GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phát hiện và biện pháp khắc phục sai
lầm trong khi giải toán
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
2

PHẦN I:MỞ ĐẦU

I. Lý do chọn đề tài
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng, nhưng
mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội,
trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng. Toán học là một môn học giữ một vai
trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô
khan và đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri
thức cho mình. Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của

chất của vấn đề.
Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học sao cho có
hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng như định hướng để giải
quyết một số bài toán theo hướng tư duy và suy luận lôgic.

II. Mục đích của đề tài
Trên cơ sở những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tìm ra
những phương pháp giải các bài toán một cách ưu việt. đặt biệt là tránh nhưng sai
sót và ngộ nhân khi giải các bài toán.

III. Phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu tại đơn vị công tác là Trường
THCS Lý Tự Trọng. Cụ thể là các khối lớp 8, 9 và những học sinh tham gia đội
tuyển học sinh giỏi Toán của trường, của Huyện trong 8 năm qua.

IV. Cơ sở nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường Đại học
Quy Nhơn, Trường CĐSP Thừa Thiên Huế, các tài liệu về phương pháp giảng dạy,
các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo
của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở và cả trên mang Internet.

V. Phương pháp nghiên cứu
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận.
– Phương pháp khảo sát thực tiễn.
– Phương pháp phân tích.
– Phương pháp tổng hợp.
– Phương pháp khái quát hóa.
– Phương pháp quan sát.
– Phương pháp kiểm tra.


m c v
  
2
(1)

c m v
  
2
(2)
Nhân 2 vế của (1) với (2) ta được:

m( c m ) v( c v )
mc m vc v
m mc c v vc c
( m c ) (v c )
m c v c
m v
  
   
     
   
   
 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2

2 2
m V V m
m m V V V m V m
( m V ) ( V m )

   
   
 
 
2 2
2 2
( m V ) (V m )
m V V m
m V
m V

Vậy con muỗi nặng bằng con voi (!).
Ghi chú: Bài toán này cho các em thấy nếu quên kí hiệu giá trị tuyệt đối trong
hằng đẳng thức:
A A
 thì có lúc nào đó con muỗi sẽ nặng bằng con voi.
2. Sai lầm khi học sinh không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn
bậc hai,
A
có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai.

Ví dụ 1: Có học sinh viết:
+Vì
( ).( )
   

49 7
3
nên
 



147 147
3
3
(!)

Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính

2 2010 2011

+ Cách giải sai:

 
( )
( ) ( ) !
        
 
       
 
2
2 2010 2011 2010 2 2010 1 2010 2 2010 1
2010 1 2010 1 2010 1
2
2 5
a a

=
2 5 2 5 3
a a a a a
    
( với a < 0 ) (!)
+ Cách giải đúng là:
A =
2
2 5
a a

=
2 5 2 5 7
a a a a a
     
( với a < 0 )
Ví dụ 2: Tìm x, biết : 
2
4(1 )
x
- 6 = 0
+ Cách giải sai :

2
4(1 )
x


= 3.
Ta phải đi giải hai phương trình sau :
1) 1- x = 3

x = -2
2) 1- x = -3

x = 4.
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x = -2 và x = 4.
+ Nguyên nhân:
Học sinh chưa hiểu rõ về số âm và số đối của một số mà học sinh chỉ hiểu
a<0 thì
a a


+ Biện pháp khắc phục:
+ Khi dạy phần này giáo viên nên củng cố lại về số âm và số đối của một số.
+ Củng cố lại khái niệm giá trị tuyệt đối:




 

, neáu 0
, neáu 0
a a
a
a a


Vì
2 2
9 (3 ) 3
x x x
 
nên ta có: 3x = 12

x = 4.

+ Cách giải đúng:
Vì
2 2
9 (3 ) 3
x x x
  nên ta có:
3 12
x
 

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
8


3x = 12 hoặc 3x = -12 . Vậy x = 4 hoặc x = -4

Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9 - tập 1 – trang 5)

trị tuyệt đối của một số âm.

Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một học sinh phát biểu như sau: “Bất kì hai số nào
cũng bằng nhau ” và thực hiện như sau:
Ta lấy hai số a và b tùy ý. Gỉa sử a > b .
Ta có :
2 2 2 2
a 2 2
ab b b ab a
    
hay




2 2
a b b a
   (1)
Lấy căn bậc hai hai vế ta được:
   
2 2
a b b a
  
Do đó:
a b b a
  

Từ đó :
2 2
a b
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
9
+ Cách giải sai :
B = 4
1x
-3
1x
+ 2
1x
+
1x

B = 4 1x
16 = 4 1x

4 = 1x

4
2
= ( 1x )
2
hay 16 =
2
)1( x

16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1


luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
+ Biện pháp khắc phục: Qua các bài tập đơn giản bằng số cụ thể giúp cho học
sinh nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2
A
= A nếu A

0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
10
5. Sai lầm kỹ năng khi giải bài toán rút gọn.
Ví dụ 1: Bài 47 SGK Đại số 9 tập 1 trang 27
Rút gọn:
( x y )
x y


2
2 2
2 3

 
  

2
2 2
3
2 3 2 6
2
2

(vì
x , y , x y
  
0 0
)
Vậy em học sinh nào làm sai? Em học sinh nào làm đúng?
Dễ thấy em học sinh A làm sai!
Ví dụ 2: Giải bài tập 58c ( SGK toán 9 - tập1 – trang 32 )
Rút gọn biểu thức sau:
20 45 3 18 72
  

+Cách giải sai:

20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7
      
       

+ Cách giải đúng là:

Rút gọn:
 
2
2
3 5 4
A x x x
    ( với
0
x

)
+Cách giải sai :

 
2
2
3 5 4 3 5 2 4
A x x x x x x x
        
+ Cách giải đúng là :
Với
0
x

. Ta có:

 
2
2
3 5 4

+ Cách giải đúng:

3
2 48
M x x
x

  
. Điều kiện để M xác định là: x < 0.
Khi đó:
 
 
2
3
2 16. 3 2 3 4 3 2 3
x
M x x x x
x
 
           Ví dụ 5: Giải tập sau:
Rút gọn biểu thức:
2
y xy
x
M
y y


12

+ Cách giải đúng :
Đk để M xác định:
0
xy

;
0
y

. Ta xét hai trường hợp:
*
0
x

; y < 0 .

2 2
2
1 1 2
y xy y xy
x x
M
y y y
y
x x x
y y y
 
   

       


Vậy: nếu
0
x

; y<0 thì
1 2
x
M
y
 
và nếu
0
x

; y>0 thì
1
M
 

+ Nguyên nhân: Học sinh nắm chưa vững quy tắc
2
A B A B
 với
0
B

, điều



+
A
tồn tại khi
0
A


+
0
a

,
 
2
2
0x
a x
x a a



 

 



+ Nếu


+ Cách giải đúng:



1,44.1,21 1,44.0,4 1,44 1,21 0,4 1,44.0,81 1,2
.0,9 1,08
      Ví dụ 2: Giải các bài tập sau:
Tính: a.
81.256
; b.
625
16

+ Cách giải sai:
a.
81.256 9. 16 3. 4 12
  
(!)
b.
625 25 5 5
16 2
4 2
  
(!)
+ Cách giải đúng:
a.

