Hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu
theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần (trường hợp tán xạ điện tử-
phonon âm)
Nguyễn Thị Loan
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
Luận văn Thạc sĩ ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán; Mã số: 60 44 01
Người hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
Năm bảo vệ: 2012
Abstract: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện từ
trong bán dẫn khối. Nghiên cứu phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của
hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam cầm trong
siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ phonon – âm): Hamiltonian tương tác của điện
tử - phonon trong siêu mạng hợp phần; phương trình động lượng tử cho điện tử trong
siêu mạng hợp phần; tính hệ số hgấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng
hợp phần GaAs - Al0.3Ga0.7As .
Keywords: Vật lý toán; Sóng điện từ; Tán xạ điện tử; Phonon âm
Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc chế tạo và nghiên cứu các tính chất của các vật liệu có
cấu trúc nano là vấn đề mang tính thời sự thu hút nhiều nhà khoa học hàng đầu trong nước và
quốc tế tham gia nghiên cứu. Trong đó, bán dẫn thấp chiều là một điểm nóng trong các nghiên
cứu hiện đại vì khả năng ứng dụng rộng rãi trong đời sống và trong khoa học kĩ thuật, tạo ra
các linh kiện hiện đại siêu nhỏ, đa năng, thông minh.
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao tần
(lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý trong đó có hấp
thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Bài toán
này đã được giải quyết vào những năm 80 của thế kỉ XX đối với bán dẫn khối nhưng bài toán
hấp thụ phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ. Bởi vậy trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết
hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu
mạng hợp phần có tính toán cụ thể cho trường hợp tán xạ phonon - âm và khảo sát kết quả thu
được đối với siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
2. Về phƣơng pháp nghiên cứu:
- Để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh trong siêu mạng hợp phần có thể
sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân
phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử…Trong luận văn này, chúng tôi sử
dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử để giải quyết. Đây là phương pháp
được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu quả cao[11,12,13,14,15].
Chƣơng 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số hấp thụ sóng điện
từ trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ phi
tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần
(trường hợp tán xạ phonon – âm).
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs - Al
0.3
Ga
0.7
As .
Siêu mạng hợp phần là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai
chiều, được cấu tạo từ một lớp mỏng bán dẫn với độ dày d
1
, ký hiệu là A, độ rộng vùng cấm
hẹp
A
g
(ví dụ như GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày d
2
ký hiệu là B có
vùng cấm rộng
B
g
(ví dụ AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu
mạng (hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới
dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần
hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển
từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử
ngoài việc chịu ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một thế
phụ. Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy vùng
dẫn của hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất
4
nhiu so vi hng s mng. S cú mt ca th siờu mng ó lm thay i c bn ph nng
lng ca in t. H in t trong siờu mng hp phn khi ú l khớ in t chun hai chiu.
Cỏc tớnh cht vt lý ca siờu mng c xỏc nh bi ph in t ca chỳng thụng qua vic
gii phng trỡnh Schodinger vi th nng bao gm th tun hon ca mng tinh th v th
ph tun hon trong siờu mng.
Ph nng lng ca mini vựng cú dng: cos
n n n z
k k d
(1.2)
n
là độ rộng của mini vùng thứ n, xác định bởi biểu thức: 2
2
00
0
2
2
0
00
exp 2 /
41
2/
n
AB
v v v
l sõu ca h th giam gi
l trng c xỏc nh bi hiu cỏc cc i ca cỏc khe nng lng gia hai bỏn dn A v B;
n l ch s mini vựng;
22
2
2
2
n
n
md
l cỏc mc nng lng trong h th bit lp [5,17,23].
