3
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 5
TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 5
MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 6
PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6
PHẠM VI NGHIÊN CỨU 6
BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN 7
KẾT LUẬN 7
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA
CHẠM 8
1.1 LÝ THUYẾT VA CHẠM CỔ ĐIỂN 8
1.2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG VỊ TRÍ 10
1.3 LÝ THUYẾT SÓNG 11
1.4 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG
CỌC 12
1.5 NHẬN XÉT 13
CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO
THANH ĐÀN HỒI 15
2.1 PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH VÀ BÀI TOÁN
BIÊN 15
2.1.1 PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH 15
2.1.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA BÀI TOÁN. 16
2.2 PHƢƠNG PHÁP LAN TRUYỀN SÓNG 16
2.3 MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO
THANH ĐÀN HỒI 18
2.3.1 VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI TỰ
DO. 18
2.3.2 VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI, ĐẦU

4.3.1 XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỌC BẮT ĐẦU LÚN 61
4.3.2 XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỌC KẾT THÚC LÚN 61
4.3.3 TÍNH ĐỘ LÚN CỦA CỌC TRONG MỘT LẦN VA CHẠM 62
4.4 TÍNH TOÁN VỚI SỐ LIỆU CỤ THỂ 62
4.4.1 GIỚI THIỆU VỀ CÔNG TRÌNH 62
4.4.2 CÁC SỐ LIỆU CỤ THỂ 62
4.5 ẢNH HƢỞNG CỦA LỰC CHỐNG MŨI CỌC R ĐẾN ĐỘ LÚN
CỦA CỌC TRONG MỘT NHÁT BÚA 63
4.6 NHẬN XÉT CHUNG 64
KẾT LUẬN CHUNG 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 5
MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Sự phát triển về kinh tế, xã hội tạo đà cho ngành xây dựng có nhiều thành
tựu mới, đó là những công trình xây dựng nhà cao tầng, cầu giao thông với trọng
tải lớn, các công trình thuỷ lợi, thuỷ điện
Yếu tố nền móng trong các công trình xây dựng dân dụng cũng nhƣ các công
trình đặc biệt chiếm một tỷ lệ lớn về tổng thể giá thành và tầm quan trọng của
công trình. Nó giúp cho công trình bền vững theo thời gian làm việc bằng cách
khống chế độ nghiêng và độ lún của móng trong giới hạn cho phép.
Từ trƣớc đến nay có rất nhiều biện pháp gia cố nền móng làm tăng khả năng
chịu tải của công trình: thay thế lớp đất yếu trong phạm vi chịu tải của công trình
bằng lớp đất có tính chất cơ lý tốt hơn, hoặc dùng bấc thấm để tăng nhanh khả
năng thoát nƣớc trong nền, nhờ đó tăng khả năng chịu tải.
Tuy nhiên đối với những công trình lớn, cũng nhƣ làm việc trên nền đất yếu
có độ dày lớn việc sử dụng hệ móng cọc là hữu hiệu hơn cả. Nhiệm vụ chủ yếu
của móng cọc là nhận một phần hoặc toàn bộ tải trọng và ngoại lực truyền xuống

Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt, việc nghiên cứu các bài
toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh với vật liệu và điều kiện biên khác nhau
là những bài toán phức tạp, nhƣng mô hình bài toán này rất gần với các bài toán
kỹ thuật, đặc biệt là thi công đóng cọc, đây cũng chính là bài toán thiết kế theo
giới hạn bền. Khi xác định đƣợc trƣờng ứng suất của cọc thì sẽ chọn đƣợc đệm
đầu cọc và đầu búa đóng thích hợp để cọc không bị vỡ. Xác định đƣợc vận tốc
lún ở đáy cọc cũng nhƣ thời gian kết thúc lún trong một nhát búa.
Lĩnh vực va chạm đã đƣợc áp dụng rộng rãi trong công nghệ chẩn đoán chất
lƣợng cọc bê tông. Trên thế giới đã xây dựng các lý thuyết về biến dạng nhỏ
(PIT), biến dạng lớn (PDA), phƣơng pháp trở kháng cơ học (MIIMP)… đƣợc
các đơn vị trong nƣớc nghiên cứu và triển khai nhƣ viện Cơ học, viện Khoa học
Công nghệ xây dựng, trung tâm kiểm định Coninco…
Đề tài “Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng
nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi và xác định độ lún của cọc” là đề tài có
tính chất cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Mục đích của đề tài
Nghiên cứu ứng suất cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất, đáy cọc gặp lực
chống không đổi nhằm xác định ảnh hƣởng của khối lƣợng đầu búa, đệm đầu
cọc, diện tích tiết diện ngang, lực ma sát mặt bên của cọc đến ứng suất tại tiết
diện đầu cọc và xác định độ lún của cọc nhằm bổ sung và hoàn thiện cho lớp bài
toán về khảo sát trạng thái ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất
với điều kiện biên khác nhau bằng phƣơng pháp lan truyền sóng.
Phương pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu dùng trong luận văn là sử dụng lý thuyết lan truyền
sóng nghiệm Đalămbe và chƣơng trình máy tính:
1. Áp dụng phƣơng pháp lan truyền sóng (nghiệm Đalămbe) để giải các bài
toán.
2. Sử dụng chƣơng trình máy tính MATLAB để kiểm chứng nghiệm giải tích
với số liệu tính toán cụ thể của móng cọc cầu Chợ Dinh –Thành phố Huế.
Phạm vi nghiên cứu

