ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ ANH TRÚC
HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN
ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG)
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HÀ NỘI - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN


qua, để em có thể học tập và hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất.
Em cũng xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện của ban
chủ nhiệm khoa Vật Lí, phòng sau đại học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên –
Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã gúp đỡ em hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn các anh chị nghiên cứu sinh, các anh chị em trong
lớp cao học vật lý khóa học 2010 – 2012 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập
cũng như trong quá trình làm luận văn này.
Cuối cùng cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè đã luôn động
viên em và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
luận văn.
Hà Nội ngày tháng năm 2012
Tác giả Đỗ Thị Anh Trúc ii
MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i
MỤC LỤC ii
DANH MỤC HÌNH VẼ iv
MỞ ĐẦU 1

KẾT LUẬN 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
PHỤ LỤC 56

iv
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của

vào T trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 47
Hình 3.2. Sự phụ thuộc của


vào E
0
() trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 47
Hình 3.3. Sự phụ thuộc của


vào  trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 48
Hình 3.4. Sự phụ thuộc của

vào  trường hợp hấp thụ gần ngưỡng 48
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của

vào T trường hợp hấp thụ xa ngưỡng 49
Hình 3.6. Sự phụ thuộc của


tải chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc một chiều (hệ
một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều, 0D) [1-32].
Việc chuyển từ hệ bán dẫn khối sang các hệ bán dẫn thấp chiều trong đó có
siêu mạng đã làm thay đổi hàng loạt các tính chất vật lý cả định lượng lẫn tính mới
mẻ đặc thù của hệ thấp chiều.Với sự phát triển của vật lý chất rắn, công nghệ nuôi
cấy tinh thể Epytaxy chùm phân tử (MBE) [13,14, 20- 23] và kết tủa hơi kim loại
hữu cơ (MOCV) [32], cho phép tạo ra nhiều hệ các cấu trúc thấp chiều như: hố
lượng tử (quantum well), siêu mạng (superlattice), dây lượng tử (quantum wire),
chấm lượng tử (quantum dot). Trong số các vật liệu mới đó, các nhà vật lý đặc biệt
chú ý tới bán dẫn siêu mạng. Bán dẫn siêu mạng có nhiều ưu điểm là do có thể dễ
dàng điều chỉnh các tham số, từ đó có thể tạo ra các bán dẫn siêu mạng có đặc trưng
cấu trúc và các hiệu ứng đáp ứng những yêu cầu và mục đích sử dụng khác nhau.
Đối với siêu mạng hợp phần, khi có sự tác dụng của từ trường ngoài vào các hệ thấp
chiều, trong trường hợp từ trường vuông góc với trục của siêu mạng, phổ năng
lượng của điện tử trong trường hợp này trở nên gián đoạn hoàn toàn. Chính sự gián
đoạn hoàn toàn của phổ năng lượng một lần nữa lại ảnh hưởng lên các tính chất phi
tuyến của hệ.
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao
tần (lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý 2
trong đó có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần. Bài toán này đã được giải quyết vào những năm 80 của thế kỉ XX
đối với bán dẫn khối nhưng bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ. Bởi vậy
trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần có
tính toán cụ thể cho trường hợp tán xạ điện tử-phonon quang và khảo sát kết quả
thu được đối với siêu mạng hợp phần GaAs - Al


3
Chƣơng 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ
sóng điện từ trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp
thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo biên độ từ bởi điện tử giam cầm trong
siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ - điện tử phonon quang).
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho siêu mạng
hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
Trong đó chương 2 và chương 3 là hai chương chứa đựng những kết quả
chính của luận văn.
Luận văn này đã đưa ra được các phương trình động lượng tử cho điện tử và
hàm phân bố điện tử không cân bằng tổng quát trong siêu mạng hợp phần. Thiết lập
được công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ
điện tử-phonon quang). Thiết lập được công thức tính hệ số hấp thụ sóng điện từ
cho các trường hợp giới hạn (hấp thụ gần ngưỡng và hấp thụ xa ngưỡng sóng điện
từ). Từ biểu thức giải tích tôi tiến hành tính toán số, vẽ đồ thị sự phụ thuộc của hệ
số hấp thụ sóng điện từ cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As. Các kết
quả thu được cho thấy, hệ số hấp thụ sóng điện từ phụ thuộc phi tuyến vào các
thông số của hệ như nhiệt độ T, cường độ điện trường E
0


ký hiệu là B có vùng cấm rộng
B
g

(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô
hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn
tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các
lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó,
điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này
sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng
của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế phụ. Thế phụ này
được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của
hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất
nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản
phổ năng lượng của điện tử. Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện
tử chuẩn hai chiều. Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện
tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế
tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Từ sự tương
quan của đáy và đỉnh vùng cấm của bán dẫn tạo thành siêu mạng, ta có thể phân biệt
siêu mạng hợp phần làm hai loại.
Siêu mạng hợp phần loại I: được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng
cấm hoàn toàn bao nhau (Siêu mạng Al
x
Ga
1-x
As/GaAs gồm vài trăm lớp xen kẽ 5

có dạng như sau[16 - 17, 30]:

 
 
2 cos cos
n x y
k k d k d


    


(1.1)
Trong biểu thức (1.1),

là độ rộng của vùng mini; d=d
1
+d
2
là chu kỳ siêu mạng;
k
x
, k
y
là các véc tơ xung lượng của điện tử theo hai trục tọa độ x,y trong mặt phẳng
siêu mạng. Phổ năng lượng của mini vùng có dạng:

 
cos
n n n z

m d d U
d
dd
m d d U




   





(1.3)
Trong công thức (1.3), d
0
là độ rộng của hố thế biệt lập;
0 cv
U

   
là độ sâu
của hố thế biệt lập;
AB
c c c
  
  
là độ sâu của hố thế giam giữ điện tử được xác
định bởi cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B;

kk
k d k a k b k a k b
kk

 
 
 
1/2
2
1
1
2
sz
k m E k



;
   
 
1/2
2
1
2
sz
k m r k


    
là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng hai
bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của các
vùng dẫn
c


và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị
v


của hai lớp bán
dẫn kế tiếp. Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với
hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên
độ của thế mạng tinh thể [1]. Do đó, ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng
chỉ thể hiện ở các mép vùng năng lượng. Tại các mép của vùng năng lượng, quy
luật tán sắc có thể xem là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm thấy trong gần
đúng khối lượng hiệu dụng. Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy
biến, phương trình Schrodinger có dạng: 7

       
2
2
2
r r r E r
m
  



  



(1.5)
Trong đó, L
x
, L
y
là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N
d
là chu kỳ và
số chu kỳ siêu mạng hợp phần;
 
s
z

là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.2. Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong
bán dẫn khối.
1.2.1. Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối
Việc nghiên cứu hiệu ứng động của bán dẫn nói chung, cấu trúc hệ thấp chiều
nói riêng cho ta nhiều thông tin có giá trị về tính chất và các hiệu ứng của hệ điện tử
trong hệ bán dẫn thấp chiều. Một trong những hiệu ứng động được các nhà vật lý lý
thuyết cũng như thực nghiệm quan tâm nghiên cứu đó là độ dẫn cao tần của bán dẫn
và sự hấp thụ sóng điện từ trong các hệ vật liệu bán dẫn. Ngay từ những thập niên
cuối của thế kỷ trước, trên quan điểm cổ điển, dựa vào phương trình động học
Bolzmann, độ dẫn cao tần đã được quan tâm nghiên cứu rộng rãi[9, 12, 27-29].

hóa trị và chuyển dịch nội vùng[1-6, 10, 19, 24]. Sự hấp thụ do chuyển dịch trực
tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử vùng hoá trị hấp thụ một
photon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm và chuyển dịch lên vùng dẫn với
vector sóng
k

gần như không thay đổi (do vector sóng của photon coi là rất nhỏ).
Khi đó, tại vùng hoá trị xuất hiện vector sóng
k

. Sự hấp thụ này xảy ra đối với
những chất bán dẫn có khe vùng cấm như InSb, InAs, GaAs, GaSb. Hai loại hấp
thụ do chuyển dịch trực tiếp và gián tiếp của điện tử từ vùng hoá trị lên vùng dẫn có
thể được tính trực tiếp bằng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian[1-7, 19]. Tuy
nhiên, có thể sử dụng biểu thức của tensor độ dẫn điện để tính những chuyển dịch
loại này. Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của tensor độ dẫn
điện. Khi không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ qua các tương tác
khác, biểu thức phần thực độ dẫn điện có dạng giống như quy tắc Fermi:

 
2
,
Re
m
E
xx m n
mn
e
m H n E E
Z

thiên mạnh là sóng điện từ phẳng và sự truyền sóng điện từ này dọc theo trục (giả
thiết 0z) có cường độ sóng điện từ giảm dần. Đại lượng đặc trưng cho quá trình
giảm cường độ của sóng điện từ khi đi sâu vào trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ
sóng điện từ, ký hiệu
 
zz

, có dạng [1-7, 26-29, 30, 31]

   
4
Re
zz zz
cN

   





(1.7)
ở đây, N
*
là chiết suất tinh thể; c là vận tốc ánh sáng.
Khảo sát độ dẫn điện của vật liệu và hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh do
tương tác điện tử-phonon gây ra là một bài toán mang tính chất kinh điển nhưng rất
quan trọng vì đây là các hiệu ứng xảy ra khi các vật liệu bán dẫn có mặt trong các
linh kiện hoạt động. Dưới tác dụng của điện trường và từ trường, độ dẫn điện của
hạt dẫn cho ta nhiều thông tin về tính chất chuyển tải lượng tử. Sự chuyển dịch của

Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tổng quát về tính chất quang phi tuyến
(lý thuyết lượng tử) của bán dẫn khối. Trước hết, xây dựng phương trình động
lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ mạnh. Ta có
Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là [1-7, 26-29, 30,
31]:

phephe
HHHH


(1.8)

Với:
+









k
kk
e
aa)t(A
c
e
kH


là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
+
 
k


là năng lượng của điện tử.
+
,


kk
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
' ' , '
{ , } { , }=


     
k k k k k k
a a a a

;
''
[ , ]=[ , ] 0


   
k k k k

r n r

+
q
C

là hằng số tương tác điện tử - phonon quang, có biểu thức: 11

2
2
0
2
00
2
11
q
e
C
q

  








là thế vector của trường điện từ, được xác định bởi biểu thức:

 
   
0
1
sin  


d A t
Et
c dt


(1.10)

Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
 
 
0
,
k k q q q k q k q q
k q q k
e
H k A t a a b b C a a b b
c

   


t
nt
i i a a a a H
tt








   

(1.12)
Hay:

' ' ' '
' , '
()
, ' ( ) ( )
    





    



' ' ' '
''
1 ; ' ( ) ' ( ) ;
   

   

   
   


   


       

   

k k k k k k k k
t
kk
t
t
ee
st a a k A t a a k A t a a a a
cc


- Ta có


       

 

k k k k k k k k
t
k
t
e
st k A t a a a a
c
  
(1.14)
- Số hạng thứ hai:

2 ; 0






    


k k q q q
t
q
t
sh a a b b

; ( ) ( )
           
     



      


                             
         
k k k q k k k k q k k q k k k k k k q k q k k k q k k k k k
k k k k q k q k k k
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a



Vậy
  
' , ' ' , '
,'
3
  
  
  

            

q k k k k q k q k k k q q

q k k q q k q k q k q k q k k q q
q
C F t F t F t F t
(1.16)
Với
t
qkkqkk
baatF
2121

)(
,,

Vậy phương trình (1.13) trở thành:
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
     


   




         
    




                


(1.17)
Trong đó,
 
2 1 2
1
,,k k q k k k
t
F t a a b


     
. Tương tự như trên, thiết lập phương trình cho
 
2
1
,,k k q
Ft
  
và giải phương trình này thu được
 
2
1
,,k k q
Ft
  
. Thay



   
     
   

  
   





   
 
 
01
exp
i
k q k l i t t
   


      





      


  

   
 
 
01
exp
i
k k q l i t t
   

       


  

 
 
   
 

  


(1.18)
Với
 
0


 
eE q
m


;
 
0
E

,

là cường độ điện trường biến điệu và tần số của sóng
điện từ. Tham số dương vô cùng bé

đưa vào để đảm bảo giả thiết đoạn nhiệt. Sử
dụng phép gần đúng lặp liên tiếp:

 
1

14

 
k
nt


   
00
2
22
,
eE eE
1





   

   
   
  
   






     
   
     
    
   
 
   
00
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k k q k i k k q k i
       


   



           


     
   

     
1 1 2 2
1 ( )
sin sin

   




At
E t e e
ct
   

Với:
 
0
12
1 2 1 2
2 2 2
12
1
;;
22
         



e







  













e
E t e t e t t t
ee
t t t t
t
t
e
c
     
   

    


nên cos
 
t
biến đổi cực chậm so với
 
sin t
, do đó ta
có thể coi
 
os ct
như một hằng số khi
 
sin t
thay đổi hay lấy tích phân theo t.
Như vậy, để thuận tiện tính toán sau này, ta chuyển:
     
0 0 0
os os   


e c t e c E


=>
     
 
0

cE
A t c t





. Thay vµo (1.21), ta ®-îc:
 
 
 
