Đặt vấn đề
Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái
niệm cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà
chỉ hình thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa.
Nhng các bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt
kiểm tra hàng năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống
cho học sinh và việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở
ngại. Xuất phát từ những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng
dạy, từ những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình đại học toán và
sự tìm hiểu thêm các tài liệu tham khảo, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các
Thầy, Cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài : Những bài toán cực trị trong chơng
trình Trung học cơ sở làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề
này, tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phơng pháp
giải cho từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc
nắm các kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển
t duy sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp
phần nhỏ nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần I : Khái quát chung.
Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số.
Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học.
Phần I :
Khái quát chung
A/Mục đích yêu cầu:
1/ Đối với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng
pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị.
- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi
giải các bài toán về cực trị.

0
,z
0
) sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
) = A, thì A gọi là giá trị lớn
nhất của F (x
0
,y
0
,z
0
) trên D. Ký hiệu max F (x
0
,y
0
,z
0
) = A
Tơng tự, nếu F (x
0
,y
0
,z
0
)


a (hoặc

A)
(Với A; a là hằng số)

(x,y,z )

D
Bớc 2: Chỉ ra đợc (x
0
,y
0
,z
0
)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
) = a (hoặc = A)
Phần II
một số bài toán cực trị trong đại số
I/ Cực trị của hàm đa thức một biến:
1.1- Phơng pháp:
Đa về dạng: f (x) = k


0 dấu =

x = 1
Nên A > 0
Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu
đẳng thức.
Do vậy ta phải giải nh sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2
= x
2
+ 4x + 4 + x
2
- 2x + 1
= 2x
2
+ 2x + 5 = 2 ( x
2
+x +
2
5
)
= 2 (x
2
+ 2x
2
1
+

Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t
2
-36)
B = 36 - t
2


36
x = 0
Vậy B = 36 khi x
2
+ 5x = 0


x = -5

x= 0
Do đó: max B = 36 Khi


x = -5
1.2- Một số nhận xét:
- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả
mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ
nhất ).
- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt
y = x + 2 kho đó A = ( y-1)
2
+ ( y-1)
2

2
+1
B = 5- 8x- x
2

C = -5x
2
- 4x + 1
D = 1- x- x
2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz + 36x + 5
Giải: P = (9x
2
+36xy+36y
2
)+(18y
2
- 24yz+8z
2
)+ (8x
2

) + 40
= 40- (x + 5)
2
- (3x- 4y)
2


40
x = -5
Vậy max Q = 40


y = -
4
15
Nhận xét:
+ Ta vận dụng kiến thức cho F = F
1
+ F
2
thì maxF = maxF
1
+ maxF
2
hay
(min F = min F
1
+ min F
2
)

2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10 (a- 2b)
Đặt a- 2b = t ta đợc
D = t
2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10t
= (t + 5)
2
+ (b- 1)
2
+ 2

2
t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3
Dấu = xảy ra khi



b- 1 = 0 b = 1 b = 1
Vậy min M = 2

b = 1; a = -3
Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính
rồi thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phơng một tổng
hoặc bình phơng một hiệu
(a

M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= ( a
2
+ 4b
2
+ 25- 4ab + 10a- 20b) + (b
2
- 2b + 1) + 2
= (a- 2b + 5)
2
+ (b-1)
2
+ 2
Vì (a- 2b +5 )
2


0 ; (b-1)
2


0

a,b

R

2
2
x +
2
2
4a
c
) + b(y
2
+
b
d
2
2
y +
2
2
4b
d
)-
a
c
4
2
-
b
d
4
2
+ e

2
)
2


0

x,y

R


A


ab
abeadbc
4
4
22
+


Amin =
ab
abeadbc
4
4
22
+

Giải: Ta có N

0
(x- 2y + 1)
2
= 0

Dấu đẳng thức xảy ra

(Có nghiệm)
(2x + ay + 5)
2
= 0

20
x- 2y + 1


Có nghiệm


2
a

1
2


a -4
2x + ay + 5 = 0

5
6
+
5
9
2
= 5 x- 2y +
5
11
+
5
9



5
9
Dấu đẳng thức xảy ra

x- 2y +
5
11
= 0


M
min
= 0

x- 2y +

+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
D = 2x
2
+ 9y
2
- 6xy- 6x- 12y + 2004
E = x
2
- 2xy + 6y
2
- 12x + 12y + 45
F = (x+2y)
2
+ (x- 4)
2
+ (y- 1)
2
- 27
G = x
4
- 8xy- x
3
y + x
2
y
2
- xy
3

