ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN THỊ BÍCH THỤC
TÍNH CHẤT BÓNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRẦN THỊ BÍCH THỤC
TÍNH CHẤT BÓNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY TIỄN
Hà Nội - 2013
Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Tập hyperbolic của phương trình vi phân thường 1
1.1 Định nghĩa tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tính bị chặn đều của các phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tính liên tục của phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Nhị phân mũ của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Vài tính chất của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.3 Liên hệ nhị phân mũ và tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Tính vững của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Tính co giãn của tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Applications" của Ken Palmer năm 2000. Chúng tôi đơn giản hóa chứng minh của
Palmer.
Luân văn được cấu trúc như sau:
Chương 1 trình bày các kết quả về tập bất biến hyperbolic cho phương trình vi
phân thường. Chương này cũng nhắc lại khái niệm nhị phân mũ và chứng minh vài
tính chất cơ bản (tính vững, tính co giãn) dùng làm công cụ chứng minh các định lý
chính.
Chương 2 là kết quả chính của luận văn, gồm Định lý tính bóng rời rạc và Định lý
tính bóng liên tục. Cuối cùng là một số bình luận về các hướng nghiên cứu tiếp theo
và danh mục tài liệu tham khảo.
Do thời gian có hạn, luận văn có thể không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi mong
nhận được ý kiến đóng góp để luận văn hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013
Trần Thị Bích Thục
iii
Chương 1
Tập hyperbolic của phương trình vi
phân thường
1.1 Định nghĩa tập hyperbolic
Cho U là một tập con mở của R
n
và F : U → R
n
là trường vectơ lớp C
1
. Khi đó
với mỗi cặp (τ, ξ) ∈ R × U thì bài toán giá trị ban đầu
˙x = F (x), x(τ) = ξ (1.1)
có duy nhất một nghiệm xác định trên khoảng mở cực đại I(τ, ξ) ⊂ R. Ta đặt
O = {(t, τ, ξ) : τ ∈ R, ξ ∈ U, t ∈ I(τ, ξ)}

(i) F(x) = 0 với mọi x ∈ S;
(ii) S là bất biến, tức là, φ
t
(S) = S với mọi t;
(iii) có một phân tích liên tục
R
n
= E
0
(x) ⊕ E
s
(x) ⊕ E
u
(x) với mọi x ∈ S (1.3)
với E
0
(x) = span{F (x)} và dim E
s
(x), dim E
u
(x) không đổi, sao cho với mọi t và với
mọi x thuộc S
Dφ
t
(x)(E
s
(x)) = E
s
(φ
t

(x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic
S. Phân tích liên tục trong định nghĩa trên hiểu theo nghĩa ánh xạ x → P
0
(x),
x → P
s
(x), x → P
u
(x) là liên tục. Điều kiện về tính liên tục của phân tích có thể được
suy ra từ các điều kiện khác (như vậy có thể bỏ qua gỉả thiết về tính liên tục của phân
tích).
Ví dụ 1.1. Hệ vi phân hai chiều

x

= x(1 − x
2
− y
2
) − y
y

= y(1 − x
2
− y
2
) + x
có thể biến đổi về dạng toạ độ cực (r, ϕ) như sau

r

Khi đó, đường tròn r = 1 hay S = {(x, y) : x
2
+y
2
= 1} là quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic
(xem [3], trang 144-145).
2
1.2 Tính bị chặn đều của các phép chiếu
Xét các phép chiếu P
0
(x), P
s
(x), P
u
(x) tương ứng trong khai triển (1.3). Trong
phần này ta chứng minh các phép chiếu là bị chặn đều.
Mệnh đề 1.1. Gọi P
0
(x), P
s
(x) và P
u
(x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với
tập hyperbolic S. Khi đó chúng bị chặn đều, tức là
sup
x∈S
{P
0
(x), P
s

M
−1
0
∆v ≤ x
0
(t) ≤ M
0
∆
−1
v
với M
0
= sup
x∈S
F (x), ∆ = inf
x∈S
F (x). (1.6)
Ta chọn số dương T sao cho
σ =
∆e
αT
M
0
K
> 1.
Khi đó





+
x
s
(T )
x
s
(T )




