www.truongthi.com.vn Môn Toán
KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ

Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau
1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.
Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối
xứng.
Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.
2) Tính y’, y”
Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.
Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.
3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn
Tìm các đường tiệm cận.
Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.
4) Lập bảng biến thiên.
5) Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu,
điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn
nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
a) Hàm bậc hai : y = ax
2
+ bx + c a ≠ 0
Ta có
2
2
b4ac
yax
2a 4a
−

b
x
2a
=−
. Hàm tăng trên
b
,
2a

−+∞



, giảm trên
b
,
2a

−∞ −


.
Với a < 0, max
2
4ac b
y
4a
−
=
, đạt được tại

− 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x
1
< x
2
và
y’ > 0 ⇔ x ∉ [x
1
, x
2
].
Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x
1
) và (x
2
, + ∞) (tương ứng, trên (x
1
, x
2
)).
Điểm cực đại (cực tiểu) là (x
1
, y(x
1
)) (tương ứng (x
2
, f(x
2
)).
Nếu a < 0 thì
+ Với b

cx d
y
+
=
+
, c ≠ 0
Ta có
2
abcad1
y
cd
c
x
c
−
=+
+

− Nếu bc − ad = 0 thì
a
y
c
≡
, x ≠ − d/c.
− Nếu bc − ad ≠ 0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số
k
y
x
=
với

=+− +
+

Tập xác định R\
{
}
d−
()
()
2
2
ax d m
y'
xd
+−
=
+
, m = ad
2
− bd + c
− Nếu m = 0 thì y = ax + (b − ad), x ≠ − d
− Nếu am < 0 thì
+ Với a > 0, y’ > 0 (
∀ x ≠ −d), hàm đồng biến trên (−∞, −d), (−d, +∞).
+ Với a < 0, y’ < 0 (x ≠ −d), hàm nghịch biến trên (− ∞, −d), (−d, +∞).
− Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
1, 2
m
xd
a

), (x
2
,
+
∞).
Điểm cực tiểu là (x
1
, 2ax
1
+ b)
Điểm cực đại: (x
2
, 2ax
2
+ b).
Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx
3
+ 3mx
2
− (m − 1)x − 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị
Giải. a) với m = 1, y = x
3
+ 3x
2
− 1
Tập xác định R.
4
2

b) y’ = 3mx
2
+ 6mx − (m − 1)
Điều kiện cần và đủ để y = f(x) không có cực là phương trình f’ (x) = 0 không
có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là
2
m
1
m0
0m
4
'9m 3m(m1)0
=


≠

⇔
≤≤




∆= + − ≤




Ví dụ 2. Cho hàm số y = x
3

6
3
www.truongthi.com.vn Môn Toán
y

1 -2 -1 0 x
-3

b) Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có cực đại
và cực tiểu và
ycđ. yct < 0
Thấy rằng y’ = 3x
2
+ 2mx = x(3x + 2m)
y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2m/3
Hàm có cực đại và cực tiểu
⇔ − 2m/3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
() ( )

≤
Với m1
≤
, m ≠ 0, ta có 2m / 3 1
−
≤ . Vậy, với m ∈ [−1, 1]\
{
}
0 để
()
y
x1
≤
với x≤ 1 điều kiện đủ là
()
3
4m
1
y
2m / 3 m
27
≥− = −
(vì y (
−1) = − 1, y(1) = 1, y (0) = −m đều thuộc [−1, 1]).
Nhưng
32
4m 4m
,m1 m
27 27


4
www.truongthi.com.vn Môn Toán
X 1/3 1/3
Y’  0 + 0 
Y 16/9 20/9 y
4 20/9
16/9
-1 -1/3 0 1/3 1 x b) y’ = 3(m
− 2)x
2
− m
Khi m ∈ (0, 2) ⇒ m / 3(m − 2) < 0 và phương trình y’ = 0 vô nghiệm.
c) y = mx
3
− 2x
3
− mx + 2 ⇔ mx (x
2


Đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định (0, 2), (
− 1, 4), (1, 0).
Ví dụ 4. Cho hàm số
y = f(x) = 2x
3
− 3(2m + 1)x
2
+ 6m (m + 1)x + 1 (1)
a) Tìm quĩ tích điểm uốn
b) Tìm quĩ tích điểm cực đại
c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Giải. a) y’ = 6x
2
− 6(2m + 1) x + 6m(m + 1)
y” = 12x
− 6(2m + 1), y” = 0 ⇔
2m 1
x
2
+
=
y” đổi dấu khi x biến thiên qua (2m + 1)/2. Vậy điểm uốn là
2m 1 2m 1
U,f
22

++



b) y’ = 6[x
2
− (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 ⇔
xm
xm
=


1
=
+


Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng
y’(x) < 0
⇔ x ∈ (m, m + 1)
y’(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, m) ∪ (m + 1, +∞)
10
5
www.truongthi.com.vn Môn Toán
Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1 tương ứng. Điểm
cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được y = 2x
3
+
3x
2
+ 1. Vậy đồ thị của hàm
y = 2x
3
+ 3x

2
− 1), y” = 0 ⇔ x = ± 6/6
y” đổi dấu qua x = ± 6/6 nên hàm số có hai điểm uốn
()()
6 /6,31/36 , 6 /6,31/36− .
Bảng biến thiên
X
2/2−
0
2/2Y’  0 + 0 + 0
−
Y
3
4

