Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Nguyễn Phú Khánh

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ðẠI SỐ
(Tài liệu bồi dưỡng giáo viên PTTH)

Tp Hồ Chí Minh, 2007
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Hãy xác ñịnh m sao cho tổng bình phương các nghiệm phương trình sau ñạt giá trị nhỏ nhất:
x
2
- (3m + 2)x – 3 - 2m = 0
ðS


2
21
2
2
2
1
m
mf
mmmf
m
xxxxxxmf

Giải phương trình và bất phương trình:
1.
22
4324 xxxx −+=−+
2.
(
)
(
)
54141 =−++−++ xxxx
3.
11414
2
=−+− xx
4.
(
)
(

,2,00823
2
−−
===⇔=−−⇔ xxxtt
2.

[
]
[
]
10;50'4;1;41 ∈⇒=⇒−∈−++= ttxxxt
pt
305
2
5
2
=∨=⇔=
−
+⇔ xx
t
t
3.






>−+−=
≥

−
=−⇒





=
+
=
⇒



−=∆∗≥++−+
=>
x
x
tt
t
x
t
xtxtx
xtx

•

)(0:
2
1

−=
⇔



≥
≤
⇒>
4
0
1
3
ln
1
)('
2log
0
1
3
log)(
2
1
2
2
2
2
2
1
x
x

≤
<
xx 


=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA




<≤
>
⇔<
2
0
0
BA
B
BA






>
≥
∨



≥
<
⇔>
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA









0
0
BA
B
A
B
BA3
3
0
BABA
BABA
<⇔<
<≤⇔<

22
BABA
AB
AB
BA
BABBA
=⇔=



−<
<
⇔>



++=
++=
myxy
mxyx
2
2
3
3
;
m
: tham số
1.
Giải hệ khi
m
= 2
2.
Xác ñịnh
m
ñể hệ cho có nghiệm duy nhất.

Hệ
( )
( )
01
2
2
2233
3



=
=−
⇔



=
++=
⇔
yx
mxx
yx
mxyx

1.
Khi
m
= 2 hệ cho



=
=
∨



−=

2
−= xxf ; 10)('
±
=
⇔
=
xxf

x
∞
−
-1 1
∞
+

f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 2
∞
+∞
−
-2

22
>

=

=
zyx khụng tha h
H cho vit li









==
==
==
)(
2
5
)(
2
5
)(
2
5
xf
x
z
zf

Vy h cho cú nghim :
2234
======
zyxzyx

)(xf liờn tc trờn D
1.
a thc bc n cú nhiu hn n nghim

mi h s ủu bng 0
2.
0),(
=
mxf ủỳng , Dx


(vi D l tp vụ hn)

mi h s ủu bng 0
3.
)()( mgxf
=
cú nghim DxxMGTfmgDx





);()(
4.


bfafbax
7.

a
b
afbf
xf


=
)()(
)(' cú nghim




b)(a, trong haứmẹaùo
b]
[a,

treõn

tuùc

lieõn
)(
);(
xf
bax

Chng minh rng phng trỡnh (1) cú 1 nghim thc khụng ph thuc k.
2.
Bin lun tham s k s nghim phng trỡnh (1). 1)
D thy 1,
=

xk luụn tha phng trỡnh (1). Do ủú (1) cú mt nghim khụng ph thuc
tham s k.
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2)
Do 1
=
x là 1 nghiệm (1) nên (1)
(
)
(
)
0361521
23
=−+−−⇔ kxxxx




=+−=
=

23
≠
k thì 1
=
x không là nghiệm của (1). Khi ñó
(
)
656)('
2
+−=
xxxf
.320)('
=
∨
=
⇔
=
⇔
xxxf

x
∞
−
2 3
∞
+

f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 28
∞

(
)
mxxxxx
=−−−++⇔
4512
X ét
(
)
(
)
( )
(
)
( )
    
xhxg
xxxxxxf
−−−++
4512 ;
[
]
4,0∈D
(
)
(
)
12
++=
xxxxg : ñồng biến trong D
( ) ( ) ( ) ( )

12453240
≤≤−⇔≤≤
mfxff

Tìm m ñể phương trình
(
)
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
−=−+ xmxx có nghiệm thuộc khoảng
[
)
+∞,32

