ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TẠ NGỌC ÁNH
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG
Hà Nội - 2012
Mục lục
Lời cam đoan i
Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iv
Mở đầu 1
1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Một số kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định . 12
2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên 16
2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị . . . . . . . . . 16
2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị . . . . . . . . . . 28
3. Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 34
3.1 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị . . . . . . 35
CB(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng và bị chặn của X
d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B
d(A, B) Khoảng cách giữa hai tập hợp khác rỗng A, B
H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B
Gr(F ) Đồ thị của ánh xạ F
µ Độ đo Lebesgue
P Độ đo xác suất
p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất
h.c.c. Hầu chắc chắn
iv
MỞ ĐẦU
Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứu
của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên. Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý
thuyết phương trình toán tử tất định. Trong vòng 60 năm trở lại đây,
hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán
học và thu được nhiều kết quả. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt
được của lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào một
trường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các nghiên
cứu về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầu
bởi O. Hans và A. Spacek trong những năm 1950 (xem [35, 70]). Họ đã
chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính
là phiên bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau các công
trình của Spacek và Hans, phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm
bất động nổi tiếng khác cũng được chứng minh. Lý thuyết phương trình
toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được tiếp thêm
sức mạnh sau sự ra đời của cuốn sách Random integral equations (1972)
và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976)
của A. T. Bharucha-Reid (xem [19, 20]). Nhiều tác giả đã thành công
trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc
chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho
khá yếu, chẳng hạn các toán tử ngẫu nhiên liên tục sẽ thỏa mãn điều
kiện này. Áp dụng kết quả đạt được cho bài toán điểm bất động ngẫu
2
nhiên chúng tôi nhận được, mở rộng các kết quả quả Xu, Tan, Yuan,
Shahzad, và nhận được hầu hết các định lý điểm bất động ngẫu nhiên
tổng quát hiện có. Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lý
điểm bất động cho toán tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng cho
toán tử ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần
tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Mỗi phần tử của
không gian metric có thể được xem như một biến ngẫu nhiên suy biến
nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1. Từ cách quan niệm như vậy
ta coi không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy
biến) của không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị L
X
0
(Ω). Với f là một
toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X chúng ta có thể xây dựng được
một ánh xạ Φ từ L
X
0
(Ω) vào L
X
0
(Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với
f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi Φ có điểm bất động.
Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kết quả về điểm bất động của ánh
xạ trong không gian metric xác suất, O. Hadzic và E. Pap đã có những
liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
(xem [33, 34]). Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miền xác định của toán
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ -
Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tôi nhiều tài liệu
bổ ích.
Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ý
kiến đóng góp quý báu.
4
Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên,
đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kết
quả nghiên cứu.
Tôi xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quan
Học viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điều
kiện cho tôi được học tập và nghiên cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới quỹ NAFOSTED, đã hỗ trợ kinh phí cho
chúng tôi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thành viên của đại gia
đình, đã luôn động viên, chia sẻ và là chỗ dựa vững chắc về mọi mặt.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2012
Nghiên cứu sinh
Tạ Ngọc Ánh
5
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này nhắc lại, thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày
một số kết quả về ánh xạ đa trị và điểm bất động cho toán tử tất định
của các tác giả khác mà chúng tôi sử dụng trong các phần sau của luận
án. Chúng tôi chỉ trích dẫn nội dung mà không trình bày chứng minh
chi tiết các kết quả đó.
1.1 Các khái niệm cơ bản
Cho Ω là tập khác ∅, được gọi là không gian mẫu. Họ A các tập con của
Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn các tính chất ∅ ∈ A, Ω\A ∈ A
mọi tập con của tập có xác suất 0 là tập đo được. Bộ ba (Ω, A, P ) gọi
là không gian xác suất. Một không gian xác suất gọi là đầy đủ nếu A là
σ-đại số đầy đủ.
Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X là
σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X. Trong suốt luận án,
khi nói đến σ-đại số các tập con của không gian metric chúng ta hiểu đó
là σ-đại số Borel. Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không
6
gian Polish [37]. Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được. Khi
đó, σ-đại số trên X ×Y ký hiệu bởi A⊗B, được xác định là σ-đại số nhỏ
nhất chứa các tập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B. Với hai không gian
tôpô X, Y bất kỳ ta có B(X ×Y ) chứa B(X) ⊗ B(Y ). Tuy nhiên, nếu X
và Y là các không gian Polish thì B(X × Y ) = B(X) ⊗ B(Y ) (xem [71]).
Cho (X, d) là một không gian metric. Khoảng cách giữa hai tập con
khác rỗng A, B của X được xác định bởi
d(A, B) = inf{d(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}.
Khoảng cách từ điểm a ∈ X đến tập B ⊂ X được xác định bởi d(a, B) =
inf{d(a, b)|b ∈ B}. Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập đóng A, B ∈
C(X) được xác định bởi
H(A, B) = max{sup
a∈A
d(a, B), sup
b∈B
d(b, A)}.
Cho (Ω, A) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh
xạ ξ : Ω → X gọi là A-đo được nếu
ξ
−1
(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A
với mọi B ∈ B(X). Nếu (Ω, A, P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X
(X, d) là không gian metric khả ly và F : Ω → C(X) là ánh xạ đa trị.
Xét các khẳng định sau:
a) F là A-đo được;
b) Với mỗi x ∈ X, ánh xạ ω → d(x, F (ω)) là A-đo được;
c) Gr(F ) là tập A ⊗ B(X)-đo được.
Khi đó, ta có a) ⇔ b) ⇒ c).
8
Định lý 1.2.2 ([37, Định lý 5.7]). Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất,
X là không gian Polish và F : Ω → 2
X
là ánh xạ đa trị. Nếu Gr(F ) là
tập A ⊗ B(X)-đo được thì tồn tại biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ : Ω → X
sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) h.c.c.
Bổ đề 1.2.3 ([40, Bổ đề 2.4]). Cho (X, d) là không gian metric khả
ly, ξ : Ω → X và F : Ω → C(X) là các ánh xạ đo được. Khi đó,
ω → d(ξ(ω), F (ω)) là ánh xạ đo được.
1.3 Toán tử ngẫu nhiên
Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu
nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f(ω, x) là
một biến ngẫu nhiên Y -giá trị. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X được
gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R được
gọi là hàm ngẫu nhiên.
Với mỗi x cố định, f(ω, x) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
Y . Do đó, ta có thể coi toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y như một quy
tắc cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong Y . Nói cách khác, toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y chính là ánh xạ
từ X vào L
Y
0
n
(ω)f
n
(x) hội tụ theo xác suất về biến
ngẫu nhiên f
x
(ω). Khi đó, phép tương ứng
(ω, x) → f
x
(ω) =
∞
n=1
α
n
(ω)f
n
(x)
xác định một toán tử ngẫu nhiên từ X vào R.
Định nghĩa 1.3.4. Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu
với mọi x ∈ X ta có f(ω, x) = g(ω, x) h.c.c., trong đó tập các ω mà
f(ω, x) = g(ω, x) nhìn chung phụ thuộc vào x.
Theo quan điểm xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c.
thì ta có thể coi chúng trùng nhau. Vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao
của nó xác định cùng một ánh xạ từ X vào L
Y
0
(Ω) nên nhiều khi chúng
ta có thể đồng nhất toán tử ngẫu nhiên với bản sao của nó.
Lipschitz với L(ω) ∈ [0; 1) với mọi ω.
Ta dễ nhận thấy: Với toán tử ngẫu nhiên, tính Lipschitz kéo theo
tính liên tục, tính liên tục kéo theo tính đo được (Định lý 1.3.9).
