Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
phần I : đặt vấn đề
hi giải hoàn thành một bài toán nói chung và một bài
toán hình nói riêng. Các em học sinh thờng thỏa mãn
những gì đã làm đợc. Rất ít em còn trăn trở suy nghĩ tiếp nh :
K
a, Còn có thể giải bằng cách nào nữa không ? Còn có thể trình bầy
ngắn gọn hơn nữa không ?
b, Cũng giả thiết ấy thì còn kết luận ( Chứng minh) đợc những gì
nữa.
c, Và cuối cùng nếu thay đổi một hay vài điều kiện của giả thiết. Thì
kết luận mới thu đợc có gì đặc biệt .
Rõ ràng nếu tự giác làm đợc những công việc ấy sau khi giải một
bài toán hình thì vô cùng có ý nghĩa. Nó tạo ra cho các em một thói quen
tốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá nhận xét đúng
mức, những gì đã làm, những gì cha làm đợc. Để từ đó rút ra bài học bổ
ích cho chính mình. Thiết nghĩ đó cũng là một cách học, cách hiểu bài
thêm sâu sắc hơn, cách học có tính chủ động và sáng tạo hơn. Tuy nhiên
trong thực tế đa số học sinh cha có thói quen làm nh vậy, mà nếu có cũng
chỉ là hình thức mà thôi. Do vậy là ngời giáo viên dạy toán cần phải hớng
dẫn cho học sinh thờng xuyên thực hiện công việc này, đặc biệt là các em
có năng lực về bộ môn. Từ suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đa ra
một hớng: Phát triển bài toán hình. Nhằm giúp các em tạo ra một thói
quen tốt sau khi giải một bài toán , đồng thời giúp các em yêu thích bộ
môn toán có thêm điều kiện để phát triển thêm về năng lực t duy Cùng
đồng nghiệp tham khảo trong cách tự "Thiết kế" ra những bài tập mới từ
những bài tập đã biết.
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
phần II : nội dung
I/ Cơ sở lý luận

, C
1
lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB ). Ta phải chứng
minh AA
1
, BB
1
, CC
1
cung đi qua một điểm. Thật vậy : Gọi AA
1
cắt BB
1
tại G. (Ta kí hiệu S là diện tích S
ABC
: đọc là diện tích của tam giác ABC ).
Ta luôn có: S
ABC 1
= S
ACA1
( Hai tam giác có chung đờng cao hạ từ A
và đáy BA
1
= CA
1
nên diện tích của chúng bằng nhau).
Từ chứng minh này ta có kết luận: Trong một tam giác đờng trung
tuyến chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau và bằng
2
1

G A1C B1
Vậy : S
GAB1
= S
GBA1
( 1 )
Lại áp dụng kết luận (*) thì : S
GAB1
= S
GC B1
( =
2
1
S
GAC

)
S
GBA1
= S
GC A1
( =
2
1
S
GBC

) (2)
Từ (1), (2) Suy ra :
S

.h Suy ra:
3
2
1
=
AA
AG
(3)
Tơng tự chứng minh trênta cũng có :
3
2
1
=
BB
BG

Bây giờ ta giả sử AA
1
cắt CC
1
tại G
'
.
Chứng minh tơng nh vậy tự ta cũng có :

3
2
1
'
=

một hớng Phát triển . Đó là nội dung hớng thứ ba
II. Nội dung biện pháp
Quay lại bài toán ta đã chứng minh đợc: Trong Tam giác ABC các
trung tuyến AA
1,
,BB
1
, CC
1
cùng đi qua một điểm G và:
3
2
111
===
CC
GC
BB
GB
AA
GA
Nh vậy thì:
3
2
111
===
CC
GC
BB
GB
AA

1
Là ba trung tuyến của Tam giác - Là ba đờng đặc biệt, nên
G có tính chất đặc biệt nh vậy nghĩa là do đó mà ta có đẳng thức ( 5). Bây
giờ chuyển sự đặc biệt hóa thành khái quát rằng: Giả sử các đờng
AA
1,
,BB
1
, CC
1
là bất kỳ của Tam giác ABC và cùng đi qua một điểm K
bất kỳ nằm trong trong

ABC. Đẳng thức (5) có gì thay đổi theo . Thật
vậy: Cho K là một điểm bất kỳ của

ABC ( K nằm trong

ABC). Gọi
AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB ở A
1,
,B
1
, C
1
.

