ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - - - - - - - -
TRẦN THỊ THU HẰNG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Thị Thu Hằng
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA
PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
Hà Nội - 2012
Lời nói đầu
Lý thuyết về phương trình hàm là một trong những lĩnh vực quan trọng
của Giải tích toán học. Hiện nay, có khá nhiều cách tiếp cận phương trình hàm
với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau như nghiên cứu định tính (xác định
một số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên cứu tính định lượng (ước lượng số
nghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương,
nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn Trong đó, tính ổn
định nghiệm của phương trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiên
cứu chính khi tiếp cận phương trình hàm.
Năm 1940, trong nhiều buổi chuyên đề tại câu lạc bộ toán học của trường đại

Với mỗi phương trình hàm tổng quát thì câu hỏi được đưa ra như sau: khi
giả thuyết này là đúng thì nghiệm của phương trình có khác với nghiệm của
phương trình trước đó không? Tương tự như nếu ta thay phương trình bằng bất
phương trình thì nghiệm của bất phương trình đã cho có gần đúng với nghiệm
của phương trình ban đầu.
i
Lời nói đầu
Nếu câu trả lời là đúng thì ta có thể nói phương trình Cauchy này là ổn định.
Những dạng câu hỏi này là cơ sở cho những bài toán về tính ổn định.
Luận văn
"Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm
và các dạng toán liên quan"
trình bày một số khái niệm cơ bản về các phương trình hàm Cauchy cơ bản
(phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) và phương
trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa ra dạng tổng quát về nghiệm tổng quát
của các phương trình hàm trong lớp hàm liên tục, gián đoạn và trong trường số
phức Từ đó đưa ra các kết quả về tính ổn định của phương trình hàm trên.
Bố cục luận văn gồm 2 chương.
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản về các phương trình hàm
Cauchy cơ bản (phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm mũ, phương
trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) và phương trình hàm D’ Alam-
bert đồng thời đưa ra dạng tổng quát về nghiệm của các phương trình trên
trong lớp hàm liên tục, hàm không liên tục và lớp hàm trong trường phức của
hai phương trình hàm này.
Chương 2: Tính ổn định của các phương trình hàm
Mục đích của chương này trình bày tính ổn định của các phương trình hàm đã
trình bày ở chương 1. Tính ổn định của phương trình hàm được nghiên cứu từ
năm 1940 mà đặt nền móng cho vấn đề này là câu hỏi của S. M. Ulam. Năm
1941, D. H. Hypers là người đầu tiên trả lời câu hỏi của Ulam, ông cho ra một

)
có liên quan đến phương trình hàm d’ Alambert.
iii
Bảng kí hiệu
Z tập các số nguyên
Z
+
tập số nguyên không âm
Z
∗
+
tập số thực dương
R tập số thực
R
∗
tập số thực khác không
R
+
tập số thực không âm
R
∗
+
tập số thực dương
C tập số phức
F trường vô hướng, hoặc R hoặc C
Rez phần thực của số phức z = a + bi
Imz phần ảo của số phức z = a + bi
signx =



2.1.4 Tính ổn định của phương trình hàm nhân tính . . . . . . . 52
2.2 Tính ổn định của phương trình hàm d’ Alembert . . . . . . . . . . 53
2.2.1 Tính ổn định của phương trình hàm cosin (A) . . . . . . . 53
2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (A
fg
), (A
gf
), và (A
gg
) . . 60
2.2.3 Tính ổn định của phương trình hàm (A
fgfg
) và (A
fggf
) . . 71
Kết luận 77
Tài liệu tham khảo 78
vi
Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi sẽ đề cập đến hai dạng toán cơ bản nhất trong
lý thuyết về phương trình hàm đó là phương trình hàm Cauchy và phương trình
hàm D’ Alambert. Chúng đóng vai trò nòng cốt để giải quyết các lớp hàm khác
nhau về xác định hàm số trong đại số và trong lượng giác tương ứng.
1.1 Phương trình hàm Cauchy
Trong lý thuyết về phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy được nghiên
cứu từ rất lâu và các tính chất của nó khá hữu hiệu trong việc các ngành khoa
học và tự nhiên. Chúng tôi xin đưa ra một số các dạng cơ bản của phương trình
Cauchy sau:
f(x + y) = f(x) + f(y), (Phương trình hàm cộng tính).

