Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông
qua bài tập sách giáo khoa
I. Đặt vấn đề.
1. Vị trí môn học trong chơng trình toán THCS.
Hình học là môn khoa học cơ bản trong chơng trình phổ thông, nó trớc hình
thành từ những năm đầu của chơng trình tiểu học. Môn hình học nó đợc gắn liền với
thực tiển cuộc sống. Bởi vậy giải toán hình học là vấn đề trọng tâm của ngời dạy
cũng nh ngời học, môn hình học kích thích sự sáng tạo, sự phán đoán của con ngời
bên cạnh đó nó rèn luyện tính kiên trì, nhẫn nại của ngời học.
2. Thực trạng học hình học hiện nay của học sinh THCS .
Hiện nay số học sinh sợ môn toán đặc biệt là môn hình học rất cao đối với
học sinh lời học đã đành. Còn đối với những học sinh "chăm học" mặc dù thuộc lí
thuyết vẩn không giải đợc . Thậm chí có những bài chỉ là tơng tự bài đã giải hay chỉ
là một khía cạnh của bài đã giải, hoặc bài toán ngợc lại của bài đã giải mà học sinh
vẫn không giải quyết đợc. Nguyên nhân cơ bản dẫn đến tình trạng đó là:
- Học sinh lời học, lời suy nghĩ, không nắm đợc phơng pháp
- Học sinh học thụ động, thiếu sáng tạo
- Không liên hệ trợc giữa các " Bài toán gốc" đã giãi với các bài toán trớc suy
ra từ "bài toán gốc" hay nói cách khác không biết nghiên cứu lời giải của một bài
toán
Những tồn tại trên không những do ngời học mà còn do cả ngời dạy. Ngời
dạy thờng chú trọng hớng dẫn các em giải, hoặc giải các bài toán độc lập mà không
chú trọng hệ thống, xâu chuổi, phát triển các bài toán từ các " bài toán gốc" nhờ
việc nghiên cứu kỹ lời giải mỗi bài toán,thông qua hình vẽ, nhần xét, thay đổi giả
thiết các bài toán. Lật ngợc vấn đề
Đối với học sinh không có gì đáng nhớ hơn bằng tự bản thân các em, tìm
kiếm phát hiện ra những vấn đề xung quanh bài toán gốc SGK đa ra, các em sẽ nhớ
lâu khi gặp một bài toán các em biết liên hệ giữa bài toán phải giải với bài toán cũ
đã giải mà các em đã đợc biết và nó sẽ giúp các em biết bất kỳ một bài toán nào
cũng xuất phát từ những bài toán đơn giản.

COD
= 90
0
ta có nhiều cách chứng minh sau đây là một cách.
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau.
Ta có: OC là phân giác

AOM
.
OD là phân giác

BOM

Mà

AOM
và

BOM
là hai góc kề bù
nên OC OD hay

COD
=90
0
.
2. Cũng theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CM = CA; DM = DB nên ta có: CD = CM

+ MB

CD =AB

M là điểm chính giữa của cung AB.
Nhận xét 2: ABCD là hình thang vuông nên diện tích sẽ là .
S =

2
AB
BDAC +
Ta có có thể đặt câu hỏi tiếp.
5. Tìm vị trí điểm M trên cung AB sao cho diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất.
Giải: Lập luận tơng tự ta có nhỏ nhất

M là điểm chính giữa cung AB.
Nhận xét 3: Ta thấy

AMB vuông M,

COD vuông ở O
OC AM; OD BM. Ta đặt câu hỏi tiếp.
6. Gọi giao điểm AM với OC là P, BM và OD là Q.
Chứng minh tứ giác OPMQ là hình chữ nhật
Giải: Dựa vào nhận xét 3 ta dễ dàng chứng minh đợc tứ giác OPMQ là hình
chữ nhật
Nhận xét 4: Do AC // BD . Ta đặt câu hỏi tiếp.
7. Gọi giao điểm AD và BC là H . Chứng minh MH AB
Giải: Do CA // BD
HB
CH
BD