1.1 Lý thuyết va chạm cổ điển
Vào năm 1628 lần đầu tiên nhà bác học nổi tiếng Galilê nghiên cứu về va
chạm của vật rắn tuyệt đối, Galilê đã khẳng định rằng vật rắn va chạm sẽ sinh ra
công.
Tiếp theo các công trình nghiên cứu của Galilê đã có nhiều nhà khoa học đi
sâu vào nghiên cứu những quy luật cơ bản về chuyển động của các vật thể va
chạm và tới năm 1669, Huyghen đã nghiên cứu và thiết lập đƣợc các quy luật cơ
bản về va chạm của quả cầu.
Đối tƣợng nghiên cứu của lý thuyết va chạm cổ điển là vật rắn tuyệt đối và
hệ chất điểm. Vần đề khó khăn nhất là số phƣơng trình độc lập thiết lập đƣợc
không đủ so với số ẩn số độc lập phải tìm là do giả thiết vật rắn là tuyệt đối. Để
giải quyết vấn đề này, nhiều nhà khoa học đã tìm ra lối thoát bằng cách sử dụng
mối quan hệ phụ thuộc của vận tốc. Năm 1687, lần đầu tiên, Niutơn đã đƣa ra hệ
số k là hệ số tỷ lệ giữa vận tốc tƣơng đối trƣớc và sau khi va chạm thẳng xuyên
tâm của vật thể.
Mặc dù lý thuyết này còn hạn chế song vẫn còn đƣợc áp dụng cho đến tận
ngày nay. Sau Niutơn, lý thuyết va chạm cổ điển đƣợc Mapry, Ricát và nhiều
nhà bác học khác tiếp tục bổ xung phát triển và hoàn thiện hơn.
Nội dung lý thuyết va chạm cổ điển là một phần của cơ học vật rắn tuyệt đối.
Để nghiên cứu lý thuyết này, ngƣời ta đã đƣa ra các giả thiết đã thể hiện đƣợc
những nét cơ bản của hiện tƣợng va chạm vật lý đó là:
- Khoảng thời gian va chạm  là vô cùng bé.
- Bỏ qua sự dịch chuyển các vật thể trong thời gian va chạm.
- Xung lực va chạm là hữu hạn nên có thể bỏ qua xung lực của các lực hữu
hạn, đó là các lực không phải là lực va chạm.
Phƣơng trình cơ bản của lý thuyết va chạm cổ điển đƣợc viết nhƣ sau:

( ) .mV mV mV F dt
o


vật thể va chạm, sau này nhờ sự đo đạc và tính toán quá trình dao động của
Gayton và Tem đã cho thấy rằng hệ số k còn phụ thuộc vào khối lƣợng, hình
dạng và vận tốc tƣơng đối của các vật thể va chạm.
Năm 1724, nhà bác học Ricát đã nghiên cứu kết quả của các nhà khoa học
về lý thuyết va chạm, ông đặc biệt chú ý tới các đặc trƣng vật lý, cơ học của các
vật thể va chạm và phân chia quá trình va chạm thành hai pha sau:
 Pha đầu là giai đoạn biến dạng của các vật thể va chạm.
 Pha thứ hai là giai đoạn biến dạng khôi phục lại hình dạng của các vật
thể va chạm.
Hệ số khôi phục k đƣợc xác định bằng công thức sau:
k =
U U
V V
2 1
2 1


=
S
S
2
1
(1.1.2)
Trong đó:
S
1
, S
2
: Xung lực va chạm ở pha đầu và pha cuối của va chạm tƣơng ứng.
- Khi vật thể hoàn toàn dẻo ta có: k = 0.

