Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 1
PHẦN MỞ ðẦU
I.Lý do chọn ñề tài
Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục ở ñất nước ta ñang diễn ra mạnh mẽ
và dần hoàn thiện. ðiều ñó ñòi hỏi người dạy và học phải tìm tòi ra những phương
pháp tổng hợp một lượng kiến thức khá sâu và rộng phù hợp hơn với chương trình
mới. Trong chương trình cải cách toán Trung học phổ thông thì phân môn lượng
giác ñóng vai trò khá quan trọng. Ngoài ra nó còn khá nhiều ứng dụng trong việc
giải các phân môn khác của toán học và một số môn học khác. ðối với các học sinh
Trung Học Phổ Thông, một số các bạn sinh viên và giáo viên thì việc học và dạy
toán lượng giác tương ñối gặp khá nhiều khó khăn vì tính phức tạp và ña dạng của
nó. Là một sinh viên năm 3 của khoa sư phạm vừa trải qua học phần kiến tập sư
phạm tôi ñã mạnh dạn chọn ñề tài “ Các phương pháp giải phương trình lượng
giác và bài tập”cho học phần tiểu luận tốt nghiệp của mình. ðể giúp các bạn sinh
viên, học sinh và một số giáo viên Trung Học Phổ Thông nắm vững ñược một số
phương pháp giải toán phương trình lượng giác hơn. ðồng thời chuẩn bị một lượng
kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân trong tương lai và học
phần Thực tập sư phạm sắp tới. Nhưng do tính ña dạng, phức tạp của lương giác và
thời gian thực hiện ñề tài khá hạn hẹp nên nội dung bài tiểu luận chỉ gói gọn một số
phương pháp giải toán lượng giác và lượng bài tập cơ bản.
II.Mục ñích nghiên cứu
-Hoàn thành học phần Tiểu luận tốt nghiệp
- Có ñược một số phương pháp giải toán phù hợp với bản thân góp phần thực
hiện tốt hơn học phần tực tập sư phạm sắp tới cũng như trong việc giảng dạy trong
tương lai
-Làm nguồn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh, sinh viên và các bạn yêu
toán khác trong việc giải toán và nghiên cứu các ñè tài khác có liên quan.
-Góp phần phục vụ cho việc tổng hợp các phương pháp giải toán lượng giác
Trung học phổ thông.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 3
II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác
II.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản
II.2.Phương pháp ñưa về phương trình tích
II.3.Phương pháp ñặt ẩn số phụ
II.4 phương pháp ñối lập
II.5.Phương pháp tổng bình phương
B. Bài tập: Giải một số bài tập giúp nắm vững hơn các phương pháp giải phhương
trình lượng giác và một số bài tập tự luyện từ dễ ñến khó có hướng dẫn và ñáp số.
C. Một số chú ý quan trọng trước khi giải phương trình lượng giác

*PHẦN KẾT LUẬN
Nhận ñịnh về khả năng phát triển, tầm quan trọng và lợi ích của ñề tài.


tg x g x
= =
= + =
+ = + =
= =
+ +

I.2 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt; Cung liên kết.
I.2.1 Bảng giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt.
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin x 0
1
2

2


-
2
2
-
3
2

-1
tg x 0
3
3

1
3

∞

-
3

-1
-
3
3

0
cotg x

∞

-x) = -cotgx
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 5
c. Cung phụ nhau
cos(
2
π
-x) = sinx sin(
2
π
-x) = cosx
tg(
2
π
-x) = cotgx cotg(
2
π
-x) = tgx
d. Cung hơn kém
π

cos(
π
+x) = -cosx sin(
π
+x) = -sinx
tg(
π
+x) = tgx cotg(
π

;(a,b,a+b ,
2
k k
π
π
≠ + ∈
Z
)
tg(a-b) =
1 .
tga tgb
tga tgb
+
−
;(a,b,a+b ,
2
k k
π
π
≠ + ∈
Z
)
I.4 Công thức nhân
I.4.1 Công thức nhân ñôi
sin2a =2.sinx.cosx
cos2a = cos
2
x– sin
2
x