2
00
os

  




 
k
k
e n E
e
J t c t kn t
mm


(1.22)

k q k
qq
ee
kn t C J J e k
m m l m m l
 
   
 
   
00
11
k q k k q k
q q q q
n N n N n N n N
k q k k i k k q k i
       


   



           


     
   

Sử dụng tính chất hàm Bessel,
       
1J x J x J x

  

   

Số hạng thứ nhất (1.23), đổi biến
qq

;
kk

, ta được: 16
   
 
   
00
2
22
,
0
1
eE eE



C J J e k
mm
k q k k i

   

(1.24)
Số hạng thứ hai, đổi biến
qq

;
kk

;
kk
, ta được:
   
 
   
00
2
22
,
0
1
eE eE



  

k q k k i

   
   
 
   
00
2
22
,
0
1
eE eE







   

   
   

     
   
  
  


,
0
1
eE eE



  



   
   
   

     
   
  
  



   

  
k q k
qq
il t
k k l
q

C e k J J
k q k k i
   







     
  
  




  

(1.27)

 
   
2
,
0
1
k k q
qq
il t

1
k q k
qq
il t
k k l
q
kl
qk
n N n N
C e kJ J
k q k k i
   






     
  
  




  

(1.29)

 




  

(1.30)
Chỉ xét phần thực hàm phức của mật độ dòng, thu được:

     
2
,
,
1
2 1 1 1
k k q
ll
k q q q
kl
k k q
ee
kn t C k n n N N
m m l





   
     
   

l
k k l k k l
q q q q
J J J J
m m m m
      
 
0
sink q k l l t
   

      

  


Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ bởi điện tử trong bán dẫn khối được viết dưới
dạng quen thuộc [1-7, 28, 29]:

   
 
   
00
22
0
00
8 8 1

1l 
, thì
   
00
1
sin sin os 1 os 1 0
2
TT
t l tdt c l t c l t dt            
   


Nếu
1l 
, thì
2
00
os2 1
sin
22
TT
c t T
tdt dt

  

, do đó trong tổng theo l thì chỉ l=1
mới có ý nghĩa. Biểu thức mật độ dòng được viết lại:

 

k q k
q
k
q
k
kq
e n E q
e
J t c t C k N n n J
m m m



   
   
 
00
1 1 0
22
eE eE
sin



   

       

   
   

 
kq
k q n




và
k
kn


nên chúng triệt tiêu nhau. Đổi biến
k q k
  
. Tiếp
theo, đổi
qq

, ta được:
 
 
 
 
2
2
00
11
1
,

   

      

  

(1.33) 18
Theo tính chất hàm Bessel:
     
11
2
k k k
k
J x J x J x
x


. Biểu thức hệ số hấp thụ
phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối viết lại:

 
 
 
 
 
2
2






  

 
k
q
qk
k
kq
eE q
k
C N qn J
m
c E m
q
m
  


   
0
k q k l
   

eE
32







     









 
  

k
q
qk
k
kq
q
C N n kJ k q k k
m



Suy ra:
 
 
   
3
0
2
0
0
22
2
1
,
0
00
eE
64
1 1 1









      

Biểu thức (1.36), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh trong bán dẫn khối xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang. Tiếp
theo, xét sự hấp thụ sóng điện từ cho hai trường hợp giới hạn gần ngưỡng và xa
ngưỡng sóng điện từ.
HÊp thô gÇn ng-ìng:
Đối với quá trình này, năng lượng của trường điện từ ngoài phải thỏa
mãn điều kiện:
0
l

  
(

là năng lượng trung bình chuyển động nhiệt của 19
electron), chỉ hạn chế hấp thụ một photon (k=1), coi hàm phân bố tương ứng là hàm
cân bằng, tức là:

2
0
exp
2
k
B
k
nn
mk T


,
ta được:

 
2
32
0
2
,
0
0
64
11
exp
2






  







B


eE q
J k q k k
mq

   
(1.37)
Với:
         
24
24
0 0 0
2
00
1
2 2 2 2 2
cos cos
2 2 2 2
    
     
   
   
     
   
     
    
   
     
     
eE q eE q eE q eE q eE q



  
   



   





B
qk
B
eE q
e n k T
k
mk T m
cE




 
   

2
10
,
cos exp
22
qk
B
k q qk
A
mk T m m
  




     






  

(1.39)
Áp dụng công thức giải tích:
cos cos cos sin sin cos
     

, ta được:

  

Đặt
osxc


, và sử dụng tính chất hàm Delta:
 
0
0
00
1
0 ;
b
a
khi a x b
x x dx
khi x a x b









Thu được: