BÁN DẪN THẤP CHIỀU - PHẦN 2
HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BỞI ĐIỆN TỬ GIAM
CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
Bán dẫn siêu mạng (superlattice) là vật liệu bán dẫn có cấu trúc tuần hoàn nhân
tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp
nhau. Bán dẫn siêu mạng được chế tạo từ một lớp mỏng bán dẫn có độ dày d
A
ký hiệu
là A, độ rộng vùng cấm hẹp
A
g
ε
(ví dụ GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ
dày d
B
ký hiệu là B có độ rộng vùng cấm rộng
B
g
ε
(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này đặt
xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên),
khoảng cách giữa hai lớp bán dẫn liên tiếp d = d
A
+ d
B
gọi là chu kỳ siêu mạng. Trong
thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp nhau dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế
đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn. Khi đó, điện tử có thể
xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang bán dẫn có
vùng cấm hẹp khác. Do đó điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của
tinh thể nó còn chịu thêm ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này được hình thành

,
n
n k n k q q
n k q
e
H k A t a a b b
c
ε ω
⊥
⊥ ⊥
⊥
+ +
 
= − +
 ÷
 
∑ ∑
r r r r
r r
r ur
h
h

( )
( )
, '
', ,
, ',
n n z
q n k q n k q q

là hằng số tương tác điện tử-phonon, phụ thuộc vào loại cơ chế tán xạ.
Trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang, biểu thức tổng quát của
q
C
r
có dạng:

( )
2
2
0
2 2
0 0
0
21 1 1
q
z
e
C
V
q q
π ω
χ χ
ε
∞
⊥
 
= −
 ÷
+

, 'n n z
I q
là
thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần, có dạng:

( ) ( ) ( ) ( )
, ' ' z
0
exp iq
d
N
n n z n n
I q z z z dz
ψ ψ
∗
=
∫
, (2.5)
với
( )
n
z
ψ
là hàm sóng của trạng thái thứ n trong hố thế; d là chu kỳ siêu mạng; N
d
là
số chu kỳ siêu mạng hợp phần. Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần
có dạng:

( )

D
r
ta được biểu thức Hamiltonian tương tác của hệ
điện tử-phonon âm trong siêu mạng hợp phần.
Trường hợp có mặt từ trường ngoài
Khi có mặt trường bức xạ laser
0
sinE E t= Ω
ur ur
đặt vuông góc với trục siêu mạng và
từ trường
B
ur
đặt song song với trục siêu mạng thì Hamiltonian của hệ điện tử phonon -
quang tương tác trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai có thể viết:

( )
, 0
, , , ,
, ,
H
n N
B n N k n N k q q
n N k q
e
H k A t a a b b
c
ε ω
⊥
⊥ ⊥

+ +
∑ ∑
r r r r r r
r r
(2.7)
ở đây (n, N,
k
⊥
r
) và (n', N’,
k
⊥
r
+
q
⊥
r
) là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
, ,n N k
a
⊥
+
r
và
, ,n N k
a
⊥
r
là các toán tử sinh hủy điện tử ở trạng thái (n, N,
k

(2.8)
B
eB
m c
∗
Ω =
là tần số cyclotron. Biểu thức
( )
, 'N N
J u
có dạng:

( )
( ) ( )
2 2 2
, ' '
iq r
N N N c c N c
J u e dr r a k a q r a k
ϕ ϕ
⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥
∞
−∞
= − − −
∫
r r

⊥ ⊥ ⊥
+
=
r r r
:

, ,
,
, ,
,
n k n k
n k
t
n k n k
t
a a
n
i i a a H
t t
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
+
+
∂
∂
 
= =
 
∂ ∂

2
, , ', ,
,
'
, cos 0
2 2
n
n
n k n k n k n k
n k
n e
a a k d k A t a a
m L m c
π
⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
+ +
∗ ∗
 
 
 
− ∆ + − =
 
 ÷
 
 ÷
 
 
 

