Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Tên sáng kiến kinh nghiệm :
GIÚP HỌC SINH THCS PHÁT HIỆN VÀ TRÁNH SAI LẦM
TRONG KHI GIẢI TOÁN VỀ CĂN BẬC HAI
Phần I : Mở đầu
A - Lý do chọn đề tài :
Muốn công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước thì phải nhanh chóng tiếp thu
khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới. Do sự phát triển như vũ bão của khoa học
và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôm nay
còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu. Nhà trường không thể nào luôn luôn cung
cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều quan trọng là phải trang bị cho
các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết
trong tương lai.
Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nề kinh tế tri thức trong
tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm
chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này. Việc thu
thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền
thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet .v.v. Do đó, vấn đề quan trọng đói với
con người hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông
tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân
cũng như của xã hội.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-20071
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc truyền
thụ kiến thức thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho HS.
Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành tố của quá trình
dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hìn thức tổ chức, phương tiện, cách
kiểm tra đánh giá
- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ
năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :
+ Năng lực hành động

thêm thông tin về PPDH tích cực này nhằm giúp họ rễ ràng phân tích để đưa ra biện
pháp tối ưu khi áp dụng phương pháp vào dạy học và trong sáng kiến này cũng tạo cơ
sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi và quy mô xuyên suốt hơn.
+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong
quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương căn bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc
phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử,
kiểm tra
…
Cũng qua sáng kiến này tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới
sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về căn bậc hai cho
học sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh
giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh.
+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-20073
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo.
D - Phạm vi nghiên cứu :
Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số “Nhóm sai lầm” mà học sinh thường
mắc phải trong quá trình làm bài tập về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9.
Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập
luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác.
Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về căn bậc hai.
E - Đối tượng nghiên cứu :
Như đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai
nhóm đối tượng cụ thể sau :
1. Giáo viên dạy toán 9 THCS
2. Học sinh lớp 9 THCS : bao gồm 4 lớp 9 với tổng số 151 học sinh
F - Phương pháp nghiên cứu :
- Đọc sách, tham khảo tài liệu.
- Thực tế chuyên đề, thảo luận cùng đồng nghiệp.

cứu vào thực tiễn giảng dạy nhằm tìm ra nguyên nhân những sai lầm mà học sinh
thường mắc phải khi giải toán. Từ đó tổ chức có hiệu quả hơn trong các giờ dạy tiếp
theo.
G - Tài liệu tham khảo :
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-20075
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
1. Sách " Một số vấn đề về đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán" của Bộ
giáo dục và Đào tạo
2. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THCS chu kỳ III ( 2004-2007)
môn toán của Bộ giáo dục và Đào tạo.
3. Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục trung học cơ sở môn toán của Bộ
giáo dục và Đào tạo.
4. Giáo trình " Phương pháp dạy học toán" tác giả Hoàng Chúng - BGD&ĐT
5. SGK và SGV toán 6,7,8,9.(BGD&ĐT)
Phần II : nội dung đề tài
A. Chương I : cơ sở lý luận
I - Quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp dạy học tích
cực :
1. Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :
Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy
tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người
học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo
đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính
năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa,
xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên
hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc"; Chương
trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-20076
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên

tại và tương lai. Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân HS và cho sự phát
triển xã hội.
PPDH tích cực được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt
động, thụ động. PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của HS,
nghĩa là hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động của người học chứ không chỉ
hướng vào phát huy tính tích cực của người dạy.
Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy. Cách dạy quyết định cách học,
tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của HS cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy.
Mặt khác, cũng có trường hợp HS mong muốn được học theo PPDHTC nhưng GV
chưa đáp ứng được. Do vậy, GV cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo
PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến
cao, hình thành thói quen cho HS. Trong đổi mới phương pháp phải có sự hợp tác của
thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả.
PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học.
* Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực :
a) dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo
thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh.
b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của
HS.
c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác.
d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-20078
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện
thực tế về cơ sở vật chất, về đội ngũ GV
3. Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục “Đào tạo con người phát triển toàn
diện” căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2006 - 2007 và nhiệm vụ đầu năm học 2007
-2008 là tiếp tục đổi mới chương trình SGK, nội dung phương pháp giáo dục ở tất cả
các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo
dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lượng, đồng bộ về cơ cấu,

> b
2
và ngược lại nếu a
2
> b
2
thì a >b.
- Bình phương của một tích(hoặc một thương) bằng tích(hoặc thương) các bình
phương các thừa số(hoặc số bị chia với bình phương số chia).
b) Căn bậc hai của một số :
* Xét bài toán : Cho số thực a. Hãy tìm số thực x sao cho x
2
= a. Ta thấy :
- Nếu a< 0 thì không tồn tại số thực x nào thoả mãn x
2
=a
- Nếu a > 0 có hai số thực x mà x
2
=a, một số thực dương x
1
>0 mà x
1
2
=a và một
số thực âm x
2
<0 mà x
2
2
=a, hơn nữa đó là hai số đối nhau.

căn bậc hai âm của a. Như vậy mỗi số thực a> 0 có 2 căn bậc hai là hai số đối nhau :
0>a
gọi là CBHSH hay còn gọi là căn bậc hai dương của a.
0<− a
gọi là căn bậc hai âm của a.
b) Căn bậc hai số học có thể coi là kết quả của phép toán sau :
:)(
R
+
→ R
+
a →
a
sao cho
aa =
2
)(
phép toán đó gọi là phép khai phương hay
phép khai căn bậc hai trên R
+
, đó là phép toán ngược của phép bình phương trên R
+
.
4. Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9 (SGK mới) :
a) Đưa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
- Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : sốdương kí hiệu là
a