≥
x
s
(T )
ξ

ξ
x
s
(T )
x
0
(T )
v
−
x
s
(T )
x


= (σ − 1)e
−M
1
T
với
M
1
= sup
x∈S
DF(x).
3
Mặt khác,




x
0
(T )
v
+
x
s
(T )
ξ





ξ
ξ




.
Do đó




v
v
+
ξ
ξ




≥ (σ − 1)e
−2M
1
T
.
Từ bất đẳng thức
ξ



T
σ − 1
 ξ + v 
nên
v
ξ + v
≤
2e
2M
1
T
σ − 1
và
ξ
ξ + v
≤
2e
2M
1
T
σ − 1
. (1.7)
Tương tự xét




x
0
(T )

(T )
x
0
(T )




≥
x
0
(T )
v

v
x
0
(T )
x
u
(T )
ξ
−
x
0
(T )
x
0
(T )


1
T
.
Mặt khác




x
0
(T )
v
+
x
u
(T )
η




=




Dφ
T
(x)


2M
1
T
σ − 1
η + v.
4
Từ đó suy ra
max{v, η} ≤
2e
2M
1
T
σ − 1
η + v.
Do tính bất biến, với mọi t ta có
max

x
0
(t), x
u
(t) 

≤
2e
2M
1
T
σ − 1
x

2M
1
T
σ − 1
. (1.8)
Tiếp theo ta nhận thấy rằng với t ≥ 0 thì
ξ
x
s
(t)
x
0
(t) + x
u
(t)
v + ξ
≥
e
αt
K
x
0
(t) + x
u
(t)
v + η
≥
e
αt
K

(t)+x
u
(t)
+ Ke
−αt
x
u
(t)
x
0
(t)+x
u
(t)
≥
e
αt
K
σ − 1
(M
0
∆
−1
+ Ke
−αt
)2e
2M
1
T
do (1.8).
Ta chọn số dương T

1
)
ξ
+
x
0
(T
1
) + x
u
(T
1
)
v + η




và theo trên, ta suy ra
ξ ≤
2e
2M
1
T
1
σ − 1
v + η + ξ.
Do P
s
(x)(v + η + ξ) = ξ, nên

0
(t) + x
s
(t)
≥
e
αt
K
v + ξ
M
0
∆
−1
v + Ke
−αt
ξ
=
e
αt
K
1
M
0
∆
−1
v
v+ξ
+ Ke
−αt
ξ

(T
1
) + x
s
(T
1
)
v + ξ
+
x
u
(T
1
)
η




và theo trên, ta suy ra
η ≤
2e
2M
1
T
1
σ − 1
v + η + ξ.
Do P
u

(x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với
tập hyperbolic S. Khi đó chúng liên tục theo x.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.1 suy ra tồn tại các hằng số M
0
, M
s
và M
u
sao cho
M
0
= sup
x∈S
P
0
(x), M
s
= sup
x∈S
P
s
(x) và M
u
= sup
x∈S
P
u
(x).
Chọn hằng số M = max{M
0

0
(x).
Mặt khác, từ (1.6) ta có
Dφ
t
(x)v ≤ M
0
∆
−1
v với v ∈ E
0
(x)
nên
Dφ
t
(x)|
E
0
(x)
 ≤ M
0
∆
−1
.
6
Ta suy ra được
Dφ
t
(x)P
0

(x) (1.13)
với P (x) = P
0
(x), P
s
(x) hoặc P
u
(x).
Để chứng minh các phép chiếu liên tục, ta xét hai nghiệm x(t), y(t) của phương
trình (1.2) trong S sao cho có số dương δ và T để
DF(y(t)) − DF (x(t)) ≤ δ (1.14)
với 0 ≤ t ≤ T . Chú ý rằng ma trận hàm số
U(t) = Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
là một nghiệm của phương trình
˙
U = DF (x(t))U + B(t)U,
với
B(t) = DF (y(t)) − DF (x(t)). (1.15)
Suy ra
U(T ) = P
0
(y(T ) + P
u
(y(T ))

(y(T )) + P
u
(y(T ))]
+

T
0
Dφ
T −t
(x(t))B(t)Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]dt.
7
Nhân hai vế với P
s
(x(T )) rồi sử dụng tính bất biến (1.13), ta có
P
s
(x(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
= P
s
(x(T ))Dφ

