Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc
phần I : đặt vấn đề
hi giải hoàn thành một bài toán nói chung và một bài
toán hình nói riêng. Các em học sinh thờng thỏa mãn
những gì đã làm đợc. Rất ít em còn trăn trở suy nghĩ tiếp nh :
K
a, Còn có thể giải bằng cách nào nữa không ? Còn có thể trình bầy
ngắn gọn hơn nữa không ?
b, Cũng giả thiết ấy thì còn kết luận ( Chứng minh) đợc những gì
nữa.
c, Và cuối cùng nếu thay đổi một hay vài điều kiện của giả thiết. Thì
kết luận mới thu đợc có gì đặc biệt .
Rõ ràng nếu tự giác làm đợc những công việc ấy sau khi giải một
bài toán hình thì vô cùng có ý nghĩa. Nó tạo ra cho các em một thói quen
tốt sau khi giải quyết xong một công việc nhằm đánh giá nhận xét đúng
mức, những gì đã làm, những gì cha làm đợc. Để từ đó rút ra bài học bổ
ích cho chính mình. Thiết nghĩ đó cũng là một cách học, cách hiểu bài
thêm sâu sắc hơn, cách học có tính chủ động và sáng tạo hơn. Tuy nhiên
trong thực tế đa số học sinh cha có thói quen làm nh vậy, mà nếu có cũng
chỉ là hình thức mà thôi. Do vậy là ngời giáo viên dạy toán cần phải hớng
dẫn cho học sinh thờng xuyên thực hiện công việc này, đặc biệt là các em
có năng lực về bộ môn. Từ suy nghĩ ấy tôi đã trăn trở và mạnh dạn đa ra
một hớng: Phát triển bài toán hình. Nhằm giúp các em tạo ra một thói
quen tốt sau khi giải một bài toán , đồng thời giúp các em yêu thích bộ
môn toán có thêm điều kiện để phát triển thêm về năng lực t duy Cùng
đồng nghiệp tham khảo trong cách tự "Thiết kế" ra những bài tập mới từ
những bài tập đã biết.
1
Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc

, B
1
, C
1
lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB ). Ta phải chứng
minh AA
1
, BB
1
, CC
1
cung đi qua một điểm. Thật vậy : Gọi AA
1
cắt BB
1
tại G. (Ta kí hiệu S là diện tích S
ABC
: đọc là diện tích của tam giác ABC ).
Ta luôn có: S
ABC 1
= S
ACA1
( Hai tam giác có chung đờng cao hạ từ A
và đáy BA
1
= CA
1
nên diện tích của chúng bằng nhau).
Từ chứng minh này ta có kết luận: Trong một tam giác đờng trung
tuyến chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau và bằng

= S
GBA1
+ S
G A1C B1
Vậy : S
GAB1
= S
GBA1
( 1 )
Lại áp dụng kết luận (*) thì : S
GAB1
= S
GC B1
( =
2
1
S
GAC

)
S
GBA1
= S
GC A1
( =
2
1
S
GBC


1
AA
1
.h Suy ra:
3
2
1
=
AA
AG
(3)
Tơng tự chứng minh trênta cũng có :
3
2
1
=
BB
BG

Bây giờ ta giả sử AA
1
cắt CC
1
tại G
'
.
Chứng minh tơng nh vậy tự ta cũng có :

3
2

giả thiết) một số điều kiện ( nếu đợc) thì thu đợc những kết luận mới
nào?
Riêng hai vấn đề trên tôi chỉ nêu ra có tính chất làm ví dụ dành cho
bạn đọc. Còn nội dung chủ yếu của Kinh nghiệm này tôi suy nghĩ và đa ra
một hớng Phát triển . Đó là nội dung hớng thứ ba
II. Nội dung biện pháp
Quay lại bài toán ta đã chứng minh đợc: Trong Tam giác ABC các
trung tuyến AA
1,
,BB
1
, CC
1
cùng đi qua một điểm G và:
3
2
111
===
CC
GC
BB
GB
AA
GA
Nh vậy thì:
3
2
111
===
CC

1,
,BB
1
, CC
1
Là ba trung tuyến của Tam giác - Là ba đờng đặc biệt, nên
G có tính chất đặc biệt nh vậy nghĩa là do đó mà ta có đẳng thức ( 5). Bây
giờ chuyển sự đặc biệt hóa thành khái quát rằng: Giả sử các đờng
AA
1,
,BB
1
, CC
1
là bất kỳ của Tam giác ABC và cùng đi qua một điểm K
bất kỳ nằm trong trong

ABC. Đẳng thức (5) có gì thay đổi theo . Thật
vậy: Cho K là một điểm bất kỳ của

ABC ( K nằm trong

ABC). Gọi
AK, BK, CK lần lợt cắt BC, CA, AB ở A
1,
,B
1
, C
1
.

