Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

I.PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đối với học sinh lớp 8, để giải bài toán tìm x với những phép tính cộng, trừ,
nhân, chia đã rất quen thuộc, nhưng việc giải phương trình lại là một khái niệm hoàn
toàn mới. Được giảng dạy ở lớp có đầu vào tốt cũng như các em có lực học trung bình,
trở lên nên tôi muốn khai thác sâu ở các em học sinh dạng toán giải phương trình tích.
Nhằm giúp học sinh có kĩ năng giải phương trình và nắm bắt dạng phương trình, các
em cần phân biệt được giữa bài toán tìm x và bài toán giải phương trình có điểm gì
giống và khác nhau. Trên cơ sở đó giúp các em hiểu và vận dụng nhanh hơn trong giải
toán, đặc biệt là giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình
tích. Trong SGK Toán 8 đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của
những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung, tách hạng tử, phương pháp
thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, …để làm một số dạng bài tập giải phương
trình tích. Nếu chỉ giải những phương trình đơn giản thì người đọc sẽ chỉ cảm thấy
rằng việc học sinh giải phương trình tích là điều hiển nhiên có thể làm được, nhưng nếu
là giáo viên trực tiếp giảng dạy họ sẽ nhận ngay ra được rằng lỗi mà học sinh hay vấp
phải nhất khi giải phương trình đó là tìm sai hướng giải, máy móc một cách giải cho tất
cả các bài toán và đương nhiên khả năng tư duy logic của các em sẽ không được phát
huy.
Khi dạy chuyên đề này tôi nhận thấy học sinh khi giải phương trình tích dạng
A(x).B(x) thì học sinh làm được và làm một cách máy móc. Nhưng khi gặp những
phương trình khó hơn và được nâng cao dần về kiến thức thì các em lại không làm
được, thậm chí không tìm được hướng để giải bài toán. Nếu học sinh lớp 8 giải phương
trình tích và các phương trình đưa về dạng tích không tốt thì khi gặp các bài học sau và
thậm chí khi lên lớp 9 các em sẽ gặp khó khăn khi giải những phương trình bậc cao
hơn, hay những bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Điều đó khiến tôi trăn trở
và muốn tìm ra phương pháp đưa đến các em những kiến thức cơ bản nhất và cần thiết
nhất để các em không thấy khó khăn khi giải phương trình.

Để làm được điều này, người giáo viên cần định hình cho học sinh hiểu thế nào
là giải phương trình? Phương trình tích là phương trình có dạng như thế nào và các
cách giải? Hướng dẫn cho các em biết cách giải các phương trình đơn giản, biết đoán
nghiệm của phương trình thông qua việc sử dụng máy tính từ đó phân tích, biến đổi
phương trình về dạng phương trình tích. Nên có thể khai thác ở các em vận dụng các
cách giải khác nhau và kích thích các em sự hứng thú, tò mò muốn giải quyết bài toán.
Linh hoạt trong giải toán, phục vụ tốt cho các em trong việc luyện thi Toán Internet và
Toán Casio với bài toán phương trình.
3.Đối tượng nghiên cứu
Một số biện pháp hướng dẫn học sinh lớp 8 trường THCS Lương Thế Vinh học
tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng
phương trình tích (căn cứ theo năng lực của học sinh để mở rộng các dạng phương
trình tích cho học sinh).
4.Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng
phương trình tích, các bài tập vận dụng trong chương trình học kì II môn Đại số lớp 8.
Được áp dụng cho học sinh lớp đại trà và lớp chọn khối 8 trường THCS Lương Thế
Vinh năm học 2014 – 2015.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dựa trên những định hướng ban đầu, nội dung được dựa trên những phương
pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: thông qua quá trình trực tiếp giảng dạy học
sinh lớp 8.
- Phương pháp đọc sách và tài liệu: Sách giáo khoa Toán 8 tập II; Sách Toán cơ
bản và nâng cao Đại số 8; Sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm.