AC//BD


DA
DH
BC
BH
=
MH// CA


CA
MH
DA
DH
=
Từ các đẳng thức trên
MHHK
CA
MH
AC
HK
==
.
Nhận xét 6:
H là trung điểm MK; P là trung điểm AM; Q là trung điểm BM ta đặt câu hỏi
tiếp theo.
9. Chứng minh rằng P, H, Q thẳng hàng
P là giao điểm AM với OC, H là giao điểm AD và BC, Q là giao điểm MB và OD
Giải: Dựa vào nhận xét 6 . ta dễ dàng chứng minh đợc P,H ,Q thẳng hàng.

= 90
0
đều ngợc lại còn đúng
không?
Ta có bài toán sau:
4
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Bài toán 1.I: Cho nửa đờng tròn (()) đờng kính AB, Ax, By là các tiếp tuyến tại A và
B, trên Ax lấy điểm C tùy ý . Vẽ tam giac vuông COD, D By và cùng nằm trên
nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C .
Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (O) .
Giải : ta có:

2
1

= OD
cùng phụ
1

O
;
==

BA
90
0
(gt)




CAO ( c.g.c)



= DCOACO
hay CD là phân giác của góc

ACD
.
Từ O vẽ OM CD ( M CD ) ; CO là phân giác

ACM
OA AC

OM = OA(Điểm nằm trên phân giác cách đều hai cạnh của góc) . Vậy
CD là tiếp tuyến của (O) tại M.
Nhận xét 9: Theo câu 2. Bài I thì: AC +BD =CD ta hãy đặt vấn đề ngợc lại
của câu 2. Bài toán I.
Bài toán 2.I: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB . hai tiếp tuyến Ax và By trên 2
tiếp tuyến đó lấy 2 điểm C và D sao cho CD = AC + BD chứng minh

COD
=90
0
và
CD là tiếp tuyến của (O).
Giải: Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt
CD tại I ta có I là trung điểm của CD


'
tại M cắt tiếp tuyến Ax, By tại
C và D . Chứng minh
0
90' =

DCO
.
Giải: Do O
'
bất kỳ thuộc AB nên O
'
trùng O ; hoặc O
'
trùng A hoặc O
'
trùng B.
+/ Nếu O
'
trùng O Thì bài toán 3.I trở thành bài toán I.
+/ Nếu O
'
trùng A

D trùng B, khi đó
0
90' ==

CABDCO
+/ Nếu O



=
2
'
2
MODo
0
90=

AMB
(gt) nên
0
21
90=+

MM

0
2
'
1
'
90=+

OO
0

+) DBMO
'
nội tiếp


= BMODMO ''
cùng chắn cung
MO
'
mà
0
90' =+

BMOMAB
nên
0
90'' =+

DMOCMO
0
90' =

DCO
(Tổng 3 góc trong tam giác). Nhận xét 12: Qua bài toán 4 và 4.1 ta có bài toán tổng quát sau:
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, M là điểm bất kỳ trên nửa đờng tròn đó ( M A,
M B) O là điểm bất kỳ trên đờng thẳng AB, đờng thẳng vuông góc với OM tại M
cắt tiếp tuyến Ax và By tại C và D. Chứng minh rằng OC OD.

Nhận xét 2: Với

BHC có A là trực tâm,

AHC có B là trực tâm ta đặt câu hỏi tiếp
theo.
2. Chứng tỏ rằng mỗi đỉnh của đã cho là trực tâm của tam giác tạo thành
bởi 2 đỉnh còn lại và trực tâm H của
ABC
.
Nhận xét 3: Từ các tứ giác nội tiếp đã tìm đợc ta thấy:

====
21211111
;; MMMCCBBM
ta có câu hỏi tiếp theo.
3. Chứng minh rằng H là tâm đờng tròn nội tiếp
MNP

.
Giải: ( Dựa vào nhận xét 3 . Ta dễ dàng chứng minh đợc)
Nhận xét 4: ta có NH là phân giác

PNM
NA

NH(gt)

NA là phân giác góc ngoài đỉnh N của
MNP

HG
AM
AG
=== ;;
Giải: Dựa vào nhận xét 5. Sử dụng tính chất đờng phân giác ta có điều phải chứng
minh.
7
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Nhận xét 6: Lấy H
1
đối xứng với H qua AB Ta thấy

== AHBBAHABHBAH
11
mà
0
180; =+=

NCMNHMNHMAHB
tứ giác NHMC nội tiếp

0
1
180=+

ACBBAH
nên
tứ giác AH
1
BC nội tiếp dợc ta đặt câu hỏi tiếp.