1
3
4
y

1

3/4


(
)
3/3, 4 3/9 .±±
Từ đó các tiếp tuyến khác y = 1 là
(
)
y
43/9x 1
=
±+.
Vậy điểm cần tìm là M (0, 1).
c) Phương trình x
4
− mx
3
− (2m + 1)x
2
+ mx + 1 = 0 (1) tương ứng với
()
2
2
11
xmx2m1
x
x

+− −− +=


0

−>



=> ⇔>


=− > <





⇔
(
)
m425,1/2∈−+
Ví dụ 6. Cho hàm số
mx 1
y
xm
−
=
−
(1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.
b) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến không đổi?
c) Chứng minh rằng khi m thay đổi đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định.
d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng của đồ thị.
Giải. a) Với m = 2,

y’  
Y 2
∞

+
∞
2
Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I của hai tiệm cận. 14
7
www.truongthi.com.vn Môn Toán

y 2 I

1/2

0 1/2 2 x
}
1
−

c) Giả sử (xo, yo) là điểm cố định. Khi đó
()
o
oo o o
xm
x
y
1mx
y
0 víi mäi m
≠



+− + =



oo
oo o o
2
oo o o
o
xy
x
y

)
22
m1x m
y
xm
+−
=
−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
b) Chứng minh rằng với mọi m tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một
parabôn cố định. Xác định parabôn đó.
c) Tìm tất cả các điểm mà tiệm cận xiên không đi qua
Giải
a) Tập xác định R\
{
}
1
Với m = 1,
()
2
2x 1 1
y2x1
x1 x1
−
==++
−−

()
2

22

∈− +



.
Điểm cực đại.
2
1,42
2

−−



2
, cực tiểu
2
1,42
2

++



2

Bảng biến thiên
X

4 +2
2

4
I
2 -1 0 1 x

Giả sử các tiệm cận xiên trên luôn tiếp xúc parabôn cố định
y = ax
2
+ bx + c, a ≠ 0.
Khi đó phương trình
ax
2
+ bx + c = (m + 1)x + m
2
+ m
có nghiệm kép với mọi m.
Ta phải có
∆ = (b − m − 1)
2
− 4a(c − m
2
− m) = 0

2
111
y
xx
424
=− + − =0
c) Giả sử (xo, yo) là điểm mà tiệm cận không đi qua.
Từ đó phương trình
yo = (m + 1)xo + m
2
+ m
vô nghiệm, hay phương trình
m
2
+ (xo + 1)m + xo − yo = 0
vô nghiệm
⇔ ∆ = (xo + 1)
2
− 4(xo − yo) < 0
⇔
2
ooo
11
yxx
424
1
<
−+−
Đó là các điểm nằm trong parabôn
2


=−+

4
1


−

. Tập xác định R\
{
}
1 .
()
2
14
y' 1
2
x1


=−

−


, y’ = 0 ⇔ x = −1 và x = 3.
y’(x) < 0 với − 1 < x < 1 hoặc 1 < x < 3/2 điểm cực đại
5
1,

y

3/2
-1 0 3

x
-5/2

-3

20
10
www.truongthi.com.vn Môn Toán
Tiệm cận xiên :
(
1
)
y
x2
2
=− ~ x − 2y − 2 = 0
Tiệm cận đứng: x = 1
x = 0, y =
−3
b) Giả sử M(x, y) là điểm thuộc đồ thị mà tổng các khoảng cách d = d
1
+ d
2

trong đó d

=−+dx
−

Vậy
4
44
x1
5x 1
5
≥− =
−
d2

Dấu bằng xảy ra khi
4
42
x1 x 1
5x 1
5
−= ⇔=±
−
và
4
4
n d
5
=mi
.
c) Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x
≠ 1 và

+−+ ∈∞


−
 



−−+ ∈−∞


−


1

c
1
) Xét f(x) với x > 1
Ta có
()
()
2
12
f' x 1
2
x1
=+ −
−
=

∈+


x1
và f’(x) > 0 khi

2
,
3

x1
∈
++∞



Vậy
()
x1
21 2 4
n f x 1 1 2
22
33
3
>



=+ + + −+


min f x f 0 3
≤<
==
c
3
) Xét f(x) với x < 0. Khi đó
() ()
14
fx x x 2
2x

=− − − +

1
−


()
()
2
32
f' x
2
x1
=− +
−
,
(
)
f' x 0

−
min

2
So sánh ta thấy
()
(
)
x1
min f x f 0 3
≠
=
= .
d) Giả sử M(s, y(s)) và N (t, y(t)) ở đây t < 1 < s là các điểm thuộc đồ thị. Khi
đó
() ()
(
)
()()
4s t
1
ys yt s t
2
s11t

−
−=−+

−−


−−
≥=
−
−−
−+−



, do đó
()
2
2
116
MN st st
4st

≥− + −+

−

=
()
()
2
2
564
st 8
4
st
−= − + + ≥

−=

−



vậy
o
44
42
s2 /21
55

=+ =+



o
4
2
t1
5
=−

Từ đó M(so, y(so)), N (to, y(to)).
24
12
www.truongthi.com.vn Môn Toán

26