Giáo viên: Dương Thị Nga

2

giáo viên cần gợi sự say mê học tập, tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức của các em học
sinh.
2. Thực trạng
2.1. Thuận lợi – khó khăn
* Thuận lợi: Là giáo viên còn trẻ nên bản thân tôi nhận thấy việc giáo viên cần
học hỏi và trau dồi kiến thức, phương pháp để đưa đến cho các em kiến thức là một
vấn đề rất quan trọng và được đặt lên hàng đầu khi soạn giảng.
Trong quá trình giảng dạy và công tác tại trường tôi được học hỏi ở đồng nghiệp
các phương pháp giảng dạy và kĩ năng khi đứng lớp, được dự các tiết chuyên đề, thao
giảng, hội giảng về bộ môn toán của đồng nghiệp. Trường có điều kiện cơ sở vật chất
đầy đủ, thư viện thông minh với các tài liệu tham khảo đa dạng nên có rất nhiều sách
tham khảo viết về chuyên đề phương trình nói chung, phương trình tích nói riêng cho
học sinh tìm hiểu và nghiên cứu. Từ đó giúp tôi tự tin hơn về kiến thức và phương
pháp để thực hiện chuyên đề này.
Giáo viên: Dương Thị Nga

3

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

- Đa số các giáo viên giảng dạy môn toán 8 đã quan tâm nhiều đến việc dạy cho
các em học sinh các cách giải phương trình tích.
- Được nhà trường quan tâm, động viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi,
nên bản thân mỗi giáo viên và học sinh đều cố gắng nâng cao kiến thức.
- Bên cạnh đó, đội ngũ giáo viên trong tổ bộ môn có năng lực vững vàng, nhiệt
tình đã giúp tôi học được nhiều kinh nghiệm trong phương pháp truyền đạt đến học

Giáo viên: Dương Thị Nga

4

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

* Hạn chế:
- Số tiết thực hiện giảng dạy về phương trình tích và phương trình đưa được về
dạng tích còn hạn chế. Một số em học sinh tiếp thu còn chậm.
- Thời gian thực tế trên lớp để luyện tập về giải phương trình còn ít, các dạng bài
tập ở sách giáo khoa và sách bài tập đa dạng ở nhiều dạng phương trình khác nhau nên
việc lồng ghép các dạng toán có liên quan đến phương trình tích còn khó khăn. Do đó
có những bài toán mới học sinh còn bỡ ngỡ chưa biết cách giải. Hoặc khi mới bắt đầu
hiểu về bài toán đó chưa được củng cố đã phải chuyển sang dạng toán khác, điều đó
khiến các em nhớ kiến thức và vận dụng chưa sâu, chưa thành thạo.
- Các tài liệu tham khảo mang những chuyên đề rộng, ít tài liệu viết riêng về chủ
đề này nên việc tìm tài liệu tham khảo, chọn lọc bài toán của học sinh mất nhiều thời
gian.
2.3. Mặt mạnh – mặt yếu
* Mặt mạnh:
Với cách thiết lập các bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó và khó dần, từ đơn giản
đến bậc cao, và lồng ghép các ví dụ cụ thể, cùng với hướng dẫn giải của giáo viên sẽ
tạo cho người đọc dễ hiểu, dễ vận dụng. Học sinh dễ tham khảo ngay cả không có sự
hướng dẫn của giáo viên.
Đã kết hợp đổi mới các phương pháp dạy học toán để học sinh có thể tiếp cận
với kiến thức một cách nhanh nhất, vận dụng linh hoạt vào giải toán.