1
B) = đờng tròn( AHB)= đờng tròn(ABC), từ đó ta có câu hỏi tiếp.
7. Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp
ABC
. Chứng minh rằng: đờng tròn
(AHB) = đờng tròn(AHC) = đờng tròn(BHC) cùng có đờng kính 2R.
Giải: Dựa vào câu 6 và nhận xét 7 ta chứng minh đợc.
Nhận xét 8: Ta thấy. S
APN
=
SinAAPAN
2
1
S
ABC
=
SinAACAB
2
1
ACosCosACosA
AC
AP
AB
AN
ACAB
APAN
S
S
ABC
APN

S
APN
= S
ABC.
.Cos
2
A; S
BPM
= S
ABC
. Cos
2
B

S
CMN
= S
ABC
. Cos
2
CS
MNP
= S
ABC
- S
ABC
( Cos

2
, C, H
3
cùng thuộc 1 đờng tròn


cung AH
1
= cung AH
3


A là điểm chính giửa của cung
H
1
AH
3
ta đặt câu hỏi tiếp theo.
9. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABC
chứng minh:
AO

PN ; CO

MN ; BO

PM
Giải: ( có nhiều cách giải) Xin nêu một cách.
Ta có:

(cùng chắn cung NC) ;

= CHHB
132
( cùng chắn
cung H
3
C)
=

CHHP
131
PN // H
1
H
3
mà
AO

H
1
H
3
suy ra
PN

OA
Chứng minh tơng tự ta đợc CO

NM; BO

góc với AI cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh BPNC nội tiếp đợc.
Giải: Do d bất kỳ nên: d có thể đi qua A, B, C.
+Khi d đi qua A

M A; N A


BMNC trở thành
ABC
9
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
+Khi d đi qua B

M B

BMNC trở thành
MNC
+Khi d đi qua C

N C

BMNC trở thành
BMC

+Khi d cắt AI không đi qua các đỉnh của
ABC

Để chứng minh đợc BMNC nội tiếp
Ta chứng minh
0

Tứ giác BMNC nội tiếp.
Nếu d cắt các đờng thẳng chứa cạnh AB, AC
tại M và N ( M, N không thuộc cạnh AB, AC
của
ABC

.
Ta có:
0
1
90=+

AN
mà

=
1
1
BA
cùng chắn
cung IC

0
1
90=+

BN
mặt khác

IBM

2 NI = Chu vi
MNP

( hai tiếp tuyến của (B) cắt nhau tại N
2PK = Chu vi
MNP

(hai tiếp tuyến của (C) cắt nhau tại P
2(NI + PK) = 2 Chu vi
MNP

10
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa

Chu vi
MNP

= NI + PK.
Hay MN +NP + PM = IP + PN + PN + NK
= (IP +PN + NK) + PN
Hay MN + MP = IK
Ta có bài toán sau:
Bài toán 2.II: Cho
ABC

nhọn các đờng cao AM, BN, CP
Gọi I, K là hình chiếu của B và C lên đờng thẳng PN . Chứng minh rằng:
MP + MN = IK
Chứng minh: Dựa vào nhận xét 12 ta chứng minh đợc
Nhận xét 13: Ta có Chu vi

MNP
nhỏ nhất.
Từ đó ta đề xuất bài toán sau:
Bài toán 3.II : Cho
ABC
nhọn. Hãy tìm trên các cạnh của
ABC
các điểm M, N, P
sao cho Chu vi
MNP
nhỏ nhất.
Giải: Giải sử M

