Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Dương Thị Hà - Giảng
viên khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 – cùng Ban giám hiệu và các
bạn sinh viên Khoa Giáo dục Tiểu học đồng thời em cũng xin cảm ơn Ban giám
hiệu, các thầy cô và học sinh trường Tiểu học Thị trấn - Sóc Sơn – Hà Nội đã nhiệt
tình giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành đề tài của mình.
Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2008.
NGƯỜI THỰC HIỆN
Trần Thị Dịu
- 1 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
LỜI CAM ĐOAN
Đề tài nghiên cứu này được thực hiện từ tháng 10 năm 2007 đến tháng 05
năm 2008, tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phường Xuân Hoà - Phúc Yên –
Vĩnh Phúc.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của mình không trùng với
kết quả của các tác giả khác.
Nêu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.
SINH VIÊN
Trần Thị Dịu
- 2 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
- Lời cảm ơn 1
- Lời cam đoan 2

khoa học với sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin, khoa học ứng
dụng… ở Việt Nam, Đảng và Nhà nước đã coi “ giáo dục - đào tạo là quốc sách
hàng đầu”. Với bậc Tiểu học là bậc học giữ vai trò nền tảng.
Trong chương trình ở Tiểu học, môn Toán cung cấp cho học sinh những kiến
thức ban đầu cơ bản và sơ giản về số học, các đại lượng thông dụng, một số yếu tố
hình học và thống kê đơn giản, hình thành các kĩ năng toán học, bước đầu hình
thành phương pháp học tập và làm việc có kế hoạch, chủ động, sáng tạo…chuẩn bị
cho việc học tập ở các bậc học tiếp theo.
Trong dạy - học Toán ở Tiểu học thì giải các bài toán có lời văn chiếm vị trí
quan trọng. Các bài toán này được sử dụng để gọi động cơ tìm kiếm kiến thức mới,
củng cố kiến thức cũ và vận dụng tri thức vào thực tiễn. Nhờ vậy, học sinh có điều
kiện rèn luyện và phát triển năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận và
những phẩm chất của người lao động mới. Một trong các bài toán đó phải kể đến
các bài toán về tỉ số phần trăm.
Tuy nhiên, để giải các bài toán về tỉ số phần trăm thì không đơn giản. Các
bài toán này không có phương pháp giải chung. Vì vậy, trong SGK toán tiểu học
người ta đã chia ra làm ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm mà mỗi dạng toán cơ
bản lại có qui tắc giải riêng. Nhưng để học sinh nhận dạng được từng dạng toán cơ
bản trong bài toán là cả một quá trình từ tìm hiểu vấn đề đến phân tích, so sánh,
khái quát hoá, trừu tượng hoá… Ngoài ra, các bài toán về tỉ số phần trăm còn sử
dụng rất nhiều thuật ngữ, nhiều sự việc, hiện tượng tự nhiên…trong cuộc sống mà
học sinh phải hiểu mới tìm ra được hướng giải đúng.
- 4 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Trên đây là những lí do cơ bản để tôi chọn “Ba dạng toán cơ bản về tỉ số
phần trăm” làm đề tài trong khoá luận của mình.
II. Mục đích nghiên cứu
1. Cơ sở lý luận về tỉ số phần trăm và giải toán tỉ số phần trăm trong
chương trình.

I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Các nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phạm vi nghiên cứu
V. Đối tương nghiên cứu
VI. Cấu trúc khoá luận
Phần nội dung
Chương 1. Cơ sở lý luận
1.1. Kiến thức liên quan tới tỉ số phần trăm
1.1.1. Đại lượng
1.1.2. Khái niệm tỉ số
1.1.3. Tỉ số phần trăm (%)
1.2. Chương trình SGK có liên quan đến ti số phần trăm
1.3. Bài toán có lời văn ở Tiểu học
1.4. Một số khó khăn khi giải toán về tỉ số phần trăm
1.5.Một số đề xuất, kiến nghị
Chương 2. Hệ thống bài toán
2.1. Dạng toán cơ bản 1: Tìm tỉ số phần trăm của hai số
2.2. Dạng toán cơ bản 2: Tìm một số phần trăm của một số
2.3. Dạng toán cơ bản 3: Tìm một số bài toán tổng hợp
2.4. Một số bài toán tổng hợp
Phần kết luận
Tài liệu tham khảo
- 6 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Kiến thức liên quan đến tỉ số phần trăm:
1. Đại lượng

