Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT
VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009
MÔN:
TOÁN
BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN - TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BƯỚC KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ
Giúp học sinh hệ thống lại các bước khảo sát, vẽ và các phép biến đổi đồ thị của hàm số.
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các kiến thức cần nhớ.
1.1. Tính đồng biến nghịch biến của hàm số.
- Giả sử F(x) là hàm số xác định trên miền D.
a.Hàm số F(x) được gọi là đồng biến trên miền D nếu với và x
1
< x
2
thì F(x
1
) <
F(x
2
).
∀∈,
12
xx D
b.Hàm số F(x) được gọi là nghịch biến trên miền D nếu với và x
1
< x
2
thì F(x

<
++
2
1
x 3
2
2
11
x3

=> F(x
1
) > F (x
2
)
Vậy hàm số F(x) nghịch biến trên [0, +∞).
Khi 0 ≥ x
1
>x
2
=> 0 ≤ x
1
2
+ 3 < x
2
2
+ 3
=>
>
++

3
xét trên R
Ta có F’(x) = 3x
2
≥ 0 với (F’(x) = 0 chỉ khi x = 0 ).
∀∈xR
Vậy F(x) là hàm số đồng biến trên R.
Ví dụ 4:
Hàm số F(x) =
−+−
54
111
xx
523
3
x
xét trên R.
Ta có F’(x)= -x
4
+ 2x
3
– x
2
= -x
2
(x-1)
2
≤ 0
∀∈xR
(F’(x)= 0 khi x = 0, x = 1) .

2
+ cx + d cho y = 3ax
2
+ 2bx + c.
Khi đó y = Ax + B cũng chính là đường thẳng nối 2 điểm cực trị (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
).
- Với hàm phân thức: y =
)(
)(
x
x
Q
P
ta có kết quả sau:
Giả sử (x
0
, y
0
) là cực trị của hàm số thì:

o
y
=

a
a
+

Là đường thẳng nối cực đại, cực tiểu.
1.3. Điểm uốn của hàm số:
- ĐN: Cho hàm số y = F(x). Hàm số gọi là lồi trên (a,b) nếu như F’’(x) < 0 , và
gọi là lõm trên trên (a,b) nếu như F’’(x) > 0
),( bax ∈∀
),( bax
∈
∀
.
- Hàm số y=F(x) gọi là có điểm uốn tại điểm M nằm trên đường cong có hoành độ x
0
, nếu
như nó thoả mãn đồng thời 2 điều kiện sau:
1) F’’(x) = 0
2) Đạo hàm bậc hai F’’(x) đổi dấu qua điểm M (x
0
,y
0
)
Chú ý
: Điều kiện F’’(x
0
) = 0 chỉ là điều kiện cần để tồn tại điểm uốn có hoành độ x
0
.
Ví dụ

()
x
Px
a
Qx
→∞
=
2. Hàm phân thức có tiệm cận đứng, nếu Q(x) có nghiệm. Giả sử x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,…x
n
là các
nghiệm của Q(x). Khi đó hàm số có k tiên cận đứng
k
x
x
=
,k=1,2, ,n, bởi vì

()
lim
()
k
xx

4. Tiệm cận của hàm y = F(x).
1. y = a là tiệm cận ngang của y = F(x) nếu như :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

lim ( )
x
Fx a
→∞
=

2. x = c là tiệm cận đứng của y = F(x) nếu như:

li

m ( )
xc
Fx
→
=∞

3. y = ax + b là tiệm cận xiên của y = F(x) nếu như:

[
]
lim ( ) (ax+b) 0
x
Fx
→∞
−

ngoài ra cần lưu ý thêm :
1. Nếu hàm tuần hoàn với chu kì T thì ta chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kì rồi tịnh tiến
đồ thị song song với Ox.
2. Để vẽ chính xác hơn cần :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
• Tính thêm toạ độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với trục
Ox, Oy
• Lưu ý đến tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm ) của đồ thị.
2.2.Xét một số ví dụ khảo sát dạng đa thức:

VD1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x
3
– 3x
2
.
1. Khoảng xác định: Hàm số xác định với mọi x
∈
(-
∞
, +
∞
)
2. Chiều biến thiên:
Ta có bảng biến thiên sau:

x -
∞ 0 2 +∞
y’ + 0 - 0 +
+ ∞

- Tìm thêm vài điểm đặc biệt khác:
+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0,0) (cho x= 0, y = 0).
+ Đồ thị cắt trục hoành khi y = 0 <=> x
3
– 3x
2
= 0
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
<=>
⎢

⎣
⎡
=
=
3
0
x
x

- Đồ thị có dạng sau: Đồ thị nhận điểm uốn (-1,2) làm tâm đối xứng.
VD2
: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x
4
– 4x
3

∞
Hàm số đạt cực tiểu tại (3,-27).
- Tính lồi lõm: Ta có bảng biến thiên sau:
x -
∞
0 2 +
∞

y’ + 0 - 0 +
Lõm Lồi Lõm
y

Hàm số lồi trên khoảng (0,2) và lõm trên các khoảng (-
∞
, 0), (2,+ ). ∞
Hàm số có 2 điểm uốn tại các điểm (0,0) và (2,-16).
- Đồ thị: Tìm thêm vài điểm đặc biệt của đồ thị.
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0,0).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 6
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
+ Đồ thị cắt trục hoành khi y = 0 <=> x
3
(x– 4) = 0
<=>
⎢

⎣
⎡
=
=

= 0
khi x = 0 nhưng khi x ≠ 0 thì x
2
> 0 không đổi dấu khi qua x = 0. Đạo hàm y’ chỉ đổi dấu khi
qua x = 3. từ đó hàm số chỉ có một điểm cực tiểu mà thôi).
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 7
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009
Vẽ được đồ thị dạng trên là do các bạn phải rõ: Đồ thị có 2 điểm uốn và xác định
đúng tính lồi, lõm của nó. Nếu không thì quả là không đơn giản đẻ vẽ được đúng hình như
vậy.

2.3.Xét một số ví dụ khảo sát dạng phân thức:
VD 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
1
1
2
−
−+
x
xx

Giải : Xét hàm số y =
1
1
2
−
−+
x
xx


+
∞

5
+
∞Hàm số đồng biến trên các khoảng (-
∞
, 0); (5, +
∞
) , và nghịch biến trên các khoảng
(0,1); (1, 2)
Hàm số có cực đại tại điểm (0, 1) và cực tiểu tại điểm (2, 5)
Ta có
2
2
2
11
2
11
1
lim ( ) lim
1
1
lim ( ) lim
1
1
lim ( ) lim

==
−
+−
==
−
+−
==
−
−∞
+∞
−∞
+∞
Do vậy x = 1 là tiệm cận đứng của hàm số và hàm số không có tiệm cận ngang.
Ta tìm tiệm cận xiên như sau:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 8
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009

2
22
1
lim 1
1
11
lim ax lim lim 2.
11
x
xxx

III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Yêu cầu: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cho các bài dưới đây
1.
3x
y
3x 1
−
=
−
3.
2
y2x
23x
=−−
−

2.
2
x3x
y
x1
−+
=
+
2
4.
2
xx
y
x2