BC, N

AC, P

AB
Lấy điểm M
1
, M
2
Là các điểm đối xứng với M
qua các cạnh AB, AC ta có AM
1
=AM = AM
2

các
2121

1
+

AMM
2
= 2(

BAM
+

CAM
) = 2

BAC
mà
21
AMM
cân tại A và


21
AMM
=2

BAC
không đổi
Chu vi
MNP

= MP + PN +MN= M

M
2
nhỏ nhất khi AM nhỏ
nhất, AM nhỏ nhất khi AM

BC

M là chân đờng cao hạ từ đỉnhA của
ABC
.
Do vai trò của M, N, P nh nhau nên lập luận tơng tự ta có:
BN

AC, CP

AB

N, P là chân các đờng cao hạ từ B và C của
ABC
.
Nhận xét 14: Theo câu 3. ta có H là tâm đờng tròn nội tiếp
MNP
S
PNM
= S
PNH
+ S
PHM
+ S
NHM

PN
OA
.
2
.
2
.
2
++
=
2
R
(MP + PN +MN). R là
bán kính đờng tròn ngoại tiếp
ABC


Ta đề xuất bài toán sau:
Bài toán 4.II: Cho
ABC

nhọn nội tiếp (O,R) các đờng cao AM, BN, CP gọi r là
bán kính đờng tròn nội tiếp
MNP

.
Chứng minh rằng:
R
r
S

(1=
R
r
)
222
CCosBCosACos ++
Chứng minh: Dựa vào nhận xét trên ta chứng minh đợc:
Nhận xét 16: Từ câu 7.
R là bán kính đờng tròn ngoại
tiếp
ABC

thì đờng tròn (AHB)
12
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
= đờng tròn(AHC) = đờng tròn(BHC)
Cùng có đờng kính 2R.
Ta lại đề xuất bài toán sau:
Bài toán 6.II:
Cho
ABC

nhọn, trực tâm H nội tiếp đờng tròn(O,R) Gọi O
1
, O
2
, O
3
lần lợt là
tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, AHC, và BHC chứng minh rằng tam

1
// CO
2
và BO
1
= CO
2


BO
1
O
2
C là hình bình hành

O
1
O
2
= BC
Do O
1
,O
2
, O
3
ta chứng minh hoàn toàn tơng tự
Ta có: O
2
O


nhọn, Gọi H là trực tâm
ABC

. Tìm vị trí điểm A sao cho tổng
khoảng cách HA +HB + HC lớn nhất .
Lời giải: ( Tóm tắt )
13
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Vẽ đờng kính AI, Gọi T là giao điểm HI và BC. Theo câu 10 thì BHCI là hình
bình hành

T là trung điểm HI

HB + HC =BI + IC. Mà O là trung điểm AI .
Nên TO =
AH
2
1
( đờng trung bình
)AHI


AH = 2OT
Do BC cố định, O cố định

OT không đổi

AH không đổi.
Do đó: HA +HB + HC lớn nhất khi BI + IC lớn nhất. Mặt khác vì

cung H
1
H
3


A thuộc phân giác góc H
1
H
2
H
3

ta đề xuất bài toán.
Bài toán 8.II: Dựng tam giác nhọn ABC biết
3 điểm phân biệt H
1
, H
2
, H
3
là các điểm đối
xứng với trực tâm H lần lợt qua AB, BC, AC
Giải: (Vắn tắt) Dựa vào nhận xét trên ta dễ dàng dựng đợc theo trình tự
- Dựng đờng tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác H
1
H
2
H
3

2
= OA.OK
Bài toán 2: I. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB= 2 R, tiếp tuyến tại điểm M
bất kỳ trên đờng tròn cắt các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A và B lần lợt ở C và
D
a. Xác định vị trí điểm M sao cho chu vi tam giác COD nhỏ nhất
b. Gọi I, J lần lợt giao điểm của OC với AM và OD với BM xác định vị trí điểm M
14
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất.
Bài toán 3: II. Cho tam giác ABC trực tâm H, trọng tâm G, O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng.
a. Khoảng cách từ H đến A gấp 2 lần khoảng cách từ O đến BC
b. Ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Bài toán 4: II. Cho đờng tròn tâm O (O) và dây BC cố điịnh không đi qua tâm, A
là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn
a. Tìm quỹ tích điểm H
b. Tìm vị trí điểm A sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

