1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ VIỆT PHƢƠNG
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU LÊN HỆ SỐ HẤP
THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG
TỬ CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐINH QUỐC VƢƠNG
Hà Nội – 2012
2
tuyến trong hố lượng tử hình chữ nhật gần đây đã được nghiên cứu nhưng chưa tính
3
đến ảnh hưởng của phonon giam cầm mà mới chỉ để ý đến sự giam cầm của điện tử.
Khi tính lượng tử và sự giam cầm tăng lên thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của phonon
giam cầm. Bởi vậy trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử có kể đến
ảnh hưởng của phonon giam cầm và tính toán cụ thể cho trường hợp hấp thụ gần
ngưỡng và khảo sát kết quả thu được đối với hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
2. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích:
- Nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử ( trường hợp tán xạ
điện tử - phonon âm).
- Tính toán số các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
Đối tượng: hố lượng tử .
Phạm vi: Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu (hấp thụ gần ngưỡng)
3. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu trong hố lượng tử có thể sử
dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp hàm Green, phương pháp tích
phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử…Trong luận văn này,
chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử để giải quyết.
Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu
quả cao.[7-14] Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lần
hai, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử và phonon giam cầm trong hố
lượng tử, sau đó áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, cuối
cùng suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ.
- Sử dụng phần mềm Matlab để tính số và vẽ đồ thị.
4. Bố cục của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3
5
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN
KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
1.1 Tổng quan về hố lƣợng tử.
1.1.1 Khái niệm về hố lượng tử
Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh
thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở
vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị
của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng
không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Và do vậy
trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau
bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có
độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố
lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường trọn là hướng z)
bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá,
chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục.
Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho
điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của
điện tử như sau:
,
0
( ) sin( )
i p r
n
n p z
r e p z
Với
( , )
xy
p p p
2
22
tử ).
Với
Oxy
: Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy
m: khối lượng hiệu dụng của điện tử;
L : Độ rộng của hố lượng tử.
p
: Hình chiếu của
p
trên mặt phẳng (x, y)
r
: Hình chiếu của
r
trên mặt phẳng (x, y)
z
n
n
p
L
: là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z.
Như vậy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các
pp
e
aatA
c
e
pH )(
+
q
qqq
ph
bbH
+
pq
,
qq
bb
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
p p p p
bb
;
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
b b b b
+
q
C
: hằng số tương tác điện tử - phonon.
+
()
tn
i
ˆ
,
)(
8
Hay
,
()
, ( ) ( )
p
p p p p q q q q p q p q q
p q q p
t
nt
e
i a a p A t a a b b C a a b b
tc
e
st a a p A t a a
c
(1.3)
- Số hạng thứ hai:
2 ; 0
p p q q q
t
q
t
sh a a b b
Làm tương tự cách phân tích số hạng thứ nhất ta có:
3
t
sh
q p p q q p p q q p q p q p q p q
t t t t
q
C a a b a a b a a b a a b
**
, , , , , , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
C F t F t F t F t
Hay
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
nt
i
C F t F t F t F t
t
Hay
12
1 2 3 3 1 1 1 3 1 3 1 1
1
3 1 1 3
,,
3
,
()
, ( )
p p q
p p q p p q q q q p q p q q
p q q p
t
t
Ft
e
i a a b p A t a a b b C a a b b
tc
q p p q
q p p q q q q q p q p q q q
qq
tt
Ft
e
i p p p p A t F t
t m c
C a a b b b C a a b b b
(1.8)
(1.8) là phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện
0)(
t t p p A t dt dt
mc
q
l s m f
q
t
p q q p q p p q q
p q q
nt
C J a q J a q J a q J a q i s l m f t
t
i
dt n t N n t N s m i t t
n t N
12
'
Ee
a
m
Ee
a
oo
;
()
p p p
t
n t a a
;
q q q
t
N b b
;
1
q q q
t
N b b
l s m f
q
i s l m f t
n t C J a q J a q J a q J a q
s l m f
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p q p p q p
q q q q
p p q q p p q q
n N n N n N n N
s m i s m i
(1.11)
2.2 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu
Mật độ dòng:
*
( ) ( ) ( )
p
p
ee
J t p A t n t
mc
hay:
2
2
* * * *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o
,
12
( 1)
( ) ( ) | |
p q p
qq
o
sm
q
k s m r
qp
ee
n N n N
en
e
J t A t C q J a q J a q
m c m k r
1 2 1 2 1 2
sin ( )
k s r m s k m r
J a q J a q J a q J a q k r t
12
p q p q
sm
(1.13)
11
Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết
12
,
8
| | ( 1)
sm
o
p p q
q q q
sm
qp
C n N n N mJ a q J a q
cE
12
Trong trường hợp hấp thụ 1 photon (
1m
) và hạn chế trong gần đúng bậc hai của
hàm Bessel ta thu được:
2
2
22
2
2
, ',
22
,
2
1
22
4
1
1 2 1 2
16
x
2
()
1 2 1 2
( ) ( )
p q p q p q p q
2
2
,,
2
s m s m
q
m
Hệ số hấp thụ có dạng:
12
2
2
22
2
2
, ',
22
,
16
x
2
o
n p n p q
a q a q
pq pq
mm
2 2 2 2
1,1 1, 1 1,1 1, 1
pq pq pq pq
,,
2
p q p
s m s m
pq
a q pq
D n n
m
(1.18)
+ Thực hiện chuyển tổng thành tích phân và tính toán các số hạng của (1.18) ta được:
*
2
,,
0
2
2
,1
*
,
2
q
sm
pp
sm
pq
a q pq
H a q
m
nn
12
(1.20)
+ Sử dụng (1.19) và (1.20) thay vào biểu thức của hệ số hấp thụ ta được:
2
22
2
0,1 0, 1 0,1 0, 1 1,1 1, 1 1,1 1, 1
22
16
11
24
o
a
kT
D D H H H H H H
cE
(2.1)
Trong đó:
Năng lượng của điện tử:
,
,,
()
en
np
n p n p
e
H p A t a a
c
Năng lượng của phonon:
,,
,
m q m q m q
mq
n n p
m
L
H C I a a b b
Với:
+ n, m: các chỉ số lượng tử năng lượng của điện tử và phonon theo trục z.
