PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU
1 . Lý do chọn đề tài
Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề
cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ
hợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ
năng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán
vào những tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp
11 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu
đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố
xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số
kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc
cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể.
Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do
đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt
so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài
toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào,
thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã
làm đúng.
Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ
bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để
giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài
toán xác suất lớp 11”.
Đề tài của tôi gồm 3 phần:
Phần I: Lời nói đầu
Phần II: Nội dung
A: Cơ sở lý thuyết
B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11
C: Một số bài tập tham khảo
Phần III: Kết luận
1
2. Mục đích yêu cầu

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng
mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.
Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:
- Tập
φ
được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).
- Tập
Ω
được gọi là biến cố chắc chắn.
• Phép toán trên biến cố
Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và
các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
+ Tập
\ A
Ω
được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và xảy ra
khi và chỉ khi không xảy ra.
+Tập
A B∪
được gọi là hợp của các biến cố A và B.
+ Tập được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là
A.B.
+ Nếu thì ta nói và là xung khắc.
+ Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến
cố kia.
2) Định nghĩa cổ điển của xác suất
3
Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết
quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số

b) Quy tắc cộng xác suất
• Nếu A và B xung khắc thì:
( ) ( ) ( )P A B P A P B
∪ = +
• Nếu A
∩
B =
φ
thì
( ) ( ) ( )P A B P A P B
∪ = +
• Với mọi biến cố và bất kì ta có:

( ) ( ) ( ) ( . )P A B P A P B P A B
∪ = + −
c) Quy tắc nhân xác suất:
Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi
( . ) ( ). ( )P A B P A P B
=
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11
B1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ
điển của xác suất. Xác suất của biến cố A là:
( )
( )
( )
n A
P A
n
=
Ω

( )
n A
n Ω
=
6 2
15 5
=
B =
A

⇒
P(B) = 1 – P(A) = 1 -
2 3
5 5
=

( ) 3n C
=

⇒
P(C) =
( ) 3 1
( ) 15 5
n C
n
= =
Ω
Bài toán 2.
Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng
ngang. Tìm xác suất sao cho.

72 1
720 10
=
, P(B) =
( ) 144
( ) 720
n B
n
=
Ω
=
1
5

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và
kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải
nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.
Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.
Bài toán 3.
6
Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt
xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.
Hướng dẫn học sinh:
Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’
Không gian mẫu:
(1,1),(1,2),(1,3), (1,6)
(2,1),(2,2),(2,3), (2,6)

(6,1),(6,2),(6,3), (6,6)
 

Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn
từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. chon ngẫu nhiên một
số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.
Lời giải : Gọi A là biến cố ” Số được chọn là số chẵn”
Số phần tử của S là
3
7
A
= 210
( )n⇒ Ω =
210
Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách
( )n A⇒ =
90
Xác suất cần tính là P =
90 3
210 7
=

Phân tích: Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số
phần tử của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân
Tương tự học sinh giải bài toán sau đây :
Bài toán 5. ( Đề thi đại học khối B năm 2013)
7
Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi
trắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp
ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
Lời giải :
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42.
Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8

Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất
hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.
a) Mô tả không gian mẫu.
8
b) Tính xác suất:
A: “Số lần gieo không vượt quá ba”
B: “Số lần gieo là năm”
C: “Số lần gieo là sáu”
Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách
xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần
gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi
ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:
o Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?
o Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?
Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì
nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa
thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu
hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có
thể xác định được không gian mẫu.
Lời giải:
a) Không gian mẫu
Ω
=
{ }
, , , , , ,N SN SSN SSSN SSSSN SSSSSN SSSSSS

b) Ta có: A =
{ }

2 tiến, 2 lùi là :
T –T - L – L, T – L –T – L, L – L – T – T,
L –T - L –T, T –L – L – T, L – T – T – L .
9
Mỗi bước tiến hay lùi đều có xác suất là
1
2
, nên mỗi trường hợp có xác suất là
1
2
.
1
2
.
1
2
.
1
2
=
1
16
. Khi đó xác suất cần tìm là P =
6 3
16 8
=
.
B2. Dạng 2: Biến cố đối
Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức
tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn.

: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”
Và ta có
A
=
{ }
SSS

⇒
n(
A
) = 1
⇒
P(
A
) =
1
8
. Vậy P(A) =
7
8
b) Tương tự ta có:
B
=
{ }
,SSS NNN
⇒
n(
B
) = 2
⇒

dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:
o Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,
“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn
hơn thì ta dùng biến cố đối
o Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
hợp để tránh xác định sai biến cố đối.
Bài toán 11 . Chon ngẫu nhiên 3 người biết rằng không có ai sinh vào năm
nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau
( cùng ngày, cùng tháng).
Hướng dẫn :
Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đôi một khác nhau”.
12
Số trường hợp có thể là 365
3
. Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363
Vậy P = 1-
3
365.364.363
1 0,9918 0,0082
365
≈ − =