 Hai vật thể đàn hồi không đặt tải trọng.
 Các vật thể tiếp xúc với nhau tại một điểm.
 Mặt của các vật thể ở tại vùng lân cận điểm tiếp xúc có pháp tuyến và độ
cong nhất định.
 Coi những điểm tiếp xúc là những điểm elip của các vật thể.
 Hệ lực hoạt động tác dụng lên mỗi vật thể có hợp lực hƣớng theo pháp
tuyến ngoài đối với mỗi mặt của vật thể này ở tại điểm tiếp xúc với vật thể thứ
hai.
 Hệ vật thể ở trạng thái cân bằng dƣới tác dụng của hệ lực hoạt động và
phản lực đàn hồi đặt lên vật thể ở vùng chịu nén.
Từ các giả thiết trên, với điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

p x y d P( , )
( )




(1.2.1)
Ở đây:
P : Hợp lực nén của vật thể.
p(x,y) : áp lực phân bố theo vùng nén.
 : Diện tích vùng nén (chƣa xác định).
Phƣơng trình (1.2.1) đƣợc gọi là phƣơng trình cơ bản thứ nhất của lý thuyết
cổ điển về sự tác dụng tƣơng hỗ lẫn nhau khi va chạm.
Phƣơng trình thứ hai đƣợc xác định khi xét tới các điều kiện động học của
bài toán và ta có: 11

1 1 1
2
4


( )
;

 
  
2
2 2
2 2 2
2
4


( )Trong đó:
 
i i
,
: là các hằng số Lame đối với các vật cụ thể.
 
1 2
,
: Là hệ số dịch chuyển tịnh tiến của vật thể sinh ra khi bị nén
Dựa vào lý thuyết thế năng của Niutơn ta có giải ra :

Nghiệm của Naviê đƣợc viết dƣới dạng cấp số vô hạn, điều này không thuận
lợi cho việc áp dụng vào thực tế vì cấp số có đƣợc sự hội tụ chậm.
Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi hiện nay dựa vào cơ sở các kết quả
nghiên cứu của Sanhvơnăng và Bútxinet. Sự nghiên cứu này đã tìm đƣợc nghiệm
tổng quát của bài toán mà Naviê đã đề ra dƣới dạng cho phép áp dụng vào thực
tế. Nhƣng lý thuyết va chạm dọc của Sanhvơnăng thƣờng chƣa thoả nãm với
thực tế. Để khắc phục điều này đã đƣợc Timôxencô chỉ ra bằng thực nghiệm.
Nguyên nhân là ở chỗ Sanhvơnăng cũng nhƣ Naviê đã coi mặt tiếp xúc giữa các
vật thể là nhẵn lý tƣởng vuông góc với trục thanh.
Sự gồ ghề của các mặt tiếp gây ra sự sai lệch lớn đối với hiện tƣợng va chạm
ở trƣờng hợp các thanh ngắn va chạm, để thực hiện gần đúng sơ đồ nghiệm bài
toán đối với điều kiện thực tế của thực nghiệm và các tài liệu lý thuyết, nhà
nghiên cứu khoa học Sia đã nghiên cứu sự va chạm của thanh với tiết diện đầu
hình cầu với thanh đầu phẳng.
Nhà khoa học Sia đã giả thiết rằng ở đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất
tuân theo lý thuyết biến dạng vị trí của Hec và từ khoảng cách nào đó cách các
đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất đƣợc xác định theo lý thuyết truyền sóng
của Sanhvơnăng. Nhƣ vậy Sia đã giải quyết trọn vẹn bài toán này vì ông đã
không chỉ chú ý đến biến dạng vị trí của các vật thể va chạm mà còn chú ý đến
sự liên hệ giữa biến dạng của các vật thể va chạm với dao động đàn hồi của
thanh.
Lý thuyết va chạm là tổng hợp bởi lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết
truyền sóng. Do đó, nhờ lý thuyết này mà ta xác định đƣợc thời gian va chạm và
các thông số đặc trƣng cho va chạm giữa các vật thể.
1.4 Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc
Dựa vào lý thuyết va chạm tự do giữa hai vật thể đàn hồi và nguyên lý cân
bằng Công khi đóng cọc, nhiều nhà nghiên cứu đã đƣa ra các công thức động
khác nhau để xác định sức chịu tải của cọc nhƣ công thức của: Crandall,
Gherxevanop, Hiley, Redtenbacher và Hollandais. Tuy nhiên hiện tại các công
thức đang đƣợc sử dụng nhiều là công thức của Hollandais và Crandall.