0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]
+

T
0
Dφ
T −t
(x(t))P
s
(x(t))B(t)Dφ
t−T
(y(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))]dt.
Do
P
s
(x(T ))[P
0
(y(T )) + P
u
(y(T ))] = P
s
(x(T ))[I − P
s

s
(x(T ))[I − P
s
(y(T ))] ≤ KM
2
[M
0
∆
−1
+ K](e
−αT
+ α
−1
δ). (1.16)
Nếu ta đặt
U(t) = Dφ
t
(y(0))P
s
(y(0)),
cũng dùng công thức biến thiên hằng số, ta được
U(0) = Dφ
−T
(x(T ))U(T ) −

T
0
Dφ
−t
(x(t))B(t)U(t)dt,

−T
(x(T )[P
0
(x(T )) + P
u
(x(T ))]Dφ
T
(y(0))P
s
(y(0))
−

T
0
Dφ
−t
(x(t))[P
0
(x(t)) + P
u
(x(t))]B(t)Dφ
t
(y(0))P
s
(y(0))dt
8
và do [P
0
(x(0)) + P
u

0
∆
−1
+ K]dt.
Do đó, nếu bất đẳng thức (1.14) thỏa mãn với 0 ≤ t ≤ T thì
[I − P
s
(x(0))]P
s
(y(0)) ≤ KM
2
[M
0
∆
−1
+K](e
−αT
+ α
−1
δ). (1.17)
Từ (1.16) và (1.17) ta suy ra rằng nếu x(t) và y(t) là hai nghiệm trong S thỏa mãn
bất đẳng thức (1.14) với −T ≤ t ≤ T thì
P
s
(y(0)) − P
s
(x(0)) = [I − P
s
(x(0))]P
s

U(t) = Dφ
t
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))],
khi đó
U(0) = P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))
và
U(T ) = Dφ
T
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))].
Theo công thức biến thiên hằng số, ta có
U(0) = Dφ
−T
(x(T ))U(T ) −

T
0
Dφ
−t

T
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))]
−

T
0
Dφ
−t
(x(t))P
u
(x(t))B(t)Dφ
t
(y(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))]dt.
9
Do P
u
(x(0))[P
0
(y(0)) + P
s
(y(0))] = P
u

Nếu bất đẳng thức (1.14) xảy ra với 0 ≤ t ≤ T thì
P
u
(x(0))[I − P
u
(y(0))] ≤ KM
2
[M
0
∆
−1
+ K](e
−αT
+α
−1
δ). (1.19)
Tiếp theo đặt
U(t) = Dφ
t−T
(y(T ))P
u
(y(T ))
khi đó
U(T ) = P
u
(y(T ))
và
U(0) = Dφ
−T
(y(T ))P

(x(0))U(0)
+ [P
0
(x(T )) + P
s
(x(T ))]

T
0
Dφ
T −t
(x(t))B(t)U(t)dt
= Dφ
T
(x(0))[P
0
(x(0)) + P
s
(x(0))]Dφ
−T
(y(T ))P
u
(y(T ))
+

T
0
Dφ
T −t
(x(t))[P

0
∆
−1
+ K]
+

T
0
KM
2
e
−α(T −t)
δ[M
0
∆
−1
+ K]dt
≤ KM
2
(M
0
∆
−1
+ K)(e
−αT
+ α
−1
δ).
(1.20)
10

−1
+ K](e
−αT
+ α
−1
δ). (1.21)
Để hoàn thiện chứng minh tính liên tục của P
s
và P
u
, cho trước một hằng số dương
ε. Xét T > 0 thỏa mãn
4KM
2
(M
0
∆
−1
+ K)e
−αT
≤ ε
và chọn δ > 0 sao cho
4KM
2
(M
0
∆
−1
+ K)α
−1

s
, P
u
đều liên tục trên S và do P
0
= I − P
s
− P
u
nên P
0
cũng liên tục trên
S.
1.4 Nhị phân mũ của phương trình vi phân
1.4.1 Định nghĩa
Xét phương trình vi phân tuyến tính
˙x = A(t)x. (1.22)
Khi đó hệ n nghiệm độc lập tuyến tính x
1
(t), x
2
(t), , x
n
(t) của phương trình (1.22)
được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó. Ký hiệu X(t) = [x
1
(t) x
2
(t) x
n


x

=

2t
(t
2
+ 1)
2
− 1

x
y

= y.
Trong truờng hợp này, P (t) là phép chiếu lên trục x; nghiệm trên E
s
= ImP cho bởi
x(t) = e
1−t−
1
t
2
+1
x(0) và ta có ước lượng
x(t) ≤ e · e
−t
x(0), t ≥ 0.
Tương tự