+ x
2
+ + x
n
) = f(x
1
) + f(x
2
) + + f(x
n
).
với x
k
= x, (k = 1, 2, , n) thay vào phương trình trên ta có:
f(nx) = nf(x), ∀n ≥ 0. (1.4)
Hơn nữa, với mỗi số n nguyên âm, sử dụng f là hàm lẻ và (1.4) ta thu được:
f(nx) = −f(−nx)
= −(−n)f(x)
= nf(x).
Do đó (1.4) đúng với mọi số n nguyên. Với một số hữu tỷ r có dạng r =
m
n
⇒
m = nr. Ta có:
f(nrx) = f(mx)
⇔ nf(rx) = mf(x)
⇔ f(rx) =
m
n
f(x) = rf(x), ∀x ∈ R.

một đường thẳng (không thẳng đứng) đi qua gốc tọa độ. Hơn nữa, tính liên tục
của hàm f trong (1.1) có thể được làm yếu đi thậm chí điều kiện liên tục trở
thành liên tục tại một điểm thì hàm f vẫn có dạng tuyến tính. Điều này được
G. Darboux chứng minh trong định lý sau.
Định lí 1.1.3. Nếu f liên tục tại một điểm x
0
∈ R cho trước thì f thỏa mãn
tính cộng tính sẽ liên tục trên R.
Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết ta có:
lim
x→x
0
f(x) = f(x
0
),
thì với mỗi x
1
∈ R ta đều có:
f(x) = f(x − x
1
+ x
0
) + f(x
1
) −f(x
0
) ∀x ∈ R.
Từ đó suy ra:
lim
x→x

điều kiện hàm f liên tục tại một điểm thì f vẫn có tính tuyến tính. Trong các
bài giảng gần đây đã đưa ra khá nhiều điều kiện khác để đảm bảo tính chất trên
nghĩa là ta yếu đi các giả thiết về tính liên tục của hàm f mà ta vẫn được những
kết quả tương tự. Một số điều kiện tương đương với tính liên tục và các chứng
minh được biết đến trong bài giảng của Aczél,Aczél và Dhombers, Kannappan,
và Kuczma. Sau đây là một vài kết quả ta thu được:
Định lí 1.1.4. Cho f : R → R là một hàm cộng tính với c = f(1). Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:
(i) f liên tục tại điểm x
0
.
(ii) f đơn điệu tăng.
(iii) f không âm với mỗi x không âm.
(iv) f bị chặn trên trên một khoảng hữu hạn.
(v) f bị chặn dưới trên một khoảng hữu hạn.
(vi) f bị chặn (trên) dưới trên một tập bị chặn có độ đo Lesbesgue dương.
(vii) f bị chặn trên một tập bị chặn có độ đo dương (Lesbesgue).
(viii) f bị chặn trên một khoảng hữu hạn.
(ix) f(x) = cx.
(x) f khả tích Lesbesgue địa phương.
(xi) f khả vi.
(xii) f là đo được Lesbesgue.
Chứng minh.
(i) ⇒ (ii) Lấy x > y và {r
n
} là một dãy hữu tỷ sao cho r
n
→ x − y khi n → ∞
thì r
n