vị đo chung là đại lượng u sao cho: a = u x m và b = u x n chẳng hạn.
Khi đó a : b =
nu
mu
×
×
=
n
m
( m,n € N* ).
n
m
chính là một phân số. Phân số
này là giá trị của tỉ số a : b. Theo tính chất cơ bản của phân số ta có thể nói: tỉ số của
a và b bằng phân số
b
a
và viết a : b =
b
a
.
Như vậy, tỉ số của hai đại lượng có thể là một số tự nhiên (khi một đại lượng
được chọn làm chuẩn, đại lượng thứ hai là bội số của đại lượng làm chuẩn) hay một
phân số (khi ta phải chọn một đại lượng nào đó làm đơn vị đo chung cho hai đại
lượng). Nhưng ta còn gặp những tỉ số không phải là số tự nhiên hay phân số. Chẳng
hạn: tỉ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó hay tỉ số giữa độ dài đường
chéo của một hình vuông so với một cạnh của nó đều không phải là một số tự nhiên
hay phân số.
Ta phải chú ý rằng, tỉ số là quan hệ giữa hai đại lượng nên khi nói về quan hệ
“ lớn hơn – bé hơn ” thứ tự các đại lượng là rất quan trọng. Điều này thể hiện trên kí

thành 75%. Nghĩa là ta thay kí hiệu
100
1
bằng kí hiệu %.
Kí hiệu % đọc là “ phần trăm”, 75 % đọc là “ bảy mươi lăm phần trăm ”
Số 75% là tỉ số phần trăm của số đo chiều rộng và số đo chiều dài của hình
chữ nhật đã cho. Tỉ số % này chỉ ra rằng nếu chiều dài gồm 100 phần bằng nhau thì
chiều rộng gồm 75 phần bằng nhau như vậy: 3 : 4 = 75%
Vậy, tỉ số phần trăm của đại lượng a là thương của phép chia a cho 100. Nói
một cách đơn giản, tỉ số phần trăm chỉ là một dạng kí hiệu của phân số thập phân.
a : 100 =
100
a
= a % đọc là “ a phần trăm ”
Qui tắc: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số ta:
- Tìm thương của hai số đó rồi viết thương dưới dạng số thập phân.
- Nhân thương đó với 100 rồi viết thêm kí hiệu % vào bên phải tích vừa
tìm được.
1.2. Chương trình SGK có liên quan đến tỉ số phần trăm
Nhìn vào khái niệm “ tỉ số phần trăm ” ta đã thấy liên quan đến “ tỉ số ” của
hai số, mà “ tỉ số ” của hai số là thương của phép chia số thứ nhất cho số thứ hai,
thương đó thường là số thập phân. Như vậy, phải học xong số thập phân và phép
chia với số thập phân thì mới hình thành được đầy đủ khái niệm “ tỉ số phần trăm ”.
Trong chương trình SGK Toán 5 giới thiệu tất cả 20 tiết học liên quan tới “tỉ
số phần trăm” trong đó có 5 tiết thuộc kiểu dạy bài khái niệm đó là:
Tiết 74: Tỉ số phần trăm
Tiết 75: Giải toán về tỉ số phần trăm (tiếp theo)
Tiết 77: Giải toán về tỉ số phần trăm (tiếp theo)
Tiết 79: Giải toán về tỉ số phần trăm (tiếp theo)
Tiết 84: Sử dụng máy tính bỏ túi để giải toán về tỉ số phần trăm


Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Bài toán có lời văn là các bài tập mà những dữ kiện, ẩn số cũng như các quan
hệ giữa chúng được mô tả bằng các tình huống ngôn ngữ. Việc giải chúng buộc chủ
thể phải phân tích tình huống ngôn ngữ để tìm kiếm các thuật ngữ giải trong đó.
Bài toán có lời văn thực chất là những bài toán thực tế. Nội dung bài toán
được thông qua những câu nói về quan hệ tương quan và phụ thuộc có liên quan
đến cuộc sống hằng ngày. Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán
có lời văn vì lời văn che đậy bản chất của bài toán.
Các bài toán có lời văn ở Tiểu học, chia theo số lượng phép tính trong quá
trình giải toán, gồm 2 loại:
- Bài toán đơn ( các bài toán chỉ có một phép tính số học )
- Bài toán hợp ( các bài toán có từ hai phép tính số học trở lên )
Trong khai thác bài toán có lời văn, chúng ta chỉ chú ý tới các bài toán hợp.
Các bài toán hợp lại được chia thành:
- Các bài toán không có phương pháp chung để giải.
- Các bài toán điển hình.
1.3.3. Quy trình chung giải bài toán có lời văn ở Tiểu học.
Muốn giải được bài toán trong chương trình Toán Tiểu học nói chung, bài
toán cơ bản về tỉ số phần trăm nói riêng, học sinh cần nắm được các bước chung
của hoạt động giải toán. Có nhiều cách phân chia các bước trong quá trình giải trình
giải bài toán có lời văn. Trong cuốn “ Giải toán như thế nào? ”. G. Polia đã tổng kết
quá trình giải toán và nêu ra sơ đồ 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Tìm và xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
1.4. Một số khó khăn khi giải bài toán về tỉ số phần trăm
Trong quá trình giải toán về tỉ số phần trăm ta gặp một số khó khăn như sau:
Thứ nhất, các dạng Toán cơ bản về tỉ số phần trăm không có phương pháp

phải hiểu được như sau: sau một tháng ta có cả tiền gửi và tiền lãi, đến hết tháng
thứ hai ta nhận thêm được tiền lãi của số tiền lãi ở tháng đầu, cứ tiếp tục như vậy.
- 12 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Số tiền nhận được là số tiền của tháng liền trước đó và số tiền lãi của tháng liền
trước đó. Vì vậy, học sinh phải hiểu rõ bản chất của việc gửi tiền tiết kiệm.
Thứ sáu, để tìm tỉ số phần trăm của đại lượng thứ nhất và đại lượng thứ hai
thì ta phải chú ý đến thứ tự các đại lượng, tìm thương số của đại lượng thứ nhất và
đại lượng thứ hai thì mới cho ra kết quả đúng.
Ngoài ra, ở bài toán liên quan đến giá bán, giá mua nếu giá bán so với giá
mua là
b
a
thì giá mua so với giá bán là
a
b
. Hơn nữa, khi nói đến tỉ số phần trăm là
so sánh tỉ số của đại lượng này so với đại lượng khác chứ nó không đứng một mình.
Vì vậy phải nói rõ tỉ số này là của đại lượng nào so với đại lượng nào.
Hiểu được bản chất về tỉ số phần trăm của hai số để linh hoạt trong cách tìm
tỉ số phần trăm của các đại lượng.
Trên đây là một số khó khăn khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm. Giáo
viên cần nắm rõ để hướng cho học sinh hiểu và tránh được các sai lầm khi làm bài.
1.5. Một số kiến nghị, đề xuất:
Qua việc tìm hiểu các khó khăn, sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm của
tôi đưa ra một số kiến nghị, đề xuất khắc phục tương ứng để quý bạn đọc tham khảo
như sau:
1.5.1- Học sinh sẽ lúng túng chưa hiểu rõ bản chất của các thành phần trong
cùng một đại lượng hoặc mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau nên trước khi

sinh tăng lên của năm nay so với năm ngoái. Từ đó tìm được số học sinh năm nay
và tỉ số phần trăm của số học sinh năm ngoái so với số học sinh năm nay.
Bài giải:
Ta giả sử số học sinh giỏi năm ngoái là 100 học sinh. Như vậy, số học sinh giỏi năm
nay tăng thêm là:
100 : 100 x 25 = 25 (học sinh)
Số học sinh giỏi năm nay là:
100 + 25 = 125 (học sinh)
So với năm nay, số học sinh giỏi năm ngoái chiếm:
100 : 125 = 0,8
0,8 = 80%
Đáp số: 80%
- 14 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Như vậy, với bài toán về tỉ số phần trăm, ta có thể vận dụng trực tiếp qui tắc
tìm tỉ số phần trăm của hai số hoặc dùng phương pháp tỉ số hay phương pháp rút về
đơn vị hoặc ta có thể đưa về dạng toán không chứa tỉ số phần trăm rồi sau đó giải
các bài toán đó.
1.5.4- Ngoài ra ta cần cho các em tiếp xúc với bài giải sai để các em tự tìm
và khắc sâu được lời giải đúng. Cụ thể:
Ví dụ 1: Lượng muối chứa trong nước biển chiếm 4%. Hỏi cần phải đổ thêm
bao nhiêu gam nước lã vào trong 200 gam nước biển để được một dung dịch có
lượng muối chiếm 2%?
Ta đưa ra lời giải sai như sau:
Nước biển chứa 4% muối nghĩa là cứ 100g nước biển thì gồm 96g nước ngọt
và 4g muối. Để có 100g nước chứa 2g muối thì trong 100g nước biển lượng muối
giảm đi
2 lần, lượng nước ngọt cần đổ vào phải tăng gấp 2 lần. Lượng nước ngọt cần đổ vào
trong 100g nước biển để được nước có tỉ lệ muối 2% là: 96 x 2 = 192 (g)

8 : 2 x 100 = 400 (g)
Cần đổ thêm lượng nước lã là:
400 – 200 = 200 (g)
Đáp số: 200 g
Ví dụ 2:
Bài giải
Nếu đường kính cũ là d thì đường kính mới là:
d + d x 20% = d x 1,2
Khi đó bán kính mới là:
d x 1,2 : 2 = r x 2 x 1,2 : 2 = r x 1,2
Tỉ số diện tích hình tròn mới và diện tích hình tròn cũ là :
(r x 1,2) x (r x 1,2) x 3,14
r x r x 3,14
Vậy đường kính hình tròn tăng thêm 20% thì diện tích hình tròn đó tăng thêm là:
144% - 100% = 44% (diện tích cũ)
Đáp số: 44%
- 16 -
= 1,21 = 121%
= 1,44 = 144%

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Cách làm đưa ra bài giải sai để tìm lời giải đúng là cách làm mới nhưng tôi
thấy nó hiệu quả bởi vì tự học sinh phát hiện ra cái sai và tìm ra cái đúng.

Trên đây tôi đã đưa ra cơ sở lý luận về tỉ số phần trăm và một số vấn đề xung
quanh việc giải toán tỉ số phần trăm trong chương trình. Đồng thời, tôi cũng đưa ra
một số khó khăn, sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm và đưa ra một số đề xuất
khắc phục tương ứng. Qua việc tìm hiểu tôi đã thấy được độ khó, độ phức tạp của
dạng toán về tỉ số phần trăm . Vì vậy, ở chương 2 tôi sẽ đưa ra hệ thống các bài toán
trong đó có phân loại các dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm và các bài tập tương

học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm của lớp học đó?
Bước 1:Tìm hiểu nội dung bài toán.
Cái đã cho:
1. Lớp học có 25 học sinh.
2. Lớp học có 13 học sinh nữ.
Cái phải tìm:
Tỉ số của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp
Bước 2: Tìm và xây dựng kế hoạch giải toán.
Để tìm và xây dựng kế hoạch giải toán ta đặt ra hệ thống câu hỏi hướng dẫn
học sinh như sau:
- 18 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
1. Bài toán yêu cầu làm gì?(tìm số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số
học sinh của lớp học đó hay tìm tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh
cả lớp).
2. Muốn tìm tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp ta làm
thế nào? (tìm thương số của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp)
3. Số học sinh nữ và số học sinh cả lớp biết chưa?(Biết rồi)
4. Sau khi biết thương của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp ta làm thế
nào? (nhân thương đó với 100 và viết thêm kí hiệu% vào tích vừa tìm được)
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Dựa vào bước 2 ta làm như sau:
Bài giải
Tỉ số phần trăm của sổ số học sinh nữ và số học sinh cả lớp là:
13 : 25 = 0,52
0,52 = 52%
Đáp số: 52%
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
1. Kiểm tra lại thứ tự phép tính (theo 2 bước trình bày)

3. Hết năm trồng được 23,5 ha
Cái phải tìm:
1. Tỉ số phần diện tích đất trồng hết tháng 9 và kế hoạch cả năm
2. Tỉ số phần trăm diện tích đất trông ngô thu được hết năm và kế hoạch cả
năm
Tính số phần trăm vượt mức kế hoạch
Bước 2: Tìm và xây dựng kế hoạch giải toán
Ta suy nghĩ theo hệ thống các câu hỏi như sau:
1.Bài toán yêu cầu làm gì?(trả lời theo cái phải tìm của bước 1)
2. Muốn tính tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô thu được hết tháng 9 và
kế hoạch cả năm ta làm như thế nào?(tìm thương số giữa diện tích đất trồng ngô thu
được hết tháng 9 và kế hoạch cả năm. Sau đó nhân với 100 và thêm kí hiệu % vào
tích vừa tìm được)
- 20 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
3. Diện tích đất trồng ngô thu được hết tháng 9 và kế hoạch cả năm biết
chưa? (biết rồi).
4. Tương tự, muốn tính tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô hết năm và kế
hoạch cả năm ta làm thế nào?(tìm thương số giữa diện tích đất trồng ngô thu được
hết năm và kế hoạch cả năm, sau đó nhân với 100 và thêm kí hiệu % vào tích vừa
tìm được)
5. Diện tích đất trồng ngô thu được hết năm biết chưa?(biết rồi)
Từ đây ta tính được tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô thu được hết năm và kế
hoạch cả năm
6. Muốn tính tỉ số phần trăm vượt mức ta làm thế nào? ( lấy tỉ số phần trăm
diện tích đất trồng ngô thu được hết năm và kế hoạch cả năm trừ đi 100% thì ra số
cần tìm )
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải toán
Dựa vào bước 2 ta có lời giải như sau:

ăn quả.
a. Số cây lấy gỗ chiếm bao nhiêu phần trăm số cây trong vườn?
b. Tỉ số phần trăm của số cây ăn quả và số cây trong vườn là bao nhiêu?
Bài giải
a. Tỉ số phần trăm của số cây lấy gỗ và số cây trong vườn là:
540 : 1000 = 0,54
0,54 = 54%
b. Cách 1:
Số cây ăn quả trong vườn là:
1000 – 540 = 460 (cây)
Tỉ số phần trăm của số cây ăn quả và số cây trong vườn là:
460 : 1000 = 0,46
0,46 = 46%
Cách 2:
Tỉ số phần trăm giữa số cây ăn quả và số cây trong vườn là:
100% - 54% = 46%
- 22 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Đáp số: a. 54%
b. 46%
Bài 3: Một huyện có 320 ha đất trồng cây cà phê và 480 ha đất trồng cây cao
su. Hỏi:
a. Diện tích đất trồng cây cao su bằng bao nhiêu phần trăm diện tích đất
trồng cây cà phê?
b. Diện tích đất trồng cây cà phê bằng bao nhiêu phần trăm diện tích đất
trồng cây cao su?
Bài giải
a. Tỉ số phần trăm giữa diện tích đất trồng cây cao su và diện tích đất trồng
cây cà phê là :

10000 : 4 = 2500 (đồng)
Tỉ số phần trăm của giá bóng bay trong ngày lễ so với ngày thường là:
2500 : 2000 = 1,25
1,25 = 125 %
Coi giá bóng bay ngày thường là 100% thì giá bóng bay trong ngày lễ hơn
ngày thường là:
125% - 100% = 25 %
Như vậy, so với ngày thường thì giá bóng bay trong ngày lễ tăng 25 %
Cách 2:
Để mua 5 quả bóng bay trong ngày lễ phải trả số tiền là:
12500 : 10000 = 1,25
1,25 = 125%
Coi giá bóng bay trong ngày thường là 100% thì giá bóng bay trong
ngày lễ đã tăng là:
125% - 100% = 25%
Cách 3:
Với cùng một số tiền mà ngày thường mua được 5 quả bóng bay, ngày lễ
mua được 4 quả bóng bay như thế thì tỉ số của giá bóng bay trong ngày lễ so với
ngày thường là:
5 : 4 = 1,25
- 24 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
1,25 = 125%
Coi giá bóng bay trong ngày thường là 100% thì giá bóng bay trong ngày lễ
đã tăng là:
125% - 100% = 25 %
Đáp số: 25 %

2.2. Bài toán cơ bản 2: Tìm một số phần trăm của một số.