,0
2
ax
x
ax
d) Đưa ra nội dung về phép khai phương : Phép toán tìm căn bậc hai số học của
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200711
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
số không âm gọi là phép khai phương.
e) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc
hai bậc hai của nó.
III - Tổng hợp những nội dung cơ bản về căn bậc hai :
1. Kiến thức :
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương(phép tìm căn bậc hai
số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương(thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai
số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương(với a≥0, có
( )
aa =
2
;
với a bất kỳ có
||
2
aa =
)
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự(SGK thể hiện bởi Định lý về so
sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b

( với A, B là hai biểu thức mà B ≥ 0 )
AB
BB
A 1
=
( với A, B là hai biểu thức mà AB ≥ 0, B ≠ 0 )
B
BA
B
A
=
( với A, B là biểu thức và B > 0)
2
)(
BA
BAC
BA
C
−
=
±

(với A, B, C là biểu thức mà A≥ 0 và A ≠ B
2
)
BA
BAC
BA
C
−

đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi
hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm
phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều
kiện nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và
củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số(củng cố tính chất bất đẳng thức nêu
ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x ( kể cả việc giải phương trình tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính.
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của
phần kiến thức này( ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng
tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình
thành kỹ năng).
B. Chương II : Nội dung thực hiện
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200714
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
I - Các bước tiến hành :
1. Lập kế hoạch nghiên cứu nội dung viết sáng kiến kinh nghiệm.
2. Trao đổi thảo luận cùng đồng nghiệp.
3. Đăng ký sáng kiến, làm đề cương.
4. Thu thập, tập hợp số liệu và nội dung phục vụ cho việc viết sáng kiến. Qua
khảo sát, các bài kiểm tra, các giờ luyện tập, ôn tập.
5. Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai
thành từng nhóm.
6. Đưa ra định hướng, các phương pháp tránh các sai lầm đó. Vận dụng vào các
ví dụ cụ thể.

thức bậc hai được phân biệt rạch ròi hơn ( Tên gọi các mục Đ3 và Đ4 và các chuyển
ý khi giới thiệu các phép biến đổi sau khi nêu tính chất phép khai phương thể hiện
điều đó)
- Cách thức trình bày kiến thức, rèn luyện kỹ năng được SGK chú ý để HS có
thể tham gia chủ động nhiều hơn thông qua hệ thống câu hỏi ?n có ngay trong phần
bài học mỗi bài.
2. Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh :
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết
không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng
tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải
thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương
pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi ( thuật ngữ toán học ) nhiều và rễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200716
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn,
nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
IV - Những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai :
Như đã trình bày ở trên thì học sinh sẽ mắc vào hai hướng sai lầm chủ yếu sau :
1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 3
2
=9; (-3)
2
=9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của
9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x
2
=a.

⇔
ax
x
2
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi
tắt là khai phương).
⋆ Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “ căn bậc
hai” và"căn bậc hai số học”.
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200717
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối
nhau là 4 và - 4.
Ví dụ 2 : Tính
16

Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :

16
= 4 và - 4 có nghĩa là
16
=
±
4
Như vậy học sinh đã tính ra được số
16
có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là :

16
=4 và

>
15
. Vậy 4 =
16
>
15
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200718
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học :
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x
2
=a;
Nếu x ≥ 0 và x
2
=a thì x =
a
.
Ví dụ 4 : Tìm số x, không âm biết :

x
= 15
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau :
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x
2

-
25
= 5 và - 5
Lời giải đúng là : -
25
= -5
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A
= | A|
∙ Căn thức bậc hai :
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200719
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi
A
là căn thức bậc hai của A, còn
A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
A
xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
∙ Hằng đẳng thức :
2
A
= | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau ( lời giải sai) :
(-8)
2
= 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)

4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
≥ -
4
1

Vậy min A = -
4
1
.
* Phân tích sai lầm :
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200720
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -
4
1
, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -
4
1
. Xảy ra

cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2
A
= A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng :
2
)1(4 x−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x

⇔
| 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình
sau : 1) 1- x = 3
⇔
x = -2
2) 1- x = -3
⇔
x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x
1
= -2 và x
2


⇔
4
2
= (
1+x
)
2
hay 16 =
2
)1( +x
⇔
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1
⇔
x = 15
2) 16 = -(x+1)
⇔
x = - 17.
* Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x
1
= 15 và
x
2
=-17 nhưng chỉ có giá trị x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trị x
2
= -17 không đúng. Đâu
là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức

(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-
17
)
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200722
Trường THCS Đồng Khê Tổ Khoa học tự nhiên
⇔
x <
2
3
.
* Phân tích sai lầm : Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề
gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan
không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng
thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17
cho nên mới
bỏ qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 =
16
<
17

x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
.
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = -
3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2
+
−
x
x
sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng
sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn
tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần
phải có x +
3

11
+−
+








−
+
− aa
a
aaa
với a > 0.
* Lời giải sai :
M =
12
1
:
1
11
+−
+





a
a
M =








−
+
)1(
1
aa
a
.
1
)1(
2
+
−
a
a
M =
a
a 1−
Ta có M =
a








−
+
− aa
a
aaa
có a > 0 và
a
- 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M =








−
+
)1(
1
aa




+
+
−
x
x
x
x
x
x
với x ≠ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
Giải : a) Q =
1
3
11
−
−
+









−








−
−++
x
xxxx
1
x
x
−
−
1
3
Q =
−
− x
x
1
2
x
x
−
−

3 > 1+
x

⇔
2 >
x

⇔
4 > x hay x < 4.
Vậy với x < 4 thì Q < -1.
* Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế
Vũ Văn Hạnh Sáng kiến kinh nghiệm Toán 9-200725