như vậy
f(x) −f(y) + c(y − x) = 0.
suy ra
f(x) −f(y) = c(x − y) > 0 trong đó c = f(1) > 0.
Do đó f là một hàm đơn điệu tăng hay (ii) được chứng minh.
(ii) ⇒ (iii) Giả sử x ≥ 0 từ (ii) ta có:
f(x) ≥ f(0) = 0.
vậy (iii) được chứng minh.
(iii) ⇒ (iv) Giả sử x ∈ [a, b] (một khoảng hữu hạn) thì b − x ≥ 0 và từ (iii) và
tính cộng tính của hàm f suy ra:
f(b) ≥ f(x).
nghĩa là f bị chặn trên trên đoạn [a, b] bởi f(b).
(iv) ⇒ (v) Cho [c, d] là một khoảng hữu hạn và x ∈ [c, d]. Từ (iv) giả sử f là một
hàm bị chặn trên trên [c, d] thì f là một hàm bị chặn trên trên [c −x, d −x].
Như vậy ta có tồn tại m sao cho:
f(c −x) ≤ m,
nghĩa là
f(x) ≥ f(c) −m.
Điều này chỉ ra rằng f là hàm bị chặn dưới trên [c, d].
(v) ⇒ (vi) Giả sử f là một hàm bị chặn trên trên tập bị chặn F có độ đo
Lesbesgue dương. Tồn tại một khoảng hữu hạn [a, b] sao cho F ⊂ [a, b]. Với
x ∈ [a, b] ta xét [a − x, b − x], từ (v) ta có vì f là hàm bị chặn dưới nên
f(a −x) ≥ m hoặc f(x) ≤ f(a) − m, nghĩa là f bị chặn trên trên đoạn [a, b]
và do đó f bị chặn trên khoảng F.
5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
(vi) ⇒ (vii) Giả sử f bị chặn dưới trên tập bị chặn F có độ đo dương. Do
đó F + F là tập có phần trong khác rỗng. Như vậy, tồn tại một đoạn
[c, d] ⊂ F + F và f là tập bị chặn dưới trên [c, d]. Từ chứng minh (v) ⇒ (vi)
dễ dàng chỉ ra rằng f bị chặn dưới trên [c, d]. Ta có (vii) được chứng minh.

a
f(x + y)dy =

b
a
f(x)dy +

b
a
f(y)dy.
nghĩa là

b+x
a+x
f(v)dv = (b − a)f(x) + d.
Vì f là khả tích địa phương nên từ phương trình trên suy ra f liên tục và
cuối cùng f là khả vi. Vậy (xi) được chứng minh.
6
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
(xi) ⇒ (xii) Hiển nhiên.
(xii) ⇒ (i) Để chứng minh với mọi nghiệm đo được của (1.1) là liên tục (nghĩa
là có dạng tuyến tính), một số chứng minh được biết đến từ các tác giả
(Sierpinski, Alexiewicz và Orlicz). Sau đây, là một trong số chứng minh đó.
Chứng minh([2]Chứng minh theo Sierpinski).
Ta biết rằng nếu P, Q là hai tập đo được tuyến tính có độ đo dương, thì
tồn tại các điểm p ∈ P và q ∈ Q. Đặt:
ϕ(x) = f(x) − xf(1), ∀x ∈ R. (1.7)
mà ta biết rằng ϕ(r) = 0 với mỗi r hữu tỷ và
ϕ(x + r) = ϕ(x) x ∈ R, r ∈ Q.
Từ định nghĩa của hàm ϕ ta suy ra ϕ đo được (vì f là đo được). Bây giờ

sao cho x
1
− x
2
= r trong đó r ∈ Q ta có
ϕ(x
1
) = ϕ(x
2
+ r) = ϕ(x
2
).
suy ra mâu thuẫn vì x
1
∈ E
1
, x
2
∈ E
2
. Như vậy tập E
1
và E
2
có độ đo
không. Đặt E = E
1
∪E
2
thì E có độ đo không và E := {x|ϕ(x) = 0}, thì tập


x
0
φ(t)dt,
=

x
0
φ(2t)dt,
=

x
0
dt
1 + 2|ϕ(t)|
.
nên

x
0
|φ(t)|dt
(1 + 2|φ(t)|)(1 + 2|φ(t)|)
= 0.
Suy ra ϕ(t) = 0 khắp nơi. Nghĩa là f(t) =
f(x)
x
t với mọi t, trong trường hợp
cụ thể với mọi x = 0 tồn tại một số t
0
= 0 sao cho:

Đặt
E
m
= {x ∈ I : |f(x)| ≤ m}, với m ∈ Z.
thì E
1
⊂ E
2
⊂ và ∪E
m
= I. Do đó tồn tại một số n sao cho µ(E
n
) là dương
(với µ là độ đo Lesbesgue). Đặt
F
k
= y
k
+ E
n
= {z : z = y
k
+ x : x ∈ E
n
},
= {z : |z − y
k
| < A, |f(z − y
k
)| ≤ n}.

j
) nên z
j
∈ G
k
, j = k và G
j
∩ G
k
= φ. Do đó F
j
∩ F
k
= φ với mọi
j = k. Do đó
µ(∪
∞
1
F
k
) =
∞

1
µ(F
k
) ≤ 4A, F
k
⊂ G
k

Định lí 1.1.7. Tồn tại một hàm cộng tính f không liên tục.
Trước khi chứng minh định lý này, Hamel đã xây dựng ý tưởng về cơ sở
Hamel để xây dựng một hàm cộng tính phi tuyến. Xét tập hợp
S = {s ∈ R|s = u + v
√
2 + w
√
3, u, v, w ∈ Q}.
tập mà các phần tử là tổ hợp tuyến tính hữu tỷ của 1,
√
2,
√
3. Hơn nữa tập sinh
bởi tổ hợp hữu tỷ này là duy nhất. Nghĩa là nếu một phần tử s ∈ S có hai tổ
hợp tuyến tính hữu tỷ khác nhau, chẳng hạn,
s = u + v
√
2 + w
√
3 = u

+ v

√
2 + w

√
3.
thì u = u


b
√
2 + c
√
3 = −a.
và bình phương hai vế ta có,
2bc
√
6 = a
2
− 2b
2
− 3c
2
.
Từ đây suy ra b hoặc c là 0.Trường hợp khác, ta chia hai vế cho 2bc và có
√
6 =
a
2
− 2b
2
− 3c
2
2bc
.
10
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
cho ta sự mâu thuẫn rằng
√

x
n
với ∀x
i
∈ B và r
i
∈ Q ∀i = 1, , n.
(ii) Không có tập con nào của B có tính chất xác định như trong (i).
Để chỉ ra sự tồn tại của một cơ sở ta sử dụng phương pháp quy nạp siêu hạn
hay bổ đề Zorn. Chú ý, B là một tập không đếm được và biểu diễn của x được
cho bởi (i) là duy nhất.
Nhận xét rằng, có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các hàm cộng tính và cơ sở
Hamel. Để diễn tả một hàm cộng tính ta chỉ cần cho các giá trị trên một cơ sở
Hamel là đủ, các giá trị đó có thể phân bố tùy ý. Điều này là nội dung của hai
định lý tiếp theo.
Định lí 1.1.9. Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R. Nếu hai hàm cộng tính
có giá trị bằng nhau tại mỗi phần tử của B, thì chúng bằng nhau.
Chứng minh. Giả sử f
1
, f
2
là hai hàm cộng tính có giá trị giống nhau tại mỗi
phần tử của B. Khi đó f
1
−f
2
là cộng tính. Giả sử đối với ta ký hiệu f = f
1
−f
2

2
(x) = f(x) = f(r
1
b
1
+ r
2
b
2
+ + r
n
b
n
),
= f(r
1
b
1
) + f(r
2
b
2
) + + f(r
n
b
n
) = r
1
f(b
1