( )
( )
( )
, '
, ,
',
, '
', ,
, ',
,
n n z z
n k n k q q q q
q n k
n n
n k q n k
n n k
a a C I q a a b b C I q
⊥ ⊥
⊥
⊥
+ + +
−
+
⊥ ⊥
 
+ = ×
 
 
 
∑ ∑ ∑

n k n k q q n k q n k q
C I F F F
⊥
 
∗ ∗
 
+ − −
+
⊥
⊥ ⊥
−
+ − − −
 
⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 
=
∑
r
r
r r r r
r r r r
r r r r r r r r
Trong đó,
( )
, , ,
n ,k ,n ,k ,q
1 2
1 2

n k n k
F t
i
k d k d
t
ε ε ω
∂

= − − ∆ − −

∂

P P
r r r
r r
h
h

( )
( ) ( )
( )
1
1 2
,
1 3
, , , ,
1 2
1 2
,
3

r
r r ur
h
h

( )
2 3
1 3
1 2
1 1 1
,
, ,
n n
n k n k q q q q
t
I a a b b b
+ +
− −

− +


r r r r r r
(2.13)
Giải (2.13) bằng phương pháp biến thiên hằng số và sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
( )
, , , ,
1 2
1 2
ln 0



∑
r r r r r r r
r
r r r
h
( )
( )
(
1 2
2 3
2
1 3 1 2
1 2 1
1 1 1
2
,
, , , ,
exp cos cos
n n
n n n
n k n k q q q q n k n k
t
i
I a a b b b k d k d
ε ε
+ +
− −


h
(2.14)
Từ đây, chúng tôi nhận được:

( )
( )
2
2
0 0
,
, '
2 2 2
,
',
eE eE
exp '
t
n k t
n n l s
q
l s
n q
n
q qi
C I J J i s l dt
t m m
⊥
⊥
∞
⊥ ⊥

⊥ ⊥
⊥
+

× − − ∆ −


r r r
P P
h)
( ) ( ) ( )
( )
0
, ',
' ' ' 1
n k q n k q q
l i t t n t N n t N
ω δ
⊥ ⊥
⊥
+
 

− − Ω + − − +

 
 


( ) ( )
( )
( )
(
, ', , ',
' ' 1 ' exp
n k q n k q q n k n k q
i
t t n t N n t N
ε ε
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥ ⊥
+ −

 
× − + − − −

 
 

r r r r r r r r
h( )
)
( ) ( )
n n'
0

n t N c d c d
ε ε
⊥ ⊥ ⊥
⊥
−

− + − − − ∆ −


r r r r r
P P
h

)
( ) ( )
( )
( )
}
0
', ,
' ' 1 '
n k q q n k q
l i t t n t N n t N
ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
 

+ − Ω + − + −

( ) ( )
0 0
2
2
, '
2 2 2
,
,
, '
1
exp
q
n n k l k
n k
k l
q n
eE q eE q
n t I C J J ik t
m m l
⊥ ⊥
⊥
+∞
+
∗ ∗
=−∞
   
= − − Ω
 ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω Ω

−

− +

× −

− − ∆ − − − Ω +


r r r
r r
r r r
P P
h h h

( )
( )
, ',
n' n
0
', ,
1
osk osk
n k n k q
q q
n
n k q n k
n N n N
c d c d l i
ε ε ω δ

ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
+
⊥ ⊥
⊥
− +
+
− − ∆ − − − Ω +
r
r r r
P P
r
r r r
h h h( )
( )
n n'
0
, ',
', ,
1
osk osk
q
n
n k n k q
q