2.4 . Các nguyên nhân, các yếu tố tác động
Xuất phát từ thực trạng nói trên nguyên nhân chủ yếu là nhằm giúp cho các em
học sinh có ý thức học tập đúng đắn, tạo sự ham mê học tập giúp các em có điều kiện
lĩnh hội được một số kiến thức để các em học tập sau này được tốt hơn. Bởi nếu các em
hiểu sai về phương trình tích sẽ tạo cho các em cảm giác không muốn giải phương
trình này, cảm giác sẽ giải sai phương trình này và từ đó mất dần đi đam mê học toán.
Xuất phát từ sự ham học hỏi của học sinh và sự ham mê nghiên cứu và lòng yêu
nghề của bản thân trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi giáo vên không thể bỏ qua dạng toán này cho học sinh, bởi
đó là cơ sở để các em tự tin khi giải các phương trình bậc cao.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra
Trước đây, để dạy cho học sinh giải phương trình tích, tôi thường lấy ví dụ cho
học sinh phương trình tích dạng đơn giản(A(x).B(x) = 0) và đưa những bài tập tương
tự. Vì vậy học sinh thường hiểu máy móc và làm rập khuôn theo cách giải của giáo
viên, không chủ động tư duy tìm tòi kiến thức, nên khi gặp dạng phương trình bậc hai,
bậc ba,… học sinh chỉ phân tích các hạng tử có chứa ẩn thành nhân tử, hạng tử tự do
thì chuyển vế sang vế phải của phương trình, dẫn đến hiểu sai và giải sai bài toán.
Trong quá trình làm bài tập hoặc những đề thi có chứa những phương trình dạng đưa
về phương trình tích học sinh thường gặp khó khăn và không tự tin khi giải, các bước
trình bày bài giải lũng củng, thiếu tính chính xác. Vậy thì vì sao giáo viên không làm
thay đổi lối tư duy của học sinh, khiến các em có thể giải tốt dạng toán đưa về phương
trình tích. Từ đó, thay vì đưa kiến thức trực tiếp đến học sinh tôi dành thời gian cho
học sinh học từng kiến thức và đưa ra những phương trình khó dần nhưng có liên quan
logic đến những kiến thức cũ “theo bậc thang”. Và thực tế, tôi nhận thấy ở các em
niềm vui khi hiểu và giải từng dạng toán được nâng cao dần.
3. Giải pháp, biện pháp
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Trong thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy chính bản thân giáo viên nếu cứ rập
khuôn bài dạy cho tất cả các đối tượng học sinh, điều đó chỉ đem lại cho giáo viên sản
phẩm đó là những con người rập khuôn, máy móc, thiếu chủ động trong tư duy, “ nghe

A(x).B(x) = 0.
- Nắm được các dạng phương trình đưa được về phương trình tích: phương trình
bậc hai một ẩn, phương trình trùng phương, phương trình chứa mẫu, phương trình chứa
ẩn ở mẫu, phương trình đối xứng, …
3.2.2. Kĩ năng:
- Các em biết dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm của một phương trình từ
đơn giản đến phức tạp. Việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi trước khi
thực hiện các bước giải phương trình, các em nhận biết được nghiệm, thông qua đó
định hướng cách giải. Điều này sẽ giúp học sinh không bị lúng túng khi phát hiện ra
bài giải sai, hoặc phải giải lại bài toán từ đầu để giành thời gian cho các bài tập tiếp
theo.
- Rèn học sinh kĩ năng nhận biết phương trình và định hướng cách giải phương
trình tích. Các ví dụ từ những phương trình dạng phương trình tích đến những phương
trình khó theo mức độ tăng dần. Đưa ra phương pháp hướng dẫn của giáo viên và
hướng dẫn học sinh trình bày bài toán. Các ví dụ đưa ra không chỉ nhằm mục đích là
giải bài toán, mà còn ví dụ cơ bản để giáo viên định hình từng bước làm cho học sinh.
- Rèn học sinh kĩ năng năng giải các phương trình ở dạng tích có sẵn: hướng dẫn
học sinh giải phương trình tích trong sách giáo khoa toán 8 tập II (củng cố sau tiết dạy
kiến thức của bài Phương trình tích), giáo viên đưa thêm một số bài tập trong sách bài
tập toán 8 tập II.
Giáo viên: Dương Thị Nga

