ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

NGUYỄN NGỌC HUYÊN
GIẢI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM DỌC
CỦA HAI THANH ĐÀN HỒI VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI
TOÁN ĐÓNG CỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số : 60.44.21
LUẬN VĂN THẠC SĨ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS NGUYỄN THÚC AN
HÀ NỘI - 2005 -3-
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 5


-4-
3.5. Xác định ứng xuất trong thanh 52
3.6. Tính toán với số liệu cụ thể 54
3.7. Nhận xét ……… 56
CHƢƠNG 4: VA CHẠM CỦA BÚA VÀO CỌC BÊ TÔNG ĐÓNG TRONG
NỀN ĐỒNG NHẤT ĐÁY CỌC TỰA TRÊN NỀN CỨNG 57
4.1. Đặt vấn đề 57
4.2. Thiết lập bài toán 57
4.2.1. Mô hình bài toán 57
4.2.2. Phƣơng trình chuyển động của búa, cọc và nghiệm tổng quát .… 58
4.2.3. Điều kiện của bài toán 59
4.3. Xác định các hàm sóng trong búa, cọc và lực nén P(t) 59
4.3.1. Xác định các hàm sóng 59
4.3.2. Xác định các hàm sóng truyền trong búa và cọc 62
4.4. Lực nén của búa lên đầu cọc 70
4.5. Xác định ứng suất trong cọc trong khi đóng 71
4.6. Tính toán với số liệu cụ thể 73
4.6.1. Ảnh hƣởng của đệm đầu cọc 74
4.6.2. Ảnh hƣởng của ma sát mặt bên cọc 75
4.7. Ứng suất kéo của cọc bê tông đóng ngay sau khi va chạm 77
4.7.1. Sơ đồ bài toán 77
4.7.2. Xác định các hàm sóng truyền trong cọc 77
4.7.3. Trạng thái ứng suất trong cọc 81
4.7.4. Tính toán với số liệu cụ thể 87
4.7.5. Nhận xét 88
4.8. Nhận xét chung 89
KẾT LUẬN ……… 90
TÀI LIỆU THAM KHẢO 92
PHỤ LỤC 96

trình khác nhau, ngƣời ta dùng phƣơng pháp thống kê để xác định sức chịu tải
của cọc bằng tải trọng tĩnh tại hiện trƣờng. Kết quả theo phƣơng pháp này
đáng tin cậy, nhƣng tốn kém và mất rất nhiều thời gian. Do vậy phƣơng pháp
này chỉ áp dụng cho các công trình quan trọng. Các công thức và phƣơng

-6-
pháp thực nghiệm trên dựa theo lý thuyết tĩnh để tính sức chịu tải của cọc
theo vật liệu làm cọc, điều kiện địa chất công trình, Việc thí nghiệm sức
chịu tải của cọc bằng tải trọng động sẽ đơn giản và đỡ tốn kém hơn so với thí
nghiệm tải trọng tĩnh, nhƣng các công thức đƣa ra còn chƣa phù hợp với thực
tế vì nó dựa trên lý thuyết va chạm cổ điển của Newton.
Ngày nay, với sự ra đời của lý thuyết va chạm hiện đại đã cho phép khắc
phục đƣợc những thiếu sót của lý thuyết va chạm cổ điển của Newton.
Dựa trên cơ sở lý thuyết lan truyền sóng ứng suất dọc cọc và sự dao động
cƣỡng bức của cọc và bằng nhiều phƣơng pháp nghiên cứu khác nhau kết hợp
với thực nghiệm, nhiều nhà khoa học trên thế giới nhƣ Mỹ, Nhật, Anh, Nga,
và nhiều cơ quan nghiên cứu của Việt Nam nhƣ: Viện Cơ học, Viện Khoa
học Công nghệ Xây dựng, Trƣờng Đại học Thuỷ lợi, đã đạt đƣợc các kết
quả.
Thông thƣờng, công nghệ đóng cọc dựa vào công thức kinh nghiệm hoặc
kinh nghiệm thi công mà chƣa nghiên cứu kỹ mối quan hệ rất khăng khít
giữa: Đầu búa đệm đầu cọc cọc bê tông và nền đất, đặc biệt đối với cọc bê
tông khả năng chịu kéo rất kém so với khả năng chịu nén nên trong một số
trƣờng hợp cọc có thể không bị vỡ do ứng suất nén mà lại bị nứt vỡ do ứng
suất kéo ngay sau khi đóng. Việc nghiên cứu các bài toán va chạm dọc của
hai thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau là những bài toán phức tạp,
nhƣng mô hình bài toán này rất gần với các bài toán kỹ thuật, đặc biệt là thi
công đóng cọc bằng búa điêzen với bộ phận va đập là píttông. Vì vậy chọn đề
tài: “Giải bài toán về va chạm dọc của hai thanh đàn hồi và ứng dụng vào
bài toán đóng cọc” là đề tài mới mẻ có tính cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và