; min P =
Amax
1
- Nếu m < 0 ta có max P =
Amax
1
; min P =
Pmin
1
Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của
phân thức về bài toán cực trị của đa thức.
3.2- Các ví dụ:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
20
M =
544
3
2
+ xx
Giải: M =
544
3
2
+ xx
=
4)12(
3
2
+x
Ta thấy: (2x- 1)

1
2
x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0
Nhng với x= 0 thì:
3
1
2
x
=
3
1

không phải là giá trị lớn nhất của
phân thức
(Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2
x
= 1 >
3
1

)
Từ a < b chỉ suy ra
a
1

xx
xxxx
(x + 1)
2


0

x
= 1 +
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x


0

x vì
(x+2)
2
+ 1 > 0

x
Dấu = xảy ra


x
xxx
= 1 +
1
1
x
+
2
)1(
1
x
Đặt
1
1
x
= A ta có P = 1 +A + A
2
P = A
2
+ A + 1 = A
2
+ 2A
2
1
+
4
1
+
4
3

Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng
nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi
biến.
3.4- Một số bài tập tơng tự:
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =
2
956
2
xx
B =
2
2
)1(
1
+
++
x
xx

C =
1
1
2
2
+
+
xx
x
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:


0
c, f (x) - g (x)

f (x) - g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
f (x)

g (x)
max f (x) = A
d, Giả sử ta có
min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a
1
,b
1
)
Nếu f (x)

0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a
1
,b
1
)
min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a
1
,b
1

- g (x)

g (x)

g (x)
Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có
- (f (x) + g (x))

f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
20


f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x) và g (x) cùng dấu

f (x).g (x)

0


f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x)

f (x) -g (x) + g (x)



x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu


- 1

x

6
4.2- Các ví dụ:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau:
A = x-1996 + x- 2000
Giải:
Cách 1: Chia khoảng để xét.
Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x
Do x < 1996

2x < 3993; -2x > -3992
A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4

A> 4 (1)
Nếu 1996

x

2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2)
Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996
x > 2000

2x > 4000


0

Lập bảng xét dấu:
x 1996 2000
x- 1996
- 0 + +
2000- x
+ + 0 -
(x-1996) (2000- x) - 0 + 0 -
(x- 1996) (2000- x)

0

1996

x

2000
Vậy min A = 4

1996

x

2000
20
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x- x
2

1
)
2
-
2
1


-
2
1
Dấu = xảy ra

x =
2
1
vậy max f(x) =
2
1


x =
2
1
Theo ý (d) vì max f(x) = -
2
1


x =

K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16
L = x- a
1
+ x- a
2
+ + x- a
2m - 1

Trong đó a
1
, a
2
, , a
2m 1
cho trớc
V/ Cực trị của hàm căn thức:
5.1- Kiến thức cần thiết: P(x,y)

a

(x,y)

D

a,
),( yxP
Min
D
=
a

),( yxp
Max
D
= A (A = const, A

0 )

(x
0
,y
0
)

D, P(x
0
,y
0
) = A
c, Nếu P(x,y) > 0 muốn tìm min, max của P(x,y) ta tìm min, max của P(x,y)
2
5.2- Các ví dụ:
Ví dụ 11: (Đa về hàm giá trị tuyệt đối)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =
44
2
+ xx

3
Dấu = xảy ra

(x- 2) (
2
1
- x)

0


2
1


x

2
Vậy min P =
2
3



2
1


x


áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số không âm (x-2) và (4-x) ta có
2 = (x-2) + (4-x)

2
)4)(2( xx
Dấu = xảy ra

x-2 = 4- x

x = 3
Suy ra: B
2


4 vì B

0 nên ta đợc
MaxB = 2 khi x= 3
Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
C =
2
1
35
x
x


