 3:

−
xdx
=
2
7
0
3
2
3
)12(
+
x
=
4
9

Ví dụ 4:
Tính I
4
=
∫
−+
1
0
1 xx
dx

Ta có : I
4
=

dxx
∫
−
1
0
2
4

Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần
Đặt
2
4 xu −=dxdv
=

Cách 2
: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b)
Đáp số:
3
2
3
Π
+

Ví dụ 6:
Tính
∫
−

ln
22

Ví dụ 7:
Tính
∫
+
x
a
dx
1

(
)
10 ≠< a Giải tích 12NC Thầy: Lê Văn Ánh

20anh
lê
văn

Đặt
2
x
at

+
x
x
e
dxex
1
.
Đặt
x
et += 1

(
)
1>t

Ta có:
∫
+
x
x
e
dxex
1
.∫

Cxeex
xx
+−++++−
2)11ln(41)2(2
Ví dụ 9:
Tính
∫
−
+
2
12
1
x
dxx
n

Đặt
2
1 xt −=

(
)
1<x

Ta có:
∫
−
+
2
12

=
+
+
+
−−
n
k
k
k
n
k
C
k
t
C
0
12
12
1
=
∑
=
+
+
+−
+
−
n
k
k