(
q q
N N
⊥
≡
r r
) là hàm phân bố cân bằng điện tử (phonon). Phương trình
(2.17) là biểu thức giải tích hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng
hợp phần. Phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử-phonon
quang). Tiếp theo, từ biểu thức (2.17), chúng tôi thiết lập công thức tính hệ số hấp thụ
sóng điện từ mạnh trong siêu mạng hợp phần.
Tương tác điện tử-phonon âm
Để xây dựng phương trình động lượng tử và hàm phân bố điện tử không cân
bằng cho điện tử cho trường hợp tương tác điện tử-phonon âm, chúng tôi thay
q
C
r

trong biểu thức (2.15) và (2.17) bằng
q
D
r
. Với cách làm tương tự như trường hợp
tương tác điện tử-phonon quang, chúng tôi tìm được hàm phân bố không cân bằng
điện tử cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon âm như sau:

( ) ( )
0 0
2

uur
ur r ur r
h
h
h( )
( )
, ',
n' n
', ,
1
osk osk
n k n k q
q q
n
n k q n k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
⊥ ⊥
⊥
+

− +


+
+ −
−
− − ∆ − − − Ω +
r r r
r r
r r r r
P P
h h h

( )
( )
n n'
, ',
,
',
1
osk osk
q q
n
n k n k q q
n k
n k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
⊥ ⊥
⊥
−
⊥

−
−
⊥ ⊥
⊥

+ −

+

− − ∆ − + − Ω +


r r
r r r r
P P
r r r
h h h
(2.18)
Phương trình (2.18) là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử - phonon
âm), và được chúng tôi tính ở phần tiếp theo của chương này.
Trường hợp có mặt từ trường ngoài
Tương tự như trường hợp vắng mặt từ trường, khi xây dựng phương trình động
lượng tử, chúng tôi sử dụng phương trình động lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt
(hàm phân bố điện tử)
, , , , , ,n N k n N k n N k
t
n a a
⊥ ⊥ ⊥
+

r
r r ur
h h
(2.19)
Số hạng thứ nhất,
( )
2
2 2 2 2
2
, , , , ', ', , ,
, ,
'
cos , 0
2 2
n
n
n N k n N k n N k n N k
n N k
n e
k d k A t a a a a
m L m c
π
⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
+ +
∗ ∗
 
 
 

∑
r r r r
r
h
(2.21)
Số hạng thứ ba:
( )
( )
, '
, , , , ', ', , ,
, , ', ,
,
n n z
n N k n N k q n N k q n N k q q
q n N n N k
a a C I q a a b b
⊥ ⊥ ⊥ ⊥
⊥
+ + +
+ −
 
+
 
 
∑ ∑
r r r r r r r r
r r

( ) ( ) ( )
, '

⊥
⊥ ⊥

−


r r r r
(2.22)
Trong đó,
( )
, , , , ,
1 1 2 2
, , , , ,
1 2
1 1 2 2
1 2
t
n N k n N k q q
n N k n N k
F t a a b
+
=
r r r r
r r
. Thay các số hạng tính
được vào (2.19), ta được phương trình:

( )
( )
1 2


( )
( ) ( )
1
1
1 2
, , ,
, ,
1 1 3 3
3 3
1
1
, , , , ,
1 1 2 2
, ,
1 2
3 3
q
n N n N
n N k q
n N k n N k
n N q
e i
k k A t F t C I a
m c
+
∗
+



1 3
1 1 1
1 2
t
n n
n k n k q q q q
I a a b b b
+ +
− −

 
− +
 ÷

 

r r r r r r
(2.23)
Giải (2.23) bằng phương pháp biến thiên hằng số và sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
( )
, , , , ,
1 1 2 2
1 2
ln 0
n N k n N k q
F −∞ =
r r r
, thu được kết quả:

( )


∑
r r r r
r r r
r r
r
h

2
, , ,
, , , ,
2 2 3 3 , , , ,
2
1 1 3 3
1 1 2 2
1 1 1
1 2
1
exp
H
q
t
H
n N n N
n N k n N k q q q
n N k n N k
i
I a a b b b
ε ε
+ +

n
t
t
ie
k d k d t t k k A t dt dt
m c
ω
∗



−∆ − − − − −



∫
P P
r r ur
h
(2.24)
Sử dụng: tính chất giao hoán tử của các toán tử sinh hủy điện tử (phonon),
phương pháp biến thiên hằng số và điều kiện đoạn nhiệt, tính chất của hàm Bessel
trong toán học. Chúng tôi thiết lập được phương trình động lượng tử cho điện tử trong
siêu mạng hợp phần khi có từ trường ngoài như sau:

( )
2
2 2
0 0
, ,

ur r ur r
h( ) ( ) ( )
( )
{
, , ', ',
exp ' ' ' 1
t
n N k q n N k q q
il dt n t N n t N
⊥ ⊥
⊥
+
−∞
 
× − Ω − +
 
 
∫
r r r r r
h( )
0
', , , ,
exp '
H H

⊥


+ + −




r r
r r r( )
0
, ,
', ',
exp '
H H
n N k
n N k q
i
l i t t
ε ε ω δ
+
⊥
⊥
⊥
 
 
 

0
, , ', ',
exp '
H H
n N k n N k q
i
l i t t
ε ε ω δ
−
⊥ ⊥
⊥
 
 
 
 ÷
× − − − Ω + −
 ÷
 
 
 
r r r
h h h
h( )
( )
( )
', ', , ,
' 1 '

 
 
 
r r r
h h h
h
(2.25)
Giải phương trình (2.25) bằng phương pháp gần đúng lặp liên tiếp, chúng tôi tìm được
nghiệm của phương trình này như sau:
( ) ( ) ( )
0 0
2
2 2
, ' , '
2 2 2
, ,
,
, '
1
exp
q
n n N N k l k
n N k
k l
q n
eE q eE q
n t I C J u J J il t
m m l
⊥ ⊥
⊥

n
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
+
⊥ ⊥
⊥
+
⊥ ⊥
⊥

− +

× −

− − ∆ − − − Ω +


r r r
r r r
r r
P P
h h h

( )
( )
, , ', ,
', , , ,
n' n
0

, ,
, ,
', ,
1
osk osk
q q
H H
n
n N k q
n N k
n N k
n N k q
n N n N
c d c d k i
ε ε ω δ
−
⊥
⊥
⊥
−
⊥
⊥
⊥
− +
+
− − ∆ − − − Ω +
r r
P P
r r
r


+

− − ∆ − + − Ω +



r r
P P
r r r
r r r
h h h
(2.26)
Biểu thức (2.26) là hàm phân bố điện tử không cân bằng khi hệ đặt trong từ
trường. Biểu thức này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần khi có từ trường.
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần.
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh được xác định bởi công thức:

( )
0
2
0
8
sin
t
J t E t
c E
π

ur r ur ur r
h h
h
(2.28)

( ) ( ) ( )
0
0
sin dt= os
E c
A t E c t c t= − Ω Ω
Ω
∫
ur
ur ur
(2.29)
Đặt
0
,
,
n k
n k
n n
⊥
⊥
=
∑
r
r
là mật độ điện tử trong siêu mạng hợp phần, biểu thức vector mật độ

Trường hợp vắng mặt từ trường ngoài, tán xạ điện tử-phonon quang
Đặt (2.30) vào (2.27), ta được:
( )
0 0
2
0
0
,
2
,
0
os
8
sin sin
n k
n k
t
t
e n E c t
e
E t k n E t
m m
c E
π
α
χ
⊥
⊥
⊥
∗ ∗

0
2
0
os
sin sin os 0
T
t
e n E c t
e n E
E t tc t dt
m m
∗ ∗
Ω
− Ω = Ω Ω =
Ω Ω
∫
ur
ur
ur
(2.32)
Để tính số hạng thứ hai của (2.31), trước tiên ta tính tổng sau:

( )
0 0
2 2
,
,
, ,
sin
s s l


( )
{
0 0
', ,
2 2
',
1
n k n k q
s s l
q q n k q
eE q eE q
J J n N n N
m m
δ ε
⊥ ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥ ⊥
+
−
∗ ∗
+
   
 

