SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
A. ĐẶT VẤN ĐỀ .
I)LỜI MỞ ĐẦU.
Để bồi dưỡng năng lực tư duy độc lập ,tư duy tích cực và tư duy sáng tạo
của học sinh, trước tiên phải trang bị cho các em có nền kiến thức cơ bản
phổ thông vững trắc, có khả năng giải các dạng bài tập. Muốn vậy người
giáo viên phả vận dụng các phương pháp khác nhau, hướng các em vào
một môi trường hoạt động tích cực, xem học tập là một quá trình tự khám
phá liên tục. Học tập phải thực sự là nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ
động và sáng tạo của học sinh. Người thầy giáo phảI giúp học sinh xem
xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết
nối giữa dữ kiện và yêu cầu của bài toán. Giữa bài toán chưa biết cách giải
với bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Biết phân tích, tổng hợp, và so
sánh, từng trường hợp riêng lẻ để đem đến cáI chung nhất mang tính chân
lý. Từ đó vận dụng các phương pháp toán học để giảI quyết các bài toán
đặt ra.
Với lý do đó tôi chọn đề tài “ Phương pháp giải toán nguyên hàm –
tích phân theo hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh “
II)THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU.
1) Thực trạng:
Trong chương trình giảI tích 12, kiến thức về nguyên hàm và tích phân chiếm
một phần rất quan trọng. Tuy nhiên các bài toán về nguyên hàm, tích phân
chưa nhiều và chỉ dừng lại ở các bài toán đơn giản, chưa có nhiều phương
pháp. Học sinh chỉ mới giải các bài toán theo một hướng nhất định nào đó. Do
đó các bài toán về nguyên hàm, tích phân chưa khai thác hết được, chưa phát
huy được tính sáng tạo, khám phá của học sinh.

1
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Trong chương trình môn toán trường phổ thông trung học, nội dung
kiến thức mà học sinh học về nguyên hàm và tích phân ở lớp 12 gồm
các vấn đề sau đây:
- Định nghĩa nguyên hàm. Các tính chất của nguyên hàm. Bảng các
nguyên hàm cơ bản.
- Định nghĩa tích phân. Các tính chất của tích phân. Các phương pháp
tính tích phân, ứng dụng tích phân để tính diện tích, thể tích.
1.Các phương pháp xác định nguyên hàm – tích phân
Xác định nguyên hàm bằng định nghĩa
Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số:






<++
≥
=
01
0
)(
2
khixxx
khixe
xF
x
là một nguyên hàm của hàm số:




1lim
0
)0()(
lim)0('
1
1
lim
0
)0()(
lim)0('
0
00
02
00
=
−
=
−
−
=
=
−−+
=
−
−
=
++
−−
→→

x
=



<+
≥
=

3
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.
Xác định tích phân bằng phương pháp phân tích.
Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất
thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các nhân tử
mà nguyên hàm của mỗi nhân tử đó có thể nhận được từ bảng nguyên
hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Phương pháp chung:
Bước 1: Biến đổi f(x) về dạng:
f(x) =
∑
=
n
i
ii
xf
1
)(
α

1
.
Giải: Sử dụng đồng nhất thức:
1 = (1 + e
x
) – e
x
.
Ta được:

( )
( )
∫∫∫
+
+
−=








+
−=⇒
+
−=
+
−+

1
1
= x - ln(1 + e
x
) + C.
Xác định tích phânbằng phương phápđổi biến số.
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính tích
phân. Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên
định lý sau:

4
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Định lý1:
b. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm thì:
∫f(u)du = F(u) + C.
c. Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = ϕ(t) trong đó ϕ(t) cùng với
đạo hàm ϕ’(t) là những hàm số liên tục, ta được:
∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt.
Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng
cơ bản dựa trên định lý sau:
Định lý 2:
a. Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C và u = ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trong
khoảng [a,b] thì:

)(
)(
)(
)(
)()(

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

5
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Dấu hiệu Cách chọn
22
xa −
( )





≤≤=






≤≤
−
=
π
ππ
ttax
ttax
0,cos
22

π
ππ
tt
t
a
x
tt
t
a
x
xa
xa
xa
xa
+
−
−
+
,
tax 2cos
=
( )( )
xbax −−
x= a + (b – a)sin
2
t
Hàm có mẫu số t là mẫu số
Hàm f(x,
)(xf
) t =

t
t
dt
tt
t
dt
tt
tdt
xx
xdx
xx
dx
I
+








++
−+
=
+





2
1
1
1
ln
2
1
1
1
1
1
2
1
11
11
2
2
22
222
Ví dụ 2: Tính các tích phân:
∫
+
=
8
3
2
1xx
dx
I
Giải:

dt
tt
t
dt
tt
tdt
xx
tdt
xx
dx






+
−
−
=
−
=
−
=
+
=
+
1
1
1

2
3
2
3
2
=






+
−
=
+−−=






+
−
−
=⇒
∫
t
t
ttdt

(x), dv= f
2
(x)dx ⇒ du,v.
- Bước 3: I = uv - ∫vdu.