5
22
12
1 2 1 2
12
cos cos sinh sin sinh
2
Từ đó ta có:
2 2 2 2 2
2
cos
22
n n z
kn
k k d
m m d
(1.4)
cv
r
r
có dạng hàm Block thỏa mãn
điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào thế. Hàm sóng tổng cộng của điện tử
trong mini vùng n của siêu mạng hợp phần (trong gần đúng liên kết mạnh) có dạng[15]:
1
1
exp exp
d
N
x y z s
m
xy
r i k x k y ik md z md
L L N
(1.5)
Trong đó, L
x
, L
(1.6)
6
Đại lượng đặc trưng cho quá trình giảm cường độ của sóng điện từ khi đi sâu vào
trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ sóng điện từ, ký hiệu
zz
, có dạng[1,6,19,22,23,25]
4
Re
zz zz
cN
(1.7)
Ở đây, N
*
(1.8)
Với:
+
k
kk
e
aa)t(A
c
e
kH
+
q
qqq
ph
bbH
,
kk
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
7
' ' , '
{ , } { , }=
k k k k k k
a a a a
;
''
[ , ]=[ , ] 0
k k k k
a a a a
+
,
qq
bb
s
q
C
V
(1.9)
+
()
e
k A t
c
là hàm năng lượng theo biến
()
(1.10)
Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong bán dẫn khối là:
,
k k q q q q k q k q q
k q q k
e
H k A t a a b b C a a b b
c
(1.11)
Để thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối, sử
dụng:
(1.12)
Hay:
' ' ' '
' , '
()
, ' ( ) ( )
1
il t
k k l
q
kl
q
qq
C J J e
m m l
q q q q
qq
n N n N n N n N
k k q k i k k q k i
(1.20)
Biểu thức (1.20) là hàm phân bố điện tử không cân bằng trong bán dẫn khối. Phương
trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối .
1.2.2: Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn
khối
2
2
(1.35)
Biểu thức (1.35), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
9
CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
,'
', ,
, ',
n n z
q n k q n k q q
q n n k
C I q a a b b
(2.1)
+
k
;
q
là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
+
k
nn
n p n p n k n k k k n k n k n k n k
a a a a a a a a
+
q
b
,
q
b
: Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái
q
.
' ' , ' ' '
; ; ; ; ; 0
(2.2)
10
22
0
12
1 2 1 1 2 2
2
( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( )
2
e
E t e t e t t t
00
22
1 2 1 2
2
[ sin( ) sin( )] sin( ) sin( )
22
ee
t t t t
Do: ∆Ω=|β
1
-β
2
| <<Ω nên cos(∆Ωt) biến đổi cực chậm so với sin(Ωt), do đó ta có thể coi
cos(∆Ωt) như một hằng số khi sin(Ωt) thay đổi hay lấy tích phân theo t. Như vậy, để thuận
tiện tính toán sau này, ta chuyển:
0
00
os( ) os( ) ( )e c t e c E
00
( ) ( ) os( )E t E c t
0
()
(2.4)
+
,'n n z
Iq
là thừa số dạng điện tử trong siêu mạng hợp phần[11,12], có dạng:
, ' ' z
0
exp iq
d
N
n n z n n
I q z z z dz
(2.5)
+ Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng :
22
n
//
osk
2
nk
t
n k n k
t
aa
n
i i a a H
tt
(2.7)
ở đây
t
là trung bình thống kê của toán tử
;
k d k d
t
13
, , , ,
32
12
1 1 1 1
12
12
3
1
12
,
,,
,
n k n k q
,
,,
nn
n k n k q q q q
t
I a a b b b
(2.10)
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
12
12
12
1 2 1 2
1 2 1 2
0
, , , ,
0
12
// //
, , , , , ,
()
(cos cos ) ( ) ( )
n k n k q
n p n p q
Ft
, ta dễ dàng tính được nghiệm của
phương trình thuần nhất trên có dạng:
12
1 2 1
1 2 1 2
2
0
// // 1 1
, , , , , ,
2
i
( ) exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q n k n k q
e
F t k d k d k k A t dt
mc
12
Suy ra:
1 2 1 2
1 2 1 2
12
12
0
, , , , , , , ,
0
, , , ,
( ) ( )
()
( ) ( )
n k n k q n k n k q
n k n k q
F t F t
Mt
i F t i M t i
t t t
(2.14)
Thay (2.13) vào (2.10), thay (2.13), (2.12) vào (2.14) và đồng nhất số hạng của (2.10)
q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
Mt
C I q a a b b b C I q a a b b b
t
12
12
12
1
// // 2 1 1
,,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k n k q
e
k d k d k k A t dt
mc
t
n n z n n z
q n k q n k q q q q n k n k q q q q
t
t
n q n q
M t C I q a a b b b C I q a a b b b
1
12
12
12
1
// // 2 2
1 4 2 3
1 2 1 2
1 2 2 4 2 1 3
1
1 1 1 1 1 1
2
2
43
11
,,
, , , , , , , ,
,,
i
( ) ( ) ( )
(2.16)
Thay (2.16) vào (2.7) ta được:
''
4
4
1 1 1 1
'
2
4
1
,
2
2
,,
,,
t
nk
zz
q q n k q q n k q q q
n n n n
t
nq
nq
nt
C I q dt C I q a a b b b
t
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
,
,
,
()
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
n n z z
q n k q q q q q n k q q n k q q q
n k q n n
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
'
2
'
// // 2 1 1
,
,
i
exp cos cos ( )
t
nn
n
n k q
n k q
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
, , ,
,,
,,
( ) ( )
n n z z
q n k q q q q q n k n k q q q q q
n k q n n
tt
n q n q
C I q a a b b b C I q a a b b b
''
3
43
4
1 1 1 1 1 1 1 1
22
43
11
,
, , ,
,,
,,
( ) ( )
t
ie
k d k d t t q A t dt
mc
(2.17)
q q q
t
N b b
1
q q q
t
N b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên
qq
và
qq
Bỏ qua số hạng chứa
qq
t
t
nk
z
q n k q q
n n n k q
nq
nt
C I q dt n t N n t N
t14
'
2
'
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) 1 ( ) *
i
*exp cos cos ( )
n k q q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) ( ) 1 *
i
*exp cos cos ( )
q n k q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
'
'
2
22
,
,
'
// // 2 1 1
,
,
( ) 1 ( ) *
i
*exp cos cos ( )
q n k q
n k q
t
nn
n
n k q
n k q
t
n t N n t N
ie
k d k d t t q A t dt
mc
(2.19)
Chú ý
22
1
12
1
12
0
1 1 1 1 2 2 1
* * 2
0
1 1 2 1
*2
0
1 2 1 2
11
*2
[ os( ) os( )]
2
[sin( ) sin( )]
2
os( )sin( )]
22
tt
tt
tt
tt
(2.20)
Đặt
12
1
||
2
. Với sóng điện từ có tần số biến điệu nhỏ so với tần số sóng tức là
12
1
( ( ))
2
, thì trong thời gian lấy tích phân là ngắn, có thể đưa gần đúng
2
os( ) os( ) os( )c t c t c
vào (2.20) ta thu được:
2
11
Từ đây, chúng tôi nhận được:
15
2
2
00
,
,'
2 2 2
,
',
eE eE
exp '
n
n k q n k q
i
c d c d l i
, ',
' ' ' 1
n k q n k q q
, ',
' ' 1 '
n k q n k q q
t t n t N n t N
n n'
// //
, ',
,
',
1
exp osk osk
' ' ' 1
n
n k n k q
q
q
n n'
// //
, ',
1
exp osk osk
n
n k n k q q
c d c d l i
', ,
' ' 1 '
00
2
2
,'
2 2 2
,
,
,'
1
exp
q
n n l l s
nk
ls
qn
eE q eE q
n t I C J J is t
m m s
16
', , ', ,
''
11
( ) ( ) ( ) ( )
n k q n k n k q n k
q q q q
nn
qq
nn
n N n N n N n N
k k q l i k k q l i
) là hàm phân bố cân bằng điện tử (phonon). Phương trình (2.24) là
biểu thức giải tích hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
Phương trình này là cơ sở để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam
cầm trong siêu mạng hợp phần ( trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm). Tiếp theo, từ biểu
thức (2.24), chúng tôi thiết lập công thức tính hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo
biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần.
2.3. Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam
cầm trong siêu mạng hợp phần.
Hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh được xác định bởi công thức:[11,21,22,25]
0
2
0
8
( )sin
t
J t E t
cE
(2.25)
Mật độ dòng hạt tải:
E c c E c
A t c t c t
(2.27)
Đặt
,
0
,
nk
nk
nn
là mật độ điện tử trong siêu mạng hợp phần, biểu thức vector mật độ dòng
được viết lại:
2
0
0
,
2
0
0
,
2
,
0
os
8
sin sin
nk
nk
t
t
e n E c t
e
E t k n E t
mm
cE
và sử dụng
1
i
x i x
ta thu
được phần thực của :
'
'
,,
22
*
,
,
1
,,
,
0 0 0
* 2 * 2 * 2
21
( ) sin( ) | | | ( ) |
( 1)
n k n k q
z
n k q
1
( ) ( )
nn
q
k q k l
,,
1
2
2
0
,'
*2
, ' 1
,
0
0 0 0
* 2 * 2 * 2
8
( ) | | ( )
()
( 1) ( ) ( )
n k n k q
n n z
q
n n l
kq
l l s l s
nn
q q q
e
E q C I q
c m E
eE q eE q eE q
J J J
(2.33)
Ta có
1
q
N
và
B
q
s
kT
N
q
4 ( )
()
()
( ) ( )
nk
B
n n z l
n n l
kq
s
n
q
n
k T eE q
I q J
m
cE
n k q k
2
2 3 6
, ',,
'
.