Việc ứng dụng sóng ứng suất đã đƣợc nghiên cứu và phát triển tại trƣờng
Đại học Case ở Clevelandz thuộc United states of American do giáo sƣ Goble
phụ trách vào giữa năm 1960. Từ kết quả nghiên cứu đã sản xuất ra đƣợc thiết bị
chuyên dùng mà nó thu thập và phân tích đƣợc kết quả đo. Ngày nay, việc ứng
dụng trƣờng ứng suất để phân tích đồng bộ một cọc đƣợc phát triển rộng rãi trên
thế giới.
Ở Việt nam từ năm 1971 trở lại đây đã có nhiều cơ sở nhƣ: Trƣờng đại học
Thuỷ lợi, Viện nghiên cứu khoa học công nghệ xây dựng, trƣờng đại học Xây
dựng, học viện kỹ thuật quân sự và viện Cơ học đã nghiên cứu các bài toán về
va chạm dọc của thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau, đồng thời đã ứng
dụng lý thuyết này vào bài toán đóng cọc trong điều kiện địa chất nền đồng nhất
và nền không đồng nhất để chọn đầu búa và đệm đầu cọc nhằm đóng cọc đƣợc
an toàn và hiệu quả kinh tế.
1.5 Nhận xét
Lịch sử phát triển lý thuyết va chạm cùng với những kiến thức khoa học cơ
sở đã giúp cho tác giả có những hiểu biết tổng quan trƣớc khi nghiên cứu một số
bài toán cụ thể của chƣơng 2. 14
15

P(x+x)=
P x
U
x
dx( ) 


=
EF
U
x
U
x
dx( )





2
2

Lực quán tính của phân tố thanh mnm’n’ là:
Fqt = F


2
2
U
t

2
2
=0
Rút gọn ta đƣợc:


2
2
U
t
= a
2



2
2
U
x
(2.1.1) 16

Trong đó:
a=
E

là vận tốc truyền sóng trong thanh đàn hồi.
2.1.2 Các điều kiện của bài toán.

1
2
( - ) ; t =
1
2a
( + )

Theo trên, hàm số dịch chuyển U phụ thuộc vào x và t. Bây giờ ta biểu thị
hàm U qua các biến mới là  và , sử dụng qui luật vi phân của hàm số phức
hợp ta có:


2
2
U
t
- a
2



2
2
U
x
=4a
2






U
Q ( )

Sau khi thay



U
Q ( )
và tích phân biểu thức này ta có:
U =
Q d( ) ( )
   



Ta đặt () =
Q d( )
 


Hàm dịch chuyển U đƣợc viết dƣới dạng:
U = () + ()
Đổi qua biến cũ ta có:
U = (at - x) + (at + x) (2.2.1)
Trong đó  và  là các hàm số phụ thuộc vào biến số t và x.
Biểu thức (2.2.1) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình chuyển động của
thanh đàn hồi theo Đalămbe.



2
2
U
t
= a
2



2
2
U
x

Xột iu kin u v iu kin biờn ca bi toỏn.
U(O,x) = 0;


U
t
= 0 Vi 0 x L ( 2.3.1.1)



U
t
= -Vo Vi x = L (2.3.1.2)
Trong ú:

mL
x
LtU
a
t
LtUQ




),(),(
2
2
2

(2.3.1.4) 19
Điều kiện biên ở đầu tự do của thanh có dạng:



U t
x
( , )0
0
(2.3.1.5)
Nghiệm của (2.1.1) theo Đalămbe có dạng.
U=(at - x) + (at + x)

U t
t
a
( , )0

[’(x) + ’(-x)] = 0
Hay: ’(x) + ’(-x) = 0 (2.3.1.9)
Mặt khác từ đẳng thức (2.3.1.5) ta có:
’(x) - ’(-x) = 0
Suy ra ’(x) =0 ; ’(-x) = 0 với (0  x  L)
Hay nói cách khác nếu ta thay biến số x bằng biến mới (z) ta có:
’(z) = 0 với (-L < z < L)
Tích phân hệ thức (2.3.1.9) và loại bỏ các hằng số ta có:
(-x) -  (x) = 0 20
Theo điều kiện đầu: U(0,x) = (-x) +  (x) = 0
Từ đó suy ra: (-x) =  (x) = 0 với (0  x  L)
Do đó: (z) = 0 với (-L < z < L) (2.3.1.10)
Khi sử dụng điều kiện (2.3.1.4) ta có:
mLa
2
[’’(at - L) + ’’(at + L)] = -a
2
[-’(at - L) + ’(at + L)]
Để đơn giản ta đặt: z=at+L ; Phƣơng trình trên có nghiệm đƣợc viết dƣới
dạng sau:
’(z) =C
e

mLVo
a
e
z L
mL


+
C
1

Dựa vào tính chất hàm liên tục của hàm U(t,L) và điều kiện đầu ta có:
U(t,L) = (0+L) = 0
Do đó
C
1
= -
mLVo
a

Vậy (z)= - mL[
Vo
a
-
Vo
a
e
z L
mL




Dựa vào tính liên tục của vận tốc tại x=L ta có thể xác định đƣợc hằng số C
nhƣ sau:
C = -
Vo
a
[
e
m
1
-
e
m
3
] 21
Do đó: ’(z)= -
Vo
a
e
z L
mL


+
Vo
a

at>2L ta có:


U
x
= -
Vo
a
e
at L
mL

2
-
Vo
a
e
at
mL

+
Vo
a
[1 -
2
mL
(at-2L)]
e
at L
mL



2
2
U
t
= a
2



2
2
U
x

x 
V
oO
Hình 2.3 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh ngàm một đầu
Điều kiện đầu của bài toán:
U(0,x) = 0 ;



U
x
x L

Tƣơng tự nhƣ trên, điều kiện biên tại đầu bị va chạm có dạng:
mL


2
2
U t L
t
( , )
= - a
2



2
2
U t L
x
( , )
(2.3.2.3)
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.1.1) là:
U = (at) + (at) = 0 (2.3.2.4)
Dựa vào điều kiện tại đầu thanh bị gắn chặt ta có:
U = (at) + (at) = 0 (2.3.2.5)
Do đó:
-(at + x) = (at + x)


 


 
0
0
0
0
với (0<x<L) (2.3.2.7)
Từ 2 đẳng thức cuối ta có:
’(- x) = 0 và ’(x) = 0 với (0<x<L)
Nếu ta thay biến X bằng biến z ta có:
’(z) = 0 với (-L,z<L) (2.3.2.8)
Do đó trên đoạn (-L,L) thì (z) = const.
Với điều đó, các hệ thức của (2.3.2.7) thoả mãn và ta lấy hằng số này bằng
không.
Bây giờ ta xét điều kiện (2.3.2.3), sau khi thay (2.3.2.6) vào điều kiện này ta
có:
mL[’’(at - L) - ’’(at + L)] = ’(at - L) + ’(at + L) 23
Đặt at +L = z, phƣơng trình trên đƣợc viết nhƣ sau:
’’(z) +
1
mL
’(z) = ’’(z-2L) -
1
mL

Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm ’(z) khi chuyển từ 1 tích phân trƣớc đến một
tích phân sau. Từ phƣơng trình (2.3.2.8) xác định ’(z) trong khoảng (-L,L).
Sau khi sử dụng phƣơng trình (2.3.2.10) ta sẽ tìm đƣợc ’(z) trong khoảng
(L,3L), trong khoảng này vế phải của phƣơng trình (2.3.2.10) sẽ bằng 0.
Từ phƣơng trình (2.3.2.10) ta có:
’(z) =
C
1
e
z
mL

với (L<z<3L)
Để xác định hằng số C1 ta sử dụng điều kiện (2.3.2.2) và (2.3.2.6), ta có:
a[’(-L+0) - ’(L+0)] = -Vo
Trên cơ sở từ công thức (2.3.2.10), số hạng thứ nhất ở trong ngoặc sẽ bằng
0, từ đó ta suy ra:
’(L+0) =
Vo
a
=
C
1
e
L
m