-8-
Phần mở đầu nêu lên tính cấp thiết, mục đích, đối tƣợng, phạm vi nghiên
cứu và phƣơng pháp nghiên cứu của luận văn.
Chƣơng 1: Tổng quan lịch sử phát triển lý thuyết va chạm và ứng dụng
của nó vào bài toán đóng cọc.
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi.
Chƣơng 3: Va chạm dọc của hai thanh đàn hồi mặt bên chịu lực cản
không đổi và đầu kia của thanh gặp chƣớng ngại vật.
Chƣơng 4: Va chạm của búa vào cọc đóng trong nền đồng nhất đáy cọc
tựa trên nền cứng.
Phần kết luận: Nêu lên các kết quả chính đã đạt đƣợc của luận văn và
những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu.
Phần phụ lục: Gồm chƣơng trình máy tính lập bằng Matlab đƣợc lập trên
cơ sở các dạng nghiệm giải tích đã có và các kết quả tính toán cho công trình
thi công cống Liên Mạc II thuộc hệ thống thuỷ nông sông Nhuệ. -9-
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM
VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG CỌC
1.1. Lý thuyết va chạm cổ điển [3]
Sự phát triển của lý thuyết va chạm cổ điển được gắn liền với tên tuổi của
nhà bác học nổi tiếng người Ý Galile. Năm 1628 lần đầu tiên khi nghiên cứu
về va chạm của vật rắn tuyệt đối, Galile đã khẳng định rằng vật rắn khi va
chạm sẽ sinh ra công. Tiếp tục nghiên cứu phát minh của Galile đã có nhiều
nhà khoa học trên thế giới đi sâu vào nghiên cứu những quy luật cơ bản về
chuyển động của các vật thể va chạm. Đến năm 1669, nhà bác học Huyghen
đã nghiên cứu và thiết lập được các quy luật cơ bản về va chạm của quả cầu.
Đối tượng nghiên cứu của lý thuyết va chạm cổ điển là vật rắn tuyệt đối

: Lực va chạm.
Từ phương trình cơ bản (1.1) người ta đã thiết lập được định lý mômen
động lượng, phương trình tổng quát của lý thuyết va chạm, phương trình
Lagrange II,
Năm 1724, nhà bác học Ricát đã nghiên cứu kết quả của các nhà khoa
học về lý thuyết va chạm, ông đặc biệt chú ý tới các đặc trưng vật lý, cơ học
của các vật thể va chạm và phân chia quá trình va chạm thành hai pha như
sau:
– Pha đầu là giai đoạn biến dạng của các vật thể va chạm.
– Pha thứ hai là giai đoạn biến dạng khôi phục lại hình dạng của các vật
thể va chạm.
Hệ số khôi phục k được xác định bằng công thức sau:

-11-

2 1 2
2 1 1
U U S
k
V V S
(1.2)
Trong đó:
U
1
, U
2
: Hình chiếu vận tốc của vật thể sau khi va chạm theo phương pháp
tuyến;
V
1

bằng việc nghiên cứu quá trình va chạm và đã đưa ra bài toán ứng suất vị trí
được sinh ra khi có tác dụng va chạm giữa các vật thể đàn hồi. Tuy nhiên đây
mới chỉ đề cập đến bài toán tĩnh, sau đó Hec đã mở rộng miền áp dụng cho
các bài toán động lực học của các vật thể đàn hồi sau khi bổ sung thêm giới
hạn phụ như: cho biết vận tốc tương đối của các vật thể.
Sau đó AI. Luariê và IA. Staerơman với sự nghiên cứu sâu sắc của bài
toán tiếp xúc đã chỉ ra rằng cách đặt bài toán va chạm là không xác định và
nghiệm của Hec là một trong số nhiều nghiệm thoả mãn hệ phương trình của
bài toán va chạm. Trước hết ta trình bày nghiệm bài toán tĩnh học của Hec,
sau đó sẽ xét tới nghiệm của bài toán động lực học.
Đầu tiên để nghiên cứu nghiệm của bài toán tĩnh học, Hec đã đề ra các
giả thiết sau:
– Hai vật thể đàn hồi không đặt tải trọng.
– Các vật thể tiếp xúc với nhau tại một điểm.
– Bề mặt của các vật thể ở tại vùng lân cận điểm tiếp xúc có pháp tuyến
và độ cong xác định.
– Coi những điểm tiếp xúc là những điểm elip của các vật thể.
– Hệ lực hoạt động tác dụng lên mỗi vật thể có hợp lực hướng theo pháp
tuyến ngoài đối với mỗi mặt của vật thể này ở tại điểm tiếp xúc với vật thể thứ
hai.
– Hệ vật thể ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của hệ lực hoạt động và
phản lực đàn hồi đặt lên vật thể ở vùng chịu nén.
Từ các giả thiết trên, với điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