Bài toán vận dụng
Bài toán 12. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi
vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính các suất để 4 viên bi được chọn
không có đủ 3 màu.
Lời giải: Số kết quả có thể là:
Ω
=
4

a) Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
b) Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
Phân tích:
a) Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử
của biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất
nhiên là cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh
khá hơn thì sử dụng tính toán để đếm số phần tử như sau:
Ta có
Chọn là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Do đó
Có 3 cách chọn , với mỗi cách chọn ta có 3 cách chọn . Do đó có 9
cách chọn
Tôi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài toán này có thể
được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử dụng quy tắc xác suất. Cho nên
giáo viên có thể gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng
này như sau:
Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”
B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”
14
X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”
Thấy rằng và là hai biến cố độc lập và
3 1
6 2
=
(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)
Do vậy ta có:
b) Gọi là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”
Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:
• Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện
mặt lẻ.

với biến cố thực hiện lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân
Bài toán14.
Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy
ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.
Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng nghĩa là không cóchi
tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài toán này không thể giải theo dạng 1
mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất
Lời giải
Gọi là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”
là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”
là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”
Khi đó . Do A
1
và A
2
xung khắc nhau nên P(A) = P(A
1
) + P(A
2
)
Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là
6
10
C

6
10
( )N C⇒ Ω =
= 210
Có 8 chi tiết không bị hỏng nên

Ω
=
28 2
210 15
=

⇒
P(A) = P(A
1
) +P(A
2
) =
2 8
15 15
+
=
2
3
Bài toán 15.
Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả
cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu
nhiên 1 quả cầu.
a) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
b) Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
Phân tích: Bài toán này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài
dòng và phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việc
giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Lời giải
a) Gọi:
A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”

1
6
• Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn:
1
2
• Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ:
1
2
• Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3:
1
2
Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài toán ta sẽ tính được
xác suất này. Và cũng có nhiều bài toán cho trực tiếp xác suât. Bài toán sau là
một ví dụ
Bài toán 16.
Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất
để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là . Hãy tính
xác suất để:
a) Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
b) Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
18
Phân tích: Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng
phép toán tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm
tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Lời giải:
Gọi “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”
“Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”
Khi đó ta có: P(A) = 0,7
⇒


Do đó ta có:
B4.Luyện tập chung:
Bài 18. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi
nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số
chẵn.
Hướng dẫn :
20
Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “Cả hai
thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một
số chẵn” là:
C A B= ∪
.
Do hai biến cố A và B xung khắc, nên
( ) ( ) ( ) ( )P C P A B P A P B= ∪ = +
. Vì có 4 thẻ
chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có:
1 1
2
5 4
4
2 2
9 9
20 6
( ) ; ( )
36 36
C C
C
P A P B
C C
= = = =

= ⇒ =
c) Gọi
C
là biến cố: “Trong ba quyển không có quyển sách Toán nào”, ta
có:
3
5
( ) 10n C C
= =
, và
10 37
( ) 1 ( ) 1
84 42
P C P C= − = − =
Bài toán 20: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn
ngẫu nhiên 8 học sinh. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không
quá hai trong 3 lớp.
Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm
8
19
C
phần tử
Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó
8
8
1
A
C
Ω = =
21

P A B C D P A P B P C P D
C
C C
C C C C
∪ ∪ ∪ = + + + =
= + + +
Giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả
thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố
hợp của các biến cố A
1
, …, A
n
xung khắc tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc
cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.
Bài toán 21: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A
trong một lần bắn là
7
10
. Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn
trúng của B trong một lần bắn là
9
10
. Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn
Hướng dẫn học sinh:
Gọi A
1
là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì
1
3
( )

1
( ) ( ). ( ) ( ) ( )
10
P B P B P B P B= =
. A, B là độc lập
22
A B∩
là biến cố mục tiêu không trúng đạn
2
5
3
( ) ( ). ( )
10
P A B P A P B∩ = =

Giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả
thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác
nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A
1
, , A
n
độc lập
tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố
A.
Bài toán 22: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là
0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học
không đủ ánh sáng.
Hướng dẫn học sinh:
Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75
Gọi A

6 6
3 6
( ) .0,75P A C
=
1 2 3
A A A A= ∪ ∪
là biến cố lớp học đủ ánh sáng
A
là biên cố lớp học không đủ ánh sáng
( ) 1 ( ) 0,8305P A P A
= − =
Bài toán 23: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là
0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng
dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm
Hướng dẫn: Gọi A
1
là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A
1
là biến cố hợp của
1
3
C
biến
cố con,
1 2
1 3
( ) .0,2.0,25P A C
=
Gọi A
2

=
1 2 3 4
A A A A A= ∪ ∪ ∪
là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Vậy
( ) 0,0935P A =
Bài toán 24. Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp X =
{ }
1,2,3 11
a) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
b) Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ.
Hướng dẫn: Số kết quả có thể là
3
11
C
=165
a)Các bộ ( a, b,c ) mà a + b + c = 12 là ( 1, 2,9), ( 1, 3, 8), (1,4,7),
( 1, 5 , 6), (2,3,7), ( 2,4,6), ( 3,4,5). Vậy P =
7
165
.
b)Tổng a + b + c là lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ hoặc trong
ba số có 1 số lẻ và 2 số chẵn. Ta có
3
6
C
=20 cách chọn 3 số lẻ và
1 2
6 5
.C C
= 60 cách

trường hợp sau:
a/ Máy bay bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc
b/ Máy bay bay được nếu có ít nhất mỗi động cơ trên mỗi cánh làm việc
7/ Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời, trong đó
chỉ có một câu đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ
1 điểm .Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú hoạ một câu trả lời. Tính
xác suất để:
25