+ + − −
 ÷  ÷


r r r
P P
h h( )
]
'
0
', ,
osk osk
n n
n
n k q n k
c d c d l
δ ε ε ω
⊥ ⊥
⊥
+

× − − ∆ − − − Ω

r r r
P P
h h
(2.33)
Đổi biến,
k k q
⊥ ⊥
⊥

c E
π
α
χ χ
ε χ
⊥
⊥
∞
=
∞
∞
+
⊥ ⊥
⊥
 
 
Ω
= − −
 ÷
 ÷
 
 
∑ ∑ ∑
r r
r r r( )
n' n
0 0 0

d, độ rộng mini vùng
n
∆
. Tiếp theo, chúng tôi xét hai trường hợp hấp thụ giới hạn, hấp
thụ gần ngưỡng và hấp thụ xa ngưỡng sóng điện từ.
Hấp thụ gần ngưỡng
Trường hợp này, phải thỏa mãn điều kiện:
0
k
ω ε
Ω − =h h
(
ε
là năng lượng
trung bình của điện tử tự do trong chuyển động nhiệt). Xét trường hợp hấp thụ một
photon:

3 2 2
2
, ' 1
2
2
1
, ',
0
0
32 1 1
B k
n n
k

1 1
2 exp exp cos
2
2
2
n
B n
B B
mn m A n
A m k T p d
k T k T m L
q
q
π
π
⊥
⊥
∗
∗
∗
 
 
 
= − − −∆
 ÷
 
 ÷
 ÷
 
 

'
2 0
2
'
cos cos
2 2
n n
n
n n
q
A k d k d
m L m
π
ω
⊥
∗ ∗
−
= + + − Ω − ∆ −
P P
h
h
h
(2.37)
Chỉ xét trong gần đúng bậc hai của hàm Bessel, ta được:
2 4
3 2
2
0 0
2 4
, '

 ÷  ÷
 ÷
Ω Ω
 
 
   
 
∑∑
r
ur r ur r( )
2 2 2 2
0 2
2
2 2 2
3
1 1 1
2 exp exp cos
2 2
2
n
B n
B B
mn m A n
m k T k d
q k T q k T m L
q
π

B
k T
ω ω ω
 
 
× − −Ω + →−
 
 ÷
 
 
h
(2.38)
Thực hiện các phép chuyển tổng thành tích phân

( )
( )
2
2
0
1

2
q
d q dq
π
ϕ
π
⊥ ⊥
⊥
∞

Biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ được viết lại:

( )
( )
2
2 2 2 2
4
2
0
, '
2
3 4
, ', ,
0
'
1 1 1
exp
2
B
n n
n n k q
B
n n
e n k T
I
k T m L
c
π
π
α

1
osk osk 1 exp
n
B
c d c d
k T
ω
 
 

−∆ − − Ω −
 
 ÷

 
 
P P
h

)
{
2 2
2 2 2
0
2 2 4
31 1
exp cos 1 1
2 8 2
n
B

2
'
osk osk
2
n
n n
c d c d
m L
π
ω ω ω
∗
 
−
 ÷
× + −Ω −∆ − + →−
 ÷
 
P P
h
h
(2.41)
Biểu thức (2.41) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ gần ngưỡng.
Hấp thụ xa ngưỡng
Trường hợp này, phải thỏa mãn điều kiện sau:
0
k
ω ε
Ω −h h ?
, xét trường hợp

 
 
 
P
r r
r
h h
(2.42)
Với
0
'
'
n k
n k
n n
⊥
⊥
=
∑
r
r
, ta được:

3 2
2
2
0
, '
2
1




 

∑ ∑
r

{
2
2 2 2 2
'
2
2
', ,
' 1
cos
2 2
n
n
n k q n k
q n
k d
m m L
q
π
δ ε ε
⊥ ⊥
⊥
⊥

osk osk
n
c d c d k
ω

−∆ − − − Ω

P P
h h
(2.43)
Sau một số phép biến đổi toán học, ta được:
( )
( )
2 2 2
2 2
2
0
0
, '
2 2
2 3
, ',
0
0
'
2
4 1 1 2
z
B n
n n