1
os (1 os2 )
2
c a c a
= +

2
1 os2
;( , )
1 os2 2
c a
tg a a k k
c a
π
π
−
= ≠ + ∈
+
Z

I.4.3 Công thức tính theo tg
2
a
= t; (
2
a
≠
2
π
+k

+
=
−

I.5 Công thức biến ñổi tích thành tổng

( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
1
cos .cos cos cos
2
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= − + +
 
 
= − + +
 
 
= − − −
 
 

+ −
   
+ =
   
   
+ −
   
− = −
   
   

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 7
II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác
II.2.1Phương pháp ñưa về phương trình lượng giác cơ bản.
a. Phương pháp: Dùng phép biến ñổi lượng giác tương ñương ñưa về các dạng
phương trình lượng giác cơ bản ñã biết ñể giải.

b. Các phương trình lượng giác cơ bản
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( ) ( )
( ) ( ) 2
u x v x k
u x v x k
u x v x k
π
π π
= +

= ⇔ ∈


= ⇔ ≠


= + ∈

Z c.Ví dụ:
* Ví dụ 1:
os( ) sin(2 ) 0
3 2
c x x
π π
+ + + =
(1)
Giải
(1) cos( ) sin(2 ) cos( ) cos( 2 )
3 2 3 2 2
cos( ) cos 2 cos( ) cos( 2 )
3 3
2 2
2 2
3 9 3
( ) ( )
4
( 2 ) 2 2
3 3
x x x x

( )
4
2
3
x k
k
x k
π π
π
π

= +

∈


= −


Z

* Ví dụ 2:
3 3
3
sin .cos sin .cos
8
x x x x− =
(2)
Giải:
2 2

π
π π
π
π π


= − +
= − +


⇔ ∈ ⇔ ∈




= +
= + +




Z Z

Vậy phương trình ñã cho có 2 họ nghiệm:
12 2
( )
3 2
x k
k
x k

i
n
P x A x
A x
A x
A x
=
⇔ =
=


=


⇔




=


∏

Giải các phương trình A
i
=0; Tìm nghiệm và hợp tất cả các nghiệm ñó chính
là nghiệm của phương trình ban ñầu.
II.2.2. Bài tập ví dụ:
* Ví dụ 3)

⇔ + + − + =
⇔ + − + =
⇔ + − + =
⇔ − + =
⇔ + =
⇔
2
2
4 2
2
1
cos
cos 0
2
2cos cos 0
cos 0
cos 0 ;
2
x
x
x x
x
x x k k
π
π


= −
=


2 2 2 2
sin 2 sin 4 sin sin 3
1 os4 1 os8 1 os2 1 os6
2 2 2 2
cos4 cos8 cos 2 cos6
4 8 4 8 2 6 2 6
2cos( )cos( ) 2cos( )cos( )
2 2 2 2
cos6 cos2 cos2 cos 4
cos2 (cos6 cos4 ) 0
cos2 0
cos6 cos4 0
x x x x
c x c x c x c x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
+ = +
− − − −
⇔ + = +
⇔ + = +
+ − + −
⇔ =
⇔ =
⇔ − =
=


⇔ = + ∈ ⇔ = ∈
 
 
= − +
=
 
 
Z Z

Vậy phương trình (4) có nghiệm là:
; ; ,
4 2 5
x k x k x k k
π π π
π
= + = = ∈
Z

III.3. Phương pháp ñặt ẩn số phụ
III.3.1 Phương pháp: Có 2 cách ñặt ẩn số phụ
+ Cách1: ðặt một ẩn phụ, ñưa phương trình ñã cho về một phương trình mới dễ giải
hơn.
+ Cách 2: ðặt 2 ẩn phụ, ñưa phương trình ñã cho về hệ phương trình ñại số rồi giải.
III.3.2 Cách ñặt ẩn phụ ñối với một số loại phương trình lượng giác cơ bản.
a) Phương trình bậc nhất ñối với sin và cos
+Dạng phương trình: sin cos
a x b x c
+ =
(1)
+ðặt