,h
b
,h
c
là độ dài đờng cao của

ABC ứng với
cạnh :BC, CA , AB gọi h
1
, h
2
, h
3
lầnlợt là độ dài đờng cao của

KBC,

KCA ,

KAB hạ từ K ta có:
S =
2
1
BC.h
a
=
2
1
CA. h
b

h
h
S
S
11
=
;
b
h
h
S
S
22
=
;
c
h
h
S
S
33
=
. Tiếp tục kẻ AH
vuông góc với BC tại H , KH
1
vuông góc với BC tại H
1
. Suy ra trong

AHA

là
độ dài đờng cao của

KBC hạ từ K ). Do đó
S
S
AA
KA
1
1
1
=
.
Tơng tự ta cũng có:
S
S
BB
KB
2
1
1
=
,
S
S
CC
KC
3
1
1

1
+S
2
+ S
3
= S
KBC
+ S
KcA
+S
KAB
= S
ABC
= S.
Vậy
Chứng tỏ rằng :
1
1
1
1
1
1
1
==++
S
S
CC
KC
BB
KB

1
==++
S
S
CC
KC
BB
KB
AA
KA
Tiếp tục không dừng lại ở đây, ta lại suy xét thêm bài toán tơng tự
nh trên từ bài toán ban đầu ta đã mở rộng thêm bài toán đó là bài toán 1.
Bây giờ cũng từ kết quả của bài toán ban đầu ta có:
Thế thì ta có một hớng phát triển khác.
Phát triển II :
Từ nhận xét trên ta suy ra.
9
1
3
1
3
1
3
1
1
1
1
1
1
=++=++

S
S
BB
KB
2
1
1
=
,
S
S
CC
KC
3
1
1
=
.Vậy suy ra:
3211
1
1
1
1
1
S
S
S
S
S
S

++
=
=1+
1
3
1
2
S
S
S
S
+
, tơng tự :
2
3
2
1
2
1
S
S
S
S
S
S
++=
,
3
2
3

S
3
S
1
S
2
S
3
+ + = 3 + + + + + +
S
1
S
2
S
3
S
1
S
2
S
1
S
3
S
3
S
2
Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc
Nhng ta chú ý rằng do K nằm trong

1
S
S
S
S
+
+
2
3
3
2
S
S
S
S
+
+
3
1
1
3
S
S
S
S
+
3+2+2+2 =9
Dễ thấy dấu = xẩy ra khi S
1
= S

1
thì luôn có:
1
1
1
1
1
1
KC
CC
KB
BB
KA
AA
++
9.
Suy xét tiếp tục bài toán ban đầu do có :
111
CC
GC
BB
GB
AA
GA
==
=
3
2
.
Suy ra:

1
1
KC
CC
KB
BB
KA
AA
++
9

7
Lợi dụng bất đẳng
thức này ta suy xét
tiếp. Dễ thấy muốn có
KA thì ta lấy hiệu AA
1
và KA
1
. Từ đó ta bớt
mỗi vế của bất đẳng
thức trên đi 3 đơn vị ta
đợc:
A
B
B
1
C
1
A

1
11
KC
KCCC
6 .