7

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích


bx + c = 0 hoặc ax3 + bx2 + cx + d = 0)
ON -> MODE -> 5 -> 3(chọn phương trình bậc 2) hoặc 4 (chọn phương trình
bậc 3)
Cách 2: ON -> bấm phương trình bằng các phím ALPHA X (để biểu diễn ẩn) ->
SHIFT SOLVE
Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm của phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0
Giáo viên: Dương Thị Nga

8

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Với máy tính fx – 500 MS: ON -> MODE -> MODE -> 1 -> PHÍM mũi tên sang
phải -> 2 -> Phím 2 -> Phím mũi tên đi xuống hoặc phím ‘’=” (trên máy tính sẽ hiển
thị a? ) -> phím – 5 (trên máy tính hiển thị b?) -> Phím mũi tên đi xuống -> Phím 3
(trên máy tính hiển thị c?) -> “ = ’’. Lúc này trên máy tính sẽ hiển thị nghiệm của
phương trình là x1 = 1,5 ; x2 = 1
Với máy tính fx – 570VN PLUS:
Học sinh có thể bấm: MODE -> 5 -> 3 -> 2 (tương ứng với giá trị của a) -> phím
“ =” hoặc mũi tên sang phải -> - 5 (tương ứng với b) -> phím “ = “ -> 2 (tương ứng với
c) -> 2 lần phím “ =”. Lúc này trên máy tính sẽ hiển thị nghiệm của phương trình x 1 =
3
hoặc x2 = 1.
2

Hoặc học sinh có thể bấm: (giáo viên hướng dẫn bấm phím x bằng cách ALPHA


Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích
2
nhận dạng được A(x) và B(x) trong
Với 3x -2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =
3
bài toán: 3x – 2 và 4x + 5

+ Học sinh cần giải những phương Với 4x + 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = −5
4
trình nào để giải bài toán: 3x – 2 = 0
và 4x + 5 = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình (I) là
+ Phương trình (I) có bao nhiêu
 −5 2 
nghiệm? Liệt kê nghiệm của phương S =  4 ; 3 
trình (I)
+ Học sinh viết được tập nghiệm của
phương trình
+ Yêu cầu học sinh kiểm tra nghiệm
của phương trình bằng máy tính

Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích.
c. Nắm được dạng tổng quát của phương trình tích với nhiều nhân tử.
Với bài toán trên, giáo viên cần sử dụng những phương pháp thuyết trình, vấn
đáp giữa cô và trò để giải quyết vấn đề. Điều đó giúp các em từng bước nắm được kiến


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
dạng phương trình tích. Nêu được Ta có: ( 2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0
điểm khác nhau của phương trình ở ví
⇔ 2x + 7 = 0 hoặc x - 5 = 0 hoặc 5x + 1 = 0
dụ 1 và ví dụ 2.
+ Giáo viên cần hướng cho học sinh Với 2x + 7 = 0 ⇔ 2x = - 7 ⇔ x = −7
2
nhận dạng được A(x1), A(x2), A(x3)
trong bài toán: 2x + 7, x- 5 và 5x + 1
Với x - 5 = 0 ⇔ x = 5
−1
+ Học sinh cần giải những phương
Với 5x + 1 = 0 ⇔ 5x = -1 ⇔ x =
5
trình nào để giải bài toán: 2x + 7 = 0 ;
x - 5 = 0 và 5x + 1 = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là
+ Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
 −7 −1 
S =  ; ;5
liệt kê nghiệm của phương trình
2 5

tìm ra hướng giải bằng cách nào. Để các em tư duy theo nhiều hướng khác nhau. Để
Giáo viên: Dương Thị Nga