π
π
= + ∈
Z
có phải là
nghiệm của phương trình (1) hay không.
b) Phương trình ñối xứng loại 1
+Dạng phương trình:
(sin cos ) (sin cos ) 0; ,
n m
a x x b x x d m n
± + + = ∈

(2)
+ðặt
sinx cos
sinx-cos
t x
t x
= +


=

, ñiều kiện
2
t ≤ (*)
2
2
1

−
−
± ± ± =
;n
∈
Z
(3)
+ðặt
cotgx,( )
cotgx,( 2)
t tgx t R
t tgx t
= − ∈


= + ≤



Thay vào phương trình (3), ñưa phương trình (3) về phương trình ña thức theo t.
Giải tìm t từ ñó suy ra x.
III.2.2 Ví dụ
a)Ví dụ 5: Giải phương trình
3
(sinx cos ) sin x cos 1 0
x x
+ + − =
(5)
Giải: ðặt
sinx cos

3 2 2
2
2 3 0 ( 1)(2 3 3) 0
1 0
1
2 3 3 0
sinx cos 1 2 sin( ) 1
4
2
1
4 4
sin( ) ( )
4
2
2
4 4
2
( ) 2 ,
2
2
2
t t t t t
t
t
t t
x x
x k
x k
x k
x k

=


⇔ ∈ ⇔ = + ∈

= +

Z
Z Z

Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là:
2 ,
2
x k k
π
π
= + ∈
Z

b) Ví dụ 6: Giải phương trình
2 2
3( c tgx) 2( cot ) 2 0
tgx o tg x g x
+ − + − =
(6)
Giải:
+ ðiều kiện:
( )
sinx 0
os2 0 , *


Phương trình (6) trở thành :
2
2
3 2( 2) 2 0
2 3 2 0
t t
t t
− − − =
⇔ − − =

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 13
2
2
2
1
2
1
c o t 2 2
2 1 0
1
4
;
4
t
t
t
tg x g x tg x
tg x

f g
x D D
∀ ∈ ∩
:
( ) ( )
f x g x
≤
( hoặc
( ) ( )
f x g x
≥
)
Ta thường giải quyết các vấn ñề của bài toán bằng 3 cách sau:
+ Cách 1: Sử dụng tính bị chặn của hàm sin, cos.
+ Cách 2: Dùng các bất ñẳng thức cơ bản là Cauchy và Bunhiakopsky.
*Bất ñẳng thức Cauchy:
Cho n số không âm
1 2
, , ,
n
a a a
ta có bất ñẳng
thức
1 2 1 2

n
n n
a a a n a a a
+ + + ≥
. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi


n
n
a
a a
b b b
= = =

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 14
+ Cách 3: Dùng phương pháp khảo sát hàm số
II.4.2 Ví dụ
a)Ví dụ 7: Giải phương trình
3 4
sin os 1
x c
+ =
(7)
Giải
Ta có
3 2
4 3
2
4 2
sin 1
sin sin
cos sin 1
cos 1
cos cos
x


3 2 2
4 2 2 2
2
2
2
2
2
sin sin 0 sin (sin 1) 0
cos cos 0 cos (cos 1) 0
sin 0
sin 0
sin 1
sin 1
os 0
os 0
sin 0
os 1
sin 0
( )
sin 1
2
x x x x
x x x x
x
x
x

=
=




⇔ ⇔
 

=

=
 


 
=
=




=

=


⇔ ⇔ ∈



(8) với
0
2
x
π
≤ ≤

Giải:
1 cos 1 cos 0
2 2
x x
x x
− = ⇔ − − =

ðặt
( ) 1 cos
2
x
f x x
= − −

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 15
Ta có
'
( ) sinx
f x x= − +''

II.5.Phương pháp tổng bình phương.
II.5.1 Phương pháp.
Phương pháp này sử dụng các hằng ñẳng thức cơ bản như
( ) ( )
2 2
;
a b a b c
± ± ±
hoặc
ñưa phương trình ñã cho về dạng
2 2 2
0
0 0
0
A
A B C B
C
=


+ + = ⇔ =


=
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 16
II.5.2 Ví dụ.