5 1 2
5 1
5 1
 

  




hoặc


  


2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 3
5 1
5 1 5 1
 

  


 

 


 
2 5 1 2 5 1
2
2 5 1
1
5 1
5 1 5 1
 
    


 

hoặc


  


2 5 1 2 5 1
2 5 1
5 1 2
5 1
5 1 5 1
 

  

   
 

 

d.
2 1
3
2 3
a
a



hoặc
  
 
2
2
2 2 2 2
2 9
2 3
2 3 2 3
2 3
a a a a
a
a
a a
a
  

   


 
 
2
2
5 2 7 3 5 2 7 3
5
.
2 7 3
2 7 3 . 2 7 3
2 7 3
5 2 7 3
10 7 15

28 9 19
c
 
 

 



 


 



 
 

(với
0
a

và
9
4
a

)


 
2
3. 5 2
5 2 15 2 3
3
3
3

 
 



2 2
A
B A B A B
   

- Biện pháp khắc phục:
+ Giáo viên cần hết sức nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một
tích , khai phương một thương và lưu ý học sinh không được ngộ nhận sử dụng
A B A B
   tương tự như
. .
A B A B
 ( với
0
A

và
0
B

) .
+ Khi cần thiết giáo viên cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn
như hằng đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức.
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau.
+ Cần khắc sâu các công thức:

A A B
B
B




, với
0, 0
A B
 
và
A B
7. Lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
0
a

khi giải các bài toán
về căn bậc ba :

Ví dụ 1: Giải bài tập 3c (SBT ĐS9 – trang 19)
Giải phương trình:
3
1 1
x x
  
(2)
GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang

      

 


 
 
 
  
  











 
 
 

   





0
x
 
hoặc x = 1 hoặc x = 2.
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
1 2 3
0; 1; 2
x x x
  

- Nguyên nhân:
+ Học sinh quá lạm dụng định nghĩa căn bậc hai số học của một số
0
a
 
2
2
0x
a x
x a a



 

 


)174(32).17 x


2x < 3 ( chia cả hai vế cho 4- 17 )

x <
2
3
.
- Cách giải đúng : Vì 4 =
16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có:
(4-
)174(32).17 x


2x > 3

x >
2
3
.
- Nguyên nhân: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học
sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến
dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một
số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.


0 hay x

- 3 . Khi đó ta có
3
3
2


x
x
=
3
)3)(3(


x
xx
= x - 3 (với x

- 3 ).
- Nguyên nhân: Rõ ràng nếu x =- 3 thì x + 3 = 0, khi đó biểu thức
3
3
2


x
x
sẽ

   
 
  

 
  
 
 

2 0 11 0
20 11 2 01 1
2 01 0 0 20 1 0
20 10 0

+ Nhận xét : Rõ ràng x = -2011 không phải là nghiệm của phương trình
+ Lời giải đúng:
Điều kiện:
x x
   
2010 2011 0

Do đó:


x x x
     
2011 2010 0 2010 0
(Vì: x + 2011 > 0)
 x x
   


 



11 2 2 0
2
11 2 0
11
2 0
2
x x
x
x
x
x

+ Phân tích sai lầm: Không chú ý đến điều kiện căn thức có nghĩa
x

1
xác định khi x

1
.Do đó x 
2
11
Không phải là nghiệm
 
        

2 2
2 7 0
2 7 4 15 13 2

Phương trình (5) là phương trình hệ quả của phương trình (4), nó chỉ tương đương với
phương trình (4) với điều kiện:
x x
   
2
2 7 0
7
. Do đó x = 2 cũng không phải là
nghiệm của (1).
+ Cách giải đúng:
Cách 1: Giải xong thử lại
Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định x
 
2
1
7
. Do đó khi giải xong kết luận phương
trình vô nghiệm.
Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô
nghiệm.
Ví du 3: Giải phương trình: x x
  
4 2

+ Lời giải sai:
x

       


  
 
   





 


2
2
2
2 0
4 2 0
0
3 0
4 4 4
3

Ghi nhớ :
B
A B
A B



 
2 5 2 5
1 1 2 5 2 7
2 2
(loại)
Vậy phương trình trên vô nghiệm.
Nhận xét : Phương trình đã cho có nghiệm x= -7?
Ghi nhớ : Như vậy lời giải trên đã bỏ sót một trường hợp khi: A  0; B < 0
Nên mất một nghiệm x= -7
+ Lời giải đúng:
Điều kiện: x > 2 hoặc x  -2,5
x x
x x
 