1
KA
KA
+
1
KB
KB
+
1
KC
KC
6 (9.1)
So sánh (9) và (9.1) ta thấy rõ ràng (9) chỉ là trờng hợp đặc biệt
của (9.1) mà thô. Nh thế ta có bài toán tổng quát hơn bài toán mới:
Bài toán III :
Cho K là một điểm bất kỳ trong

ABC, gọi AK, BK,CK lần lợt cắt
BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1

.
Thế thì :
GA
GA
1
=
GB
GB
1
=
GC
GC
1
=
2
1
.
Suy ra
GA
GA
1
+
GB
GB
1
+
GC
GC
1
=

Ta suy xét tiếp nh sau: vì
1
1
AA
KA
=
S
S
1
(Trong phát triển 1)
Suy ra:
11
1
KAAA
KA

=
1
1
SS
S


1
1
AA
KA
=
1
1

1
=
13
2
SS
S
+
,
KC
KC
1
=
21
3
SS
S
+
Do đó:
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1
=

2+
b
c
c
b
,
2+
c
a
a
c
với mọi a,b,c > 0
Nên:
6
+
+
+
+
+
c
ba
b
ca
a
cb
với mọi a,b,c > 0

36111 ++
+
++


++
cba
111

9

(**) với mọi a,b,c > 0 dấu (=) sẩy ra khi a
= b = c.
Lại có:
32
1
SS
S
+
+
13
2
SS
S
+
+
21
3
SS
S
+
=
32
1

+
21
321
SS
SSS
+
++
- 3
= (S
1
+S
2
+S
3
)






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS
- 3

3
là các số dơng nên theo (**) ta lại có:

( )
133221
SSSSSS +++++






+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS


9
Vậy :
2
1
( )
133221
SSSSSS +++++


+
+
21
3
SS
S
+


2
1
.9 - 3 =
2
3
Nên:
KA
KA
1
+
KB
KB
1
+
KC
KC
1



2

1



2
3
.
Phát triển V : Trong bài toán ban đầu ta có :
1
AA
GA
=
1
BB
GB
=
1
CC
GC
=
3
2
.Suy ra:
GA
AA
1
=
GB
BB
1

9
(11).
Cũng lý luận nh trên thay điểm G ( Đặc biệt ) bởi điểm K (Bất kỳ)
trong

ABC thì kết quả thu đợc có gì đặc biệt hơn (11) không ?
Thật vậy: Trong

ABC gọi K là điểm bất kỳ, AK, BK, CK lần lợt
cắt BC, CA, AB tại A
1
,B
1
,C
1
. Ta kẻ KD vuông góc với AH tại D, kẻ AH
vuông góc với BC tại H, kẻ KH
1
vuông góc với BC tại H
1
.
Ta có:

AHA
1
~

ADK(g.g)
Do đó suy ra:


2
+ S
3
- S
1
= S
2
+ S
3
Nên
Vậy :
KA
AA
1
=
1
SS
S

=
32
SS
S
+
.Tơng tự ta cũng có:
13
1
SS
S
KB

ha - h
1
AA
1
S
=
KA S
2
+ S
3
Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc
KA
AA
1
+
KB
BB
1
+
KC
CC
1
=
133221
SS
S
SS
S
SS


+
+
+
+
+
133221
111
SSSSSS
.
( )
321
SSS ++
=
2
1
[ ]
133221
SSSSSS +++++






+
+
+
+
+

ABC, gọi AK,
BK,CK lần lợt cắt BC, CA, AB tại A
1
,B
1
, C
1
.Chứng minh rằng:
2
9
111
++
KC
CC
KB
BB
KA
AA
Cứ tiếp tục nh vậy ta phát triển bài toán từ những dấu hiệu của bài
toán ban đầu
Vì rằng:
2
111
===
GC
GC
GB
GB
GA
GA

KC
KB
KB
KA
KA
=
3
21
2
31
1
32
**
S
SS
S
SS
S
SS
+
++
Nhng vì: a
2
+b
2
ab2

a,b
Suy ra : x + y


KC
1
S
3
=
KC S
1
+ S
2
Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc
S
2
+S
3
32
2 SS
Nên: ( S
1
+S
2
) . (S
2
+S
3
) . (S
1
+S
3
)

8 S
1.
S
2
. S
3

Vậy
111
**
KC
KC
KB
KB
KA
KA


= 8
Hay:
111
**
KC
KC
KB
KB
KA
KA



AA
KA
1
1
1
=

Suy ra :
1
1
KA
AA
=
1
S
S
.
Tơng tự ta có:
1
1
KB
BB
=
2
S
S
,
1
1
KC

3
S
S
.
Để tạo thêm mức khó của bài toán ta phát triển tiếp vấn đề này:
Phát triển VII:
Vì ta có: S = S
1
+ S
2
+S
3
Nên:
1
S
S
.
2
S
S
.
3
S
S
=
3
321
2
321
1






++
3
2
3
1
2
3
2
1
1
3
1
2
111
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S

2
. S
3

Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc
c
2
+a
2

2ca (

c,a)
Suy ra: a
2
+b
2
+c
2

ab+bc+ca(

a,b,c) (***)
dấu (=) xảy ra khi a=b=c.
Do S
1
, S
2
, S

(a+b+c)( a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca- 3ab -3bc - 3ca)

0


(a+b+c)
( )
[ ]
abbaccba 3)(3
2
+++


0


(a+b+c)
3
-3c(a+b)(a+b+c)-3ab(a+b+c)

0

(a+b+c)
3

3
-3abc

0


a
3
+b
3
+c
3
-3abc

0. Vậy: a
3
+b
3
+c
3


3abc(

a,b,c > 0)(**) áp dụng
(**) ta có:
1+
1
3
1

2
3
1
S
S
S
S
=3
3
2
1
32
S
SS
.
Vậy: 1+

3
3
2
1
32
S
SS
Tơng tự: 1+
3
2
3
1
S

SS

Từ đó ta suy ra rằng:








++








++








++

213132
)( SSS
SSSSSS
=27
Đến đây, nhờ các phép biến đổi ta đã làm cho mất hết các dấu hiệu
về diện tích mà chỉ còn đại lợng số, nghĩa là:
13
S
2
S
3
+
S
3
S
1
Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc

1
1
KA
AA
.
1
1
KB
BB
.
1

1
1
KC
CC

27.
Phần III: Kết luận
Cứ tiếp tục nh vậy nếu sau mỗi một bài toán chúng ta hớng dẫn cho
học sinh dành một khoảng thời gian nhất định để suy xét bài toán theo một
trong ba hớng, mà tôi đã đa ra. Thiết nghĩ đó cũng là một phơng pháp học
toán và làm toán rất bổ ích và lý thú làm đợc điều đó với học sinh sẽ tạo ra
sự hiểu bài sâu hơn có nhiều phơng pháp giải hơn và đơng nhiên sẽ tìm đ-
ợc phơng pháp hay nhất. Với ngời dạy ngoài việc tìm ra nhiều lời giải của
bài toán còn tạo ra cách thiết kế một loạt các bài toán có cùng dạng với
bài toán ban đầu.
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi khối 8 - 9 tôi đã đa ra để
thực nghiệm. Ban đầu các em còn bỡ ngỡ, sau đó tỏ ra thích thú, say mê.
Đặc biệt là hai hớng đầu các em tỏ ra hiểu và say mê tìm nhiều phơng
pháp giải từ đó chọn đợc phơng pháp hay. Còn phơng pháp này một số đã
biết tự thiết kế ra bài toán mới. Tôi nghĩ đó cũng chỉ là thành công bớc đầu
và hết sức nhỏ bé.
Do đặc điểm của nội dung kiến thức. Kinh nghiệm này tôi chỉ đa ra
để áp dụng cho các em khối lớp 8 - 9 nên một số kiến thức về bất đẳng
thức chỉ phù hợp với các em đã học qua lớp 8 và đang học lớp 9.
14
AA
1
BB
1
CC

++
++
KCKBKA
KCKBKA
Trên đây chỉ là kinh nghiệm của cá nhân nên không thể tránh khỏi
những hạn chế .Tôi rất mong đợc sự đánh giá góp ý của các bạn đồng
nghiệp và Hội đồng khoa học các cấp để kinh nghiệm ngày càng đợc hoàn
thiện hơn. Tài liệu tham khảo
15
Kinh Nghiệm
Hng Phỏt Trin T Duy Qua Bi Toỏn Hỡnh Hc
1/ Bất đẳng thức: Nguyễn Vũ Thanh
2/ Các chuyên đề môn toán: Trơng Công Thành
Nguyễn Hữu Thảo
Mục lục
Phần1: Đặt vấn đề 1
Phần2: Nội dung 2
I. Cơ sở lý luận 2
II Nội dung biện pháp 4
Phần 3: Kết luận 15


17
Kinh NghiÖm
Hướng Phát Triển Tư Duy Qua Bài Toán Hình Học