Chuyên đề phương trình lượng giác
Chương I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cung liên kết
a) Cung đối:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x− = − = −
b) Cung bù:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
− = − − =
c) Cung phụ:
cos sin ; sin cos ; tan( ) cot ; cot tan
2 2 2 2
x x x x x x x x
π π π π
     
− = − = − = − =
 ÷  ÷  ÷
     
d) Cung hơn kém
π
:
( ) ( )
cos cos ; sin sin ; x x x x
π π
+ = − + = −
e) Cung hơn kém
2
π

+ = +
+
+ =
−
−
+ =
+

2 2
2
2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
a a a
a a a
a
a
a
a
a
=
= −
= −
= −


[ ]
[ ]
[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
−
= + − −
= + + −

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b

+ = + = − + = −
+ = = ± = ±
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
1
Chuyên đề phương trình lượng giác
4. Phương trình lượng giác cơ bản
khi 1
2
sin ( ) ; sin sin
( ) arcsin 2
2
khi 1
( ) arcsin 2
VN m
x k
f x m x
f x m k
x k
m
f x m k
α π
α
π
π α π
π π
>

= +



α π
π
>

= +


= ⇔ = ⇔
= +



= − +
≤



= − +



tan ( ) ( ) arctan ; tan tanf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +

cot ( ) ( ) arccot ; cot cotf x m f x m k x x k
π α α π
= ⇔ = + = ⇔ = +
5. Phương trình thường gặp
a. Phương trình bậc 2

sin ( ) cos ( )a f x b f x c+ =
 Điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c+ ≥
 Chia 2 vế cho
2 2
a b+
, dùng công thức cộng chuyển về dạng cơ bản theo sin
hoặc cos.
c. Phương trình đẳng cấp
 Dạng
2 2
.sin .sin cos .cosa x b x x c x d+ + =
Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
2
x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.
 Dạng
3 2 2 3
.sin .sin cos .sin .cos .cos 0a x b x x c x x d x+ + + =
Xét cosx = 0 có thỏa mãn phương trình hay không.
Xét cosx
≠
0, chia 2 vế cho cos
3
x để được phương trình bậc 3 theo tanx.
Có thể thay vì xét cosx, ta có thể thay bằng việc xét sinx.

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a.
2sin 3x 3
6
π
 
− =
 ÷
 
b.
( ) ( )
0 0
sin 2x 45 c x 60 0os− + + =
c.
tan3x cot 2x=
d.
( )
x
cot c
2
= −
0
ot 2x-30
e.
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
g.
4sinx+cosx = 2 sin x
h.

s 2c 0inx+1 os2x - 2 =
c.
2
3 2 7 os2x - 3 = 0+sin x c
d.
2
3 4 3 0− + =cot x cot x
Bài 4. Giải các phương trình
a.
cos2x - sinx +2 =0
b.
2 2 2 3
+ =
tan x cot x
c.
2
2
cos2x + sin x cosx +1 = 0+
d.
2
4 2 8 9 0
2
sin x cos x+ − =
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (asinx + bcosx = c)
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a.
3cosx + 4sinx = -5
b.
5 2 6 13
2

+ + =
e.
2
2sin(2 ) 4sin 1
6
x x
π
+ + =
Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số :
a.
2 2
2sin ( ) 2cos cos2
6
y x x x
π
= + + +
b.
2sin( )cos( ) sin 2
6 3
y x x x
π π
= + + +
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
3
Chuyên đề phương trình lượng giác
c.
2sin(2 ) 4cos cos( )
3 3
y x x x
π π

x
π
=
+ +
.
Bài 9. Tìm các giá trị của x để
1 sin
2 cos
x
y
x
+
=
+
là số nguyên.
IV. Phương trình bậc thuần nhất đối với sinx và cosx
Bài 10. Giải các phương trình:
a.
2
6 2
2
sin x s inxcosx - cos x+ =
b.
2
2 2 3 2 2
2
sin x sin2xcos2x + cos x− =
c.
2 3 6
2

2
sin x s in2x - cos x+ =
c.
( ) ( )
2
2 3 3 1 1
2
sin x sinxcosx + 3 cos x+ + − = −
d. 4sinx + 6cosx =
1
cosx
Bài 12. Giải các phương trình
a.
2
2 4 3
3
sin x cos x s inx+ =
b. 2sin
3
x = cos3x
c.
3
2
4
sin x sinx
π
 
+ =
 ÷
 

b.
sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0
c.
( )
2 12 12 0sin x sinx - cosx− + =
d.
3 3
1sin x cos x+ =
e. 1 + sin
3
2x + cos
3
2x =
3
4
2
sin x
g.
3
4
3
sin x sin x cos x
π
 
+ = +
 ÷
 
h.
1 t anx = 2 2 sinx+
i. sinx +

c. 8cos
4
x = 1 + cos4x d. sin
4
x + cos
4
x = cos4x
GV: Cao Văn Liêm – Tổ KHTN – THPT Trường Long Tây
4
Chuyên đề phương trình lượng giác
e. 3cos
2
2x - 3sin
2
x + cos
2
x g. sin
3
xcosx - sinxcos
3
x =
2
8
h.
( ) ( )
1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = +
i. tanx + tan2x = sin3xcosx
Bài 17.(B1.43 +44 SBT Tr 15) Giải các phương trình
a. tanx = 1- cos2x b. tan(x - 15
0

• Phương trình thuần nhất bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx (Đặt t = tanx)
• Phương trình đối xứng với sinx, cosx (đặt t =
sinx cosx
±
) ; đối xứng với tanx và cotx (đặt t =
tanx cotx±
)
• Một số phương trình khác…….
Bài tập vận dụng :
Bài 22. Giải các phương trình lượng giác sau
1.
1 3sin 2 2 tanx x+ =
2.
( ) ( )
1 t anx 1 sin 2 1 t anxx− + = +
3.
( )
2 2
t anx.sin 2sin 3 os2x+sinx.cosxx x c− =
4.
6
3cos 4sin 6
3cos 4sin 1
x x
x x
+ + =
+ +
5.
2
4

9.
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
10.
2
cos9 2cos 6 2 0
3
x x
π
 
+ + + =
 ÷
 
Bài tập vận dụng
Bài 23 : Giải các phương trình
1.
3 3 3
cos 4 cos3 .cos sin sin 3x x x x x= +
2.
2 2
1 sin sin sin cos 2cos
2 2 4 2
x x x

4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(ĐH A-2008)
2.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin .cosx x x x x x− = −
(DH B-2008)
3.
( )
2sin 1 cos 2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(ĐH D-2008)
4.
( ) ( )
2 2