Ví dụ 1.3.8. Cho (Ω, A, P ) = ([0; 1], B, µ), trong đó B là σ-đại số Borel,
µ là độ đo Lebesgue trên [0; 1] và X = Y = [0; 1]. Hai toán tử ngẫu
nhiên f, g : Ω × X → Y được xác định bởi
f(ω, x) =
x.ω nếu x = ω
1 nếu x = ω
và g(ω, x) = x.ω ∀ω ∈ Ω, ∀x ∈ X.
Khi đó, g là một bản sao của f, g là toán tử ngẫu nhiên liên tục, f
không là toán tử ngẫu nhiên liên tục, g là toán tử ngẫu nhiên đo được
và Lipschitz với L(ω) = ω.
11
Định lý 1.3.9 ([37, Định lý 6.1]). Cho X, Y là các không gian Polish
và f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó, f là toán tử
ngẫu nhiên đo được. Hơn nữa, nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì
ánh xạ ω → f(ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị.
1.4 Một số kết quả về điểm bất động cho
toán tử tất định
Phần này trình bày một số khái niệm và định lý điểm bất động cho toán
tử tất định của các tác giả khác mà chúng ta sẽ sử dụng ở các chương
sau của luận án.
Định nghĩa 1.4.1. Cho X là không gian metric, C là tập con đóng của X.
1. Ánh xạ f : C → X gọi là có điểm bất động nếu tồn tại phần tử
X được gọi là giao hoán nếu
f(g(x)) = g(f(x)) với mọi x ∈ X.
Định lý 1.4.4 ([41, Hệ quả 3]). Cho K là tập con khác rỗng, compact
và lồi của không gian Banach khả ly X; f và g là các ánh xạ từ K vào
K trong đó f liên tục và g không giãn. Nếu f và g giao hoán thì f và g
có điểm bất động chung.
Định nghĩa 1.4.5. Cho (X, d) là không gian metric. Các ánh xạ f :
X → X và T : X → CB(X) gọi là tương thích nếu với mọi x ∈ X ta có
f(T (x)) ∈ CB(X); đồng thời, với mọi dãy (x
n
) trong X sao cho T (x
n
) →
M ∈ CB(X) và f(x
n
) → x
0
∈ M ta có H(T (f(x
n
)), f(T (x
n
))) → 0.
13
Định lý 1.4.6 ([43, Định lý 2]). Cho (X, d) là không gian metric đầy
đủ, f : X → X, T : X → CB(X) là các ánh xạ liên tục, tương thích
thỏa mãn T (X) ⊂ f(X) và
H(T (x), T (y)) ≤ λ. max{d(f(x), f(y)), d(f(x), T (x)), d(f(y), T (y)),
1
2
.[d(f(x), T (y)) + d(f(y), T (x))]}
), (Y, d
Y
) là các không gian metric. Ta
nói ánh xạ f : X → Y có tính co nếu
d
Y
(f(x), f(y)) < d
X
(x, y) với mọi x, y ∈ X, x = y.
Định lý 1.4.11 ([12, Định lý 2.1]). Cho (X, d) là không gian metric và
A, B là hai tập con compact khác rỗng của X. Giả sử rằng hai ánh xạ
f : A → B và g : B → A thỏa mãn các điều kiện sau:
1. f và g có tính co.
2. với x ∈ A và y ∈ B, nếu d(x, y) > d(A, B) thì
d(f(x), g(y)) < d(x, y).
Khi đó, các ánh xạ f và g có điểm xấp xỉ tốt nhất. Hơn nữa, với mỗi
phần tử x
0
cố định trong A, đặt x
2n+1
= f(x
2n
) và x
2n
= g(x
2n−1
) thì
dãy (x
2n
) hội tụ về điểm xấp xỉ tốt nhất của f và dãy (x
các bài báo [1] và [3] (trong danh sách công trình khoa học của tác giả).
Nội dung của chương được chia thành hai phần: 2.1 Phương trình toán
tử ngẫu nhiên đơn trị và 2.2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị.
2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn
trị
Cho (Ω, A, P) là không gian xác suất và X, Y là các không gian metric.