C

24
’’(z) +
1
mL
’(z) = -
2
mL
Vo
a
e
z L
mL

3

Nghiệm tổng quát của phƣơng trình này có dạng:
’(z) =
C
2
e
z
mL

-
2
mL
Vo
a
(z-3L)
e

( )


U
t
x L
= ’(at-L) - ’(at+L) (2.3.2.14)
Thay t=
2
0
nL
a

vào (2.3.2.14) ta đƣợc:

1
a
( )


U
t
t
nL
a
 
2
0
= ’[(2n-1)L -0] - ’[(2n+1)L -0] (2.3.2.15)
Thay t=

Khi quay lại kết quả của phƣơng trình (2.3.2.11), xuất phát từ điều kiện đầu
(2.3.2.1) ta có: 25
’(L+0) =
Vo
a
(2.3.2.18)
Mặt khác từ phƣơng trình (2.3.2.8) ta có:
’(L-0) =0 (2.3.2.19)
Bây giờ ta có thể tìm đƣợc giá trị chung bƣớc nhảy của hàm ’(z) với z=(2n-
1)L.
’(L+0) - ’(L-0) = ’[(2n-1)L +0] - ’[(2n-1)L -0] =
Vo
a
(2.3.2.20)
Điều kiện (2.3.2.20) cho phép xác định liên tiếp các hằng số
C
n
ở đẳng thức
(2.3.2.10) ta có:
C
2
=
Vo
a
(
e
m

(2.3.2.21)
Sau khi xác định đƣợc ’(z) trong khoảng (3L,5L), ta sử dụng đẳng thức
(2.3.2.9) và (2.3.2.20) thì sẽ tìm đƣợc hàm ’(z) trong khoảng (5L,7L). Đối với
điều kiện đó ta sẽ xác định đƣợc biểu thức dƣới dấu vi phân trong đẳng thức
(2.3.2.9).
’’(z-2L)-
1
mL
’(z-2L)=-
2Vo
mLa
(
e
z L
mL

3
+2
e
z L
mL

5
)+
4
2 2
Vo
m L a
(z-5L)
e

m L a
2 2
(z-5L)
e
z L
mL

5
(2.3.2.22)
Để xác định hằng số
C
3
lần nữa ta chú ý đến đẳng thức (2.3.2.9) và ’(z)
trong khoảng (3L,5L) ta có:
C
3
=
Vo
a
[
e
m
1
+ (1 -
4
m
)
e
m
3

4
mL
(z-5L)+
2
2 2
m L
(z-5L)
2

e
z L
mL

5
]
Ta xác định ’(z) từ (2.3.2.8). 26
 (z) = C với (-L<z<L)
Đặt (z) = 0 với (-L<z<L) (2.3.2.23)
Trên cơ sở các định lý tổng quát về va chạm của vật rắn ta có thể nhận xét:
Dịch chuyển tại đầu tự do của thanh (Ux=L) phải là hàm số liên tục của thời
gian, ta có:
Ux=L = (at - L) - (at + L) = (z - 2L) - (z) (2.3.2.24)
tiếp tục ta có:
U
x L
t



 
2
0
= (L+0) - (3L+0) = - (3L+0)
Từ điều kiện liên tục ta rút ra:
(3L-0) = (3L+0) (2.3.2.27)
Rõ ràng có thể có đƣợc đối với các giá trị bất kỳ t=
2nL
a
0 (n=1,2,3, ) nằm
trong khoảng thời gian va chạm. Ta giới hạn các sự phụ thuộc tìm đƣợc
(2.3.2.23) và (2.3.2.27) để xác định (z) trong khoảng (L,3L) và (3L,5L).
Việc xác định (z) trong các khoảng tiếp theo đƣợc thực hiện tƣơng tự nhƣ
xác định (z) ở trong hai khoảng đã chỉ ra ở trên.
Trên cơ sở các công thức (2.3.2.11) và (2.3.2.22) ta có:
(z) =
C'
2
-
mLVo
a
e
z L
mL


với (L<z<3L) (2.3.2.28)
(2.3.2.29)
Tƣơng tự với đẳng thức (2.3.2.28) và (2.3.2.29) ta có:
(z)=
mLVo
a
(1-
e
z L
mL


)+
mLVo
a
[1+
2
mL
(z-3L)]
e
z L
mL

3
-
mLVo
a
[1+
2
2 2
m L