Phương trình cho
( )
3log3log2log
22
2
2
−=−−⇔ xmxx
[
)
[

( )
[
)
+∞∈<
−−−
−
= ,5; 0
323
26
'
2
2
t
ttt
t
xf
Tìm các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm:

(
)
xxmxxx −+−=++ 4512

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007

t 5
∞
+

f’(t) -

x
+<<+−⇔







−>
−>

Phương trình (1)
(
)
(
)
(
)
2
4sin21cos212cossin22 mxxxx =+++++⇔

(
)
(2) 2cossin4cossin21cossin1
2
mxxxxxx =++++++⇔

ðặt
1

)
22
212211 mttt =−++++
ðặt







−
∈−+++= 1;
2
13
; 1221)(
2
tttttf
. Có f’(t)>0

t
∞
−

2
13 −
1
∞
+


=
m
2.

Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm. ðặt
[
]
1;1 ; 2cos −∈= txt
. Khi ñó )2( 23)1(
22
mttt =+−⇔
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007

1.

2
2
1
0232 (2) thì3
2
−=∨=⇔=−+⇔= ttttm
Ζ∈+±=⇔=⇔= kkxxt ,
6
2
1
2cos



+∞∈∈
≠−∈=
+−
=
⇔≠
0;D )(
0 ; 1;1 ; )(
23
)2( thì0
2
2
tfMGTm
tttf
t
tt
m
t
Có
3
4
0)(' ;
43
)('
4
2
=⇔=
−
= ttf

Cho phương trình :
(1) cottan
cos
1
sin
1
cossin axx
x
x
xx =+++++
1)

Giải phương trình khi 2
−
=
a
2)

ðịnh a ñể phương trình có nghiệm.

ðiều kiện : 0cos ; 0sin
≠
≠
xx
a
x
x
x
x
x

xx =+
+
++⇔
ðặt
2 ;
4
sin2cossin ≤






+=+= txxxt
π

Khi ñó
( ) ( ) ( )
1 ; (3) 0121
1
2
1
2
)2(
22
±≠=−−+−⇔=
−
+
−
+⇔ ttatta

2
(3) thì1 và2
2
xf
t
tt
att =
−
+−
=⇔±≠≤
( )
210)(' ;
1
12
)('
2
2
±=⇔=
−
−−
= ttf
t
tt
tf
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
t


Cho 2 hàm số :
(
)
(
)
xx
xx
xx
xx
xg
xxxxxf
sincos2
cossin2
cossin2
sincos2
)(
sincos2cossin2)(
−
−
+
+
+
=
−+=

1)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
2)




⇔ xfxf







−=+⇔−=
=+⇔=
⇔
2
5
2cos2sin2x
2
3

2
5
)(min
2
5
2cos2x sin2x
2
3

2

mxf
xf
mmxfxgm −=−⇔−=− )(3
)(
3
3)(3)(3
ðặt
2
5
: )( ≤= txft . Ta có :
( ) ( )
mt
t
m −=− 3
3
3
( )
2
22
1
32
)(' ; 0 ; 1 ; )(
1
3
+
−+
=≠−≠=
+
+
=⇔

2 −≤∨≥⇒ mm
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
(1)
2
1
2sincossin
44
−=+ xmxx
1.

Giải phương trình (1) khi 1
=
m
2.

Chứng minh rằng với mọi tham số thực m thỏa ñiều kiện
1≥m
thì phương trình
(1) luôn có nghiệm.

1.

Khi 032sin22sin
2
1
2sincossin(1) thì1
244
=−+⇔−=+⇔= xxxxxm

t
mtxt

0,1 ; 0
3
)('
2
2
≠≤<
−−
= tt
t
t
tf

t -1 0 1
f’(t) - -
f(t) -2
∞
+∞
−
2
1
22
22
≥⇔







−∈
2
;
6
ππ
x
.
ðặt
2
1
2sin −= xt ;






−∈
2
1
;
2
35
t


0032)2(
24
=⇔=+⇔ ttt Ζ∈






+=
+=
⇔=⇔ k
bkx
akx
x
)(
12
5
)(
12
2
1
2sin
π
π
π
π

Xét :
100




=⇒∈⇒
12
37
,
12
25
,
12
13
,
12
3,2,1,0
ππππ
xk

(b) thỏa mãn khi
76,242,010
12
5
0 ≤<−⇔≤+< kk
π
π

{ }




25
,
12
17
,
12
13
,
12
5
,
12
πππππππ
x

2.