III. Kết luận.
Trên đây là những việc làm nhỏ nhoi của bản thân trong quá trình dạy học.
Khảo sát cho thấy với cách làm này các em hứng thú học tập hơn, các em khá, giỏi
không coi thờng các bài tập SGK đa ra tởng chừng đơn giản mà các em đã biết đào
sâu suy nghĩ , tìm kiếm phát hiện ra những vấn đề rất thụ vị, những h/s "hơi khá" đã
biết tổng hợp các bài tập cùng dạy, xâu chuổi các kiến thức để ôn tập một cách khoa
học.
Tôi nhận ra rằng những việc làm của tôi mới chỉ đáp ứng đợc một chút kiến
thức trong kho tàng kiến thức mà tác giả SGK muốn gửi gắm tới ngời học, Thông
qua ngời dạy bởi vậy tôi cần phải học hỏi nhiều, rất nhiều ở đồng nghiệp ở tài liệu
hy vọng đợc sự dìu dắt của đồng nghiệp để. Tôi càng hoàn thiện hơn trong nghề dạy

Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
quyết bài toán một cách dễ dàng và thuận lợi hơn. Tuy nhiên vấn đề đặt ra là: khi
gặp một bài toán học sinh không biết vẽ đờng phụ nh thế nào do đó rất nhiều học
sinh " mò mẫm" để vẽ các đờng phụ nhằm tìm ra lời giải cho bài toán và đa số là
thất bại kết quả bài tóan không đợc giải quyết, một số em khá tìm ra đợc cách kẽ đ-
ờng phụ nhng không hợp lý dẫn đến lời giải dài dòng phức tạp. Với học sinh lớp 7
thì vấn đề trên càng gặp nhiều khó khăn khi các em mới làm quen với phơng pháp
suy luận, phơng pháp chứng minh bài toán hình học. Việc các em vận dụng các
kiến thức đã học vào việc lập luận, chứng minh bài toán hình học đã khó cha nói
đến việc các em phải suy nghĩ tìm cách kẽ đờng phụ rồi mới vận dụng đợc các kiến
thức đã học vào để giải quyết bài toán đó. Đứng trớc khó khăn chung của học sinh
trong quá trình giảng dạy hình học lớp 7 tôi đã cố gắng hớng dẫn các em tìm ra một
số phơng pháp " kẻ đờng phụ" trong giải toán. Việc làm đó đã góp phần rất lớn
trong việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh, giúp các em rèn luyện đợc năng lực t
duy sáng tạo khi giải các bài toán hình học. Do đó việc" rèn luện kỹ năng kẻ đờng
phụ trong việc giải toán hình học" là việc làm hết sức khó khăn nhng không thể
thiếu của giáo viên. Với lý
do trên tôi mạnh dạn trình bày chuyên đề " Rèn luện kỹ năng kẽ đờng phụ cho học
sinh trong giải toán hình học lớp 7"
II. Giải quyết vấn đề
I. Các bài toán: Chứng minh hai góc bằng nhau.
1. Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai góc bằng nhau.
Sử dụng hai góc cùng số đo
Sử dụng góc thứ ba làm trung gian, 2 góc cùng phụ hoặc cùng bù với một góc
Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tơng ứng bằng nhau.
Sử dụng tính chất tia phân giác của 1 góc, góc đối đỉnh, tính chất 2 đờng
thẳng song song
Góc có cạnh tơng ứng vuông góc song song , góc của tam giác đặc biệt
2 góc tơng của hai tam giác bằng nhau.
2. Một số bài toán.