2
[f
1
(b
2
) −f
2
(b
2
)].
Như vậy, ta có f
1
= f
2
và ta thu được điều phải chứng minh.
11
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Định lí 1.1.10. Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R. Giả sử g : B → R là
một hàm tùy ý xác định trên B. Khi đó tồn tại một hàm cộng tính f : R → R
sao cho f(b) = g(b) với mọi b ∈ B.
Chứng minh. Với mỗi số thực x có thể tìm được b
1
, b
2
, , b
n
trong B và các số
hữu tỉ r
1
, r

).
Biểu thức này xác định f(x) với mọi x. Định nghĩa này là duy nhất, đối với mỗi
x việc chọn b
1
, b
2
, , b
n
, r
1
, r
2
, , r
n
là duy nhất, không kể đến thứ tự của các số
b
i
, r
i
được chọn. Đối với mỗi b ∈ B, ta có f(b) = g(b) bởi cách xác định của f.
Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằng f là cộng tính trên tập số thực. Giả sử x, y là hai số
thực tùy ý. Thế thì
x = r
1
a
1
+ r
2
a
2

là các số hữu tỷ và a
1
, a
2
, , a
n
, b
1
, b
2
, , b
m
là các phẩn
tử của cơ sở Hamel B. Hai tập {a
1
, a
2
, , a
n
} và {b
1
, b
2
, , b
m
} có thể có những
phần tử chung. Giả sử hợp của hai tập đó là {c
1
, c
2

1
, u
2
, , u
l
, v
1
, v
2
, , v
l
là các số hữu tỉ, và không đồng thời bằng không.
Bây giờ
x + y = (u
1
+ v
1
)c
1
+ (u
2
+ v
2
)c
2
+ + (u
l
+ v
l
)c

+ v
2
)g(c
2
) + + (u
l
+ v
l
)g(c
l
),
= [u
1
g(c
1
) + u
2
g(c
2
) + + u
l
g(c
l
)],
+ [v
1
g(c
1
) + v
2

i
, với y =
n

i=1
q
k
x
k
, x
i
∈ B.
(với những hằng số r
i
và q
k
có thể bằng 0, nên chúng ra có thể sử dụng số n
trong cả hai trường hợp)
x + y =
n

i=1
(r
i
+ q
i
)x
i
.
Từ (1.9), ta thu được

j
) = 0 j = i, x
j
∈ B.
Giả sử f liên tục thì f(x) = cx. Do đó
f(x
j
)
f(x
i
)
=
x
j
x
i
. Như vậy vế phải bằng 0, còn
vế trái là một số khác không (trong cơ sở không thể có 2 phần tử bằng 0). Như
vậy trái giả thiết. Tức là hàm f là hàm cộng tính phi tuyến
Bây giờ ta bắt đầu tìm hiểu rõ về lớp hàm cộng tính phi tuyến. Trước tiên, ta
chỉ ra lớp hàm cộng tính phi tuyến phô diễn dáng điệu rất kỳ lạ.
Định nghĩa 1.1.11. Đồ thị của một hàm f : R → R là tập
G = {(x, y)|x ∈ R, y = f(x)}.
Rõ ràng đồ thị của hàm f : R → R là một tập con trong không gian R
2
.
13
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Định lí 1.1.12. Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f : R → R là trù mật
khắp nơi trong không gian R

= x, ta sẽ có f(x) = mx ∀x = 0, và từ
f(0) = 0 điều này kéo theo f là tuyến tính trái với giả thiết rằng f là phi tuyến.
Suy ra





x
1
f(x
1
)
x
2
f(x
2
)





= 0
vì vậy các véctơ X
1
= (x
1
, f(x
1

2
thích hợp, ta có ρ
1
X
1
+ρ
2
X
2
là một
tập đóng trong không gian vectơ X do tập hợp số hữu tỷ Q là trù mật trong
tập số thực R và do đó Q
2
là trù mật trong R
2
. Vậy thì
ρ
1
X
1
+ ρ
2
X
2
= ρ
1
(x
1
, f(x
1

x
2
, f(ρ
1
x
1
+ ρ
2
x
2
)).
Vì vậy tập
ˆ
G = {(x, y)|x = ρ
1
x
1
+ ρ
2
x
2
, y = f(ρ
1
x
1
+ ρ
2
x
2
), ρ