Giải:
Tập xác định -1



++
=
2
2
1
)53(
x
x


+ 16

16

C

4


C
2


16


C

-4 ( loại) Vì 1 - x



x
x
Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của:
D =
2x
+
x3

E =
x28
+
32 x
G =
3
6
+

x
xx
VI/ Cực trị có điều kiện:
Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó. Để
giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian
một cách hợp lý và khéo léo.
Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo
cách giải ở trên.
6.1- Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x
2

0 dấu = xảy ra

x= y
Nên (x+y)
2


2
x+y


2
-
2


x +y


2
Khi x = y ta có x
2
+ x
2
= 1

x
2
=
2

5x+5y = 10

x +y = 2

y = 2-x (3)
Thay (2) vào (1) ta có: 2x+2-x+3z = 6

z =
4
3
-
ă
3
x
Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có:
20
N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 (
3
4
-
3
x
)
= 2x + 6- 3x-
3
16
+
3
4x
=


0 nên min N =
3
2


x=0; y= 2; z=
3
4
Lại có: y

0 nên từ (3) ta có x
2
x
2
z

0 nên từ (2) ta có x
4

Vậy maxN =
3
2
+
3
2
=
3
4


0


(a+1) (a- 2)

0

a
2


a + 2
tơng tự ta cũng có: b
2


b + 2
c
2


c + 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2


2
1416
2
++
biết x > 0
C = 5x- 6y + 7z
Biết x,y,z là số không âm và thoả mãn hệ phơng trình

4x + y+ 2z = 4
3x + 6y- 2x = 6
VII/ Tìm cực trị bằng cách dùng tam thức bậc hai:
7.1- Nhắc lại kiến thức:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax
2
+ bx + c (a 0)

= b
2
- 4ac
a, Nếu

< 0 thì a. f(x)

x

R
b, Nếu

= 0 thì a.f(x)


x2
= y

0 ta có y
2
= 2- x
Do đó: A = 2- y
2
+ y = - (y-
2
1
)
2
+
4
9



4
9
max A=
4
9


y =
2
1


2
- 19 (54y
2
+ 16z
2
- 24yz)



x = - 702y
2
+ 168yz- 240z
2
Ta coi


x là một tam thức bậc hai đối với y
Khi đó:


y = 842.z
2
- 702. 240z
2



y =- 161. 424y
2


Giải: ta phải tìm a,b để 1


1
2
+
+
x
bax


4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra.
(1)


1
2
+
+
x
bax


4

1
2
+
+
x

= a
2
- 16 (4-b) = 0 b = 3








2
= a
2
- 4 (b+1) = 0

= a
2
- 4 (b+1) = 0 a =

4
Vậy a = 4, b= 3 hoặc a = -4, b= 3 thì:
f(x) =
1
2
+
+
x
bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 1

+
xx
xx
(1)


ax
2
+ ax + a = x
2
-x+1


(a-1)x
2
+(a+1)x +(a-1)=0
Trờng hợp 1: Nếu a= 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trờng hợp 2: Nếu a 1 thì để (2) có nghiệm cần và đủ là



0 tức là
(a+1)
2
- 4(a-1)
2


0


=
)1(2
1
a
a

+
Với a=
3
1
thì x = 1 với a = 3 thì x= -1
Gộp cả hai trờng hợp (1) và (2) ta có:
MinA =
3
1


x = 1
MaxA = 3

x = -1
Ví dụ 20: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
f(x) =
123
3102
2
2
++
++
xx

0
+2xy
0
+ y
0

(3y
0
- 2)x
2
+ 2 (y
0
-5)x + y
0
- 3 = 0 (2)
Xét hai khả năng:
Trờng hợp 1: Nếu 3y
0
- 2 = 0 (

y
0
=
3
2
) thì y
0

5


y
0


7 và y
0

3
2
Kết hợp cả hai trờng hợp ta có:
2
5


y
0


7 (3)
Từ (3)

max f(x) = 7 và min f(x) =
2
5
x

D x

c, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
h(x) =
1
12
2
2
+
++
xx
xx
x