=++=







ππ

00)(' ; 68)('
3
=⇔=+= ttftttf

t
( )
13
2
1
+−
0
2
1

f’(t) - 0 +
f(t)
2
37
8
53
+
1

8
1

2
37

ππ
x(1) xxxxxa
22
cos.2cos42cos22cos2cos =+=⇔

(
)
(
)
0cos4cos8cos0cos1cos2cos4
322
=−−⇔=−−⇔ axxxxaxx




=−−
=
⇔
)2( 0cos4cos8
0cos
2
axx
x

1.


0cos
3
kx
kx
x
x
xx
x

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007

2.






=−=






−∈⇒





2
1
−

6
1
−

6
1
1
∞
+

f’(t) + 0 - 0 +
f(t)
63
8
4
1
63
8−

4
63
8
≤≤
−
⇒ m

π
xVì 0cos
=
x không là nghiệm phương trình nên chia 2 vế phương trình cho x
3
cos
ta ñược :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
01344213664
2223
=+−−−++−+− xtgmxtgmxtgtgxmxtgm
(
)
(
)
(*) 03421







=
−
−
=
∈⇒






∈=
=⇒=
⇔
)1( 2
2
3
)(
1,0
4
,0 ;
nhân
4
1

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007

t
∞
−
0 1 3
∞
+

f’(t) +
f(t) 2

2
3

Phương trình cho luôn có 1 nghiệm
mx ∀= ,
4
π
, nên ñể phương trình cho có ñúng 1
nghiệm






∈
4

⇔
1
4
3
22
2
3
2
m
m
m
m

Vậy
4
3
1 <∨≥ mm

Cho phương trình :
(
)
)1( cossincos.sincos.sin2cos2
22
xxmxxxxx +=++
1.

Giải (1) khi 2
=
m
2.

0cos.sinsincos2cossin =−+−+⇔ mxxxxxx
(*)
1.

Khi 2
=
m phương trình
(
)
xxxxxxx cossin2cos.sincos.sin2cos2)1(
22
+=++⇔



−=
=
⇔







=+







+−=
+−=∨=
⇔






+−=
=






+
⇔
π
π
π
π
π
π
π
π
kx







∈ tx
π
với xxt sincos
−
=





+=
4
cos2
π
x

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007

(*)
[ ]



2
;0
π

Do ñó ñể (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc






2
;0
π
khi phương trình (3) có nghiệm t thuộc
[
]
1;1−
. Khi ñó
(3) mtt 214
2
−=−⇔ . Xét tttf 4)(
2
−= ;
[
]
1;1−∈t


Cho : )1( cossin
33
mxx =−
1.

Giải phương trình (1) khi 1
−
=
m
2.

Tìm m ñể phương trình (1) có ñúng 2 nghiệm






−∈
4
;
4
ππ
xðặt




m thì 21023)(
3
=∨−=⇔=−+−= tttttf
πππ
ππ
22
2
1
4
cos21 kxkxxt +−=∨+=⇔−=






+⇔−=

2.

Với
[
]
2;0
4
;
4
∈⇒



-1 0 1
2

∞
+

f’(t) - 0 + + 0 - -
f(t) 2
0
2

1
2
2
≤≤⇒ m
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007 Cho phương trình : )1( 2cos73cos.2cos.cos2 mxxxx
−
=

1.

Giải phương trình khi 7
−
=
m
2.

txt
=⇔=⇔



=−−+
≤=
⇔
1
0782
1|| ; 2cos
23

2)












∈
=−+=−=
⇒


2
1
1
f’(t) - - 0
f(t)
2
127 +2
271 −

-5

Ứng với 1 nghiệm






−∈
2
1
;
2
1
t hoặc 1
=
t thì phương trình xt 2cos

2
127
2
271
5 <≤
−
⇔
−
≤−<− mm

Với giá trị nào của m thì phương trình :
1
5
1
24
34
2
+−=






+−
mm
xx
có 4 nghiệm phân
biệt.