16
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phương
trình có dạng
f(ω, x) = g(ω, x) (2.1)
trong đó f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên (đã biết) từ X
vào Y . Để đơn giản, ta gọi phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là
phương trình ngẫu nhiên.
Ngoài phương trình ngẫu nhiên dạng tổng quát (2.1), ta cũng xét
một số phương trình ngẫu nhiên dạng đặc biệt. Khi vế phải của (2.1) là
biến ngẫu nhiên η nhận giá trị trong Y ta có phương trình
f(ω, x) = η(ω). (2.2)
Khi X là không gian Banach khả ly, ta có thể xét phương trình ngẫu
nhiên có nhiễu dạng
f(ω, x) + k(ω)x = η(ω) (2.3)
trong đó f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên trên X, η là biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong X và k là biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực.
Định nghĩa 2.1.2. 1. Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm tất
định với hầu hết ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi
ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho
f(ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)).
Khi đó, ta gọi u(ω) là nghiệm tất định của phương trình (2.1).
2. Ta nói rằng phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại
biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho
f(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) h.c.c.
x nếu ω = x
0 nếu ω = x.
Với mỗi x cố định, ω → f(ω, x) và ω → g(ω, x) là các ánh xạ nhận
nhiều nhất hai giá trị, nghịch ảnh của mỗi tập Borel B ⊂ X qua các ánh
xạ đó là một trong các tập ∅, Ω, {x} hoặc Ω \ {x} nên chúng đều thuộc
vào σ-đại số A. Vì vậy, với mỗi x cố định, ω → f(ω, x) và ω → g(ω, x)
là các ánh xạ đo được. Do đó, f và g là các toán tử ngẫu nhiên. Ta
nhận thấy, với mỗi ω ∈ Ω, u(ω) = ω là nghiệm tất định duy nhất của
phương trình (2.1). Giả sử ξ là một nghiệm ngẫu nhiên của phương trình
(2.1). Khi đó ξ(ω) = ω h.c.c. Do đó, ánh xạ u : Ω → X định nghĩa bởi
18
u(ω) = ω là đo được. Tuy nhiên, nếu lấy B = [0; 1/2) ∈ B(X) thì ta có
u
−1
(B) = B = [0; 1/2) /∈ A, vì cả B và Ω\ B đều không đếm được. Điều
này mẫu thuẫn với tính đo được của u. Từ đó suy ra phương trình (2.1)
không có nghiệm ngẫu nhiên.
Một câu hỏi được đặt ra là: Khi nào một phương trình ngẫu nhiên
có nghiệm tất định với hầu hết ω thì có nghiệm ngẫu nhiên? Đến nay
chúng ta vẫn chưa có câu trả lời đầy đủ cho câu hỏi đó. Tuy nhiên, Định
lý 2.1.4 sau đây sẽ cho chúng ta một điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại
nghiệm tất định với hầu hết ω tương đương với sự tồn tại nghiệm ngẫu
nhiên.
Định lý 2.1.4. Cho X, Y là các không gian Polish và f, g : Ω × X → Y
là các toán tử ngẫu nhiên đo được từ X vào Y . Khi đó, phương trình
ngẫu nhiên f(ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi nó có
(ω), ξ
2
(ω)). Ta có
f(ω, ξ
1
(ω)) = g(ω, ξ
1
(ω)) = ξ
2
(ω) h.c.c.
Vì ξ đo được nên ξ
1
: Ω → X cũng đo được. Vì vậy, ξ
1
chính là nghiệm
ngẫu nhiên của phương trình f(ω, x) = g(ω, x).
Cuối cùng, giả sử rằng với hầu hết ω phương trình f(ω, x) = g(ω, x)
có nghiệm tất định duy nhất và ξ, η là hai nghiệm ngẫu nhiên. Từ đó suy
ra ξ(ω) = η(ω) h.c.c. Do đó, phương trình (2.1) có nghiệm ngẫu nhiên
duy nhất.
20
Copyright: Tài liệu đại học ©