()
P p(x,y)d
(1.3)

-13-
Trong đó: P: Hợp lực nén của vật thể;

22
2
.
Trong đó:
i
,
i
(i = 1, 2): là các hằng số Lame đối với các vật cụ thể;

1
,
2
: là hệ số dịch chuyển tịnh tiến của vật thể sinh ra khi bị
nén.
Như vậy ta có hệ phương trình cơ bản bài toán tiếp xúc của Hec được viết
như sau:

()
P p(x,y)dxdy()
p(x ,y)
f(x,y) A dxdy
r

1.3. Lý thuyết sóng [24], [29], [30]
Năm 1770 Becnouli đã chú ý tới sự thiếu sót của giả thuyết coi vật thể là
vật rắn tuyệt đối trong lý thuyết va chạm cổ điển, ông đã chứng minh được


Nhà khoa học Sia đã giả thiết rằng ở đầu thanh va chạm sự phân bố ứng
suất tuân theo lý thuyết biến dạng vị trí của Hec và từ khoảng cách nào đó
cách các đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất được xác định theo lý thuyết
truyền sóng của Sanhvơnăng. Như vậy Sia đã giải quyết trọn vẹn bài toán này
vì ông đã không chỉ chú ý đến biến dạng vị trí của các vật thể va chạm mà còn
chú ý đến sự liên hệ giữa biến dạng của các vật thể va chạm với dao động đàn
hồi của thanh.
Lý thuyết va chạm là tổng hợp bởi lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết
truyền sóng. Do đó, nhờ lý thuyết này mà ta xác định được thời gian va chạm
và các thông số đặc trưng cho va chạm giữa các vật thể.
1.4. Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc
Dựa vào lý thuyết va chạm tự do giữa hai vật thể đàn hồi và nguyên lý
cân bằng công khi đóng cọc, nhiều nhà nghiên cứu đã đưa ra các công thức
động khác nhau để xác định sức chịu tải của cọc như công thức của: Crandall,
Gherxevanop, Hiley, Redtenbacher và Hollandais. Tuy nhiên hiện tại các
công thức đang được sử dụng nhiều là công thức của Hollandais và Crandall.
Việc xác định sức chịu tải của cọc theo phương pháp này đơn giản và đỡ
tốn kém hơn nhiều so với phương pháp nén tĩnh. Vì vậy hầu như công trình
móng cọc nào cũng có thể tiến hành đóng thử cọc được, qua việc đóng thử
cọc ta xác định được các thông số, các thông số này là kết quả để ta có thể
kiểm tra và sửa đổi lại thiết kế. Tuy nhiên trị số sức chịu tải của cọc xác định
theo các công thức động đều không phù hợp với kết quả thí nghiệm bằng tải
trọng tĩnh vì một số nguyên nhân sau:

-16-
– Nói chung tất cả các công thức động đều áp dụng lý thuyết va chạm
của Newton. Lý thuyết này chỉ áp dụng cho va chạm tự do giữa hai vật thể rắn
tuyệt đối vì vậy đem nó áp dụng cho sự va chạm giữa búa và cọc thì không
thể nào đưa đến kết quả chính xác được.
– Trong các công thức động, đều có một số hệ số kinh nghiệm. Do đó

này sẽ được xét ở chương 3 và chương 4 của luận văn.

CHƢƠNG 2
CƠ SỞ LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA THANH ĐÀN HỒI
2.1. Phƣơng trình chuyển động của thanh [1]
2.1.1. Sơ đồ bài toán
m
m
n

n
m m
n n
P(x)
P(x+ x)
Hình 2.1

-18-

22
U U U U
F dx EF EF dx 0
t x x x

Rút gọn phương trình chuyển động của thanh ta được:

2
2
2
2
2
x
U
a
t
U
(2.1)
Trong đó:
E
a
là vận tốc truyền sóng trong thanh;
E là môđun đàn hồi của thanh.
2.1.3. Các điều kiện của bài toán
– Điều kiện đầu của bài toán:

-19-
Vị trí tiết diện ngang và vận tốc của thanh ở thời điểm đầu (t = 0) là các
hàm số đã biết của toạ độ x:
U(0, x) = f(x);

2a
.
Theo trên, hàm số dịch chuyển U phụ thuộc vào x và t. Bây giờ ta biểu thị
hàm U qua các biến mới là và , sử dụng qui luật vi phân của hàm số phức
hợp ta có:

2 2 2
22
22
U U U
a 4a
tx-20-
Từ (2.1) ta có:
2
UU
0 hay 0

Từ đó suy ra
U
không phụ thuộc vào mà chỉ phụ thuộc vào .
Đặt:
U
Q
, thay vào biểu thức trên và tích phân ta được:

U Q( )dNhư ta đã biết phương trình vi phân chuyển động của thanh có dạng:

2
2
2
2
2
x
U
a
t
U
(2.5)
Điều kiện đầu của bài toán:
U(0, x) = 0,
U(0, x)
0
t
với 0 < x < L (2.6)

0
U(0, x)
V
t
với x = L (2.7)
Điều kiện biên của bài toán:
Ở tại đầu thanh gắn chặt: U(t, 0) = 0

0
V


x
O

-22-
Vậy
U(t, x) (at x) (at x)
(2.11)
Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định các hàm và .
Từ điều kiện đầu ta có:

t0
U(x) ( x) ( x) 0 0 x L
U
'( x) '( x) 0 0 x L
x
U
a '( x) a '( x) 0 0 x L
t
(2.12)
Từ hai đẳng thức cuối ta có:
( x) 0
;
( x) 0
(0 < x < L)
Nếu thay biến x bằng biến Z ta có:
(z) 0

.
Thực tế nếu hàm (z) được biết trong khoảng
(2n 1)L z 2nL
thì vế
phải của (2.14) được biết trong khoảng
2nL z 2(n 1)L
.
Tích phân (2.14) ta có:

z z z
mL mL mL
n
1
z C e e e (z 2L) (z 2L) dz
mL
(2.15)
Trong đó: C
n
hằng số tích phân.
Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm (z) khi chuyển từ một tích phân đến một
tích phân sau. Điều kiện (2.13) xác định (z) trong khoảng ( L, L).
Sau khi sử dụng (2.15), ta sẽ tìm được (z) ở trong khoảng (L, 3L).
Trong khoảng này vế phải của (2.15) bằng không, từ đẳng thức (2.15) ta có:

z/mL
1
(z) C e
(L < z <3L)
Để xác định hằng số C
1

(z 2L) e
a
, thay vào phương trình (2.14) ta có:

-24-

z 3L
0
mL
2V
1
(z) (z) e
mL mLa

Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng:

z z 3L
0
mL mL
2
2V
(z) C e (z 3L)e
mLa
(3L < z < 5L) (2.18)
Hằng số C
2
được xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu thanh (x =
L) trong thời gian va chạm. Như vậy có thể tìm được các hằng số C
n
với cách

Thay
2nL
t0
a
vào (2.19), ta có:

xL
2nL
t0
a
1U
[(2n 1)L 0] [(2n 1)L 0]
at
(2.21)
Dựa vào tính chất liên tục của vận tốc tại đầu thanh suy ra:

(2n 1)L 0 (2n 1)L 0 (2n 1)L 0 (2n 1)L 0
(2.22)

-25-
Đẳng thức (2.22) xác định tính chất của hàm số (z), nếu (z) liên tục
gián đoạn loại 1 với
z (2n 1)L
. Thì các bước nhảy có giá trị giống nhau.
Ta có thể chứng minh sự gián đoạn liên tục này thực tế tồn tại và tìm
được giá trị chung của bước nhảy (z) với
z (2n 1)L
.
Khi quay lại kết quả (2.16) xuất phát từ điều kiện đầu (2.7) ta có:


31
0
mm
2
V
C (e e )
a

Thay giá trị C
2
vào đẳng thức (2.18) ta có:

z L z 3L
00
mL mL
VV
2
(z) e 1 (z 3L) e
a a mL
với 3L < z <5L (2.26)
Sau khi xác định (z) trong khoảng (3L, 5L) và sử dụng đẳng thức (2.15)
và (2.25) ta sẽ tìm được hàm (z) trong khoảng (5L, 7L). Đối với điều kiện
đó ta sẽ xác định được biểu thức dưới dấu tích phân trong đẳng thức (2.15).
z 3L z 5L z 5L
00
mL mL mL
22
2V 4V
1
(z 2L) (z 2L) e 2e (z 5L)e