+
p
,
q
: Vec-tơ sóng của electron và phonon trong mặt phẳng (x,y).
14
+
( , )pn
và
( , ')p q n
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ.
+
q
: Tần số của phonon âm.
+
()At
( ) os os
E c E c
A t c t c t
,'
0
2'
( ) os ( 1)sin sin sin
L
m
nn
m
L
m z m z n z n z
I m c m dz
L L L L L
: Hằng số tương tác điện tử - phonon cho trường hợp
tán xạ điện tử - phonon âm.
Trong đó
0
, , ,
a
V
lần lượt là độ rộng, tiết diện, mật độ tinh thể, vận tốc truyền âm
và hằng số điện biến dạng.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử có dạng:
,
,,
()
,
np
n p n p
t
nt
, ( )
q
np
n p n p m q m q
n
n p n p
mq
np
nt
e
i a a p A t a a b b
tc
(2.3)
Vế phải của (2.3) có 3 số hạng, ta lần lượt tính từng số hạng:
Số hạng thứ nhất:
' ' '
''
,,
'
'
'
,,
,
Ta có:
' ' '
''
'
'
'
,,
,,
,
, ( )
n p n p
n
n p n p
np
e
a a p A t a a
c
' ' ' ' ' '
''
'
'
'
'
,,
,,
, , , ,
,
()
n
n p n p
n n n n
cc
Vậy:
10
t
sh
(2.4)
Số hạng thứ 2:
, , , ,
,
2 , 0
q
n p n p m q m q
t
mq
t
sh a a b b
m
sh a a C I a a b b
L
'
'
,
'
Hay
'
' ' '
,
,'
(2.7)
Với :
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , , ,
()
n p n p q m n p n p m q
t
F t a a b
.
Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động lượng tử cho
nó:
12
,
()
, ( )
n p n p q m
n
n p n p m q n p n p
np
Ft
e
i a a b p A t a a
tc
(2.8)
Vế phải của (2.8) có 3 số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng:
- Số hạng thứ nhất:
17
12
12
, , , , ,
,
1 , ( )
n
n p n p m q n p n p
t
np
()
n n n n n
n p n p m q p p n p n p m q p p
np
t
e
p A t a a b a a b
c
21
12
12
, , ,
21
( ) ( )
nn
n p n p m q
Nên :
2 1 1 2
12
21
, , , , , , ,
21
1 ( ) ( )
n p n p n p n p q m
t
e
e
sht p p A t F t
mc
(2.9)
- Số hạng thứ hai:
11
, , , , , , , , , , , , , , , ,
,,
,
m q m q m q m q m q m q m q m q m q q q m q m q m q m q m q m q
q q m q
b b b b b b b b b b b b b b b
b
Vậy:
12
12
, , , , ,
2 ( )
q
n p n p q m
t
sht F t
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
12
12
2 1 1 2
2 1 2
1
, , , , ,
, , , , , , ,
21
()
( ) ( )
q
n p n p q m
,,
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
0
, , , , ,
0
, , , , , , ,
21
()
( ) ( )
q
n p n p q m
n p n p n p n p q m
e
Ft
e
i p p A t F t
t m c
(2.13)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
(2.14)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên
hằng số. Đặt:
1 2 1 2 2
1 2 1
0
, , , , , , , , , ,
( ) ( )
n p n p q m n p n p q m
F t M t F t
và (2.16) ta được kết quả sau:
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
( ) i
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
M t m
C I a a b b b
tL
21
2
1
11
,,
21
i
exp ( )
q
t
n p n p
e
e
p p A t dt
mc
, , , , , , , , , , ,
,,
i
()
t
m
nn
n p n p q m m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
L
F t dt C I a a b b b
12
2
1
2
2 1 1
,,
12
i
exp ( )
q
t
n p n p
e
t
ie
t t p p A t dt
mc
mq
n q m
nt
m
CI
tL
4
4
1 1 1 1
2
4
1
2 ',
, , , , , ,
,,
x
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
, , , , ,
,
,,
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
4
4
1 1 1 1
2
4
1
,
13
3
1 1 1 1
2
3
1
',
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p q q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
4
4
1 1 1 1
2
4
1
,
, , , , ,
,
,,
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
,,
x
m
nn
m q n p n p q q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