7
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Chúng ta cần chú ý, khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần
để tính nguyên hàm chúng ta cần tuân thủ các nguyên tắc sau:
- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ
dàng.
- Tích phân ∫vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.
Ta dùng P(x) để chỉ cho một đa thức.
- Khi gặp các tích phân có dạng:
∫P(x)a
x
dx, ∫P(x)sinxdx, ∫P(x)cosxdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
∫P(x)log
a
xdx
nên dùng tích phân từng phần để tính với cách đặt: u = P(x).
- Khi gặp các tích phân có dạng:
∫e
ax
sinbxdx, ∫e
ax
cosbxbx

+
++=
Đặt:
(
)







+=
+
=
++
+
+
=
⇒





+
=
++=
1
1

( )
( )
.1ln1
1ln1
22
22
Cxxxx
xdxxxxI
+−+++=
−+++=
∫

Xác định tích phân bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ.
Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f(x) bằng kỹ
thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ đạo là tìm kiếm một hàm
g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác định hơn,
từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f(x).Để xác định nguyên
hàm của hàm số f(x) theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo
các bước sau:
- Bước 1: Tìm kiếm hàm số g(x).
- Bước 2: Xác định các nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x),
tức là:




+=−
+=+
')()()(
)()()(


Suy ra:

9
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

( )
CxxxxF
CxxGxF
CxxxGxF
CxdxxGxF
xx
xx
xgxf
Cxx
xx
xxd
dx
xx
xx
xGxF
++−=⇒



+=−
+−=+
⇒
+==−⇒


Xác định tích phân của các hàm số lượng giác.
Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử
dụng các phương pháp sau:
a) Sử dụng các nguyên hàm cơ bản.
b) Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác.
c) Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ
bản.
d) Phương pháp đổi biến.
Đối với các dạng tích phân: I = ∫R(sinx, cosx)dx, ta giải bằng cách
đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:
- Hướng 1: Nếu R( - sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng
phép đổi biến t = cosx.
- Hướng 2: Nếu R(sinx, - cosx) = -R(sinx, cosx) thì sử dụng phép
đổi biến t = sinx.
- Hướng 3: Nếu R(-sinx, - cosx) = R(sinx, cosx) thì sử dụng phép
đổi biến t = tgx.
- Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm
hữu tỉ bằng phép đổi biến t = tg
2
x
.
e) Phương pháp tích phân từng phần.
f) Sử dụng nguyên hàm phụ.

10
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Ví dụ : Tính:
( )

x
xx
x
x
xxR
−−=
+
−
−=
+
=
+
=
Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi.
Đặt: t = sinx, khi đó dt = cosxdx.
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0;
x =
2
π
−
⇒ t = -1.
Khi đó:

( )
( )
( ) ( )
( )
( )
.22ln2
2


+
++=
+






+
−
+
=
+
−+
=
+
=
−
−−−
∫∫∫
t
t
td
t
t
dt
t
t

dx
I
Giải: Biến đổi:

( )( )






+
−
+
=
++
=
++
3
1
1
1
2
1
31
1
34
1
222224
xxxxxx

∫
+
=
1
0
2
1
1x
dx
I
.
Đặt x = tgt,
22
ππ
<<
−
t
;
Suy ra:
( )
( )
dt
ttg
dtttg
x
dx
dtttgdx
=
+
+

+) Ta đi xác định tích phân
∫
+
=
1
0
2
2
3x
dx
I
.
Đặt x =
3
tgt,
22
ππ
<<
−
t
;

12
SKKN: Phương pháp giải toán nguyên hàm – tích phân theo
hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh
Suy ra:
( )
( )
dt
ttg

3
1
6
0
6
0
2
π
π
π
===
∫
tdtI
.
Từ đó ta có:
I =
.
36
42
1








−
ππ

+++
=
.
11.1
22
xx
xdx
I
Thực hiện phép đổi biến:
Đặt:
.11
222
+=⇒+= xtxt
Suy ra:
tdt = xdx và
t
dt
tt
tdt
xx
xdx
+
=
+
=
+++
11
11.1
22


2
] ∪… ∪ [c
k
, b].
- Bước 2: Khi đó ta có:

∫ ∫∫
+++=
2
1
1
),( ),(),(
c
c
b
c
c
a
k
dxmxfdxmxfdxmxfI
Ví dụ : Tính tích phân:
∫
−=
1
0
dxaxxI
(a > 0).
Giải: Ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu a ≥ 1, khi đó ta có:


33333
1
23
0
23
1
0
+−=+−−++−=








−+








+
−
=
−+−−=
∫∫

Cần tăng cường hơn nữa các buổi thảo luận khoa học để thống nhất cách
dạy và đưa ra các tài liệu tham khảo.

16