0
10==

CAIBAI
(1)
Mặt khác
CIAADC =
( c.g.c)

= CAIACD
Từ (1), (2)

ACD
=10
0
.
Nh vậy việc kẻ đờng phụ là một việc làm rất quan trọng trong giải toán hình học.
Kẻ đờng phụ đúng giúp chúng ta gikải quyết bài toán một cách nhanh và gọn
gàng hơn rất nhiều. Điều quan trọng nửa là nếu không kẻ đợc đờng phụ thì rất
nhiều bài toán không giải quyết đợc. Sau khi tìm đợc

ACD
= 10
0
bằng cách dựng
tam giác đều BIC giáo viên có thế hớng học sinh dựng các tam giác đều khác
xem thứ có tìm đợc đáp số hay không?.
- Cách vẽ 2: Dựng tam giác đều ADM ( M và C khác phía so với AB) ( Hình vẻ
2)
Ta có:

cân tại N mà
0000
40206060 ===

ANDCND
0000
00
10607070
2
40180
===

=

ACDNCD
Cách vẽ 4: Dựng tam giác đều ABK ( K; C cùng phía so với AB ) ( Hình vẽ 4)
Ta có
ACK
cân tại A mà
000
402060 ==

CAK
0
00
70
2
40180
=


là một góc của
tam giác đều. Từ đó giáo viên có thể hớng dẫn học sinh cách vẽ để tạo ra tam
giác đều theo các hớng sau:
Cách 1: Dựng tam giác đều BCM ( A; M cùng phía so với BC).
Ta có:
) ( cccACMABM =
0
30==

AMCAMB
Xét
ABM
và
DBC
có







==
==
=


0
10
30

20 ACECAE
BADBABEBDgcgBECBDCBCE =====

) (305080
000
cân tại B
0
00
70
2
40180
=

=

ADB
Cách 3: Dựng tam giác đều ACK ( B; K cùng phía so với AC)
Ta có
ABK
cân tại K, mà
00
8020 ==

ABKBAK
) (305080
000
gcgCKBBDCCBK ===

ABDCKBD
=

0
120=

BMC
Mặt khác
) ( cccACMAMB =
) (120
2
120360
0
00
ccgDBMABMAMCAMB ==

==

ABDDBAB =
cân tại B, mà
0
40=

ABD
0
00
70
2
40180
=

=


0
00000
00
15)6015(9015
2
150180
=+==

=

BAFCAD
0
150) ( ==

AFBcgcAFBADC
và
00000
150)15060(36015 =+==

DFBABF
ABDDBABcgcDFBAFB == ) (
cân tại B mà
0
30=

ABD
0
00
75
2


ADB
Cách 3: Dựng tam giác đều CDK ( K;B cùng phiá so với AC)
Ta có:

DCB =

KCB ( c.g.c)
(*)KBDB =
Ta có

ADC =

ADK ( c.g.c)

AC = AK; AC = AB
)1(ABAK =
Mặt khác:
)2(60309015
0000
====

KABKADCAD
Từ (1) (2)


ABK là tam giác đều
(**)BABK =
Từ (*) (**)
ABDBADB


ABI =

ACI( c.c.c)
0
45==

CAIBAI
do

BIC cân tại I
0000
120)3030(150 =+= BIC
Mặt khác:

ACI có
000000
120)4515(18045;15 =+===

AICCAIACI
Từ đó ta có:
0000
120)120120(360 =+=

AIB
Vậy AIB = DIB = 120
0
(*)
Xét tam giác: AID có


15==

DBIABI




ABD cân tại B.
0
00
75
2
30180
=

=

ABD
Bài toán 4:
21
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Cho tam giác ABC có AB >AC .Điểm D thuộc AB sao cho BD = AC. Gọi M;N là
trung điểm của BC; AD. Tia MN cắt tia CA tại K. Chứng minh rằng :
2


==
A
MKCBNM
Nhận xét: ĐÂy là bài toán có M;N là trung điểm của BC và AD. Do đó cách vẽ


= IMNINM
Do IN //AC

IN //KC

(**)

== MNIMKChayINMCKN
Tơng tự: IM//BD

IM // BN


= IMNBNM
( So le trong) ( ***)
Từ (*) (**) ( ***)


= MKCBNM
.
Mặt khác
AKN
cân tại A

2
2


==


= ACHAHC
,

= MKCACH
( So le trong)(2)
Từ (1) (2)
(*)

= MKCBNM
Lập luận nh trên ta chứng minh đợc
AKN

cân tại A


= BACK2
( góc ngoài tam
giác)



= BACK
2
1
Từ (*) (**)

2



cân tại D


= DPBDBP
hay

= DPBNBP
(**)
Từ (*) và (**)


= DPBBNM
(1)
Lại có

= DPBMKC
( Góc có cạnh tơng ứng song song) (2)
Từ (1) và (2)



= MKCBNM
.
Ta cũng dễ dàng chứng minh đợc
AKN
cân tại A


= BACK2


Và HN = AH - AN =
(**)
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
BDADABADAB ==
Từ (*) (**)

MHN
cân tại H


= NMHMNH
hay

= KMHBNM
(2)
Từ (1) (2)


= MKCBNM
Lập luận tơng tự nh trên ta cũng chứng minh đợc
AKN
cân tại A do đó

CI = CD


CID cân tại C



=
11
DI

2

= OCID
1
(**)
Từ (*)



= OCIxOy
( So le trong) ( ***)
Từ ( **) và (***)


=
1
2 DxOy




AB = A
1
B
1
mà AB = CD

A
1
B

1
= CD

A
1
C = B
1
D (1)
Mặt khác: Ta chứng minh đợc NA = NA
1
; MB = MB
1
. Từ đó ta có NH // A
1
C
NH =
CA
1
2

IH và IK. Ta có: IK // CD

IK // Oy và IK =
CD
2
1
(1)
IH // AB

IH // Ox và IH =
AB
2
1
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với AB = CD ta cóIH = IK nên
IHK
cân tại I


=
11
KH
Từ (1)

K
1
= D
1
, Từ (2)



EK // Oz

HK //Oz.
Nhận xét chung: Đối với dạng bài tập này GV cần chú ý h/s vẽ hình chính xác
đungd với các số liệu trong đề bài để có hớng chứng minh đúng. Phát hiện các trờng
hợp đặc biệt ( nếu có), chú ý liện hệ giữa goác của các tam giác bằng nhau. Vẽ đờng
phụ hợp lý nhằm xuất hiện : Những góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau, tam
giác cân, tam giác đều. Trong các đờng phụ kẽ thêm có thể là đờng phân giác, đờng
trung bình, tam giác đềutùy từng bài toán cụ thể.
II. Các bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
1. Một số gợi ý để đi đến chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Hai đoạn thẳng có cùng một số đo.

Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từa t/c của tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vuông

Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ t/c đờng trung tuyến, trung trực,
trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, cạnh đối diện với góc
30
0
của tam giác vuông


30==

MCAMAC
)

AM = MC (2)
Từ (1) (2)

AB =
2
BC
Cách vẽ 2: Nhận thấy
ABC
là nửa tam giác đều nên ta có thể kẽ đờng phụ nh sau.
Kẻ tia Cx sao cho
0
30=

ACx
( Cx khác phía so với CB).Cx cắt BA kéo dài tại D ta có
BDC
là tam giác đều

BD = BC (1)
Mặt khác
ADCABC =
(c.g.c)

AB = AD


1
( T/c đ-
ờng trung bình của tam giác)
Mặt khác
ABC
=
) ( cgcAEC
)2(CEBC =
Từ (1) (2)
.
2
1
BCAM =
Cách vẽ 3: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD, ta chứng minh đ-
ợc
.
2
1
BCAMADBCCDAABC ===
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC chứng minh rằng
AM <
2
ACAB +
Cách vẽ1: Trên tia đối MA lấy điểm D sao cho MA =MD ta có:
CDABDMCAMB
==
Mặt khác AD < AC +CD hay 2AM < AC +AB hay AM <
2
ACAB +
Cách vẽ 2: trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AB = AE. Ta có