  
 
2 5 2 5
1 1
2 2
(với x > 2 hoặc x  -2,5)

x x x
      
2 5 2 7
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình có nghiệm x = -7

Ví dụ 5:
Giải phương trình:
x x x

3
3
3 2
3 2
6 2 3 2 1 4 1 2 1 4 1 6 1
2 1 4 1 6 1 1
2 1 4 1 6 1 1
48 28 0
12 7 0

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
21

x
 
0
hoặc
x 
7
12

Nhận xét: Dễ thấy ngay là x = 0 không phải là nghiệm của (1)
Ghi nhớ: Phép biến đổi thứ 2 từ trên xuống là phép biến đổi hệ quả (suy ra) nên tập
nghiệm cuối của phương trình bao giờ cũng nhiều nghiệm hơn ban đầu…
Do đó khi giải phương trình bằng biến đổi hệ quả bao giờ cũng phải thử lại
Còn bài này chỉ sai có mỗi một cái dấu  ở dòng thứ 2 phải là  mới đúng!


1 6 x 6 0 0 (1 )
6 0 ( 2 )
x
x

  

 


Điều kiện (1) cho
  
6
x – 6 x – 10 0
10
x
x


 




Điều kiện (2) cho
6.
x


Kết hợp các điều kiện:

x 10

.

Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức có nghĩa:
1
A
2x 1
x

 

+ Lời giải sai: Điều kiện của x:
2 x 1 0 (1 )
2 x 1 ( 2 )
x
 



 



Giải (1) ta được:
1
2
x
 



+ Phân tích sai lầm: Sai lầm khi giải bất phương trình (2): Khi bình phương
hai vế của (2) chưa đặt điều kiện x > 0.
+ Lời giải đúng:
Điều kiện của x:
2 x 1 0 (1 )
2 x 1 ( 2 )
x
 



 



Giải (1) ta được:
1
2
x
 

GV: Võ Kim Oánh-Trường THCS Lý Tự Trọng Trang
23
Giải (2):
2
0


Ví dụ 3 : Tìm x sao cho:
2 2
3 3
x x
   + Lời giải sai: Điều kiện:
2
3
x


2 2 2 2
2 2
2 2
2
3 3 3 3 (1 )
3 ( 3 ) 0
3 (1 3 ) 0 ( 2 )
(1 3 ) 0 ( 3 )
x x x x
x x
x x
x
      
    
    
   

  


, (Vì:
2
x 3

)

+ Lời giải đúng:
Điều kiện:
2
3
3 3
3
x
x x
x


   

 

2 2 2 2
2 2
2 2

2
x – 3 0

)

2
2
3
3 1
3
3 1
x
x
x
x

 



 


 


 









 


Vậy:
x 3; 2; 2.
x x
    

Ghi chú: Hãy chú ý đến dấu “=” khi giải bất phương trình.

IV/ NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ

Ví dụ 1: Cho A = x
2
- 3x +5. Tìm Min A với x  2?
+ Lời giải sai:
A x ; x R.
 
     
 
 
2
3 11 11
2 4 4


2 2 4 4

Vậy Min A= 3 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
x y z
A
y z x
  
với x, y, z > 0

+ Lời giải sai: Giả sử x  y  z > 0.
Ta suy ra: x - z > 0  y(x - z)  z(x - z)
 xy - yz + z
2
 xz
Chia hai vế cho xz:
y y z
z x x
  
1
(1)
Mặt khác, ta có
x y
y x
 
2
(2)
Cộng (1) và (2):
x y z
y z x

y z x y z x
    
3
3 3

Do đó Min A = 3 khi và chỉ khi
x y z
,
y z x
 
tức là x = y = z.