11

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

các em giải theo chính hướng mà các em nghĩ ra. Điều đó giúp các em tự tin, giám
nghĩ, giám làm.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
dạng có là phương trình tích hay * Có trường hợp học sinh giải theo cách:
không?
Ta có 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
+ Học sinh bấm máy tính để đoán
nghiệm của phương trình
+ Để học sinh tự thảo luận, suy nghĩ ⇔ (x – 3) ( 2x + 5) = 0 ( học sinh phát hiện ra
và tìm hướng giải( có thể có học sinh nhân tử chung của hai biểu thức)
áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa ⇔ x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
thức, có thể có học sinh nhìn thấy nhân
Với x – 3 = 0 ⇔ x = 3
tử chung của hai biểu thức là x – 3;

các em hình thành thêm cách làm mới ⇔ (2x2 – 6x) + (5x – 15) = 0 (sau khi tách thì
(tách hạng tử, thêm bớt hạng tử). Với được những hạng tử giống với hạng tử bân đầu)
những học sinh trung bình và yếu, giáo ⇔ 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0
Giáo viên: Dương Thị Nga

12

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

viên có thể cho học sinh biết cách tách ⇔ (x – 3) (2x + 5) = 0
thông qua việc sử dụng máy tính bỏ túi ⇔ x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
(giáo viên hướng dẫn)
Với x – 3 = 0 ⇔ x = 3
+ Sau khi học sinh hoàn thành những
bài giải của mình, giáo viên cần xoay Với 2x + 5 = 0 ⇔ x = −5
2
ngược lại vấn đề, trong trường hợp này
cách giải nào giúp các em tiết kiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là
được thời gian và giải gọn hơn?
 −5 
S
=
 ;3
Qua đó, giáo viên hướng học sinh,
2


nên sẽ nhìn thấy có thể đặt x – 3 làm ⇔ x – 3 = 0 hoặc 1- x = 0
nhân tử chung.
Với x -3 = 0 ⇔ x = 3
+ Nhưng để làm được điều đó, mục Với 1 – x = 0 ⇔ x = 1
đích của giáo viên là để học sinh phát
Vậy tập nghiệm của phương trình là
hiện ra có thể sử dụng quy tắc chuyển
S = { 1;3}
vế để giải bài toán.
Giáo viên: Dương Thị Nga

13

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Qua ví dụ, giáo viên củng cố cho học sinh đưa phương trình về dạng phương
trình tích, học sinh cần :
+ Chuyển vế các hạng tử ở vế phải sang vế trái, để vế phải bằng 0
+ Phân tích vế trái thành nhân tử
+ Giải phương trình tích
* Bài tập tương tự : giải phương trình (Bài tập 22 ; 23/sgk và 28/ SBT toán 8 tập
II)
a) (x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0 ;

b) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0


Tức là x1 = 3 được đổi dấu thành -3 đem nhân với a = 1 ta được hạng tử tách
được là -3x.
Còn x2 = 2 được đổi dấu thành -2 đem nhân với a = 1 ta được hạng tử tách được
là -2x.
Vậy -5x được tách thành -3x và -2x
Phần việc còn lại học sinh đã dễ dàng hơn để hoàn thành

Giáo viên: Dương Thị Nga

14

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
xét về phương trình trước (đây Ta có: x2 - 5x + 6 = 0
không là phương trình tích)
⇔ x2 – 2x – 3x + 6 = 0
+ Học sinh dùng máy tính kiểm tra
⇔ x (x – 2) – 3( x – 2) = 0
nghiệm của phương trình
+ Giáo viên để hướng mở cho học ⇔ (x – 3)(x – 2 ) = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0

F1 = a = 1

F2 = m.F1+ b

F3 = m.F2+ c

= -3

=0

Chú thích: Với giá trị của F3 = 0 thì m = 2 được gọi là nghiệm của phương trình
Khi đó phương trình (*) ⇔ (x – m)(F1x +F2) = 0
⇔ (x – 2)(x – 3) = 0
Giáo viên: Dương Thị Nga

15

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Dễ dàng giải được x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập tương tự: Giải phương trình: ( Bài 30/SBT toán 8 tập II)
a) x2 - 3x +2 = 0 ;

b) – x2 + 5x – 6 = 0

c) 4x2 – 12x + 5 = 0 ;

nhân tử.
+Đưa phương trình đã cho về ⇔ x ( x + 1) ( x + 2 ) = 0 (đặt nhân tử chung)
dạng phương trình tích.

⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -2

+ Giải phương trình tích

Vậy nghiệm của phương trình là :

+ Một nghiệm của phương trình
có giá trị đúng bằng nghiệm máy S = { 0; −1; −2}
tính tìm được
Cách2: x3 + 3x 2 + 2 x = 0 ⇔ x 3 + x 2 + 2 x 2 + 2 x = 0
+ Ngoài ra, học sinh có thể dùng (tách 3x 2 = x 2 + 2 x 2 )
sơ đồ Hoocner để giải bài toán
⇔ (x3+x2)+(2x2+2x)=0
⇔ ( x + 1) ( x 2 + 2 x ) = 0 ⇔ ( x + 1) x ( x + 2 ) = 0 (đặt
nhân tử chung )
⇔ x =0 hoặc x = -1 hoặc x = - 2
Giáo viên: Dương Thị Nga

16

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích


+ Học sinh dùng máy tính tìm
Điều kiện xác định của phương trình là :
được 1nghiệm của phương trình x
x ≠ 0
x ≠ 0
= -1

⇔

x
−
2
≠
0
+ Học sinh cần thực hiện quy 
x ≠ 2

đồng mẫu thức các phân thức
x+2 1
2
trong hai vế của phương trình.
− =
Giải : Ta có ( I ) ⇔
x − 2 x x ( x − 2)
Bài toán giúp học sinh rèn kĩ năng
tìm ĐKXĐ của phương trình, quy
2
đồng phân thức, nhân đơn thức ⇔ ( x + 2 ) x − ( x − 2 ) =
x ( x − 2)
x ( x − 2)

2 ( x − 11)
x−2
3
;
−
= 2
x+2 x−2
x −4
13

1

6

x +1

c) ( x − 3) ( 2 x + 7 ) + 2 x + 7 = x 2 − 9 ;

d)

2− x
1− x
x
−1 =
−
;
2001
2002 2003

f)

g. Đối với phương trình bậc cao(dành cho học sinh khá, giỏi)
Ví dụ 8: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Giải phương trình : (Sách toán cơ bản và
nâng cao toán 8 tập II) (x + 1)(x + 2) (x + 3 )(x + 4) - 120 = 0
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: Ta có:
xét về phương trình trước (đây (x + 1)(x + 2) (x + 3 )(x + 4) - 120 = 0 (*)
không là phương trình tích)
⇔ (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) -120 = 0
+ Giáo viên để hướng mở cho học
Đặt t = x2 + 5x + 4 (hướng dẫn học sinh các
sinh suy luận hướng giải bài toán
cách đặt ẩn phụ khác)
+ Yêu cầu học sinh dùng máy tính
Ta có :(*) ⇔ t(t + 2) -120 = 0
tìm một nghiệm của phương trình
2
+ Có thể học sinh nhận thấy quy luật ⇔ t + 2t – 120 = 0
của bài toán, nhưng chưa được làm Giải được t = 10 hoặc t = -12
quen với cách giải. (Có thể học sinh
Với t = 10 ta có x2 + 5x + 4 = 10
sẽ dùng máy tính để kiểm tra nghiệm
⇔ x2 + 5x – 6 = 0
của phương trình)
+ Khi học sinh vẫn chưa tìm được ⇔ (x – 1)( x + 6) = 0
hướng giải, giáo viên có thể gợi mở ⇔ x= 1 hoặc x = -6
vấn đề.(phương pháp đặt ản phụ)
Với t = - 12 ta có x2 + 5x + 4 = -12


+ Ngoài ra, học sinh có thể dùng sơ
đồ Hoocner để giải bài toán
Chuyên đề giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ là chuyên đề rộng
với nhiều dạng toán khác nhau. Vì vậy tôi chỉ đưa ra một số dạng toán mà các em hay
gặp (đối với học sinh khá, giỏi)
Ví dụ 9: Giải phương trình ( x + 2)(x – 2) (x2 – 10) = 72 (Sách toán bồi dưỡng
học sinh lớp 8 đại số)
Nếu đột ngột đang giải những bài toán đơn giản, giáo viên đưa ra những bài toán
như ví dụ 7, thì chắc chắn rằng học sinh trung bình, khá sẽ khó tiếp cận. Nhưng sau
những bài tập được củng cố ở trên, học sinh đã được làm quen dần với những dạng
toán khó dần, vì vậy các em sẽ đặt ra cho chính mình những phương pháp trên có còn
sử dụng được để giải phương trình này hay không? Có cách nào giải nhanh hơn không?
Đó là lúc giáo viên gợi mở vấn đề cho học sinh khiến các em bị lôi cuốn theo kiến thức
của bài toán và ham muốn giải được bài toán.
Nếu học sinh thực hiện quy tắc nhân đa thức, thì chỉ làm cho bậc của đa thức cao
hơn (phương trình bậc cao) việc đó làm cho giải phương trình càng khó. Vì vậy, cần
nhấn mạnh học sinh rằng hãy quan sát kĩ bài toán, để thấy ý đồ của tác giả khi để
phương trình ở dạng đa cho có thể giúp gì? …
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: Ta có:
xét về phương trình trước (đây ( x + 2)(x – 2) (x2 – 10) = 72 (*)
không là phương trình tích)
⇔ (x2 – 4)(x2 – 10 ) = 72
+ Giáo viên để hướng mở cho học
Đặt y = x2 - 7 (Hướng dẫn học sinh các cách
sinh suy luận hướng giải bài toán

nên phương trình(1) vô nghiệm
+Ngoài ra có thể giải bài toán bằng
Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là
sơ đồ Hoocner
S = { ±4}
Qua đó, để đặt ẩn phụ cho phương trình (x + a) n + (x + b)n = c ta thường đặt ẩn
phụ là y = x +

a+b
. Sau đó đưa phương trình về dạng phương trình đã biết và giải
2

phương trình đó. Đối với những phương trình bậc cao, học sinh cần luyện lại các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…
* Bài tập tương tự: Giải phương trình (Bài tập sách toán nâng cao và các chuyên
đề đại số 8; sách toán bồi dưỡng họ sinh lớp 8 đại số)
a) (2x2+ 3x – 1)2 – 5(2x2+ 3x +3) + 24 = 0
b) (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) = 40
c) (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4
d) ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16
h. Đối với phương trình đối xứng(trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi)
Ví dụ 10 : Giải phương trình x 4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 ( Bài tập sách toán bồi
dưỡng học sinh lớp 8 đại số)
Với bài toán phương trình bậc cao (phương trình đối xứng)
a0x2n + a1x2n-1 + ..+ an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (*) với a 0 ≠ 0
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (*) thì ta chia cả hai vế của phương
trình cho xn ≠ 0
n
n −1
1

n
n −1
⇔ a 0  x + n ÷+ a1a 0  x + n −1 ÷+ .. + a n = 0 = 0
x
x

Đặt y = x +

1
ta đưa phương trình về phương trình bậc n với ẩn y.
x

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Đầu tiên cần cho học sinh dùng Giải: Ta có:
máy tính tìm 1 nghiệm của phương x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*)
trình x = 1
vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (*)
+ Giáo viên giúp học sinh đưa nên ta chia các hai vế của phương trình cho x 2 ta
phương trình về dạng phương trình được:
mà các em đã học.
3 1
2
+ Hướng dẫn học sinh chia cả hai vế x – 3x + 4 - x + x 2 = 0
của phương trình cho x2 ( khác 0)
1
1
2