)('
xx
xxx
xf
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007 x
∞
−
1 2 3
∞
+

f’(x) - + 0 - +
f(x)
∞
+

1
∞
+

0 0
10
<

2
222
4log6log2log
3.24.
xx
xm =− (1)
Giải phương trình khi 1
=
m
Tìm m ñể phương trình cho có nghiệm.

2
222
4log6log2log
3.24.
xx
xm =− ; 0
>
x
Ta có :
xxx
222
loglog12log
4.444 ==
+
;
x
x
22
log6log

=
⇔






=






−⇔
(2) 184
0 ;
2
3
4
9
18
2
3
4
2
log
loglog
2


4
1
2log
2
=⇔−=⇔ xx
0 ; )(184)2(
2
>=+=⇔ ftfttm
0 0136)('
>
∀
>
+
=
tttf 0biên ñông )(
>
∀
⇒
ttf
t 0
∞
+

f’(t) + 004
>
⇒
>
⇒
mm

Phương trình cho
(
)
0log1log
25
2
25
=−+++⇔
++
xmmxx
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007





=
+
−+−
=
>
⇔



=+++
>
⇔
)(

31+−
∞
+

f’(x) + 0 -
f(x)323 − 3231 −=∨−≤⇒ mm
-1
∞
−Xác ñịnh m ñể phương trình :
(
)
(
)
0156
2
=−−++− xxmxx
có nghiệm.
ðS :
(
)
(
)
17
4

2
2
∈⇒
−
−−
=⇒





≤=
−+=
t
z
zz
t
zxz
xxt

[ ]
31
2;0
)(222
2
2
sin2sin
2
2
2

=
m
2.

ðịnh m ñể phương trình cho có nghiệm.
Cho phương trình :
mxxxx =++++−
22
cossin1sinsin2

1.

Giải phương trình khi
22=m

2.

ðịnh m ñể phương trình cho có nghiệm






−∈
2
;
2
ππ
x






=+−=






∈
⇒ m
mttf
t

Cho phương trình :
mxxxx =−+−+
22
cos2coscos2cos

1.

Giải phương trình khi
2=m

2.

ðịnh m ñể phương trình có nghiệm


Tìm m ñể phương trình
2cos2 2sin 1 0
x x m
− + + =
có nghiệm.
ðS :
13
3
4
m
− ≤ ≤Cho phương trình :
( )
1 1 1
sin cos 1 tan cot 0
2 sin cos
m x x x x
x x
 
+ + + + + + =
 
 

1.

Giải phương trình khi
1

1
x t
t x x t
mt t t t t
t
m f t m
t
π

 
∈ ⇒ < ≤
 


= + ≤
 
 
⇒
 
− + + =
+
 

= = ⇒ ≤ − −

−
Cho phương trình :

m
m t t f t

 
= − ∈ −

 

 
⇒ ≤ ≤


= + + =

Cho phương trình :
6 6
2 2
sin cos
2 tan
cos sin
x x
m x
x x
+
=
−


2.

ðịnh m ñể phương trình có nghiệm.

Cho phương trình :
cos 1 2cos2 cos4
a x x x
= + +

1.

Giải phương trình khi
4
a
=

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2.

ðịnh a ñể phương trình có nghiệm
;
3 4
x
π π
 
∈ −
 
 
.

( )
2
2
2 1
2 tan 2 3 tan 4 0
sin tan
x m x
x x
 
+ + + + + =
 
 

1.

Giải phương trình khi
1
m
=

2.

ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
0;
4
x
π
 
∈
 

Cho phương trình :
6 6
sin cos sin 2
x x a x
+ =
1.

Giải phương trình khi
1
a
=

2.

ðịnh a ñể phương trình có ñúng 3 nghiệm
5
;
12 12
x
π π
 
∈ −
 
 

3.

ðịnh a ñể phương trình tương ñương với phương trình :
3cos sin2x=1+cos2x+3sinx
x

1
m
=

2.

Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
[
]
0;
x
π
∈Cho phương trình : 2cos .cos 2 .cos3 3.cos2
x x x x m
= −

1.

Giải phương trình khi
5
m
=

2.

ðịnh m ñể phương trình có nghiệm duy nhất
0;

;
6 2
x
π π
 
∈ −
 
 
.
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007

Cho phương trình :
3 3
sin cos 1 sin .cos
x x m x x
+ = + sin
1.