4
A
B


ABC ứng với
cạnh :BC, CA , AB gọi h
1
, h
2
, h
3
lầnlợt là độ dài đờng cao của

KBC,

KCA ,

KAB hạ từ K ta có:
S =
2
1
BC.h
a
=
2
1
CA. h
b
=
2
1
AB.h
c

=
;
b
h
h
S
S
22
=
;
c
h
h
S
S
33
=
. Tiếp tục kẻ AH
vuông góc với BC tại H , KH
1
vuông góc với BC tại H
1
. Suy ra trong

AHA
1
có AH // KH
1
( cùng vông vói góc BC).
Vậy ta có :

S
AA
KA
1
1
1
=
.
Tơng tự ta cũng có:
S
S
BB
KB
2
1
1
=
,
S
S
CC
KC
3
1
1
=

Từ đó suy ra:
S
SSS

= S
KBC
+ S
KcA
+S
KAB
= S
ABC
= S.
Vậy
Chứng tỏ rằng :
1
1
1
1
1
1
1
==++
S
S
CC
KC
BB
KB
AA
KA

So sánh (5) và (5.1) ta thấy rằng chỉ cần điều kiện ba đờng thẳng bất
kỳ đi qua ba đỉnh của tam giác và đồng qui tại một điểm (*) thì đẳng thức

BB
KB
AA
KA
Tiếp tục không dừng lại ở đây, ta lại suy xét thêm bài toán tơng tự
nh trên từ bài toán ban đầu ta đã mở rộng thêm bài toán đó là bài toán 1.
Bây giờ cũng từ kết quả của bài toán ban đầu ta có:
Thế thì ta có một hớng phát triển khác.
Phát triển II :
Từ nhận xét trên ta suy ra.
9
1
3
1
3
1
3
1
1
1
1
1
1
=++=++
GC
CC
GB
BB
GA
AA

1
=
,
S
S
CC
KC
3
1
1
=
.Vậy suy ra:
3211
1
1
1
1
1
S
S
S
S
S
S
KC
CC
KB
BB
KA
AA

2
S
S
S
S
+
, tơng tự :
2
3
2
1
2
1
S
S
S
S
S
S
++=
,
3
2
3
1
3
1
S
S
S

S
3
+ + = 3 + + + + + +
S
1
S
2
S
3
S
1
S
2
S
1
S
3
S
3
S
2
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Nhng ta chú ý rằng do K nằm trong

ABC nên diện tích các

KBC,

KCA,


2
3
3
2
S
S
S
S
+
+
3
1
1
3
S
S
S
S
+
3+2+2+2 =9
Dễ thấy dấu = xẩy ra khi S
1
= S
2
= S
3
điều này có đợc khi K trùng G
Do đó:
1
1

1
KC
CC
KB
BB
KA
AA
++
9.
Suy xét tiếp tục bài toán ban đầu do có :
111
CC
GC
BB
GB
AA
GA
==
=
3
2
.
Suy ra:
111
GC
GC
GB
GB
GA
GA

AA
++
9

7
Lợi dụng bất đẳng
thức này ta suy xét
tiếp. Dễ thấy muốn có
KA thì ta lấy hiệu AA
1
và KA
1
. Từ đó ta bớt
mỗi vế của bất đẳng
thức trên đi 3 đơn vị ta
đợc:
A
B
B
1
C
1
A
1
C
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
1
1
KA
AA

KA
+
1
KB
KB
+
1
KC
KC
6 (9.1)
So sánh (9) và (9.1) ta thấy rõ ràng (9) chỉ là trờng hợp đặc biệt
của (9.1) mà thô. Nh thế ta có bài toán tổng quát hơn bài toán mới:
Bài toán III :
Cho K là một điểm bất kỳ trong

ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt
BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1
.Chứng minh rằng :
1
KA
KA
+
1
KB
KB

1
=
GC
GC
1
=
2
1
.
Suy ra
GA
GA
1
+
GB
GB
1
+
GC
GC
1
=
2
1
+
2
1
+
2
1

1
(Trong phát triển 1)
Suy ra:
11
1
KAAA
KA

=
1
1
SS
S


1
1
AA
KA
=
1
1
SS
S

Nhng S - S
1
= S
1
+ S

KC
KC
1
=
21
3
SS
S
+
Do đó:
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1
=
32
1
SS
S
+
+
13
2

a
c
với mọi a,b,c > 0
Nên:
6
+
+
+
+
+
c
ba
b
ca
a
cb
với mọi a,b,c > 0

36111 ++
+
++
+
++
+
c
ba
b
ca
a
cb

Lại có:
32
1
SS
S
+
+
13
2
SS
S
+
+
21
3
SS
S
+
=
32
1
SS
S
+
+1+
13
2
SS
S
+

1
+S
2
+S
3
)






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS
- 3
=
2
1
( )
133221
SSSSSS +++++







+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS


9
Vậy :
2
1
( )
133221
SSSSSS +++++






+
+
+
+

2
1
.9 - 3 =
2
3
Nên:
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1



2
3
(10.1).
Từ (10) và (10.1) ta thấy rằng (10) chỉ là một trờng hợp đặc biệt
của (10.1) mà thôi .Điều đó chính là do G chỉ là một trờng hợp đặc biệt
của K. Từ đó ta có bài toán mới:
9
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Bài toán IV
Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kỳ trong

GA
=
1
BB
GB
=
1
CC
GC
=
3
2
.Suy ra:
GA
AA
1
=
GB
BB
1
=
GC
CC
1
=
2
3
. Do đó :
GA
AA

1
,B
1
,C
1
. Ta kẻ KD vuông góc với AH tại D, kẻ AH
vuông góc với BC tại H, kẻ KH
1
vuông góc với BC tại H
1
.
Ta có:

AHA
1
~

ADK(g.g)
Do đó suy ra:

Vậy:
KA
AA
1
= =
BChBCh
BCh
a
a
**

Vậy :
KA
AA
1
=
1
SS
S

=
32
SS
S
+
.Tơng tự ta cũng có:
13
1
SS
S
KB
BB
+
=
,
21
1
SS
S
KC
CC

Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
KA
AA
1
+
KB
BB
1
+
KC
CC
1
=
133221
SS
S
SS
S
SS
S
+
+
+
+
+
Vì S = S
1
+ S
2
+ S

321
SSS ++
=
2
1
[ ]
133221
SSSSSS +++++






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS



2
9
( Theo phát triển 4 )
Vậy
9*

++
KC
CC
KB
BB
KA
AA
Cứ tiếp tục nh vậy ta phát triển bài toán từ những dấu hiệu của bài
toán ban đầu
Vì rằng:
2
111
===
GC
GC
GB
GB
GA
GA
ta lại suy xét tiếp.
Phát triển VI: Từ kết quả trên ta suy ra rằng:
82*2*2**
111
==
GC
GC
GB
GB
GA
GA

32
**
S
SS
S
SS
S
SS
+
++
Nhng vì: a
2
+b
2
ab2

a,b
Suy ra : x + y

2 x.y

x,y

0 (**)
áp dụng : (**) ta có
S
1
+S
2
21

2
+S
3
32
2 SS
Nên: ( S
1
+S
2
) . (S
2
+S
3
) . (S
1
+S
3
)

8 . (S
1.
S
2.
S
3
)
2
Vì S
1
, S

KB
KB
KA
KA


= 8
Hay:
111
**
KC
KC
KB
KB
KA
KA


8 (12.1)
Đối chiếu so sánh (12) và ( 12.1) ta thấy (12) chỉ là một trờng hợp
đặc biệt của (12.1) mà thôi. Nghĩa bài toán ban đầu là một trờng hợp của
bài toán mới này. Ta có bài toán mới :
Bài toán VI :
Chứng minh rằng: Nếu K là một điểm bất kì trong

ABC, gọi AK,
BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A
1
,B
1

=
1
S
S
.
Tơng tự ta có:
1
1
KB
BB
=
2
S
S
,
1
1
KC
CC
=
3
S
S
.
Vậy thì
1
1
KA
AA
.