1
=2
x

Hay (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là S = { 1}
Giáo viên: Dương Thị Nga

21

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Với ví dụ trên, học sinh thấy rằng với những bài toán dạng phương trình đối
xứng, học sinh đã được làm quen thêm với phương pháp giải mới. Nếu không chia cho
x2 và không đặt ẩn phụ thì việc giải bài toán thật sự là khó khăn. Vì vậy các em nhận
thấy sự đa dạng của phương trình, sự lôi cuốn của toán học và qua đó tạo cho các em
long ham thích học toán.
Ví dụ 11: Giải phương trình 5x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + 5 = 0
Học sinh dùng máy tính bỏ túi thấy rằng phương trình vô nghiệm.
Học sinh nhận thấy rằng các hệ số của các lũy thừa 5x4 và 5; 4x3 và 4x đối xứng nhau.
Để giải bài toán, học sinh thấy rằng x = 0 không là nghiệm của phương trình. Nên ta
có thể chia cả hai vế của phương trình cho x2.
Bài toán này giúp học sinh rèn được các kĩ năng thực hiện phép chia, bình
phương hai vế của phương trình, giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, tách
hạng tử, …
Hướng dẫn của giáo viên


dạng này học sinh đã có thể dùng phương pháp
tách để giải)
⇔ ( y+ 1) ( 5y – 1) = 0 ( phương trình tích)
⇔ y = - 1 hoặc y =
Giáo viên: Dương Thị Nga

22

1
5

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

- Với y = -1 ta có x +

1
= -1
x

Quy đồng và khử mẫu ta được
x2 + x + 1 = 0( phương trình vô nghiệm)
- Với y =

1
1

hoặc phân theo từng nhóm đối tượng học sinh (theo chuyên đề) hoặc bồi dưỡng học
sinh giỏi.
- Các tiết chuyên đề, thao giảng, hội giảng hay thi giáo viên dạy giỏi.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Với các phương pháp nêu trên như phương pháp biến đổi như giải phương trình
tích đơn giản; phương pháp tách hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp quy
Giáo viên: Dương Thị Nga

23

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

đồng mẫu và khử mẫu; phương pháp cộng vào hai vế; nhóm rồi quy đồng đưa các
hạng tử có tử giống nhau để đặt nhân tử chung, …thì đều có mục đích chung là các
bước trung gian để đưa các phương trình đó về dạng phương trình tích, nhưng để đạt
được hiệu quả tốt nhất, theo tôi không thể xem nhẹ hoặc giảng lướt qua một kiến thức
nào. Vì với những bài toán cơ bản và ở mức độ đơn giản thì các quy tắc nhân đa thức,
quy tắc dấu ngoặc, đặt nhân tử chung đều hỗ trợ nhau trong cùng một bài toán. Chỉ cần
hiểu sai hoặc trình bày sai một phương pháp nào đó thì đều làm ảnh hướng đến quá
trình giải toán. Hay với những bài toán khó hơn cần sử dụng đến các phương pháp tách
hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ thì đều là bước mở đầu gợi mở cho học sinh hướng
giải để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn và tiếp tục sử dụng những phương pháp
ban đầu (đặt nhân tử chung, nhân đa thức, quy tắc dấu ngoặc, …). Điều đó chứng minh
rằng dù học sinh đó có lực học trung bình, hay khá, giỏi thì điều cơ bản là các em phải
vận dụng đúng, chính xác các phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích, vì đó là bước


Kết quả thu được:
Số học sinh

Vận dụng chưa tốt

Vận dụng tốt

Nhóm 1 (phương pháp cũ)

27

10

Giáo viên: Dương Thị Nga

24

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

37
Nhóm 2 (phương pháp mới)

14

23