/R
8.4- Đáp án bài tập 11:
a,
3
1



y
0


1
b,
2
5



1221
aaa
n
Dấu = xảy ra

a
1
= a
2
= a
12
b, Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho dãy số bất kỳ a
1
, a
2
, a
12
và b
1
, b
2
,b
12
ta có:
=
n




k a
i
= k b
j


i = 1; n
Chứng minh:
a, Ta chứng minh bằng phơng pháp quy nạp:
hiển nhiên với n = 2 bất đẳng thức đúng
2
21
aa +



21
aa
giả sử mệnh
đề đúng với n = k tức là:

k
aaa
k
+++
21


aaa
k
+++
21

Đặt
k
aaa
k
+++
21
= x thì x

0


a
k+1
= x+y với y

0 và x
k


a
1
a
2
a
k

1
)
1
(
+
+
+
k
k
y
x


121
11
)(
1
).1(
+
++
+=+=
+
++
kk
kkkkk
aaaayxxyxxx
k
y
kx


= = a
n
b,Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacôxki:
Đặt A=
22
2
1
2

n
aaa +++
B =
22
2
2
1

n
bbb +++
C =
nn
bababa +++
2211
Ta cần phải chứng minh AB

C
2
Nếu A= 0 thì
0
21

2
22
+ bxbaxabxa020)(
222
+
nnnnnn
bxbaabxa

Cộng từng vế n bất đẳng thức trên ta có:(*)02
0)() (2) (
2
22
2
2
12211
222
2
2
1
+
+++++++++
BCxAx
bbbxbababaxaaa
nnnn

a
b
a
===
2
2
1
1
9.2- Các ví dụ:
Ví dụ 21: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Cho a,b,c là ba số dơng có tích abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)
Giải: Vì a,b,c dơng áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1+a

2
a
x
bb 21 +
20

cc 21 +
y = ( 1+a) ( 1+b) ( 1+c)

8
abc
mà abc = 1

8 y


)1)(1(
2
11
2222



+
ab
ba
a
b
b
a


(*)
1.1
2
11
22



+

ab
ab
a

a
a
từ đó ta cũng có:
2
1

b
b
Vậy từ (*) ta có:
(*)82.2.2
1.1
2
11
22
=



+

ab
ab
a
b
b
a
Vậy P

8 do đó min P = 8 khi a = b= 2


32
+



yx
32
+
(x+y)

)(6)32(
2
yxx ++

(x+y)
6
625
)32(
6
1
2
+
=+

6
32
=+
yx
Dấu = xảy ra khi
20

2
)
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của: B =
x
xx
2
1416
2
++
với x > 0
Giải: a, Xét (x
2
- 3x + 1) ( 21 + 3x- x
2
) = 22 không đổi
x
1
= 5 khi đó A= 11.11 = 1210103
2
=+ xx



x
2
= -2
Vậy max A = 121 x = 5 hoặc x = -2

Vậy min B =
4
1
6
2/1
111
==
++
x
9.3- Nhận xét:
a, Bài toán cực trị: Chỉ ra tất cả cacd giá trị của biến để xảy ra dấu đẳng
thức. bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất chỉ cần chứng tỏ tồn tại giá trị của
biến để xảy ra dấu của đẳng thức.
b, Trong tất cả các hằng đẳng thức ta cần chú ý đến hai mệnh đề sau:
+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất

hai số
đó bằng nhau.
+ x ,y
R
, xy = const

(x+y)min

x = y ( Nh ở ví dụ 24)
9.4- Bài toán tơng tự:
Bài tập 12: a, Cho x, y sao cho 0

x


x
x +++ 1
.
1
.
1
X/ Sáng tạo bài toán cực trị:
Ví dụ: Từ một số phơng pháp đi tìm ực trị ta có thể vận dụng và khái quát thành
một số bài tập mới.
Trong việc giải toán cực trị phải biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo tuỳ
theo yêu cầu của một số bài toán.
Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 25: a, Tìm giá trị lớn nhất của A = x
3
( 16- x
3
) với (0 < x
3
< 16)
20
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
x
x
2
)1998( +
với > 0
Giải: a, Ta có: x
3
+ (16- x
3

x và
x
2
1998
là hai số dơng có tích x.
x
2
1998
= 1998
2
(không đổi)
Nên tổng x +
x
2
1998
đạt giá trị nhỏ nhất khi x =
x
2
1998
hay x = 1998
Vậy min B = 3 . 1998 khi x = 1998
Ví dụ 26: Cho biểu thức M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
Với x,y,z,t

2
= 122

61
2
61
2
+=
t
M


min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (1) ta có: x
2
- y
2
= 21
21))(( =+ yxyx
x-y = 1 x= 12 ( loại không thoả mãn (2) )
Vậy


x+y = 21 y = 10
x = 5 thay x = 5, y = 2 vào (2) ta có z = 4

y = 2
vậy min M = 61 khi x = 5, y = 2, z = 4, t= 0
Ví dụ 27: Cho x,y
R

+ ay
2
= 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = x + 2y
2, 4x
2
+ 9y
2
= 2 tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S = 2x + 3y
nếu x
0,0 y
Ví dụ 28: (áp dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giải phơng trình)
Giải phơng trình:

222
2414105763 xxxxxx =+++++
(1)

20
Giải: Ta có:
244)1(3763
22
+=++ xxx
VT
523
=+

399)1(514105
22
++=++ xxx


2
+=+ xxxx


8 +2
22
)4012()10)(2( += xxxx
(Vì hai vế cùng không âm)
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm: x- 2 và 10- x
Ta có: 2
8102)10)(2( =+ xxxx

8 +2
1688)10)(2( =+ xx
Mặt khác:
[ ]
164)6()4012(
2
222
+=+ xxx
x là nghiệm của phơng trình

VT = VP = 16
x-2 = 10 x x = 6





x = 6 (Thoả mãn điều kiện)

5
)
4
1
=+


(x
2
-x)
2
+ 3(x-
0
4
5
)
2
1
2
=+
(1)
Vì (x
2
-x)
2

0
; 3(x-
Rx 0)
2

b,
1168143 =+++ xxxx
2. Chứng minh rằng các phơng trình sau vô nghiệm:
a, x
4
+ 2x
3
+ 4x
2
+ 2x + 1 = 0
b, 2x
4
+ 3x
3
+ 8x
2
+ 6x + 5 = 0
Chú ý: Ta vận dụng linh hoạt việc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
biểu thức vaào việc xét phơng trình và tìm nghiệm.
XI/ Một số sai sót th ờng gặp trong việc giải toán tìm cực trị:
11.1- Sai lầm trong điều kiện 1:
20
Ví dụ 31: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A= 2x +3y biết 2x
2
+ 3y
2

5
a, lời giải sai:
Gọi B = 2x


nên -B
5

(2)
Cộng (1) với (2): A
4
25

Vậy min A=
4
25



x = y =
2
1

b, Phân tích sai lầm:
Sai lầm ở chỗ với x = y =
2
1

thì chỉ xảy ra dấu = ở (1) còn dấu =
ở (2) không xảy ra. Thật vậy với x = y =
2
1

thì:

2
+ b
2
) (m
2
+ n
2
) (3)
Nếu áp dụng (3) với a = 2, b =3 m = x, n=y ta có:
A
2
= (2x+3y)
2


(2
2
+ 3
2
) (x
2
+ y
2
) = 13 (x
2
+ y
2
)
Với cách trên ta không chỉ ra đợc hằng số


2
+ 3y
2
)

5.5 = 25

A
2
= 25


yx
yx
==
3
3
2
2
Do A
2


25 nên - 5

A

5

x = y

x
2
+y
2
= 2xy

x = y = 2
Khi đó min A= 2
2
+ 2
2
= 8
b, Phân tích sai lầm:
Đáp số tuy không sai nhng lập luận mắc sai lầm. Ta mới chứng
minh đợc f(x,y)

g(x,y) chứ cha chứng minh đợc f(x,y)

m với mà hằng số.
20
Ta đa ra một ví dụ: Với lập luận nh trên, từ bất đẳng thức đúng
x
2


4x- 4 sẽ

x
2
nhỏ nhất

2


0

x
2
+2xy + y
2


0 (2)
Từ (1) và (2): 2(x
2
+ y
2
)

16

x
2
+ y
2


8
MinA = 8

x = y = 2

-A lớn nhất

A nhỏ nhất

B
1
lớn nhất

B nhỏ nhất với B > 0
C lớn nhất

C
2
lớn nhất với C > 0
Ví dụ 34: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
A =
22
4
)1(
1
+
+
x
x
Giải:* Ta có:
1
2
1
1
12

x
4
+ 1 > 0 nên
0
1
2
4
2

+x
x

A
1


101
=+

Min
A
1
= 1

x = 0 do đó max A = 1

x = 0
* Ta có 2x
2


đó so sánh cực trị đó để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong toàn bộ tập
xác định của biểu thức.
Ví dụ 35: Tìm giá trị lớn nhất của bểu thức:
20
A =
)(5 yx
y
+
Với x,y là các số tự nhiên
Giải: + Xét x + y

4
Nếu y = 0 thì A = 0
Nếu 1

y

3 thì
)(5 yx
y
+


3
Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4
+ Xét x +y

6 thì A =
)(5 yx
y

2
) với a = 2, b= 3
Vậy áp dụng ta có: (2x+3y)
2


(2
2
+ 3
2
)52
(2x+3y)
2


13.13.4
2x+3y

26
Max A = 26
23
xy
=
thay y =
2
3x
vào x
2
+ y
2


x
2
=- 2

khi đó: A= 11 .11 = 121
Vậy Max A = 121

x = 5 hoặc x =-2
12.6- Chú ý 6:
Trong các ví dụ trên chỉ ra tất cả các giá trị của biến đê xảy ra dấu của
đẳng thức. Tuy nhiên yêu cầu của bài toán tìm cực trị không đòi hỏi nh vậy. Chỉ
cần chứng tỏ rằng tồn tại giá trị của biến để xảy ra dấu của đẳng thức.
Ví dụ 38: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A= 11
m
- 5
n
với m,n là các số nguyên dơng
Giải: Ta thấy 11
m
tận cùng bằng 1, còn 5
n
tận cùng bằng 5
Nếu 11
m
> 5
n
thì A tận cùng bằng 6, nếu 11
m

hoặc giá trị nhỏ nhất f
1
tức laaf hỉ rõ các vị trí hình học để
cho dấu đẳng thức xảy ra.
Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm ra 1 trong hai giá trị trên.
B. Một số dạng toán cực trị th ờng gặp và ph ơng pháp giải:
I/ Các bài toán cực trị về độ dài các đoạn thẳng, độ dài cung tròn.
1/ Các bất đẳng thức hình học cần thiết: M
a, Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu:
MA d; A

d ; B

d; M

d thì
a
1
/ MA

MB dấu = xảy ra

A

B
a
2
/ AB

AC

[ ]
BC
(bất đẳng tức tam giác)
c
2
/ Với n điểm A
1
,A
2
, , A
12
bất kỳ ta có:
A
1
A
2
+ A
2
A
3
+ + A
11
A
12


A
1
A
12

Ví dụ 1: Cho

ABC (Â = 1v)
AH BC điểm M chuyển động trên BC
vẽ MD AB; ME AC
Xác định M để DE nhỏ nhất A

D E
B H M C
20
Giải: Ta có D = A = E = 1v (gt)

MEAD là hcn

AM = DE

DE min

AM min
Ta lại có: AM

AH = const
Dấu = xảy ra

M = H (Theo phần a = 1)
Vậy khi M là chân đờng cao hạ từ A của

ABC thì DEnhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho góc xoy nhọn, A nằm trong góc đó. Tìm trên ox, oy lần lợt hai
điểm B và C sao cho chu vi



[ ]
21
AA
Vậy nếu B và C lần lợt là giao điểm của A
1
A
2
với ox, oy với A
1
,

A
2
lần
lợt là điểm đối xứng của A qua ox, oy thì chu vi

ABC nhỏ nhất.
Ví dụ 3: Cho điểm A cố định ở bên trong đờng tròn (O;R) (A 0) và dây MN là
dây cung quanh A. Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất,
nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I là hình chiếu vuông I
góc của điểm O trên MN , A

MN M N
nên OI

OA = const

do đó AB
2
= BM . BC M


BM . BC = 4R
2


2BM = a > 0
BC = b > 0 B A
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dơng a,b ta có:
a+b

2
constRab ==
2
82
Dấu = xảy ra

a = b


2BM = BC

M là trung điểm BC



ABC vuông cân tại đỉnh A