Nên:
1
S
S
.
2
S
S
.
3
S
S
=
3
321
2
321
1
321
**
S
SSS
S
SSS
S
SSS ++++++
=




2
1
1
3
1
2
111
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
.
Nhng ta luôn có:
a
2
+b
2

2ab (

a,b)
b

c,a)
Suy ra: a
2
+b
2
+c
2

ab+bc+ca(

a,b,c) (***)
dấu (=) xảy ra khi a=b=c.
Do S
1
, S
2
, S
3
dơng. Nên ta hạn chế điều kiện cho a,b,c dơng thì
(***) vẫn đúng
Từ (***) suy ra:
a
2
+b
2
+c
2
-ab - bc - ca

0

[ ]
abbaccba 3)(3
2
+++


0


(a+b+c)
3
-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)

0

(a+b+c)
3
-3(a+b).c.(a+b+c)-3ab(a+b)- 3abc

0


( )
[ ]
3
cba ++
-3 (a+b).c.
( )
[ ]
cba ++


0. Vậy: a
3
+b
3
+c
3


3abc(

a,b,c > 0)(**) áp dụng
(**) ta có:
1+
1
3
1
2
S
S
S
S
+
=
3
3
1
3
3
3

SS
.
Vậy: 1+

3
3
2
1
32
S
SS
Tơng tự: 1+
3
2
3
1
S
S
S
S
+

3
3
2
3
21
S
SS









++








++
3
2
3
1
2
3
2
1
1
3
1
2
111

3
S
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học

1
1
KA
AA
.
1
1
KB
BB
.
1
1
KC
CC

27
Điều này nếu ta đặc biệt hóa điểm K trùng với trọng tâm G của Tam
giác ABC thì dễ thấy dấu bằng xẩy ra nghĩa là.
Rõ ràng bài toán ban đầu chỉ là trờng hợp đặc biệt của bài toán này.
Ta có bài toán mới .
Bài toán VII :
Cho K là một điểm bất kì nằm trong

ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt
cắt BC, CA, AB ở A

bài toán ban đầu.
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi khối 8 - 9 tôi đã đa ra để
thực nghiệm. Ban đầu các em còn bỡ ngỡ, sau đó tỏ ra thích thú, say mê.
Đặc biệt là hai hớng đầu các em tỏ ra hiểu và say mê tìm nhiều phơng
pháp giải từ đó chọn đợc phơng pháp hay. Còn phơng pháp này một số đã
biết tự thiết kế ra bài toán mới. Tôi nghĩ đó cũng chỉ là thành công bớc đầu
và hết sức nhỏ bé.
Do đặc điểm của nội dung kiến thức. Kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra
để áp dụng cho các em khối lớp 8 - 9 nên một số kiến thức về bất đẳng
thức chỉ phù hợp với các em đã học qua lớp 8 và đang học lớp 9.
14
AA
1
BB
1
CC
1
. . =3.3.3 = 27
GA
1
GB
1
GC
1
Kinh Nghiệm Hớng Phát Triển T Duy Qua Bài Toán Hình Học
Bài toán ban đầu bằng sự suy xét nh vậy ta có thể khai thác đợc
nhiều điều bổ ích. Sau đây xin giới thiệu hai bất đẳng thức cũng đợc phát
triển từ bài toán đó. Đề nghị các bạn cùng tham gia.
1/
8

Nguyễn Hữu Thảo
Mục lục
Phần1: Đặt vấn đề 1
Phần2: Nội dung 2
I. Cơ sở lý luận 2
II Nội dung biện pháp 4
Phần 3: Kết luận 15

16
Kinh NghiÖm Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc

18
Kinh NghiÖm Híng Ph¸t TriÓn T Duy Qua Bµi To¸n H×nh Häc
19