20
'
2
2 1 1
4
4
1 1 1 1
2
4
1
',
, , , , , ,
,,
( 1)
m
nn
m q n p n p q q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
(2.19)
Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.19) ta đổi chỉ số
1
qq
, đối với số hạng
thứ hai và thứ tư của (2.19) ta đổi chỉ số
1
,
qq
qq
m
C I dt a a b b b
tL
''
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
''
2
2
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
2
2
t t q A t dt
mc
''
2
2
, , , , , , , ,
,,
m q m q m q n p n p m q m q m q
n p q n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
(2.20)
Toán tử số hạt của điện tử:
2
2
;
1
q q q
t
N b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên ta có thể thay
qq
và
qq
Bỏ qua số hạng chứa
qq
t
bb
n q m
nt
m
C I dt n t N n t N
tL
'
2
''
2
2 2 2 1 1
,,
,,
i
( ) 1 ( ) exp ( )
t
n p q q n p q
n p q n p q
e
t
ie
n t N n t N t t q A t dt
mc
''
2
2 2 2 1 1
,,
,,
i
( ) 1 ( ) exp ( )
t
q n p q n p q
n p q n p q
(2.21)
Ta xét thế véc tơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện từ : Sóng
điện từ mạnh biến điệu
1
()Et
và sóng điện từ yếu
2
()Et
.
1 2 2 2
1
sin sin sin
ls
At
e e E t
ct
trong đó
1 2 1
là hằng số trong tích phân này và có thể đưa ra
ngoài tích phân.
Ta kí hiệu
01 1 01 1 01
os( ) os( ) ( )E c t E c E
.
22
Khi đó:
01 02
12
12
()
( ) os os
E c E c
A t c t c t
Áp dụng khai triển:
exp izsin ( )
in
01 02
1 2 1 2 2 2
22
e 1 e 2
ie ( )
exp sin sin sin sin
mm
q E ieq E
t t t t
01 01
1 2 1
22
,
e 1 e 1
02 02
2 2 1
Đặt:
01 01
1
1
22
e 1 e 1
e ( ) e os( )
()
mm
E E c
a
và
02
2
c
k f t k t t
Thay vào biểu thức (2.21) ta được:
'
2
2
,
,'
2
,
,,
()
1
x
np
J a q J a q J a q J a q k f t
'
2 2 2
,
,
( ) ( ) 1 x
t
n p q q
n p q
dt n t N n t N
'
22
,
,
( ) 1 ( ) x
n p q q
n p q
n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k t t
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k t t
mq
n q m
nt
m
CI
tL
1 1 2 2
12
, , ,
( ) ( ) exp i s-l
l s k f
l s k f
J a q J a q J a q J a q k f t
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
'
22
,
,
( ) 1 ( ) x
n p q q
n p q
'
22
,
,
( ) ( ) 1 x
q n p q
n p q
n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
(2.23)
Biểu thức (2.23) là phương trình động lượng tử trong hố lượng tử trong trường hợp
,
()
n p q
n p q
n t n
Đặt:
u l s l u s
với
:u r f k f k r
với
:r
Tích phân hai vế của phương trình (2.23) và chú ý tới các tích phân sau:
1 ' 1 2 2 2
i
exp
,
,
i
s k i
12
2 1 2
12
-iexp i s-l
exp i s-l
s-l
t
k f t
K k f t dt
kf
1 1 2 2
, , ,
s u s k r k
u s k r
J a q J a q J a q J a q
'
'
,,
12
1 2 1 2
,
,
''
''
, , , ,
1 2 1 2
,,
,,
11
n p q n p n p n p q
q q q q
n p q n p q
n p q n p q
n N n N n N n N
s k i s k i
'
'
(2.24)
2.2 Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử
khi có mặt trƣờng bức xạ Laser.
25
Vì điện tử bị giam cầm dọc theo trục z trong hố lượng tử nên ta chỉ xét vectơ
dòng hạt tải trong mặt phẳng (x,y) là
Jt
2
, , ,
, , ,
( ) ( ) ( )
n p n p n p
n p n p n p
e e e
e e e e
J t p A t n t A t n t p n t
m c m c m
(2.25)
Nồng độ hạt tải trong hố lượng tử là:
0
,
,
()
np
np
n n t
Xét số hạng cuối của (2.25):
'
'
''
''
, , , ,
1 2 1 2
,,
,,
1 2 1 2
,,
,,
11
n p n p q n p n p q
q q q q
n p q n p q
n p q n p q
n N n N n N n N
s k i s k i
(2.26)
np
n n p q m
ee
u r t
e e m
p n t C I p
m m L u r
'
'
,,
1 1 2 2
12
,
,
1
n p q n p
qq
s u s k r k
Copyright: Tài liệu đại học ©