1
exp osk osk
2
B
n n n
n n q
B
s
nn
e m n k T
I c d c d
k T m L
c
(2.40)
Trong đó,
2 2 2 2
n' n
// //
2
'
osk osk
2
n
nn
c d c d
mL
As.
Các tham số được sử dụng để tính toán như sau:
= 10:9;
0
= 12:9; n
0
= 10
23
m
-3
;
19
9
0
10
36
, m = .067m
0
(m
0
là khối lượng hiệu dụng của điện tử); d=134
0
= 3.5.10
14
V/cm.
34
1.054599 10 .Js
;
= 2.10
14
s
-1
.
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của
vào T (tán xạ điện tử-phonon âm) Hình 3.2: Sự phụ thuộc của
vào năng lượng điện trường
(tán xạ điện tử-phonon âm)
20 Hình 3.3: Sự phụ thuộc của
As (trường hợp tán xạ điện
tử - phonon âm) và thu được kết quả như sau:
1.Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon, đã thiết lập được phương trình động
lượng tử cho điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần khi có mặt sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ. Bằng phương pháp gần đúng lặp đã thu được biểu thức phụ thuộc thời gian
của hàm phân bố không cân bằng của điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần.
2. Từ biểu thức hàm phân bố không cân bằng của điện tử đã xây dựng được biểu
thức giải tích cho hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện
tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần cho trường hợp tán xạ điện tử -phonon âm. Từ đó xây
dựng biểu thức hệ số hấp thụ trong trường hợp cụ thể “hấp thụ sóng điện từ gần
ngưỡng
q
s
”. Đã phân tích được sự phụ thuộc không tuyến tính của hệ số hấp
thụ vào cường độ sóng điện từ E
0
, tần số Ω và tần số biến điệu ∆Ω của sóng điện từ, nhiệt độ
T và vào cả thời gian.
3. Thực hiện tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần. Từ kết quả tính số
và vẽ đồ thị đã chỉ ra rằng:
-Hệ số hấp thụ giảm phi tuyến khi nhiệt độ tăng, đặc biệt giảm mạnh từ 250K tới
290K. Ngoài ra hệ số hấp thụ còn biến đổi tuần hoàn theo thời gian.
-Hệ số hấp thụ gần như không thay đổi khi biên độ sóng điện từ nhỏ, nhưng biến đổi
gần như tuần hoàn theo thời gian khi biên độ sóng điện từ lớn.
0.45
Ga
0.55
As superlattice”, Pramana Journal of Physics, Vol. 66, p. 455.
23
14. Ayhan Özmen, Yusuf Yakar, Bekir Çakýr, Ülfet Atav (2009), “Computation of
the oscillator strength and absorption coefficients for the intersub-band transitions of the
spherical quantum dot”, Opt. Communications. 282, p. 3999.
15. Blencowe M. and Skik A. (1996), “Acoustic conductivity of quantum wires”,
Phys. Rev. B 54, p. 13899.
16. Do Manh Hung, Nguyen Quang Bau, Hoang Dinh Trien, Nguyen Thi Nhan
(2008), “Calculations of The Nonlinear Absorption Coefficient of a Strong Electromagnetic
Wave by Confined Electrons in the Compositional Super- lattices”, VNU Journal of Science,
Mathematics Physics., No. 24, 1S, p. 236.
17. Epstein E. M. (1975), “Interaction of intensive electromagnetic wave on
electron properties of semiconductors”, Communications of HEE of USSR, ser. Radio
Physics, 18, p. 785.
18. I. Karabulut, and S. Baskoutas, (2008) “Linear and nonlinear optical
absorption coefficients and refractive index changes in spherical quantum dots: Effects of
impurities, electric field, size, and optical intensity”, J. Appl. Phys., Vol. 103, 073512.
19. Nguyen Quang Bau, Do Manh Hung and Dang The Hung “The Influence of
Confined Phonons and Electrons on the Absorption coefficient of a Weak Electromagnetic
Wave by Free Electrons in Quantum Wells”. In Osaka Univ. Asia Pacific-VNU, p. 259.
20. Nguyen Quang Bau, Nguyen The Toan, Chhoumm Navy, Nguyen Vu Nhan
(1995), “The influence of quantizing magnetic field on the absorption of a weak
electromagnetic wave by free electrons in semiconductor superlattices”, Proceed. Secon.
IWOMS-95, Hanoi, Vietnam, p. 207.
21. Nguyen Quang Bau, Nguyen The Toan, Chhoumm Navy, and Tran Cong
Phong (1996), “The theory of absorption of weak electro-magnetic wave by free electrons
Copyright: Tài liệu đại học ©