1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ LOAN

HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU
THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM) Hà Nội – 2012
3

Lời cảm ơn

Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS
Nguyễn Vũ Nhân. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong tổ vật lý lý
thuyết, các thầy cô trong khoa vật lý, ban chủ nhiệm khoa vật lý trường Đại
học khoa học tự nhiên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong thời
gian làm luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại
trường.
Đồng thời tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn tới các anh chị nghiên cứu
sinh, các bạn trong lớp cao hoc vật lý khóa 2010 -2012 đã đóng góp những ý
kiến quý báu và động viên tôi thực hiện luận văn này.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
gia đình tôi, những người thân yêu của tôi đã luôn động viên tạo điều kiện
tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong quá trình hoàn thành
luận văn này.

Hà nội, ngày 20/11/2012
Học viên

khối……………………………………………………………………….10
1.2.3: Biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ
bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối…………………………… 15
CHƢƠNG 2: PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC
GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HẤP THỤ PHI TUYẾN SÓNG ĐIỆN TỪ
MẠNH BIẾN ĐIỆU THEO BIÊN ĐỘ BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM
TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN
TỬ-PHONON ÂM)…………………………………………………….22
2.1: Hamiltonian tƣơng tác của điện tử - phonon trong siêu mạng hợp
phần………………………………………………………………………22

5

2.2: Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp
phần………………………………………………………………………24
2.3: Tính hệ số hgấp thụ sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi
điện tử giam cầm trong siêu mạng hợp phần………………………… 35
CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ BÀN LUẬN……………………….42
KẾT LUẬN ……………………………………………………………….46
Tài liệu tham khảo……………………………………………………… 48
Phụ lục …………………………………………………………………….51

: thời gian hồi phục xung lượng) tương tác với vật
liệu thì định luật bảo toàn xung lượng bị thay đổi do sự tham gia của photon
vào quá trình hấp thụ và phát xạ phonon (trong đối số của hàm Delta - Dirac
mô tả định luật bảo toàn khi


>>1, ngoài năng lượng electron, phonon còn
có cả đại lượng liên quan tới năng lượng photon
l
,
l
là số nguyên). Kết
quả là hàng loạt các hiệu ứng mới xuất hiện - hiệu ứng cao tần. Khi đó
electron có thể tương tác với phonon và gây ra các hiệu ứng có bản chất mới
khác hoàn toàn trường hợp không có sóng điện từ cao tần (khi không có đại
lượng liên quan tới năng lượng photon
l
vào đối số của hàm Delta -
Dirac).
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ
mạnh cao tần (lazer) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng
thì đáng chú ý trong đó có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử

7

giam cầm trong siêu mạng hợp phần. Bài toán này đã được giải quyết vào
những năm 80 của thế kỉ XX đối với bán dẫn khối nhưng bài toán hấp thụ
phi tuyến sóng điên từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần vẫn bị bỏ ngỏ. Bởi vậy trong luận văn này, chúng
tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu


 Phạm vi: Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh
biến điệu theo biên độ (trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm).
4. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu
tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương, 7 mục, 4 hình vẽ,
tổng cộng là 55 trang và 25 tài liệu tham khảo:
Chƣơng 1: Giới thiệu về siêu mạng hợp phần và bài toán về hệ số
hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ
số hấp thụ phi tuyến sóng điện mạnh biến điệu theo từ bởi điện tử giam cầm
trong siêu mạng hợp phần (trường hợp tán xạ phonon – âm).
Chƣơng 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs -
Al
0.3
Ga
0.7
As .
Các kết quả chính của luận văn được chứa đựng trong chương 2 và chương
3. Trong đó, trên cơ sở phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu
mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh theo biên độ với giả
thiết tán xạ điện tử - phonon âm là chủ yếu, đã thu được hàm phân bố không
cân bằng của điện tử và lấy nó là cơ sở tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng
điện từ mạnh biến điệu theo biên độ bởi điện tử giam cầm trong siêu mạng
hợp phần. Phân tích sự phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính của hệ số
hấp thụ vào cường độ điện trường E
0
và tần số

của sóng điện từ mạnh,
nhiệt độ T của hệ. Ngoài ra, với sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ,

AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng
(hướng vuông góc với các lớp trên). Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế
tiếp dưới dạng B/A/B/A…, và độ rộng rào thế đủ hẹp để các lớp mỏng kế
tiếp nhau như một hệ tuần hoàn bổ sung vào thế mạng tinh thể. Khi đó, điện
tử có thể xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp
này sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu
ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu ảnh hưởng của một
thế phụ. Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các
cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn siêu mạng, và cũng biến thiên tuần
hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng. Sự có mặt
của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng của điện tử. Hệ
điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều. Các
tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng
A
g

B
g


10

thông qua việc giải phương trình Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần
hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng. Từ sự tương
quan của đáy và đỉnh vùng cấm của bán dẫn tạo thành siêu mạng, ta có thể
phân biệt siêu mạng hợp phần làm ba loại.
Loại I: được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm
hoàn toàn bao nhau (Siêu mạng Al
x
Ga

tử của chúng thông qua việc giải phương trình Schrodinger với thế năng bao
gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng.
Bằng cách giải phương trình Schrodinger trong đó ta đưa vào thế tuần hoàn
một chiều có dạng hình chữ nhật ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng
của điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng như sau:

11

2 cos cos
n x y
k k d k d




(1.1)
Trong biu thc (1.1), l rng ca vựng mini; d=d
1
+d
2
l chu k
siờu mng; k
x
, k
y
l cỏc vộc t xung lng ca in t theo hai trc ta
x,y trong mt phng siờu mng. Ph nng lng ca mini vựng cú dng:

d
dd
m d d U









(1.3)
Trong cụng thc (1.3), d
0
l rng ca h th bit lp;
0 cv
U


l sõu ca h th bit lp;
AB
c c c


l sõu ca h
th giam gi in t c xỏc nh bi cc tiu ca hai vựng dn ca hai
bỏn dn A v B;
AB
v v v

kk

1/2
2
1
1
2
sz
k m E k



;


1/2
2
1
2
sz
k m r k




 
cv
r

    
là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe
năng lượng hai bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng
chênh lệch của các vùng dẫn
c


và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa
trị
v


của hai lớp bán dẫn kế tiếp. Như đã trình bày ở trên, vì chu kỳ của
siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng, trong khi đó biên độ của thế
siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể. Do đó,
ảnh hưởng của thế tuần hoàn trong siêu mạng chỉ thể hiện ở các mép vùng
năng lượng. Tại các mép của vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thể xem
là dạng bậc hai, phổ năng lượng có thể tìm thấy trong gần đúng khối lượng
hiệu dụng. Đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến,
phương trình Schrodinger có dạng:

       
2
2
2
r r r E r

L L N



  



(1.5)
Trong đó, L
x
, L
y
là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y; d và N
d

là chu kỳ và số chu kỳ siêu mạng hợp phần;
()
s
z

là hàm sóng của điện
tử trong hố cô lập.
1.2. Bài toán hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh biến
điệu theo biên độ trong bán dẫn khối.
1.2.1. Sự hấp thụ sóng điện từ trong bán dẫn khối
Việc nghiên cứu hiệu ứng động của bán dẫn nói chung, cấu trúc hệ
thấp chiều nói riêng cho ta nhiều thông tin có giá trị về tính chất và các hiệu

13

do chuyển dịch trực tiếp giữa vùng dẫn và vùng hóa trị xuất hiện khi điện tử
vùng hoá trị hấp thụ một photon có năng lượng lớn hơn độ rộng vùng cấm
và chuyển dịch lên vùng dẫn với vector sóng gần như không thay đổi (do
vector sóng của photon coi là rất nhỏ). Khi đó, tại vùng hoá trị xuất hiện
vector sóng . Sự hấp thụ này xảy ra đối với những chất bán dẫn có khe
vùng cấm như InSb, InAs, GaAs, GaSb. Hai loại hấp thụ do chuyển dịch
trực tiếp và gián tiếp của điện tử từ vùng hoá trị lên vùng dẫn có thể được
tính trực tiếp bằng lý thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian[1,6,17]. Tuy
nhiên, có thể sử dụng biểu thức của tensor độ dẫn điện để tính những chuyển
dịch loại này. Hệ số hấp thụ sóng điện từ chỉ phụ thuộc vào phần thực của
tensor độ dẫn điện. Khi không xét tới tương tác điện tử-phonon cũng như bỏ




k

k


14

qua các tương tác khác, biểu thức phần thực độ dẫn điện có dạng giống như
quy tắc Fermi:

 
2
,
Re
m

hạt tải và phonon có đóng góp đáng kể nhất đối với sự dịch chuyển của các
hạt tải tự do. Điều này có nghĩa là khi điện tử chuyển động trong mạng tinh
thể của bán dẫn chịu ảnh hưởng của sóng điện từ theo hướng làm tăng tốc,
đồng thời chịu ảnh hưởng của dao động mạng tinh thể theo hướng cản trở
chuyển động. Với giả thiết, điện trường biến thiên mạnh là sóng điện từ
phẳng và sự truyền sóng điện từ này dọc theo trục (giả thiết 0z) có cường độ
sóng điện từ giảm dần. Đại lượng đặc trưng cho quá trình giảm cường độ
của sóng điện từ khi đi sâu vào trong bán dẫn gọi là hệ số hấp thụ sóng điện
từ, ký hiệu , có dạng[1,6,19,22,23,25]
 
zz


15    
4
Re
zz zz
cN

   





(1.7)
Ở đây, N

(1.8)
Re

E

0
E

0
E


16

Với:
+









k
kk
e
aa)t(A
c

k

+
q

là trạng thái của điện tử trước và sau tán xạ;
 
k


là năng
lượng của điện tử.
+
,


kk
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
' ' , '
{ , } { , }=


     
k k k k k k
a a a a

;
''
[ , ]=[ , ] 0

+
q
C

là hằng số tương tác điện tử - phonon âm, có biểu
thức:[16,19,22,23,25]

2
2
0
2
q
s
q
C
V





(1.9)
+
()




 


( )sin
d A t
Et
c dt

  



Ta có
00
os( ) ( )
( ) os( ) os( )
E c c E c
A t c t c t


   

 

(1.10)
Từ đó ta suy ra Hamilton của hệ điện tử - phonon âm trong bán dẫn
khối là:
 
 
,
k k q q q q k q k q q
k q q k
e


 
,
k
k k k k
t
nt
i i a a a a H
tt








   

(1.12)
Hay:

' ' ' '
' , '
()
, ' ( ) ( )
    




tc

(1.13)
Vế phải của (1.13) có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng.
- Số hạng thứ nhất:
' ' ' '
''
1 ; ' ( ) ' ( ) ;
   

   

   
   


   


       

   

k k k k k k k k
t
kk
t
t
ee
st a a k A t a a k A t a a a a


   



       

 

k k k k k k k k
t
k
t
e
st k A t a a a a
c
  
(1.14)
- Số hạng thứ hai:

2 ; 0






    




Ta có
' ' ' ' ' ' , ' ' ' ' , ' '
' , ' ' , '
; ( ) ( )
           
     



      


                             
         
k k k q k k k k q k k q k k k k k k q k q k k k q k k k k k
k k k k q k q k k k
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a a


Vậy
  
' , ' ' , '
,'
3
  
  
  


               


q k k q q k q k q k q k q k k q q
q
C F t F t F t F t
(1.16)
Với
t
qkkqkk
baatF
2121

)(
,,

Vậy phương trình (1.13) trở thành:
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
     


   




         





                


(1.17)
Trong đó,
 
2 1 2
1
,,k k q k k k
t
F t a a b


     
. Tương tự như trên, thiết lập phương
trình cho
 
2
1
,,k k q
Ft
  
và giải phương trình này thu được
 
2
1






   
     
   

  
   





   
 
 
1
exp
q
i
k q k l i t t
   



1
exp
q
i
k q k l i t t
   

      



  

   
 
 
1
exp
q
i
k k q l i t t
   

       





   



       





  


(1.18)
Với
 
0


 
eE q
m


;
 
0
E







kq
kq
n t n
(1.19)

20

Đặt s-k =l, giải phương trình (1.18) thu được:

 
k
nt


   
00
2
22
,
eE eE
1





n N n N n N n N
k q k k i k q k k i
       


   



           


     
   

     
    
   
 
   
11
k q k k q k
q q q q
qq
n N n N n N n N
k k q k i k k q k i
       







  


(1.21)
víi
 
 
0
os



cE
A t c t

. Thay (1.10) vµo (1.19), ta ®-îc:
 