= {ξ : sup
τ ≤t
X(τ)X
−1
(t)ξ < +∞};
(iii) nếu J = R và f(t) ∈ BC thì phương trình
˙x = A(t)x + f(t) (1.26)
có duy nhất một nghiệm bị chặn x(t). Hơn nữa
x(t) ≤ 2Kα
−1
f
∞
với mọi t ∈ R;
(iv) nếu phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên R, thì phương trình sai phân
u
k+1
= X(k + 1)X
−1
(k)u
k
(1.27)
có nhị phân mũ trên R. Điều ngược lại đúng khi A(t) bị chặn.
Chứng minh. (i) Từ biểu thức X(t)X
−1
(s)P (s) = P (t)X(t)X
−1
(s) với t, s ∈ J, ta suy
ra
X
∗−1

(t)X
∗
(s)P
∗
(s) = X
∗−1
(t)X
∗
(s) − P
∗
(t)X
∗−1
(t)X
∗
(s)
X
∗−1
(t)X
∗
(s)[I − P
∗
(s)] = [I − P
∗
(t)]X
∗−1
(t)X
∗
(s). (1.28)
Lấy liên hợp (1.24) và (1.25), ta được (từ đây ta dùng chuẩn Euclid trong R
n

với t, s ∈ J và s ≤ t
P
∗
(t)X
∗−1
(t)X
∗
(s) ≤ Ke
−α(s−t)
với t, s ∈ J và s ≥ t.
Áp dụng tính bất biến (1.28), ta được
X
∗−1
(t)X
∗
(s)[I − P
∗
(s)] ≤ Ke
−α(t−s)
với t, s ∈ J và s ≤ t
và
X
∗−1
(t)X
∗
(s)P
∗
(s) ≤ Ke
−α(s−t)
với t, s ∈ J và s ≥ t.

−1
(t)ξ
≤ Ke
−α(τ −t)
X(τ )X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → +∞.
Từ đó [I − P (t)]ξ = 0 hay là ξ = P (t)ξ nên ξ ∈ R(P (t)).
Vậy
R(P (t)) = {ξ : X(τ)X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → +∞}
= {ξ : sup
τ ≥t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞}.
Tương tự với N (P (t)) ta có
ξ ∈ N (P (t))
P (t)ξ = 0
ξ = [I − P (t)]ξ
X(τ )X
−1
(t)ξ = X(τ )X
−1
(t)[I − P (t)]ξ.
14
Vậy
N (P (t)) ⊂ {ξ : X(τ )X
−1

−α(t−τ )
X(τ )X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → −∞.
Từ đó P (t)ξ = 0 hay ξ ∈ N (P (t)).
Vậy
N (P (t)) = {ξ : X(τ )X
−1
(t)ξ → 0 khi τ → −∞}
= {ξ : sup
τ ≤t
X(τ )X
−1
(t)ξ < +∞}.
(iii) Hiệu hai nghiệm bị chặn của phương trình (1.26) là một nghiệm bị chặn x(t) của
phương trình (1.22). Khi đó vì x(t) = X(t)X
−1
(0)x(0) nên x(0) = X(0)X
−1
(t)x(t)).
Do đó nếu t ≤ 0 thì
P (0)x(0) = P (0)X(0)X
−1
(t)x(t)
= X(0)X
−1
(t)P (t)x(t) (do tính bất biến)
≤ X(0)X
−1
(t)P (t)x(t)

+∞
t
X(t)X
−1
(s)[I − P (s)]f(s)ds
xác định tốt và là một nghiệm của phương trình (1.26). Hơn nữa,
x(t) ≤


t
−∞
Ke
−α(t−s)
ds +

+∞
t
Ke
−α(s−t)
ds

f
∞
= 2Kα
−1
f
∞
.
(iv) Giả sử phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) thỏa mãn các biểu
thức (1.23), (1.24) và (1.25). Khi đó nếu ta đặt