.
Do đó f là một hàm cộng tính phi tuyến.
Chú ý: Đồ thị của hàm cộng tính phi tuyến f là trù mật trên toàn không gian
nghĩa là với mọi đường tròn luôn chứa một điểm (x, y) sao cho y = f(x).
Lớp hàm cộng tính trong C
Trong phần này, ta khảo sát lớp hàm cộng tính giá trị phức trên mặt phẳng
phức.
Một hàm f : C → C có thể được viết
f(z) = f
1
(z) + f
2
(z).
với f
1
: C → R và f
2
: C → R được cho bởi
f
1
(z) = Ref(z), và f
2
(z) = Imf(z).
Nếu f cộng tính thì
f
1
(z
1
+ z
2

1
+ z
2
) = Im[f(z
1
) + f(z
2
)],
= Imf(z
1
) + Imf(z
2
) = f
2
(z
1
) + f
2
(z
2
).
hay f
1
(z) và f
2
(z) cũng là những hàm cộng tính trên R.
Định lí 1.1.13. Nghiệm tổng quát f : C → C của phương trình (1.1) được cho
bởi
f(z) = f
1

(x + u, 0) = g
j
(x, 0) + g
j
(u, 0), j = 1, 2.
Đặt
f
j
(x) = g
j
(x, 0), j = 1, 2, x ∈ R. (1.12)
Rõ ràng f
j
thỏa mãn (1.1) trong R. Tương tự đặt
f
3
(y) = g
1
(0, y), f
4
(y) = g
2
(0, y), với y ∈ R. (1.13)
thì f
3
và f
4
là nghiệm của phương trình (1.1) trên R. Ta có
g
1

j
: R → R là nghiệm của (1.1) với j = 1, 2.
Định lí 1.1.15. Nghiệm tổng quát liên tục f : C → C của phương trình (1.1)
được cho bởi
f(z) = cz + d¯z, z ∈ C. (1.15)
trong đó c, d là hằng số tùy ý, ¯z là số phức liên hợp của z. Kết luận tương tự vẫn
còn đúng khi f hoặc liên tục tại một điểm hoặc đo được.
Chứng minh. Vì f là một hàm cộng tính, theo định lý (1.1.13) ta có
f(z) = f
1
(x) + if
2
(x) + f
3
(y) + if
4
(y).
trong đó f
j
: R → R với j = 1, 2, 3, 4 là hàm cộng tính giá trị thực. Từ tính liên
tục của hàm f suy ra f
j
, j = 1, 2, 3, 4 là cũng có những tính liên tục nên ta có:
f
j
(x) = c
j
x.
16
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2
x +
a −bi
2
x −
a + bi
2
iy +
a −bi
2
iy,
=
a −bi
2
x +
a −bi
2
iy +
a + bi
2
x −
a + bi
2
iy,
=
a −bi
2
(x + iy) +
a + bi
2

1
) + f(z
2
). (1.16)
theo biến z
1
ta có:
f

(z
1
+ z
2
) = f

(z
1
), ∀z
1
, z
2
∈ C.
Ta có lấy z
1
= 0 và z
2
= z nên
f

(z) = c.

hàm thỏa mãn phương trình hàm cộng tính.
Chứng minh. Giả sử x
0
∈ T thỏa mãn f(x
0
) = 0. Khi đó từ (1.17) ta có với mọi
x ∈ R:
f(x) = f(x − x
0
+ x
0
),
= f(x −x
0
)f(x
0
),
= 0. (1.18)
Như vậy
• xét T = R, khi đó f(x) = 0 nghĩa là f (x) ≡ 0 khắp mọi nơi.
• xét T = R
+
, khi đó f(x) = 0 với ∀x ≥ x
0
.
• xét T = R
∗
+
,, với x ∈]0, x
0