,
2
1 sin 3 0
sin 3 1
2
( ) 2 ,
2
3 2
2
x
x k k
x
x
x k
k x k k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π

=
= + ∈


⇔ ⇔

x c x x
+ + − =
(10)
Ta có
2
(10) 2.2sin x cos 1 2sin 2 2 sin 4 0
x x x
⇔ + − + − =

2
2
2
2 2
4sin x cos 3 2sin 2 2 sin 0
3
2sin x cos sin 2 sin 0
2
1
(1 2sin x cos ) (sin 2 sin ) 0
2
2
(sin x cos ) (sin ) 0
2
x x x
x x x
x x x
x x
⇔ − − + =
⇔ − + − =
⇔ − − − − + =

π
π
π
π
π
π


= +






= +



=
 
⇔ ⇔ ∈ ⇔ = + ∈
 

 
= − +




2 2 2
2
2
2
2
cos ( sin cos )
cot
( 1)cos
cot
( 1)cos
1
( 1)cos
sin
1
a tg a a a
VT
tga ga
tg a a
VT
tga ga
tg a a
VT
tga
tga
tg a a
VT tga a VP
tg a
+ +

a
atg a
g a
a g a
VP g a VT
g a a
+ +
= =
+
+
 
+
= = =
 
+
 
( ) ( )
( ) ( )
4 2 4 2
2 2
2 2 2 2
2 4 2 2 4 2
2 4 2 4
2 2
2 2
2 2
sin 4 os os 4sin
1 os 4 os 1 sin 4sin
1 2 os os 4 os 1 2sin sin 4sin
1 2 os os 1 2sin sin

Ta có:
sin cot sin cot
cot
cot sin
1 sin
cot
n
n
n
a ga a ga
VT g a
ga a
atga
ga
 
 
 
+ +
 
= = =
 
+
+
 
 
 
 
(1)
⇔ + =
2 2 2 2
1 os sin 1 sin os
c x x x c x
⇔ − = ⇔ = +
sin 2 sin 4 sin 6 sin8
2sin3 cos 2sin 7 cos
2cos (sin 3 sin 7 )
4cos .sin 5 cos 2
B a a a a
B a a a a
B a a a
B a a a
= + + +
= +
= +
=
os2 os4 os6 os8
2 os3 cos 2 os7 cos
2cos ( os3 os7 )
2cos .2 os5 .cos 2
4cos . os5 .cos 2
C c a c a c a c a
C c a a c a a
C a c a c a
C a c a a
C a c a a
= + + +
= +
= +


ta có:
2
(1 cos )(1 cos ) sin
x x x
− + = Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
a)
sin 2 sin 4 sin 6 sin 8
os2 os4 os6 os8
a a a a
A
c a c a c a c a
+ + +
=
+ + +

Giải:
Ta ñặt:

B
π
π
π π
π π
π π π
π π π
+
=
−
+
+
= =
−
−
+ −
=
− +
+ − −
= =
+ − −
(( / 6) )tg a
π
= −b)
1 2 os2
3 2sin 2
c a

Giải:
A=sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+ sin
2
10
0
+ sin
2
20
0
+…+ sin
2
170
0

A=sin
2
10
0
+ sin
2
20
0

2
80
0
)+sin
2
90
0

A=2(sin
2
10
0
+sin
2
20
0
+…+sin
2
40
0
+sin
2
(90
0
-40
0
)+sin
2
(90
0

+cos
2
40+ cos
2
10
0
+cos
2
20
0
+cos
2
30
0
)+sin
2
90
0
A=2(1+1+1+1)+1=9
b) B=tg1
0
tg2
0
tg89
0

Giải:
B= tg1
0
tg2

SVTH:Nguyễn Thị ðông 21
B= tg45
0
=1
Bài 7: cho cosa=5/13 (0<a<
π
/2)
Tính sin(a+
π
/6) và tg(a-
π
/6)
Giải:
Ta có: cosa=5/13
2
sin 1 os
a c a
= −
144 12
169 13
= =
sin(a+
π
/6)=sina.cos
π
/6+sin
π
/6.cosa
=
12 3 1 5 12 3 5

os( / 2) sin( / 2). os( / 2) sin( / 2). os( / 2)
c A B c C C c B
= +

b)
( / 2). ( / 2) ( / 2). ( / 2) ( / 2). ( / 2) 1
tg A tg B tg B tg C tg C tg A
+ + =

c)
os( / 2) os( / 2) os( / 2)
2 3
os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2)
c A c B c C
c B c C c A c C c B c A
+ + ≥

Giải
a) gọi A, B, C là góc của  ABC:
Ta có A+B+C=
π2 2
sin sin os
2 2 2
sin os sin os os ( )
2 2 2 2 2
B C A
B C A

1 .
2 2 2 2
. . 1 .
2 2 2 2 2 2
A B C C
tg tg g
C
tg
A B
tg tg
A B
tg
C A B C
tg tg tg tg
A C B C A B
tg tg tg tg tg tg
π
+ −
     
= = =
     
 
     
 
 
   
+
   
+
 

os . os
2 2
B
c
A C
tg tg
A C
c c
C
c
A B
tg tg
A B
c c
= +
= +

b) Ta có: c)Ta có:
os sin . os sin . os
2 2 2 2 2
os sin sin

2 3
os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2) os( / 2). os( / 2)
c A c B c C
c B c C c A c C c B c A
+ + ≥
(ñpcm) Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 23
2
2
1 sin
os
x
A
c x
+
=
1 2 os2
1
3 os2
2
1 2 os2
1 2 os2
2
c x
c x
A
c x

2si
B
B c c c
c c c c
B
c
c c c
B
c
c c
B
c
c
B
c
B
= − − −
=
=
=
=
=
=
0 0 0
0
0
n(90 10 ) os60
os10
2 os60 1
c


2 2
1 2 os2 1 2 os2
sin os
2 2
c x c x
x c x
− +
= =
Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 24
2 2
2 2
2
2 2
1 cos
os
1 cos 2
1
os
2
2
1 os sin
x x

2 2
1
4( os ) 2 os2 (1 os4 ) 1
2
1 os2 1
4 2 os2 (1 os4 ) 1
2 2
1
1 2 os2 os 2 2 os2 (2 os 2 ) 1
2
0
D c x c x c x
D c x c x c x
c x
D c x c x
D c x c x c x c x
D
= − − −
= − − + −
+
 
= − − + −
 
 
= + + − − −
=

Bài 10: ðơn giản biểu thức:
a)
2 2


Bài 11: Biến ñổi thành tích:
2 2
os os 3
A c a c a
= −

Giải:

Các phương pháp giải phương trình lượng giác và bài tập
SVTH:Nguyễn Thị ðông 25
3 2
3 3 3
A tg x tg x tg x
= − − +
2
2
3
3
( 1) 3( 1)
( 1)( 3)
( 1)( 3)( 3)
( ( / 4))( ( / 3))( ( / 3))
sin( / 4)sin( / 3)sin( / 3)


Bài 13: Biến ñổi thành tích

Giải:

Bài 14: Chứng minh ñẳng thức sau:
[ ] [ ]
[ ]
sin 5
2( os2 os4 )
sin
(sin 5 2 os2 .sin 2 os4 .sin )

=
+ − − +
=
= =