Giải phương trình khi
1
m
=

2.

ðịnh m ñể phương trình có ñúng 4 nghiệm
3
;
2

 
Cho phương trình :
(
)
(
)
4 4 6 6 2
4 sin cos 4 sin cos sin 4
x x x x x m
+ − + − =

1.

Giải phương trình khi
1
2
m
= −

2.

ðịnh m ñể phương trình có ñúng 3 nghiệm
;
12 8
π π
 
∈ −


=
= − − =

Tìm m ñể phương trình :
(
)
sin 3 cos 2 1 sin 0
x m x m x m
− − + + =
có ñúng 8 nghiệm
(
)
0;3
x
π
∈

ðS :
2
sin 0
sin ; | | 1
2
2
3
4 2
( )

+ − =
có nghiệm
0;
4
x
π
 
∈
 
 

ðS :
(
)
2
cos 2 ; 0;1
0
1 1
2 ( )
t x t
m
m t f t
t t
= ∈


⇒ >

= + − =


=

2.

ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
;
4 4
x
π π
 
∈ −
 
 
. Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
(
)
(
)
2 3 2 3
8 1 sin 4 1 sin 2 cos 0
a x a x a x
+ − + + =

1.


∈
 
 

ðS : Không tồn tại m.

Cho phương trình :
2 2
cos 4 cos 3 sin
x x a x
= +
1.

Giải phương trình khi
1
a
=

2.

ðịnh a ñể phương trình có ñúng một nghiệm
0;
12
x
π
 
∈
 
 


ðS :
2
1
( )
2
1
1
1 3
tan ; 0; 0; 3
3
t
m f t
t
m
t x x t
π

−
= =

+
⇒ − ≤ ≤

 
+

 
= ∈ ⇒ ∈
 
 

2 2 1
1
1 ( )
1
t x x x x t
m
m t f t
t
π π

   
= + = + ∈ ⇒ ∈
   


   
⇒ > +


= + + =

−
Cho phương trình :
3 3
sin cos 1
x x m
− = +

Giải phương trình khi
3
4
m
=

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2.

ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
;
12 2
π π
 
∈
 
 Cho phương trình :
1
4 2 2 0
x x
m m
+
− + =
; m : tham số
1.



1.

Giải phương trình khi
2
m
=

2.

Giải m ñể phương trình cho có nghiệm.
ðS : ðặt
1
1
2 ; 0 1 1
2
x
t x x t
−
= ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≥

2
1
pt 2 5 0 ;
2
t t m t
⇔ − + = ≥

1.
0 4

 
 
 

ðS : 1.
6
x k
π
π
= ± + 2.
[ ]
2
cos 2 ; 0; 1;1
2
4 1
( ) ; 0
t x x t
t
m f t t
t
π

 
= ∈ ⇒ ∈ −

 

 

+

 

ðS : 1.
2
2
2
x k
x k
π
π
π
=



= − +

2.
[ ]
2
sin 0 vô nghiêm 0;
4 2
cos sin 2 cos ; 1;1
4
1 1
( ) 2
2 2
x x
t x x x t
f t t t

2 2
m
⇒ − ≤ ≤Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
(
)
sin cos 1 1 2sin .cos (1)
m x x x x+ + = +
. Xác ñịnh các giá trị của tham
số m ñể phương trình (1) có nghiệm thuộc ñoạn
0;
2
π
 
 
 
.
ðS :
( )
2
sin cos 2 sin ; 1; 2
14
2 2 1
2
( )
1

y m x m

+ =


+ =


có nghiệm.

Hệ
2 2 2
2 2
sin tan sin tan tan sin 0
tan sin sin tan
x m y m x y m y m x
y m x m x m y m
 
+ = − + − =
 
⇔
 
+ = + =
 
 

(
)
(
)

1
0
t x t
m t t
t mt m

= ∈ −

⇔ ⇔ − =

+ − =


có nghiệm
[
]
1;1
t ∈ −


Nếu
1
t
=
thì phương trình cho .0 1m m
⇔ = ⇔ ∈∅


Nếu
1

1
t t
f t f t t t
t
− +
= ⇒ = ⇔ = ∨ =
−

t
−∞
-1 0 1 2
+∞

f’(t) - 0 + + 0 -
f(t)
1
2

+∞

0
m
⇒ ≥

0
(II) có nghiệm
[
]
2 2
sin ; 1;1



⇒ ≥

≤ ≤

Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Xác ñịnh mọi giá trị của tham số m ñể hệ sau có 2 nghiệm phân biệt
(
)
(
)
( )
2
3
3 3
2
2
2 5
log 1 log 1 log 4 (1)
log 2 5 log 2 5 (2)
x x
x x
x x m
− +
 + − − >


 
>
>
 
 
⇔ ⇔ ⇔ < <
−
−
 
 
 
>
>


2.

Xét (2). ðặt
2
2 5 ; 1 3
t x x x
= − + < <
thì
' 2 2
t x
= −' 0 1


Khi ñó (2)
( )
2
5 ; 2;3 5 (3)
m
y y y y m
y
⇔ − = ∈ ⇔ − =
Xét hàm số
(
)
2
( ) 5 ; 2;3 có ' 2 5
f y y y y y y
= − ∈ = −

y 2
5
2
3
y’ - 0 +
y -6 -6
25
6
4
m
⇒ − < < −
+
= =


.

Cho :
(
)
2
cos 2 1 cos 2 1 0 (1)
x m x m+ − + − =

1.

Giải phương trình khi
1
2
m
=

2.

ðịnh m ñể phương trình (1) có nghiệm.
ðS : 1.
; 2
2
x k x k
π
π π π

cos 2 4sin .cos 2 0
m x x x m
− + − =
có nghiệm trong
0;
4
π
 
 
 
.
ðS :
(
)
2
sin2x ; 0;1
1 4
2 2
( )
2
t t
m
t
m f t
t
= ∈


⇒ < <


3
cos2 ; | | 1, 0
2 ( )
t x t t
pt
m t t f t
= ≤ ≠

⇔

= − − =
| | 1 và 0
m m
⇒ = ≠ðịnh a ñể phương trình sau có nghiệm :
6 6
sin cos sin2x
x x a+ =
.
ðS :
[
]
2
sin2x ; 0;1
1

2.

Xác ñịnh tham số m ñể phương trình (1) có nghiệm.
ðS : 1.
0
x
=

2.
2
2 ; 0
0
3 0
x
t t
m
t t m

= >

⇒ >

+ − =

Cho :
7 8
7

= >

⇒ ≤

− + =

Tìm m ñể phương trình :
(
)
(
)
sin cos 2 2 1 sin cos sin cos
m x x x x x x
+ + = + + +
có nghiệm.
ðS :
2
sin cos ; | | 2
2 2
0
2 1
2
( )
2
t x x t
m
t t

19
m
>
: vô nghiệm ;
19
m
=
: 1 nghiệm ;
19
m
<
: 2 nghiệm

Tìm m ñể phương trình
(
)
(
)
2
lg 2 lg 1 0
x mx x
+ − − =
có nghiệm duy nhất.
ðS :
2
1 1
( ) ; 1
2 2
x x
m g x x m

y t t

= ≤ ≤


= ⇒ = + + − + ≤


= − +



2
15 135
'( ) 2 30 45 ; ; 5 min ( ) 5
2
f t t t t f x a a
±
= − + = = ≤ ⇒ ≥2 3
t
≤ ≤Cho hệ :
1 2
1 2
x y m

f x
liên tục trên tập D thì :
1.

( ) ( )
f x g m
≤
ñúng , max ( ) ( ) ;
x D f x g m x D
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈

2.

( ) ( )
f x g m
≤
có nghiệm min ( ) ( ) ;
x D f x g m x D
∈ ⇔ ≤ ∀ ∈

3.

( ) ( )
f x g m
≤
vô nghiệm
( ) ( )
x D f x g m
∈ ⇔ >
ñúng ,

ñúng ;
x D
∀ ∈

7.

( ) ( )
f x g x
≤
ñúng max ( ) min ( ) ;
x D f x g x x D
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈Tìm tất cả các giá trị của m ñể bất phương trình :
2
4 3 1 0
mx x m
− + + >
nghiệm ñúng với mọi
giá trị
0
x
>
.
( )
2
0;
4 1
4 3 1 0 ; ( ) ; 0 max ( )