∑
h h
h( )
( )
2 2 2
1/2
n n' n
0
2
1
osk osk 1 exp osk
2
n
B
n
c d c d c d
k T m L
π
ω
∗
 


 

× − − − + Ω− − ∆
 

e E m
c d c d
m L
π
ω
∗
∗
∗
 

−
Ω −

∆
 

× + + − −
 

Ω


 

 
P P
h h
(2.44)
Biểu thức (2.44) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ xa ngưỡng.

exp 2
1 ax exp
4
bc
b
x cx dx
x c
π
∞
−
 
+ − − =
 ÷
 
∫( ) ( )
1 2 1 4 3 3
4
a
bc bc bc
c bc
 
× + + + +
 
 

(2.45)
thu được biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ, trường hợp tán xạ điện

π
ξ
α
χ υ ρ
∗
∗
∞
 
 
−
 
 ÷
= − − ∆ −
 ÷
Ω
 
 
 
∑
P P
r
h
h( )
( )
2 2
2
2

n' n
2
'
osk osk
2
n
n n
c d c d
m L
π
β
∗
−
= + Ω − ∆ −
P P
h
h
(2.47)
Biểu thức (2.46) là công thức tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp hấp thụ xa ngưỡng. Biểu
thức (2.46), có thể tách thành hai phần, một phần tuyến tính và một phần phi tuyến
theo cường độ E
0
của sóng điện từ. Biểu thức (2.46) cũng cho thấy, hệ số hấp thụ sóng
điện từ trong siêu mạng hợp phần ngoài việc phụ thuộc vào cường độ điện trường E
0
,
nhiệt độ T của hệ, tần số
Ω
của sóng điện từ, thì hệ số hấp thụ còn phụ thuộc vào các

n N k
e k T
I J n n
c E
π
α
χ χ
χ
⊥
⊥
∞
=
∞
∞
+
⊥
⊥
⊥
 
Ω
 
= − −
 ÷
 
 
 
∑ ∑ ∑
r r
r r
r

B
n N k
k
n n
k T
ε
⊥
⊥
 
 ÷
= −
 ÷
 
r
r
Ta có:
( )
( )
1 1
2
2 2
2
1 1
2 2
1

2
2
m m
B


0 0
2 4
2 4
2
2
2 2
1
1 1
2 2 2 2 2 2
k
k
eE q eE q
kJ
m m
λ λ λ
⊥ ⊥
∗ ∗
=
   
     
= + = +
 ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω Ω Ω Ω
     
   
∑
ur r ur r

e k T n
I J
x x m m
c x E
π
α
∞
∗ ∗
=
∞
∞
⊥ ⊥
⊥
 
   
Ω
 
= − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
 
Ω Ω
   
 
∑ ∑ ∑
r r
ur r ur r
2
2
1 1 1 1 1

 

P
h h
r

}
( )
( )
( )
'
0
cos ' cos cos
n n n
n B n
k d N N k d k d
δ ω

−∆ − Ω − ∆ − + − Ω

P P P
h h
(2.51)
Lại có:
( )
( )
2
2
0
1

0
32
1 1 1
( )
2
2 2
z
B B B
n n
q
n n N N
e k T n
m
I d dq
x x
c x E
π
π
α ϕ
π
π
⊥
∞
∗
∞
∞
−∞
 
Ω
Ω

   
 
 
ur r ur r
r
(2.53)
Với,
1 1 1 1
exp cos exp '
2 2
n
B n B
B B
A N k d N
k T k T

 

  

   
= Ω + − ∆ − Ω +

  ÷   ÷

  
   
  



2 2 2
0 0 0
1 2
cos
2 2
N N N N
c
eE q eE q
d dq J u d J u du
m m a
q
π π
ϕ ϕ ϕ
⊥ ⊥
⊥
⊥
∞ ∞
∗ ∗
−∞
   
=
 ÷  ÷
 ÷  ÷
Ω Ω
   
∫ ∫ ∫ ∫
ur r ur r
r
Sử dụng tính trực giao của đa thức Laguerre suy rộng và áp dụng công thức (*). Sau
một vài biến đổi nhỏ, biểu thức hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử

'
1 1 1 1
exp (( ) cos ) e xp (( ' ) cos )
2 2
n n
B n B n
B B
N k d N k d
k T k T


   
 
× − + Ω − ∆ − − + Ω − ∆
 
   

   



P P
h h( )
( )
( )
'
0

4
z
o B B
n n
cc
q n n N N
e n k T e E
I
x x
m a
c x a
α
π ε
∞
∞
 
Ω
= − +
 
Ω
Ω
 
∑
h
'
1 1 1 1
exp (( ) cos ) exp (( ' ) cos )
2 2
n n
B n B n

−
×
 
− Ω − + Ω − ∆ − +
 
P P
h
h h h h
(2.55)
ở đây,

2
1
2
2 2
2
2
0 0 1 1
1
0
1 1 2
1
2 3
N d
a
N e N d N d
A e
a a
ω
χ χ

Biểu thức (2.55) là công thức xác định hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh bởi điện tử
giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Kết quả này cho thấy: khi cường độ điện trường
mạnh thì hệ số hấp thụ sóng điện từ không phụ thuộc vào nhiệt độ.
Tính toán số, vẽ đồ thị và thảo luận kết quả
Trong phần tiếp theo, chúng tôi thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý
thuyết hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh cho siêu mạng hợp phần GaAs-
Al
0.3
Ga
0.7
As. Các tham số được sử dụng để tính toán như sau:
χ
∞
= 10:9;
0
χ
= 12:9; n
0
= 10
23
m
-3
;
9
0
10
36
ε
π
−

, e
0
= 1.6.10
-19
C, E
0
= 3.5.10
14
V/cm.
34
1.054599 10 .J s
−
= ×h
;
Ω
= 2.10
14
s
-1
.
Trường hợp vắng mặt từ trường
Hình (2.1) và hình (2.2) biểu diễn sự phụ thuộc hệ số hấp thụ sóng điện từ vào
cường độ điện trường. Kết quả cho thấy, hệ số hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc mạnh
và phi tuyến vào cường độ E
0
của sóng điện từ. Khi cường độ điện trường tăng thì hệ
số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ giảm. Đối với trường hợp tán xạ điện tử-phonon
quang, hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ lớn hơn rất nhiều so với trường hợp tán
xạ điện tử-phonon âm.
Đồ thị hình (2.3) và (2.4), biểu diễn sự phụ thuộc phi tuyến của hệ số hấp thụ

Ωh
(hình 2.5) và năng lượng từ trường
ngoài
B
Ωh
(hình 2.6). Kết quả cho thấy, sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng điện từ
vào
Ω
h
và
B
Ωh

lớn hơn so với trường hợp hấp thụ tuyến tính.
Đồng thời, đồ thị cũng cho thấy hệ số hấp thụ sóng điện từ trong cả hai trường
hợp tuyến tính và phi tuyến đều xuất hiện cộng hưởng khi tần số sóng điện từ bằng tần
số của phonon quang
( )
ω
= Ω
và
( )
B
ω
= Ω
và các cực đại thứ cấp.

Hình 2.5. Sự phụ thuộc của
α
vào

theo mọi hướng trong vật liệu, nhưng ở siêu mạng hợp phần thì chuyển động tự do của
các điện tử trong hệ bị hạn chế (các điện tử chỉ chuyển động tự do trên mặt phẳng siêu
mạng, bị lượng tử theo trục siêu mạng). Đây chính là nguyên nhân dẫn đến sự khác
biệt của siêu mạng hợp phần với bán dẫn khối.
TS. Đỗ Mạnh Hùng-PTP GDCN