X(k)X
−1
(m) = X(k)X
−1
(k − 1)X(k − 1). . .X(m + 1)X
−1
(m)
= A
k−1
. . .A
m
= Φ(k, m) với k ≥ m.
Suy ra
Φ(k, m)P
m
 ≤ Ke
−α(k−m)
với k ≥ m. (1.30)
Tương tự từ (1.25) ta suy ra
Φ(k, m)[I − P
m
] ≤ Ke
−α(m−k)
với k ≤ m. (1.31)
Suy ra phương trình u
k+1
= A
k
u
k

0
X
−1
(s)
= X(t)P
0
X
−1
(s)
= X(t)P
0
X
−1
(t)X(t)X
−1
(s)
= P (t)X(t)X
−1
(s)
tức là tính bất biến (1.23) được thỏa mãn. Giả sử t ≥ s, khi đó có các số nguyên m ≤ k
sao cho m ≤ s ≤ m + 1 và k ≤ t ≤ k + 1 và do đó
X(t)X
−1
(s)P (s) = X(t)X
−1
(k)X(k)X
−1
(s)X(s)P
0
X

(m)P
m
X(m)X
−1
(s)
≤ X(t)X
−1
(k)X(k)X
−1
(m)P
m
X(m)X
−1
(s)
≤ e
M|t−k|
K(e
−α
)
k−m
e
M|s−m|
≤ e
M
K(e
−α
)
k−m
e
M

(x))y.
Chọn một ma trận trực giao n × n
T
0
=

F (x)
F (x)




S
0

.
Ta áp dụng phương pháp Gram-Schmidt cho Dφ
t
(x)T
0
để có một ma trận trực giao

F (φ
t
(x))
F (φ
t
(x))







F (φ
t
(x))
F (x)
∗ ∗ ∗
0 Y (t)




. (1.32)
Chú ý rằng
S
∗
(t)S(t) = I, S(t)S
∗
(t) = I −
F (φ
t
(x))F (φ
t
(x))
∗
F (φ
t
(x))

là phép chiếu vì
Q(t)
2
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t)S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t)
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))

I −
F (φ
t
(x))F (φ
t
(x))

s
(x)F (x) = 0. Hơn nữa
Y (t)Y
−1
(s)Q(s)
= S
∗
(t)Dφ
t
(x)S
0
S
∗
0
Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s
(φ
s
(x))S(s)
= S
∗
(t)Dφ
t
(x)

2

Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s
(φ
s
(x))S(s)
vì Dφ
t
(x)F (x) = F (φ
t
(x))
= S
∗
(t)Dφ
t
(x)Dφ
−s
(φ
s
(x))S(s)S
∗
(s)P
s

∗
(t)Dφ
t−s
(φ
s
(x))P
s
(φ
s
(x))S(s) do tính trực giao
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))Dφ
t−s
(φ
s
(x))S(s) do tính bất biến của P
s
= S
∗
(t)P
s
(φ
t
(x))S(t)S
∗

≤ Dφ
t−s
(φ
s
(x))P
s
(φ
s
(x))
≤ KMe
−α(t−s)
với t ≥ s, P
s
(·) ≤ M. Tương tự, nếu t ≤ s thì
Y (t)Y
−1
(s)(I − Q(s)) ≤ KMe
−α(s−t)
,
với P
u
(·) ≤ M. Do đó phương trình
˙y = A(t)y = S
∗
(t)[DF(φ
t
(x))S(t) −
˙
S(t)]y,
19

t
(x)) ≤ y(t) + |α|F (φ
t
(x))
≤ Ke
−α(t−s)
y(s) + |α|M
0
∆
−1
F (φ
s
(x))
≤ max{K, M
0
∆
−1
} [y(s) + |α|F (φ
s
(x))] ,
trong đó
M
0
= sup
x∈S
F (x) và ∆ = inf
x∈S
F (x).
Chú ý rằng
y(s) = P

s
= sup
x∈S
P
s
(x), M
u
= sup
x∈S
P
u
(x)
và
M = max{M
0
, M
s
, M
u
}.
Do đó, nếu y(t) là nghiệm trong E
s
(φ
t
(x)) và α là một số thực thì khi đó với t ≥ s
y(t) + αF (φ
t
(x))
≤ max{K, M
0