 
 
2
00
os

  

   
   
   
   
   

  
   

il t
k k l
kq
kl
k q k
qq
ee
kn t C J J e k
m m l m m l
 
   
 
   
11
k q k k q k
q q q q
qq
n N n N n N n N

       


   



           


     
   

     
  

(1.23)
Sử dụng tính chất hàm Bessel,
       
1J x J x J x

  

   

Số hạng thứ nhất (1.23), đổi biến
qq

;
kk




   

   
   

     
   
  
  




   

  


(1.24)
Số hạng thứ hai, đổi biến
qq

;
kk

;
kk



   

   
   

     
   
  
  




   

  

   
 
   
00
2
22
,
1
eE eE
k q k
qq




   

  

(1.25)
Sè h¹ng thø ba gi÷ nguyªn. Số hạng thứ tư, đổi biến
kk
, ta được:
   
 
   
00
2
22
,
1
eE eE
k q k
qq
il t
k k l
q
kl
qk
q
n N n N
qq


 
 
   
2
,
1
1
k k q
l
qq
il t
k k l
q
kl
qk
q
n N n N
C e k J J
k q k k i
   







     
  







     
  
  





  

(1.28)
 
   
2
,
1
k q k
qq
il t
k k l
q
kl
qk
q

qq
il t
k k l
q
kl
qk
q
n N n N
C e k J J
k q k k i
   







     
  
  





  

(1.30)
Chỉ xét phần thực hàm phức của mật độ dòng, thu được:

   
 
   
0 0 0 0
2 2 2 2
eE eE eE eE
1

   

       
  

       
       
   

       

       
l
k k l k k l
q q q q
J J J J
m m m m
      
 

   

   

   
(1.31)
Ta thấy,
 
2
0
00
11
os sin sin sin sin 0
2
TT
T
c t t td t t       



Nếu
1l 
, thì
   
00
1
sin sin os 1 os 1 0
2
TT
t l tdt c l t c l t dt            

2
00
2
1
,
eE
os 2 2 1


  


     


  


  



 
 
k q k
q
k
q
k
kq




   


   
  


(1.32)
Ta có:
 
 
k q k k q k k q
k n n k q n kn qn
  
    
       
    
, khi lấy tổng theo
k

do
tính chất đối xứng của
 
kq
k q n



     





 
q
k k k
qk
k
kq
e n E
e
J t c t C N qn J J J
mm

   
 
sin
q
k q k k t
   

      



0
2
8 eE
2
21
eE






















  


Do

q
N
>> 1 nên
2 1 2

qq
NN
, biểu thức (1.31) được viết lại:

24  
 
   
2
2
0
2
2
2
1
,
0
eE
32
k
q



(1.35)
Biểu thức (1.35), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh biến điệu theo biên độ trong bán dẫn khối.
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:

2
2
0
2
q
s
q
C
V





;
B
q
s
kT
N
q




    
  






     









 
  


(1.36)
Biểu thức (1.36), là công thức tổng quát tính hệ số hấp thụ phi tuyến
sóng điện từ mạnh trong bán dẫn khối xét trường hợp tán xạ điện tử -
phonon âm. Tiếp theo, xét sự hấp thụ sóng điện từ cho hai trường hợp giới
hạn gần ngưỡng và xa ngưỡng sóng điện từ.
HÊp thô gÇn ng-ìng:
Đối với quá trình này, năng lượng của trường điện từ ngoài phải
 
 
   
2
22
22
,
00
0
2
1
2
4
exp
2
B
qk
B
s
q
k T k
mk T
c E V
eE q
J k q k k
m



24
0 0 0
2
00
1
2 2 2 2 2
cos cos
2 2 2 2
    
     
   
   
     
   
     
    
   
     
     
eE q eE q eE q eE q eE q
J
m m m m m
      

Khi đó, biểu thức (1.37) được viết lại:

 
 
2
2













 
4
2
0
2*
cos
22
q
eE q
q
mm













  

(1.39)
Áp dụng công thức giải tích:
cos cos cos sin sin cos
     

, ta
được:
 
2
1
4
0 0 0
sin exp os
24 2 2
q
B
m
m k q
A d k dk q c dq
m k T k qk


   

a
khi a x b
x x dx
khi x a x b









Thu được: